Raksti

4.7: Īpašie binomālie izstrādājumi


Trīs binomiālie produkti algebrā notiek tik bieži, ka mēs tos apzīmējam kā īpašie binomiālie produkti. Mēs tos esam redzējuši jau iepriekš, bet mēs tos pētīsim vēlreiz, jo tiem ir svarīga nozīme kā laika taupīšanas ierīcēm un vienādojumu risināšanā (ko mēs pētīsim vēlāk).

Šos īpašos produktus var parādīt kā binoma kvadrāti

((a + b) ^ 2 ) un (a-b) ^ 2 )

un kā divu terminu summa un starpība.

((a + b) (a-b) )

Ir divi vienkārši noteikumi, kas ļauj mums viegli paplašināt (pavairot) šos binomālus. Viņus ir vērts iegaumēt, jo tie ietaupīs daudz laika nākotnē.

Paplašina ((a + b) ^ 2 ) un ((a-b) ^ 2 )

Binomāla kvadrāts

Lai kvadrātveida binomālu:

1. Ievietojiet pirmo terminu kvadrātā.

2. Paņemiet divu terminu reizinājumu un dubultojiet to.

3. Kvadrātveida pēdējo terminu.

4. Pievienojiet trīs rezultātus kopā

((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 )

((a-b) ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 )

Paplašinās (a + b) (a − b)

Divu terminu summa un atšķirība.

Lai paplašinātu divu terminu summu un starpību: †

  1. Kvadrātveida pirmo termiņu un kvadrātu otro.
  2. No pirmā termina kvadrāta atņemiet otrā termina kvadrātu.

((a + b) (a-b) = a ^ 2 - b ^ 2 )

A paraugu komplekts

Piemērs ( PageIndex {1} )

(
(x + 4) ^ {2}
)
Pirmā termina kvadrāts: (x ^ {2} ).
Abu terminu reizinājums ir (4x ). Divkāršojiet: (8x ).
Kvadrātveida pēdējais termiņš: 16.

Pievienojiet tos kopā: (x ^ {2} + 8x + 16 )

((x + 4) ^ {2} = x ^ {2} +8 x + 16 )

Ņemiet vērā, ka ((x + 4) ^ {2} neq x ^ {2} + 4 ^ {2} ). Trūkst termina (8x )!

Piemērs ( PageIndex {2} )

(
(a-8) ^ {2}
)
Pirmā termina kvadrāts: (a ^ {2} ).
Abu terminu reizinājums ir (- 8a ). Divkāršojiet: (- 16a ).
Kvadrāts pēdējam termiņam: 64.

Pievienojiet tos kopā: (a ^ 2 + (-16a) + 64 )

((a-8) ^ 2 = a ^ 2 - 16a + 64 )

Ievērojiet, ka pēdējā izteiciena zīme šajā izteiksmē ir “ (+ ).” Tas vienmēr notiks, jo pēdējais sasaukums ir rezultāts skaitlim kvadrātā. Jebkurš nulles skaitļa reižu skaits vienmēr ir pozitīvs.

((+) (+) = + ) un ((-) (-) = + )

Trinomālā otrā termina zīme vienmēr būs tā zīme, kas notiek iekšā iekavas.

Piemērs ( PageIndex {3} )

(
(y-1) ^ {2}
)
Pirmā termina kvadrāts: (y ^ {2} ).
Abu terminu reizinājums ir (- y ). Divkāršojiet: (- 2g ).
Kvadrātveida pēdējais termins: +1.

Pievienojiet tos kopā: (y ^ 2 + (-2y) + 1 )

Piemērs ( PageIndex {4} )

(
(5x + 3) ^ {2}
)
Pirmā termina kvadrāts: (25x ^ {2} ).
Abu terminu reizinājums ir (15x ). Divkāršojiet: (30x ).
Kvadrātveida pēdējais termiņš: 9.

Pievienojiet tos kopā: (25x ^ 2 + 30x + 9 )

Piemērs ( PageIndex {5} )

(
(7.b – 2) ^ {2}
)
Pirmā termina kvadrāts: (49b ^ {2} ).
Abu terminu reizinājums ir (- 14b ). Divkāršojiet: (- 28b ).
Kvadrātveida pēdējais termins: 4.

Pievienojiet tos kopā: (49b ^ 2 + (-28b) + 4 )

Piemērs ( PageIndex {6} )

(
(x + 6) (x-6)
)
Pirmā termina kvadrāts: (x ^ 2 ).
No pirmā termina kvadrāta atņemiet otrā termina kvadrātu ( (36 )): (x ^ 2 - 36 )

((x + 6) (x-6) = x ^ 2 - 36 )

Piemērs ( PageIndex {7} )

(
(4.a – 12.) (4.a + 12.)
)
Pirmā termina kvadrāts: (16a ^ 2 ).
No pirmā termina kvadrāta atņemiet otrā termina kvadrātu ( (144 )): (16a ^ 2-144 )

((4a-12) (4a + 12) = 16a ^ 2 - 144 )

Piemērs ( PageIndex {8} )

(
(6x + 8g) (6x-8g)
)
Pirmā termina kvadrāts: (36x ^ 2 ).
No pirmā termina kvadrāta atņemiet otrā termina kvadrātu ( (64y ^ 2 )): (36x ^ 2 - 64y ^ 2 )

((6x + 8g) (6x-8y) = 36x ^ 2 - 64y ^ 2 )

Prakses komplekts A

Atrodiet šādus produktus.

Prakses problēma ( PageIndex {1} )

((x + 5) ^ 2 )

Atbilde

(x ^ 2 + 10x + 25 )

Prakses problēma ( PageIndex {2} )

((x + 7) ^ 2 )

Atbilde

(x ^ 2 + 14x + 49 )

Prakses problēma ( PageIndex {3} )

((y-6) ^ 2 )

Atbilde

(y ^ 2 - 12 g. + 36 )

Prakses problēma ( PageIndex {4} )

((3a + b) ^ 2 )

Atbilde

(9a ^ 2 + 6ab + b ^ 2 )

Prakses problēma ( PageIndex {5} )

((9m-n) ^ 2 )

Atbilde

(81m ^ 2 - 18mn + n ^ 2 )

Prakses problēma ( PageIndex {6} )

((10x - 2g) ^ 2 )

Atbilde

(100x ^ 2 - 40xy + 4y ^ 2 )

Prakses problēma ( PageIndex {7} )

((12a - 7b) ^ 2 )

Atbilde

(144a ^ 2 - 168ab + 49b ^ 2 )

Prakses problēma ( PageIndex {8} )

((5h - 15k) ^ 2 )

Atbilde

(25h ^ 2 - 150hk + 225k ^ 2 )

Vingrinājumi

Lai atrastu šādas problēmas, atrodiet produktus.

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

((x + 3) ^ 2 )

Atbilde

(x ^ 2 + 6x + 9 )

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

((x + 5) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

((x + 8) ^ 2 )

Atbilde

(x ^ 2 + 16x + 64 )

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

((x + 6) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {5} )

((y + 9) ^ 2 )

Atbilde

(y ^ 2 + 18 g. + 81 )

Vingrinājums ( PageIndex {6} )

((y + 1) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

((a-4) ^ 2 )

Atbilde

(a ^ 2 - 8a + 16 )

Vingrinājums ( PageIndex {8} )

((a-6) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

((a-7) ^ 2 )

Atbilde

(a ^ 2 - 14a + 49 )

Vingrinājums ( PageIndex {10} )

((b + 10) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {11} )

((b + 15) ^ 2 )

Atbilde

(b ^ 2 + 30b + 225 )

Vingrinājums ( PageIndex {12} )

((a-10) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {13} )

((x-12) ^ 2 )

Atbilde

(x ^ 2 - 24x + 144 )

Vingrinājums ( PageIndex {14} )

((x + 20) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {15} )

((y-20) ^ 2 )

Atbilde

(y ^ 2 - 40g + 400 )

Vingrinājums ( PageIndex {16} )

((3x + 5) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {17} )

((4x + 2) ^ 2 )

Atbilde

(16x ^ 2 + 16x + 4 )

Vingrinājums ( PageIndex {18} )

((6x - 2) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {19} )

((7x - 2) ^ 2 )

Atbilde

(49x ^ 2 - 28x + 4 )

Vingrinājums ( PageIndex {20} )

((5a - 6) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {21} )

((3a - 9) ^ 2 )

Atbilde

(9a ^ 2 - 54a + 81 )

Vingrinājums ( PageIndex {22} )

((3w - 2z) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {23} )

((5a - 3b) ^ 2 )

Atbilde

(25a ^ 2 - 30ab + 9b ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {24} )

((6t - 7s) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {25} )

((2h - 8k) ^ 2 )

Atbilde

(4h ^ 2 - 32hk + 64k ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {26} )

((a + dfrac {1} {2}) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {27} )

((a + dfrac {1} {3}) ^ 2 )

Atbilde

(a ^ 2 + dfrac {2} {3} a + dfrac {1} {9} )

Vingrinājums ( PageIndex {28} )

((x + dfrac {3} {4}) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {29} )

((x + dfrac {2} {5}) ^ 2 )

Atbilde

(x ^ 2 + dfrac {4} {5} x + dfrac {4} {25} )

Vingrinājums ( PageIndex {30} )

((x - dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {31} )

((y- dfrac {5} {6}) ^ 2 )

Atbilde

(y ^ 2 - dfrac {5} {3} y + dfrac {25} {36} )

Vingrinājums ( PageIndex {32} )

((y + dfrac {2} {3}) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {33} )

((x + 1,3) ^ 2 )

Atbilde

(x ^ 2 + 2,6x + 1,69 )

Vingrinājums ( PageIndex {34} )

((x + 5,2) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {35} )

((a + 0,5) ^ 2 )

Atbilde

(a ^ 2 + a + 0,25 )

Vingrinājums ( PageIndex {36} )

((a + 0,08) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {37} )

((x - 3,1) ^ 2 )

Atbilde

(x ^ 2 - 6,2x + 9,61 )

Vingrinājums ( PageIndex {38} )

((y - 7.2) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {39} )

((b - 0,04) ^ 2 )

Atbilde

(b ^ 2 - 0,08b + 0,0016 )

Vingrinājums ( PageIndex {40} )

((f - 1,006) ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {41} )

((x + 5) (x - 5) )

Atbilde

(x ^ 2 - 25 )

Vingrinājums ( PageIndex {42} )

((x + 6) (x-6) )

Vingrinājums ( PageIndex {43} )

((x + 1) (x − 1) )

Atbilde

(x ^ 2 - 1 )

Vingrinājums ( PageIndex {44} )

((t − 1) (t + 1) )

Vingrinājums ( PageIndex {45} )

((f + 9) (f − 9) )

Atbilde

(f ^ 2 - 81 )

Vingrinājums ( PageIndex {46} )

((y − 7) (y + 7) )

Vingrinājums ( PageIndex {47} )

((2g + 3) (2g-3) )

Atbilde

(4g ^ 2 - 9 )

Vingrinājums ( PageIndex {48} )

((5x + 6) (5x-6) )

Vingrinājums ( PageIndex {49} )

((2a – 7b) (2a + 7b) )

Atbilde

(4a ^ 2 - 49b ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {50} )

((7x + 3t) (7x-3t) )

Vingrinājums ( PageIndex {51} )

((5h – 2k) (5h + 2k) )

Atbilde

(25h ^ 2 - 4k ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {52} )

((x + dfrac {1} {3}) (x - dfrac {1} {3}) )

Vingrinājums ( PageIndex {53} )

((a + dfrac {2} {9}) (a - dfrac {2} {9}) )

Atbilde

(a ^ 2 - dfrac {4} {81} )

Vingrinājums ( PageIndex {54} )

((x + dfrac {7} {3}) (x - dfrac {7} {3}) )

Vingrinājums ( PageIndex {55} )

((2b + dfrac {6} {7}) (2b - dfrac {6} {7}) )

Atbilde

(4b ^ 2 - dfrac {36} {49} )

Vingrinājums ( PageIndex {56} )

Izvērsiet ((a + b) ^ 2 ), lai pierādītu, ka tas ir vienāds ar (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ).

Vingrinājums ( PageIndex {57} )

Izvērsiet ((a-b) ^ 2 ), lai pierādītu, ka tas ir vienāds ar (a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 ).

Atbilde

((a-b) (a-b) = a ^ 2 - ab - ab + b ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {58} )

Izvērsiet ((a + b) (a-b) ), lai pierādītu, ka tas ir vienāds ar (a ^ 2-b ^ 2 ).

Vingrinājums ( PageIndex {59} )

Zemāk esošajā vienādojumā aizpildiet trūkstošo etiķeti.

Atbilde

Pirmais sasaukums kvadrātā

Vingrinājums ( PageIndex {60} )

Zemāk iezīmējiet vienādojuma daļas.

Vingrinājums ( PageIndex {61} )

Zemāk iezīmējiet vienādojuma daļas.

Atbilde

a) Ievietojiet pirmo terminu kvadrātā.

b) Ievietojiet kvadrātu otrajā un atņemiet to no pirmā termina.

Vingrinājumi pārskatīšanai

Vingrinājums ( PageIndex {62} )

Vienkāršojiet ((x ^ 3y ^ 0z ^ 4) ^ 5 ).

Vingrinājums ( PageIndex {63} )

Atrodiet (10 ​​^ {- 1} cdot 2 ^ {- 3} ) vērtību

Atbilde

( dfrac {1} {80} )

Vingrinājums ( PageIndex {64} )

Atrodiet produktu.

((x + 6) (x-7) ).

Vingrinājums ( PageIndex {65} )

Atrodiet produktu.

((5m - 3) (2m + 3) )

Atbilde

(10m ^ 2 + 9m - 9 )

Vingrinājums ( PageIndex {66} )

Atrodiet produktu.

((a + 4) (a ^ 2 - 2a + 3) )


Apskatīsim īpašu noteikumu, kas ļaus mums atrast produktu, neizmantojot FOIL metodi.

Binoma kvadrāts ir summa: pirmo terminu kvadrāts, divreiz lielāks par divu terminu reizinājumu, un pēdējā termina kvadrāts.

Es zinu, ka tas izklausās mulsinoši, tāpēc ieskatieties ..

Ja jūs atceraties šo formulu, jūs varēsiet novērtēt polinomu kvadrātus, neizmantojot FOIL metodi. Tam būs nepieciešama prakse.

Tagad apskatīsim 1. piemēru un atrodiet produktu, izmantojot mūsu īpašo kārtulu.


Jūsu logotips pareizajā produktā ir kā mārketinga maģija. Tas var pārvērst parasto par ārkārtēju un brīdi par brīdi, kas ir svarīgs.

Iegādājieties visus reklāmas biznesa apģērbu produktus

Apģērbiet savu komandu ar pielāgotu apdruku!

Iegādājieties visus labsajūtas un drošības veicināšanas produktus

Produkti, lai jūsu fani būtu vislabākajā formā!

Iegādājieties visus savam uzņēmumam paredzētos reklāmas dzērienu izstrādājumus

Ietaupiet uz pielāgotajiem personalizētajiem dzērienu traukiem!

Iegādājieties visas savas mārketinga kampaņas reklāmas somas

Komplektējiet savas akcijas ar personalizētām somām!

Iegādājieties mūsu populārākos zīmolus

Populāri zīmoli katrai akcijai!

Pārdošanas dāvanu preces

Īpašas cenas, piedāvājumi un zagšana uz augšu reklāmas dāvanas!

Iegādājieties visas personalizētās kancelejas preces

Pielāgojiet savas mapes, bloknotus, Post-it® piezīmes un daudz ko citu!

Iegādājieties visus iespiestos tehnoloģiju produktus

Palieciet moderns, izmantojot logotipa datora piederumus un elektroniku!

Iegādājieties visus iespiestos rakstīšanas izstrādājumus

Izplatiet ziņu ar uzdrukātiem rakstīšanas rīkiem!

Iegādājieties visas iespiestās 24 stundu preces

Pasūtīt šodien. Kuģi rīt.

Vilsons F.L.I. Golfa bumba

Izpārdošanas cena bija tik zema kā 15,99 ASV dolāri

Hocus Pocus Slim Stylus pildspalva - metāliska
ar savu logotipu
$109.00

Derils, ar
4 nospiedums
18 gadi

Denīze, ar
4 nospiedums
18 gadi

Crossland zīmola reklāmas produktu veikals Crossland ® tagad

4imprint ValueBuy Essential reklāma. Izcila cena.

Vēl vairāk pagariniet savu budžetu, ietaupot neticami mūsu pielāgoto akrila veļas mašīnu ar salmiem. Pieejams astoņās uzkrītošās krāsās.

Vērtības cena ir tikai 2,69 USD.

Elīzija, ar
4 nospiedums
12 gadi

Endijs, ar
4 nospiedums
13 gadi

Izšūšana ir vienkārša

  • Paplašinātiem izmēriem nav jāmaksā.
  • Pasūtiet tikai 6 gab.
  • Maksa par 35 ASV dolāriem BEZMAKSAS, pasūtot 24 vai vairāk gabalus uz polo, kleitu krekliem un jakas!
  • Dūriens netiek ieskaitīts - ja jūsu logotips ietilpst aprakstītajā izšūtā vietā, papildu maksa netiek piemērota. Periods.

Džeisons iesaka

Esmu liels šo mazo puišu fans. Man patīk, ka viņiem ir rokturis, turklāt izturīgs. Es to lietoju katru dienu birojā bez neizdošanās!

Džeisons, ar 4 gadu nospiedumu 3 gadi.

Makenzijs iesaka

Šī ir mana mīļākā sega, ko paķert, kad ir pienācis laiks kļūt mājīgam un izlasīt labu grāmatu. Tas ir tik maigs un ir bijis viena no manām idejām dāvanām ģimenei un draugiem.

Makenzijs ar 4 gadu nospiedumu 3 gadi.


Jautājumi

& lta href = & # 8221 / intermediatealgebraberg / back-matter / answer-key-6-6 / & # 8221 & gtAtbildes atslēga 6.6


FOIL Calculator- Binomials pavairošana

Šis binomiālais kalkulators, izmantojot FOIL metodi, aprēķina binomāla reizinājumu, kas paaugstināts vai nu līdz 2. vai 3. jaudai. Binomiālās izteiksmes reizinājums tiek iegūts, tāpat kā ar visiem produktiem, reizinot divas binomālās izteiksmes kopā.

Lai izmantotu šo kalkulatoru iepriekš, mēs ievērojam formātu (ax + b) n. Lietotājs tikko ienāk a un b vērtības. Viņš / viņa var arī mainīt zīmi un eksponentu, uz kuru tiek pacelts binoms. Pēc noklusējuma zīme un eksponents ir "+" un "2". Lietotājs tomēr var mainīt zīmi uz "-" un eksponentu uz "3". Tādējādi kalkulators ļauj veikt dinamisku ievadi.

Kad lietotājs noklikšķina uz "Aprēķināt", atbilde tiks automātiski aprēķināta.

Reizinot dažādus binomālus

Šis binomālais kalkulators aprēķina divu binomālu reizinājumu, kas var būt vienādi vai atšķirīgi. Ja tie ir vienādi, varat izmantot pirmo kalkulatoru, bet, ja tie ir atšķirīgi, jums jāizmanto šis.

Atkal tas aprēķina binomālo rezultātu ar FOIL metodi, soļus, kas paskaidroti turpmāk.

FOLIJA Paskaidrots

Zemāk ir redzams, kā darbojas FOIL:

FOIL ir binoma produkta aprēķina metode, kurā tiek izmantotas šādas darbības, kas parādītas zemāk:

Pieņemsim, ka mums ir šāds binomāls, kas parādīts iepriekš.

Ja to paplašināsim, neizmantojot eksponentu, tas izskatīsies šādi:

Izmantojot FOIL, mēs aprēķināsim šo binomālo produktu, veicot šādas darbības:

Pirmkārt- Mēs ņemam pirmo terminu no katra binomāla un reizinām tos kopā. Ar binomālo izteiksmi (ax + b) (ax + b) pirmie termini ir cirvis un cirvis. Tādējādi produkts iegūst 2 x 2.

Ārējais- Tālāk mēs ņemam ārējos vai ārējos nosacījumus no diviem binomāliem. Ar binomālo izteiksmi (ax + b) (ax + b) ārējie termini ir cirvis un b. Tas dod produktu abx.

Iekšējais- Tālāk mēs ņemam iekšējos vai iekšējos terminus no diviem binomāliem. Ar binomālo izteiksmi (ax + b) (ax + b) iekšējie termini ir b un cirvis. Tas dod produktu abx. Tagad mēs varam apvienot ārējos un iekšējos terminus, jo tie ir līdzīgi terminiem. Tāpēc viņi vienkārši saskaita, lai dotu terminu 2abx.

Pēdējais- Tālāk mēs pieņemam pēdējo divu binomāļu pēdējos noteikumus. Ar binomālo izteiksmi (ax + b) (ax + b) pēdējie termini ir b un b. Tas dod produktu b 2 .

Tātad tagad, saskaitot visus terminus uz augšu, no šīs binomālās izteiksmes mēs iegūstam gala rezultātu 2 x 2 + 2abx + b 2.

FOLIJA
Pirmkārt (3x) (3x) = 9x2
Ārējais- (3x) (4) = 12x
Iekšējais- (4) (3x) = 12x
Pēdējais- (4)(4)=16

Kopā saskaitītie vārdi: 9x 2 + 12x + 12x +16 = 9x 2 + 24x + 16

FOLIJA
Pirmkārt- (2x) (5x) = 10x2
Ārējais- (2x) (- 7) = -14x
Iekšējais- (3) (5x) = 15x
Pēdējais- (3)(-7)= -21


Beins, Cinven pērk Lonza īpašās sastāvdaļas 4,7 miljardu dolāru darījumā

Zurich (Reuters) - Bain Capital un Cinven iegādājas Lonza Specialty Ingredients nodaļu darījumā, kura vērtība ir USD 4,7 miljardi, pirmdien paziņoja Šveices līgumu zāļu ražotājs, koncentrējoties uz savu straujāk augošo vienību, kas piegādā narkotiku un biotehnoloģijas uzņēmumus.

Bain-Cinven konsorcijs bija iekļauts Vācijas Lanxess un izpirkšanas grupu Advent, Carlyle un citu sarakstā kā vienības, kas ražo pretblaugznu šampūnu sastāvdaļas, uztura bagātinātājus cūkām, kā arī mikrobu kontroli koksnei un higiēnas līdzekļiem, kā pretendentus.

Lonza, kas paziņoja, ka darījuma uzņēmuma vērtība ir 4,2 miljardi Šveices franku (4,7 miljardi USD), divkāršo savu straujo narkotiku biznesu. Tās klientu vidū ir Moderna, ko Lonza piegādā ar sastāvdaļām savai vakcīnai COVID-19, un AstraZeneca, kas nolīga Šveices uzņēmumu, lai palīdzētu veikt COVID-19 antivielu ārstēšanu.

"Īpašo sastāvdaļu biznesa pārdošana ļaus Lonza koncentrēties uz savu pozīciju kā vadošais partneris veselības aprūpes nozarē," paziņojumā sacīja priekšsēdētājs Alberts Behnijs.

"Brīvās naudas plūsmas, kas rodas pārdošanas rezultātā, ļaus mums paātrināt mūsu stratēģiskās prioritātes," viņš piebilda.

Lonza akcijas pagājušajā gadā pieauga par vairāk nekā 60%, jo tā palielinājās narkotiku jomā un gatavojās izkraut īpašās sastāvdaļas.

Vienībā, kas kādreiz bija Lonzas balsts, pirms narkotiku un biotehnoloģiju nodaļa to pārcēla uz aizmugurējo degli, ieņēmumi pagājušajā gadā samazinājās par 2,1% līdz 1,7 miljardiem franku.

Turpretī Lonza ieņēmumi no narkotikām, biotehnoloģijām un uztura palielinājās par 7,2% līdz 4,5 miljardiem franku, jo Lonza virzījās uz priekšu ar lielu paplašināšanos, ieskaitot četru jaunu Moderna vakcīnas pret jauno koronavīrusu ražošanas līniju būvniecību ASV un Šveicē.


Lane ORCCA (2020–2021): Atvērtie resursi Kopienas koledžas algebrai

Tā kā mēs tagad varam reizināt polinomus kopā, mēs aplūkosim dažus īpašus polinomu reizināšanas gadījumus.

6.6.1. Apakšnodaļa Binomāla kvadrātā

6.6.1. Piemērs.

Lai “kvadrātveida binomālu” ņemtu binomu un reizinātu ar to pašu. Mēs zinām, ka eksponentu apzīmējumi nozīmē, ka (4 ^ 2 = 4 cdot 4 text <.> ) Piemērojot šo binomālam, redzēsim, ka ((x + 4) ^ 2 = (x + 4) (x + 4) text <.> ) Lai paplašinātu šo izteiksmi, mēs vienkārši izplatīsim ((x + 4) ) starp ((x + 4) text <:> )

Līdzīgi, lai paplašinātu ((y-7) ^ 2 text <,> ), mums būs:

Šie divi piemēri varētu izskatīties kā jebkurš cits binomu pavairošanas piemērs, taču, cieši skatoties, mēs varam redzēt, ka kaut kas ļoti specifisks (vai īpašs) notika. Koncentrējoties uz sākotnējo un vienkāršoto izteiksmi, mēs varam redzēt, ka katrā no tām ir izveidojies noteikts modelis:

sākas left (y-7 right) ^ 2 amp = y ^ 2 - highlight <7> y - highlight <7> y + highlight <7 cdot 7> left (y- highlight < 7> pa labi) ^ 2 amp = y ^ 2 -2 ( izcelt <7> y) + izcelt <7> ^ 2 beigas

Ievērojiet, ka abi vidējie termini ir ne tikai vienādi, bet arī precīzi abu binomālā esošo terminu rezultāts. Turklāt pēdējais apzīmējums ir otrā termina kvadrāts katrā oriģinālajā binomālā.

Tas, ko mēs redzam, ir modelis, kas attiecas uz divām svarīgām frāzēm: Procesu sauc, un rezultātu sauc par a. Pirmā frāze ir mūsu darījuma apraksts, mēs burtiski kvadrātijam binomu. Otrā frāze ir apraksts par to, ar ko jūs nonākat. Šis otrais vārds kļūs svarīgs nākamajā nodaļā.

6.6.2. Piemērs.

Vispārējais veids, kā šis modelis tiek parādīts, ir kvadrātā divi iespējami vispārīgākie binomi: ((a + b) ) un ((ab) text <.> ). Mēs izveidosim modeli b) ^ 2 ) un ((ab) ^ 2 text <.> ) Kad tas būs izdarīts, mēs varēsim aizstāt jebko (a ) un (b ) vietā un paļauties vienkāršot kvadrātveida binomālus.

Vispirms mums jāizvērš ((a + b) ^ 2 ) kā ((a + b) (a + b) ), un pēc tam mēs varam pavairot šos binomālus:

Ievērojiet, ka pēdējais vienkāršošanas solis bija pievienot (ab + ba text <.> ). Tā kā tie ir līdzīgi termini, mēs varam tos apvienot (2ab text <.> )

Līdzīgi mēs varam atrast vispārīgu formulu ((a-b) ^ 2 text <:> )

Fakts 6.6.3. Binomālo formulu kvadrāti.

Ja (a ) un (b ) ir reāli skaitļi vai mainīgo izteiksmes, mums ir šādas formulas:

Šīs formulas ļaus mums ātrāk pavairot šāda veida īpašus produktus.

Piezīme 6.6.4.

Ievērojiet, ka tad, kad 6.6.2. Piemērā tiek izvērsti gan ((a + b) ^ 2 ), gan ((a-b) ^ 2 ), pēdējais termins bija pozitīvs (b ^ 2 ) abos. Tas ir tāpēc, ka jebkurš skaitlis vai izteiksme, neatkarīgi no tā zīmes, ir pozitīvs pēc tam, kad tas ir kvadrātā.

Apakšnodaļa 6.6.2. Citi kvadrātveida binomāļu piemēri

6.6.5. Piemērs.

Izvērsiet ((2x-3) ^ 2 ), izmantojot kvadrātu binoma formulu.

Šajā piemērā mums jāatzīst, ka, lai šajā situācijā izmantotu formulu ((ab) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 ), (a = 2x ) un (b = 3 text <.> ) Paplašinot to, mums ir:

Piezīme 6.6.6.

Kaut arī mēs paļaujamies uz binomāla kvadrāta formulu 6.6.5. Piemērā, mēs bieži izlaižam formālas formālas rakstīšanas darbību un pāriet uz vienkāršošanu šādā veidā:

6.6.7. Piemērs.

Izmantojot binomālās formulas kvadrātā, reiziniet šo:

( displaystyle sākas[t] (5xy + 1) ^ 2 amp = (5xy) ^ 2 + 2 (5xy) (1) + 1 ^ 2 amp = 25x ^ 2y ^ 2 + 10xy + 1 beigas )

Izmantojot šo izteiksmi, mēs vispirms atzīmēsim, ka koeficients (4 ) ir ārā izteiksmes daļa, kas ir kvadrātā. Izmantojot darbību secību, mēs vispirms paplašināsim ((3x-7) ^ 2 ) un pēc tam reizināsim šo izteiksmi ar (4 text <:> )

6.6.8. Piemērs.

Apļa laukumu var aprēķināt pēc formulas

kur (A ) apzīmē laukumu un (r ) apzīmē rādiusu. Ja noteiktu apļa rādiusu var modelēt ar (x-5 ) pēdām, izmantojiet izvērstu polinomu, lai modelētu apļa laukumu.

Apļa laukums būtu:

Apļa laukumu var modelēt ar kvadrātpēdām ( pi x ^ 2-10 pi x + 25 pi ).

6.6.9. Kontrolpunkts.

6.6.3. Apakšiedaļa Divu terminu summas un atšķirības rezultāts

Lai identificētu nākamo “īpašo gadījumu” polinomu reizināšanai, aplūkosim dažus piemērus.

6.6.10. Piemērs.

Reiziniet šādus binomālus:

( displaystyle sākas[t] (x + 5) (x-5) amp = x ^ 2-5x + 5x-25 amp x = 2 ^ -25 beigas )

( displaystyle sākas[t] (y + 8) (y-8) amp = y ^ 2-8y + 8y-4 amp = y ^ 2 - 64 beigas )

Ievērojiet, ka katram no šiem produktiem mēs reizinājām divu terminu summu ar koeficienta starpību tāpat divi termini. Ievērojiet arī šajos trīs piemēros, ka, reizinot šos izteicienus, abi vidējie termini bija pretstati un tādējādi atcelti līdz nullei.

Šie pāri, kas parasti rakstīti kā ((a + b) ) un ((a-b) text <,> ), ir pazīstami kā. Ja reizinām ((a + b) (a-b) text <,> ), mēs varam redzēt šo vispārējo modeli skaidrāk:

Tāpat kā iepriekšējā īpašajā gadījumā, arī šim ir divi nosaukumi. To var saukt par, jo šis modelis ir veidots, reizinot divus binomālus, kuriem ir vienādi divi termini, izņemot to, ka viens binoms ir summa, bet otrs binomāls ir atšķirība. Otrais nosaukums ir a, jo reizināšanas gala rezultāts ir binoms, kas ir divu perfektu kvadrātu starpība. Tāpat kā iepriekš, otrais nosaukums kļūs noderīgs arī nākamajā nodaļā, ja tiks izmantots tieši šajā sadaļā aprakstītais paņēmiens.

Fakts 6.6.11. Divu terminu formulas summas un atšķirības reizinājums.

Ja (a ) un (b ) ir reāli skaitļi vai mainīgo izteiksmes, mums ir šāda formula:


Svētdien, 2006. gada 22. oktobrī

Polinomi: operācijas 4.7

4.7. DARBĪBAS AR POLINOMIEM DAUDZOS MAINĪTĀJOS
a. Novērtējiet polinomu vairākos mainīgajos mainīgajiem lielumiem.
b. Identificējiet koeficientus un polinoma terminu pakāpes un polinoma pakāpi.
c. Apkopojiet polinoma noteikumus.
d. Pievienojiet polinomus.
e. Atņemt polinomus.
f. Reiziniet polinomus.

Mērķis a
Novērtējiet polinomu vairākos mainīgajos mainīgajiem lielumiem.


B mērķis
Identificējiet koeficientus un polinoma terminu pakāpes un polinoma pakāpi.

C mērķis
Apkopojiet polinoma noteikumus.

C piemērs Apvienojiet līdzīgus terminus.

D. Mērķis
Pievienojiet polinomus.

Mērķis e
Atņemt polinomus.

F mērķis
Reiziniet polinomus.



Polinomi: operācijas 4.6

4.6. ĪPAŠI PRODUKTI
a. Izmantojot FOIL metodi, garīgi reiziniet divus binomālus.
b. Pavairojiet garīgi divu terminu summu un starpību.
c. Nogrieziet binomiāli garīgi.
d. Atrodiet īpašus produktus, ja polinomu produkti tiek sajaukti kopā.

Mērķis a
Izmantojot FOIL metodi, garīgi reiziniet divus binomālus.


B mērķis
Pavairojiet garīgi divu terminu summu un starpību.


C mērķis
Nogrieziet binomiāli garīgi.


D. Mērķis
Atrodiet īpašus produktus, ja polinomu produkti tiek sajaukti kopā.



Polinomi: operācijas 4.5

4.5. POLINOMU DAUDZPLEIKŠANA
a. Reizināt monomālus.
b. Reiziniet monomālu un jebkuru polinomu.
c. Reiziniet divus binomālus.
d. Reiziniet jebkurus divus polinomus.


Binomiālo iespēju cenu noteikšanas modeļa pamati

Izmantojot binomālo opciju cenu modeļus, tiek pieņemts, ka ir divi iespējamie rezultāti - tātad modeļa binomiālā daļa. Izmantojot cenu modeli, abi rezultāti ir virzība uz augšu vai virzība uz leju. Binomālo opciju cenu noteikšanas modeļa galvenā priekšrocība ir tā, ka tie ir matemātiski vienkārši. Tomēr šie modeļi var kļūt sarežģīti vairāku periodu modelī.

Atšķirībā no Black-Scholes modeļa, kas nodrošina skaitlisku rezultātu, pamatojoties uz ievadi, binomālais modelis ļauj aprēķināt aktīvu un opciju vairākiem periodiem, kā arī katra perioda iespējamo rezultātu diapazonu (skatīt zemāk).

Šī vairāku periodu skata priekšrocība ir tā, ka lietotājs var vizualizēt aktīvu cenas izmaiņas katrā periodā un novērtēt iespēju, pamatojoties uz lēmumiem, kas pieņemti dažādos laika punktos. Attiecībā uz ASV balstītu iespēju, kuru var izmantot jebkurā laikā pirms derīguma termiņa beigām, binomālais modelis var sniegt ieskatu par to, kad opcijas izmantošana var būt ieteicama un kad tā būtu jāglabā ilgāk.

Aplūkojot binomālo vērtību koku, tirgotājs var iepriekš noteikt, kad var notikt lēmums par vingrinājumu. Ja opcijai ir pozitīva vērtība, ir iespēja izmantot, turpretī, ja opcijas vērtība ir mazāka par nulli, tā būtu jāglabā ilgāk.


(x + 2) 2 un # xa0 ir (a + b) 2 formā

Salīdzinot & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 un (x + 2) 2, mēs iegūstam

Uzrakstiet formulu / paplašinājumu & # xa0 (a + b) 2.

Aizstājiet x ar a un 2 - b. & # Xa0

Tātad, & # xa0 (x + 2) 2 & # xa0is paplašināšanās

(x - 5) 2 un # xa0 ir (a - b) 2 formā

Salīdzinot & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 un (x - 5) 2, mēs iegūstam

Uzrakstiet formulu / paplašinājumu & # xa0 (a - b) 2.

Aizstājiet x ar a un 5 - b. & # Xa0

Tātad, & # xa0 (x - 5) 2 & # xa0is paplašināšanās

(5x + 3) 2 & # xa0 ir (a + b) 2 formā

Salīdzinot & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 un (5x + 3) 2, mēs iegūstam

Uzrakstiet paplašinājumu & # xa0 (a + b) 2.

5x aizstāj a, bet 3 - b. & # Xa0

(5x + 3) 2 & # xa0 = & # xa0 (5x) 2 & # xa0 + 2 (5x) (3) + 3 2

Tātad & # xa0 (5x + 3) 2 & # xa0is paplašināšanās

(5x - 3) 2 & # xa0 ir (a - b) 2 formā

Salīdzinot & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 un (5x - 3) 2, mēs iegūstam

Uzrakstiet paplašinājumu & # xa0 (a - b) 2.

5x aizstāj a un 3 ar b. & # Xa0

(5x - 3) 2 & # xa0 = & # xa0 (5x) 2 & # xa0- 2 (5x) (3) + 3 2

Tātad & # xa0 (5x - 3) 2 & # xa0is paplašināšanās

Ja a + b & # xa0 = & # xa0 7 un a 2 + b 2 & # xa0 = & # xa0 29, tad atrodiet ab vērtību. & # xa0

Lai iegūtu ab vērtību, mēs varam izmantot & # xa0 (a + b) 2 formulu vai paplašinājumu.

Uzrakstiet formulu / paplašinājumu & # xa0 (a + b) 2.

Aizstāj 7. (a + b) & # xa0 un 29. & # xa0 (a 2 + b 2).

No katras puses atņemiet 29. & # Xa0

Ja a - b & # xa0 = & # xa0 3 un a 2 & # xa0 + b 2 & # xa0 = & # xa0 29, tad atrodiet ab vērtību. & # xa0

Lai iegūtu ab vērtību, mēs varam izmantot & # xa0 (a - b) 2 formulu vai paplašinājumu.

Uzrakstiet formulu / paplašinājumu & # xa0 (a - b) 2.

Aizstāj 3. (a - b) & # xa0 un 29. & # xa0 (a 2 & # xa0 + b 2).

No katras puses atņemiet 29. & # Xa0

& # xa0 (√2 + 1 / √2) 2 & # xa0 ir (a + b) 2 formā

Salīdzinot & # xa0 (a + b) 2 & # xa0 un & # xa0 (√2 + (1 / √2) 2, mēs iegūstam

Uzrakstiet paplašinājumu & # xa0 (a + b) 2.

Aizstāt & # xa0 √2 & # xa0 par a un 1 / √2 & # xa0 par b. & # Xa0

Tātad & # xa0 (√2 + 1 / √2) 2 vērtība ir

& # xa0 (√2 - 1 / √2) 2 & # xa0 ir (a - b) 2 formā

Salīdzinot & # xa0 (a - b) 2 & # xa0 un & # xa0 (√2 - 1 / √2) 2, mēs iegūstam

Uzrakstiet formulu / paplašinājumu & # xa0 (a - b) 2.

Aizstāt & # xa0 √2 & # xa0par a un 1 / √2 & # xa0b. & # Xa0

Tātad & # xa0 (√2 - 1 / √2) 2 & # xa0 vērtība ir

Tā vietā, lai reizinātu 105 ar 105, lai iegūtu vērtību (105) 2, mēs varam izmantot algebrisko formulu (a + b) 2 un viegli atrast vērtību (105) 2 & # xa0.

Uzrakstiet & # xa0 (105) 2 & # xa0 formā (a + b) 2.

Uzrakstiet paplašinājumu & # xa0 (a + b) 2.

Aizstāj a 100 un # xa0 par a un 5 & # xa0 par b. & # Xa0

(100 & # xa0 + 5) 2 & # xa0 = & # xa0 (100) 2 & # xa0 + 2 (100) (5) + (5) 2

Tātad & # xa0 (10 5) 2 & # xa0is vērtība

Tā vietā, lai reizinātu 95 ar 95, lai iegūtu (9 5) 2 vērtību, mēs varam izmantot algebrisko formulu (a - b) 2 & # xa0 un viegli atrast (95) 2 un # xa0 vērtību.

Uzrakstiet & # xa0 (95) 2 & # xa0 formā (a - b) 2.

Uzrakstiet formulu / paplašinājumu & # xa0 (a - b) 2.

Aizstāj a 100 un # xa0 par a un 5 & # xa0 par b. & # Xa0

(100 & # xa0- 5) 2 & # xa0 = & # xa0 (100) 2 & # xa0- 2 (100) (5) + (5) 2

Tātad & # xa0 (9 5) 2 & # xa0is vērtība

Pēc tam, kad būsim iepazinušies ar iepriekš sniegtajām lietām, mēs ceram, ka studenti būtu sapratuši (a + b) 2 formulu vai paplašinājumu un piemēru problēmas ar (a + b) 2 paplašināšanu. & # xa0

Izņemot šajā sadaļā sniegto informāciju, & # xa0 & # xa0, ja jums ir nepieciešama cita informācija matemātikā, lūdzu, izmantojiet mūsu Google pielāgoto meklēšanu šeit.

Ja jums ir kādas atsauksmes par mūsu matemātikas saturu, lūdzu, nosūtiet mums e-pastu: & # xa0

Mēs vienmēr novērtējam jūsu atsauksmes. & # Xa0

Varat arī apmeklēt šādas tīmekļa lapas ar dažādiem matemātikas jautājumiem. & # Xa0