# 6.4 .: Polinomu reizināšana - matemātika

Mācību mērķi

• Reiziniet polinomu ar monomālu.
• Reiziniet polinomu ar binomu.
• Reiziniet polinomu ar jebkura lieluma polinomu.
• Atpazīt un aprēķināt īpašus produktus.
• Reizināt polinoma funkcijas.

## Reizinot ar Monomial

Atsauciet eksponentiem produkta kārtulu: ja (m ) un (n ) ir pozitīvi veseli skaitļi, tad

[x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n} ]

Citiem vārdiem sakot, reizinot divus izteicienus ar vienu un to pašu bāzi, pievienojiet eksponentus. Šis noteikums ir spēkā, reizinot monomālu ar monomālu. Lai atrastu monomālu reizinājumu, reiziniet koeficientus un pievienojiet mainīgo faktoru eksponentus ar tādu pašu bāzi. Piemēram,

( begin {array} {cl} {3x cdot 5x ^ {2} = 3 cdot 5 cdot x ^ {1} cdot x ^ {2}} un { color {Cerulean} {Commutative : rekvizīts}} {= 15x ^ {1 + 2}} un { color {Cerulean} {Produkts : noteikums : priekš : eksponentiem}} {= 15x ^ {3}} un {} beigas {masīvs} )

Lai reizinātu polinomu ar monomālu, pielietojiet izplatīšanas īpašību un pēc tam vienkāršojiet katru terminu.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Reizināt:

(- 5x (4x-2) ).

Risinājums:

Šajā gadījumā reiziniet monomālu (- 5x ) ar binomu (4x − 2 ). Pielietojiet izplatīšanas rekvizītu un pēc tam vienkāršojiet.

Atbilde:

(- 20x ^ {2} + 10x )

Piemērs ( PageIndex {2} )

Reizināt:

(2x ^ {2} (3x ^ {2} −5x + 1) ).

Risinājums:

Pielietojiet izplatīšanas rekvizītu un pēc tam vienkāršojiet.

Atbilde:

(6x ^ {4} -10x ^ {3} + 2x ^ {2} )

Piemērs ( PageIndex {3} )

Reizināt:

(- 3ab ^ {2} (a ^ {2} b ^ {3} + 2a ^ {3} b − 6ab − 4) ).

Risinājums:

Atbilde:

Apkopojot, polinoma reizināšana ar monomālu ietver eksponentu sadalījuma īpašību un produkta kārtulu. Reiziniet visus polinoma nosacījumus ar monomālu. Katram vārdam reiziniet koeficientus un pievienojiet mainīgo lielumus, kur bāzes ir vienādas.

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Reizināt:

(- 5x ^ {2} y (2xy ^ {2} −3xy + 6x ^ {2} y − 1) ).

Atbilde

(- 10x ^ {3} y ^ {3} + 15x ^ {3} y ^ {2} −30x ^ {4} y ^ {2} + 5x ^ {2} y )

## Reizinot ar binonālu

Tādā pašā veidā, kā mēs izmantojām izplatīšanas īpašību, lai atrastu monomāla un binomāla produktu, mēs to izmantosim, lai atrastu divu binomālu produktu.

[ begin {aligned} color {Cerulean} {(a + b)} color {black} {(c + d)} & = color {Cerulean} {(a + b)} color { melns} { cdot c +} color {Cerulean} {(a + b)} color {black} { cdot d} & = ac + bc + ad + bd & = ac + ad + bc + bd end {izlīdzināts} ]

Šeit mēs izplatīšanas īpašību lietojam vairākas reizes, lai iegūtu gala rezultātu. Šis pats rezultāts tiek iegūts vienā solī, ja izplatīšanas īpašību (a ) un (b ) lietojam atsevišķi šādi:

To bieži sauc par FOIL metodi. Mēs pievienojam katra binomija pirmo terminu produktus (ac ), (o ) uter terminus (ad ), (i ) nner terminus (bc ) un visbeidzot pēdējos nosacījumus (bd ). Šī atmiņas ierīce darbojas tikai binomālo izstrādājumu gadījumā; tāpēc vislabāk ir tikai atcerēties, ka tiek piemērots izplatīšanas īpašums.

Piemērs ( PageIndex {4} )

Reizināt:

((2x + 3) (5x-2) ).

Risinājums:

Izplatiet (2x ) un pēc tam izplatiet (3 ).

Vienkāršojiet, apvienojot līdzīgus terminus.

(= 10x ^ {2} + 11x-6 )

Atbilde:

(10x ^ {2} + 11x-6 )

Piemērs ( PageIndex {5} )

Reizināt:

(( frac {1} {2} x− frac {1} {4}) ( frac {1} {2} x + frac {1} {4}) ).

Risinājums:

Izplatiet ( frac {1} {2} x ) un pēc tam izplatiet (- frac {1} {4} ).

( begin {aligned} ( frac {1} {2} x− frac {1} {4}) ( frac {1} {2} x + frac {1} {4}) & = krāsa {Cerulean} { frac {1} {2} x} color {black} { frac {1} {2} x +} color {Cerulean} { frac {1} {2} x} color {black } { cdot frac {1} {4} +} color {OliveGreen} { left (- frac {1} {4} right)} color {black} { cdot frac {1} { 2} x +} color {OliveGreen} { left (- frac {1} {4} right)} color {black} { cdot frac {1} {4}} & = frac { 1} {4} x ^ {2} + frac {1} {8} x- frac {1} {8} x- frac {1} {16} & = frac {1} {4 } x ^ {2} - frac {1} {16} end {aligned} )

Atbilde:

( frac {1} {4} x ^ {2} - frac {1} {16} )

Piemērs ( PageIndex {6} )

Reizināt:

((3g ^ {2} −1) (2g + 1) ).

Risinājums:

Atbilde:

(6g ^ {3} + 3g ^ {2} -2g-1 )

Pēc izplatīšanas rekvizīta piemērošanas apvienojiet visus līdzīgos terminus.

Piemērs ( PageIndex {7} )

Reizināt:

((x ^ {2} −5) (3x ^ {2} −2x + 2) ).

Risinājums:

Pēc katra trīsvienības termiņa reizināšanas ar (x ^ {2} ) un (- 5 ) vienkāršojiet.

Atbilde:

(3x ^ {4} -2x ^ {3} -13x ^ {2} + 10x-10 )

Piemērs ( PageIndex {8} )

Reizināt:

((2x − 1) ^ {3} ).

Risinājums:

Veiciet vienu produktu vienlaikus.

Atbilde:

(8x ^ {3} -12x ^ {2} + 6x-1 )

Šajā brīdī ir vērts norādīt uz izplatītu kļūdu:

((2x-1) ^ {3} neq (2x) ^ {3} - (1) ^ {3} )

Neskaidrība rodas no produkta līdz eksponentu jaudas likumam, kur mēs pieliekam spēku visiem faktoriem. Tā kā iekavās ir divi vārdi, šis noteikums nav piemērojams. Turpmākajos divos piemēros uzmanīgi jāizprot atšķirības:

( begin {izlīdzināts} (xy) ^ {2} & = x ^ {2} y ^ {2} quad color {Cerulean} { checkmark} (x + y) ^ {2} & neq x ^ {2} + y ^ {2} quad color {red} {x} end {izlīdzināts} )

Vingrinājums ( PageIndex {2} )

Reizināt:

((2x-3) (7x ^ {2} −5x + 4) ).

Atbilde

(14x ^ {3} -31x ^ {2} + 23x-12 )

## Polinomu produkts

Reizinot polinomus, mēs daudzkārt pielietojam izplatīšanas īpašību. Reiziniet visus katra polinoma terminus un pēc tam apvienojiet līdzīgus terminus.

Piemērs ( PageIndex {9} )

Reizināt:

((2x ^ {2} + x − 3) (x ^ {2} −2x + 5) ).

Risinājums:

Reiziniet katru pirmā trinomija terminu ar katra otrā trinomija terminu un pēc tam apvienojiet līdzīgus terminus.

Līdzīgu terminu pielāgošana kolonnās, kā tas ir šeit, palīdz vienkāršošanas procesā

Atbilde:

(2x ^ {4} -3x ^ {3} + 5x ^ {2} + 11x-15 )

Ievērojiet, ka reizinot trinomu ar trinomu, pirms vienkāršošanas iegūstam deviņus terminus. Faktiski, reizinot (n ) termiņa polinomu ar m termina polinomu, mēs iegūsim (n × m ) nosacījumus. Iepriekšējā piemērā mums tika lūgts pavairot un to noskaidrojām

((2x ^ {2} + x-3) (x ^ {2} -2x + 5) = 2x ^ {4} -3x ^ {3} + 5x ^ {2} + 11x-15 )

Tā kā ir viegli izdarīt nelielu aprēķina kļūdu, ir laba prakse izsekot garīgi, lai pārliecinātos, ka operācijas tika veiktas pareizi. Alternatīvi, mēs varam pārbaudīt, novērtējot jebkuru (x ) vērtību abās izteiksmēs, lai pārliecinātos, ka rezultāti ir vienādi. Šeit mēs izvēlamies (x = 2 ):

( begin {izlīdzināts} (2x ^ {2} + x-3) (x ^ {2} -2x + 5) & = (2 ( color {OliveGreen} {2} color {black} {) ^ {2} + (} color {OliveGreen} {2} color {black} {) - 3) ((} color {OliveGreen} {2} color {black} {) ^ {2} -2 (} color {OliveGreen} {2} color {black} {) + 5)} & = (8 + 2-3) (4-4 + 5) & = (7) (5) & = 35 beigas {izlīdzinātas} )

Tā kā rezultāti nejauši varētu būt vienādi, pārbaude, novērtējot, ne vienmēr pierāda, ka mēs esam pareizi reizinājuši. Tomēr, pārbaudot dažas vērtības, mēs varam būt diezgan pārliecināti, ka produkts ir pareizs.

Vingrinājums ( PageIndex {3} )

Reizināt:

((x ^ {2} −2x − 3) ^ {2} ).

Atbilde

(x ^ {4} −4x ^ {3} −2x ^ {2} + 12x + 9 )

## Īpaši produkti

Šajā sadaļā mērķis ir atpazīt dažus īpašus produktus, kas bieži rodas mūsu algebras pētījumā. Mēs izstrādāsim trīs formulas, kas būs ļoti noderīgas, pārvietojoties. Trīs būtu jāiegaumē. Mēs vispirms apsveram šādus divus aprēķinus:

( begin {masīvs} {r | r} {(a + b) ^ {2} = (a + b) (a + b)} un {(ab) ^ {2} = (ab) (ab) } {= a ^ {2} + ab + ba + b ^ {2}} un {= a ^ {2} -ab-ba + b ^ {2}} {= a ^ {2} + ab + ab + b ^ {2}} un {= a ^ {2} -ab-ab + b ^ {2}} {= a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}} un {= a ^ {2} -2ab + b ^ {2}} end {masīvs} )

Tas mūs noved pie divām formulām, kas apraksta perfektus kvadrātveida trinomus:

[(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} ]

[(a-b) ^ {2} = a ^ {2} -2ab + b ^ {2} ]

Mēs varam izmantot šīs formulas, lai ātri kvadrātveida binomu.

Piemērs ( PageIndex {10} )

Reizināt:

((3x + 5) ^ {2} ).

Risinājums:

Šeit (a = 3x ) un (b = 5 ). Pielietojiet formulu:

( begin {aligned} color {Cerulean} {(a + b) ^ {2}} & color {Cerulean} {= : : a ^ {2} : : : : + 2 : : : : : : a : : : : : b: : +: : : b ^ {2}} & color {Cerulean} { quad : : : downarrow qquad qquad : : downarrow : : : : : downarrow qquad downarrow} (3x + 5) ^ {2} & = (3x ) ^ {2} +2 cdot (3x) (5) + (5) ^ {2} & = 9x ^ {2} + 30x + 25 end {izlīdzināts} )

Atbilde:

(9x ^ {2} + 30x + 25 )

Šim procesam vajadzētu kļūt pietiekami rutīnam, lai to veiktu garīgi.

Piemērs ( PageIndex {11} )

Reizināt:

((x − 4) ^ {2} ).

Risinājums:

Šeit (a = x ) un (b = 4 ). Piemērojiet atbilstošo formulu šādi:

( begin {aligned} color {Cerulean} {(ab) ^ {2}} & color {Cerulean} {= : : a ^ {2} : : : : - 2 : : : : a : : : b : : + : b ^ {2}} & color {Cerulean} { quad : : : downarrow qquad quad : : : : downarrow : : : downarrow quad : : : downarrow} (x-4) ^ {2} & = (x) ^ {2} - 2 cdot (x) (4) + (4) ^ {2} & = x ^ {2} -8x + 16 end {izlīdzināts} )

Atbilde:

(x ^ {2} -8x + 16 )

Mūsu trešais īpašais produkts ir šāds:

( begin {izlīdzināts} (a + b) (ab) & = a ^ {2} -ab + ba-b ^ {2} & = a ^ {2} color {red} {- ab + ab} color {black} {- b ^ {2}} & = a ^ {2} -b ^ {2} end {aligned} )

Šo produktu sauc par kvadrātu starpību:

[(a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2} ]

Binomālus ((a + b) ) un ((a-b) ) sauc par konjugētajiem binomāliem. Tāpēc, reizinot konjugētos binomālus, vidējais termiņš tiek izslēgts, un pats produkts ir binomāls.

Piemērs ( PageIndex {12} )

Reizināt:

((7x + 4) (7x-4) ).

Risinājums:

Atbilde:

(49x ^ {2} -16 )

Vingrinājums ( PageIndex {4} )

Reizināt:

((- - 5x + 2) ^ {2} ).

Atbilde

(25x ^ {2} −20x + 4 )

## Polinomu funkciju reizināšana

Mēs izmantojam funkciju apzīmējumu, lai norādītu reizināšanu šādi:

Funkciju reizināšana: ((f cdot g) (x) = f (x) cdot g (x) )

Piemērs ( PageIndex {13} )

Aprēķināt:

((f⋅g) (x) ), ņemot vērā (f (x) = 5x ^ {2} ) un (g (x) = - x ^ {2} + 2x − 3 ).

Risinājums:

Reiziniet visus trīsvienības nosacījumus ar monomālo funkciju (f (x) ).

( begin {izlīdzināts} (f cdot g) (x) & = f (x) cdot g (x) & = 5x ^ {2} cdot (-x ^ {2} + 2x-3 ) & = - 5x ^ {4} + 10x ^ {3} -15x ^ {2} end {izlīdzināts} )

Atbilde:

((f cdot g) (x) = - 5x ^ {4} + 10x ^ {3} -15x ^ {2} )

Piemērs ( PageIndex {14} )

Aprēķināt:

((f⋅g) (- 1) ), ņemot vērā (f (x) = - x + 3 ) un (g (x) = 4x ^ {2} −3x + 6 ).

Risinājums:

Vispirms nosakiet ((f⋅g) (x) ).

( sākt {izlīdzināts} (f cdot g) (x) & = f (x) cdot g (x) & = (- x + 3) (4x ^ {2} -3x + 6) & = - 4x ^ {3} + 3x ^ {2} -6x + 12x ^ {2} -9x + 18 & = - 4x ^ {3} + 15x ^ {2} -15x + 18 beigas { izlīdzināts} )

Mums ir

((f cdot g) (x) = -4x ^ {3} + 15x ^ {2} -15x + 18

Pēc tam aizstājiet (- 1 ) mainīgo (x ).

( begin {aligned} (f cdot g) ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {)} & = - 4 ( color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) ^ {3} +15 (} color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) ^ {2} -15 (} color {OliveGreen} {- 1} color {black} {) +18} & = - 4 cdot (-1) +15 cdot 1 + 15 + 18 & = 4 + 15 + 15 + 18 & = 52 beigas {izlīdzinātas} )

Atbilde:

((f cdot g) (- 1) = 52 )

Tā kā ((f⋅g) (- 1) = f (−1) ⋅g (−1) ), mēs alternatīvi varētu aprēķināt (f (−1) ) un (g (−1) ) atsevišķi un pēc tam reiziniet rezultātus (izmēģiniet to kā vingrinājumu). Tomēr, ja mums tiktu lūgts novērtēt vairākas funkcijas ((f⋅g) (x) ) vērtības, vislabāk būtu vispirms noteikt vispārējo formu, kā tas ir iepriekšējā piemērā.

## Key Takeaways

• Lai reizinātu polinomu ar monomālu, pielietojiet izplatīšanas īpašību un pēc tam vienkāršojiet katru no šiem nosacījumiem.
• Lai reizinātu polinomus, reiziniet katru terminu pirmajā polinomā ar katru otro polinoma terminu. Tad apvienojiet līdzīgus terminus.
• (N ) - termina polinoma un (m ) - termiņa polinoma reizinājums rada (m × n ) termiņa polinomu, pirms tiek apvienoti līdzīgi termini.
• Pārbaudiet rezultātus, novērtējot vērtības sākotnējā izteiksmē un atbildē, lai pārliecinātos, ka rezultāti ir vienādi.
• Izmantojiet īpašo produktu formulas, lai ātri reizinātu binomus, kas bieži sastopami algebrā.

Exercise ( PageIndex {5} ) monomona un polinoma produkts

Pavairot.

1. (5x (−3x ^ {2} y) )
2. ((- 2x ^ {3} y ^ {2}) (- 3xy ^ {4}) )
3. ( frac {1} {2} (4x-3) )
4. (- frac {3} {4} ( frac {2} {3} x − 6) )
5. (3x (5x-2) )
6. (- 4x (2x-1) )
7. (x ^ {2} (3x + 2) )
8. (- 6x ^ {2} (5x + 3) )
9. (2ab (4a – 2b) )
10. (5a ^ {2} b (a ^ {2} −b ^ {2}) )
11. (6x ^ {2} y ^ {3} (- 3x ^ {3} y + xy ^ {2}) )
12. (3ab ^ {3} (- 5ab ^ {3} + 6a ^ {2} b) )
13. (- frac {1} {2} x ^ {2} y (4xy-10) )
14. (- 3x ^ {4} y ^ {2} (3x ^ {8} y ^ {3}) )
15. (2x ^ {2} (- 5x ^ {3}) (3x ^ {4}) )
16. (4ab (a ^ {2} b ^ {3} c) (a ^ {4} b ^ {2} c ^ {4}) )
17. (- 2 (5x ^ {2} −3x + 4) )
18. ( frac {4} {5} (25x ^ {2} −50xy + 5y ^ {2}) )
19. (3x (5x ^ {2} −2x + 3) )
20. (- x (x ^ {2} + x − 1) )
21. (x ^ {2} (3x ^ {2} −5x − 7) )
22. (x ^ {3} (- 4x ^ {2} −7x + 9) )
23. ( frac {1} {4} x ^ {4} (8x ^ {3} −2x ^ {2} + frac {1} {2} x − 5) )
24. (- frac {1} {3} x ^ {3} ( frac {3} {2} x ^ {5} - frac {2} {3} x ^ {3} + frac {9} {2} x − 1) )
25. (a ^ {2} b (a ^ {2} −3ab + b ^ {2}) )
26. (6a ^ {2} bc ^ {3} (2a – 3b + c ^ {2}) )
27. ( frac {2} {3} xy ^ {2} (9x ^ {3} y-27xy + 3xy ^ {3}) )
28. (- 3x ^ {2} y ^ {2} (12x ^ {2} −10xy − 6y ^ {2}) )
29. Atrodiet (3x ) un (2x ^ {2} −3x + 5 ) reizinājumu.
30. Atrodiet (- 8y ) un (y ^ {2} −2y + 12 ) reizinājumu.
31. Atrodiet (- 4x ) un (x ^ {4} −3x ^ {3} + 2x ^ {2} −7x + 8 ) reizinājumu.
32. Atrodiet (3xy ^ {2} ) un (- 2x ^ {2} y + 4xy-xy ^ {2} ) reizinājumu.
Atbilde

1. (- 15x ^ {3} y )

3. (2x− frac {3} {2} )

5. (15x ^ {2} −6x )

7. (3x ^ {3} + 2x ^ {2} )

9. (8a ^ {2} b − 4ab ^ {2} )

11. (- 18x ^ {5} y ^ {4} + 6x ^ {3} y ^ {5} )

13. (- 2x ^ {3} y ^ {2} + 5x ^ {2} y )

15. (- 30x ^ {9} )

17. (- 10x ^ {2} + 6x − 8 )

19. (15x ^ {3} −6x ^ {2} + 9x )

21. (3x ^ {4} −5x ^ {3} −7x ^ {2} )

23. (2x ^ {7} - frac {1} {2} x ^ {6} + frac {1} {8} x ^ {5} - frac {5} {4} x ^ {4 } )

25. (a ^ {4} b − 3a ^ {3} b ^ {2} + a ^ {2} b ^ {3} )

27. (6x ^ {4} y ^ {3} −18x ^ {2} y ^ {3} + 2x ^ {2} y ^ {5} )

29. (6x ^ {3} −9x ^ {2} + 15x )

31. (- 4x ^ {5} + 12x ^ {4} −8x ^ {3} + 28x ^ {2} −32x )

Exercise ( PageIndex {6} ) binomāla un polinoma produkts

Pavairot.

1. ((3x − 2) (x + 4) )
2. ((x + 2) (x − 3) )
3. ((x − 1) (x + 1) )
4. ((3x-1) (3x + 1) )
5. ((2x-5) (x + 3) )
6. ((5x − 2) (3x + 4) )
7. ((- - 3x + 1) (x − 1) )
8. ((x + 5) (- x + 1) )
9. ((y− frac {2} {3}) (y + frac {2} {3}) )
10. (( frac {1} {2} x + frac {1} {3}) ( frac {3} {2} x− frac {2} {3}) )
11. (( frac {3} {4} x + frac {1} {5}) ( frac {1} {4} x + frac {2} {5}) )
12. (( frac {1} {5} x + frac {3} {10}) ( frac {3} {5} x− frac {5} {2}) )
13. ((y ^ {2} −2) (y + 2) )
14. ((y ^ {3} −1) (y ^ {2} +2) )
15. ((a ^ {2} −b ^ {2}) (a ^ {2} + b ^ {2}) )
16. ((a ^ {2} −3b) ^ {2} )
17. ((x − 5) (2x ^ {2} + 3x + 4) )
18. ((3x − 1) (x ^ {2} −4x + 7) )
19. ((2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9) )
20. ((5x + 1) (25x ^ {2} −5x + 1) )
21. ((x− frac {1} {2}) (3x ^ {2} + 4x-1) )
22. (( frac {1} {3} x− frac {1} {4}) (3x ^ {2} + 9x-3) )
23. ((x + 3) ^ {3} )
24. ((x − 2) ^ {3} )
25. ((3x − 1) ^ {3} )
26. ((2x + y) ^ {3} )
27. ((5x − 2) (2x ^ {3} −4x ^ {2} + 3x − 2) )
28. ((x ^ {2} −2) (x ^ {3} −2x ^ {2} + x + 1) )
Atbilde

1. (3x ^ {2} + 10x-8 )

3. (x ^ {2} −1 )

5. (2x ^ {2} + x − 15 )

7. (- 3x ^ {2} + 4x-1 )

9. (y ^ {2} - frac {4} {9} )

11. ( frac {3} {16} x ^ {2} + frac {7} {20} x + frac {2} {25} )

13. (y ^ {3} + 2g ^ {2} −2g −4 )

15. (a ^ {4} −b ^ {4} )

17. (2x ^ {3} −7x ^ {2} −11x − 20 )

19. (8x ^ {3} −27 )

21. (3x ^ {3} + frac {5} {2} x ^ {2} −3x + 12 )

23. (x ^ {3} + 9x ^ {2} + 27x + 27 )

25. (27x ^ {3} −27x ^ {2} + 9x − 1 )

27. (10x ^ {4} −24x ^ {3} + 23x ^ {2} −16x + 4 )

Exercise ( PageIndex {7} ) Polinomu produkts

Pavairot.

1. ((x ^ {2} −x + 1) (x ^ {2} + 2x + 1) )
2. ((3x ^ {2} −2x − 1) (2x ^ {2} + 3x − 4) )
3. ((2x ^ {2} −3x + 5) (x ^ {2} + 5x − 1) )
4. ((a + b + c) (a − b − c) )
5. ((a + 2b − c) ^ {2} )
6. ((x + y + z) ^ {2} )
7. ((x − 3) ^ {4} )
8. ((x + y) ^ {4} )
9. Atrodiet taisnstūrveida cietās daļas tilpumu ar malām, kuru mērvienības ir (x, x + 2 ) un (x + 4 ).
10. Atrodiet kuba tilpumu, kur katra puse mēra (x − 5 ) vienības.
Atbilde

1. (x ^ {4} + x ^ {3} + x + 1 )

3. (2x ^ {4} + 7x ^ {3} −12x ^ {2} + 28x − 5 )

5. (a ^ {2} + 4ab − 2ac + 4b ^ {2} −4bc + c ^ {2} )

7. (x ^ {4} −12x ^ {3} + 54x ^ {2} −108x + 81 )

9. (x ^ {3} + 6x ^ {2} + 8x )

Exercise ( PageIndex {8} ) Īpašie produkti

Pavairot.

1. ((x + 2) ^ {2} )
2. ((x − 3) ^ {2} )
3. ((2x + 5) ^ {2} )
4. ((3x-7) ^ {2} )
5. ((- - x + 2) ^ {2} )
6. ((- - 9x + 1) ^ {2} )
7. ((a + 6) ^ {2} )
8. ((2a – 3b) ^ {2} )
9. (( frac {2} {3} x + frac {3} {4}) ^ {2} )
10. (( frac {1} {2} x− frac {3} {5}) ^ {2} )
11. ((x ^ {2} +2) ^ {2} )
12. ((x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} )
13. ((x + 4) (x − 4) )
14. ((2x + 1) (2x-1) )
15. ((5x + 3) (5x-3) )
16. (( frac {1} {5} x− frac {1} {3}) ( frac {1} {5} x + frac {1} {3}) )
17. (( frac {3} {2} x + frac {2} {5}) ( frac {3} {2} x− frac {2} {5}) )
18. ((2x-3g) (2x + 3g) )
19. ((4x-y) (4x + y) )
20. ((a ^ {3} −b ^ {3}) (a ^ {3} + b ^ {3}) )
21. Kaste tiek izgatavota, izgriežot stūrus un saliekot kvadrātveida kartona gabala malas. Tiek dota veidne kartona kastei, kuras augstums ir (2 ) collas. Atrodiet formulu tilpumam, ja sākotnējais kartona gabals ir kvadrāts ar malām, kuru izmērs ir (x ) collas.

Attēls ( PageIndex {5} )
22. Tiek dota kartona kastes veidne, kuras augstums ir (x ) collas. Atrodiet formulu tilpumam, ja sākotnējais kartona gabals ir kvadrāts, kura malas ir (12 ) collas.

Attēls ( PageIndex {6} )
Atbilde

1. (x ^ {2} + 4x + 4 )

3. (4x ^ {2} + 20x + 25 )

5. (x ^ {2} −4x + 4 )

7. (a ^ {2} + 12a + 36 )

9. ( frac {4} {9} x ^ {2} + x + frac {9} {16} )

11. (x ^ {4} + 4x ^ {2} +4 )

13. (x ^ {2} −16 )

15. (25x ^ {2} −9 )

17. ( frac {9} {4} x ^ {2} - frac {4} {25} )

19. (16x ^ {2} −y ^ {2} )

21. (V = 2x ^ {2} −16x + 32 ) kubikcollas

Vingrinājums ( PageIndex {9} ) Polinomu funkciju reizināšana

Katrai problēmai aprēķiniet ((f⋅g) (x) ), ņemot vērā funkcijas.

1. (f (x) = 8x ) un (g (x) = 3x-5 )
2. (f (x) = x ^ {2} ) un (g (x) = - 5x + 1 )
3. (f (x) = x − 7 ) un (g (x) = 6x − 1 )
4. (f (x) = 5x + 3 ) un (g (x) = x ^ {2} + 2x-3 )
5. (f (x) = x ^ {2} + 6x-3 ) un (g (x) = 2x ^ {2} −3x + 5 )
6. (f (x) = 3x ^ {2} −x + 1 ) un (g (x) = - x ^ {2} + 2x − 1 )
Atbilde

1. ((f⋅g) (x) = 24x ^ {2} −40x )

3. ((f⋅g) (x) = 6x ^ {2} −43x + 7 )

5. ((f⋅g) (x) = 2x ^ {4} + 9x ^ {3} −19x ^ {2} + 39x − 15 )

Vingrinājums ( PageIndex {10} ) Polinomu funkciju reizināšana

Ņemot vērā (f (x) = 2x-3 ) un (g (x) = 3x-1 ), atrodiet šo

1. ((f⋅g) (x) )
2. ((g⋅f) (x) )
3. ((f⋅g) (0) )
4. ((f⋅g) (- 1) )
5. ((f⋅g) (1) )
6. ((f⋅g) ( frac {1} {2}) )
Atbilde

1. ((f⋅g) (x) = 6x ^ {2} −11x + 3 )

3. ((f⋅g) (0) = 3 )

5. ((f⋅g) (1) = - 2 )

Vingrinājums ( PageIndex {11} ) Polinomu funkciju reizināšana

Ņemot vērā (f (x) = 5x-1 ) un (g (x) = 2x ^ {2} −4x + 5 ), atrodiet šo.

1. ((f⋅g) (x) )
2. ((g⋅f) (x) )
3. ((f⋅g) (0) )
4. ((f⋅g) (- 1) )
5. ((f⋅g) (1) )
6. ((f⋅g) ( frac {1} {2}) )
7. ((f⋅f) (x) )
8. ((g⋅g) (x) )
Atbilde

1. ((f⋅g) (x) = 10x ^ {3} −22x ^ {2} + 29x − 5 )

3. ((f⋅g) (0) = - 5 )

5. ((f⋅g) (1) = 12 )

7. ((f⋅f) (x) = 25x ^ {2} −10x + 1 )

Exercise ( PageIndex {12} ) Diskusiju paneļa tēmas

1. Paskaidrojiet, kāpēc ((x + y) ^ {2} neq x ^ {2} + y {2} ).
2. Paskaidrojiet, kā ātri reizināt binomu ar tā konjugātu. Sniedziet piemēru.
3. Kādas ir mnemotehnikas ierīces FOIL izmantošanas priekšrocības un trūkumi?
Atbilde

1. Atbildes var atšķirties

3. Atbildes var atšķirties

## ORCCA atklātie resursi Kopienas koledžas algebrai

Iepriekš mēs esam iemācījušies pavairot monomālus 6.1. Sadaļā (piemēram, ((4xy) left (3x ^ 2 right) )) un 6.3. Sadaļā pievienot un atņemt polinomus (piemēram, ((4x ^ 2- 3x) ​​+ (5x ^ 2 + x-2) )). Šajā sadaļā mēs uzzināsim, kā pavairot polinomus.

6.4.1. Attēls Alternatīva video mācība

Avery pieder vietējā organisko ievārījumu kompānija, kas pašlaik mēnesī pārdod apmēram (1500 ) burkas par cenu ( $13 ) par burku. Eiverija ir atklājusi, ka katru reizi, kad viņi paaugstina cenu par (25 ) centiem burkas, viņi katru mēnesi pārdos par (50 ) mazāk ievārījuma burku. Parasti šī uzņēmuma ieņēmumus var aprēķināt, reizinot izmaksas par burku ar kopējo pārdoto ievārījuma burku skaitu. Ja mēs ļausim (x ) apzīmēt (25 ) - centu cenas pieaugumu skaitu, tad cena par burku būs pašreizējā cena trīspadsmit dolāri par burku plus (x ) reizes (0,25 ) ) dolāri / burka vai (13 + 0,25x teksts <.> ) Turpinot ar (x ), kas apzīmē (25 ) - centu cenas pieaugumu skaitu, mēs zinām, ka uzņēmums katru reizi, kad cena pieaugs par (25 ) centiem, pārdos par (50 ) mazāk burciņu. Burku skaits, ko uzņēmums pārdos, būs (1500 ), ko viņi pašlaik pārdod katru mēnesi, mīnus (50 ) burkas reizes (x text <,> ) cenu pieaugumu skaits. Tas dod mums izteicienu (1500-50x ), lai parādītu, cik daudz burku uzņēmums pārdos pēc (x ) (25 ) centu cenu pieauguma. Apvienojot to, tagad mēs varam uzrakstīt formulu savam ieņēmumu modelim: Lai vienkāršotu izteicienu ( left (13 + 0,25x right) left (1500-50x right) text <,> ), mums reizināt (13 + 0,25x ) ar (1500 -50x text <.> ) Šajā sadaļā mēs uzzināsim, kā pavairot šīs divas izteiksmes, kurām katrai ir vairāki vārdi. ### 6.4.1. Apakšiedaļa Izplatīšanas īpašuma pārskatīšana Pirmais solis gandrīz katrā polinoma reizināšanas vingrinājumā būs izplatīšanas solis. Ātri pārskatīsim izplatīšanas īpašību no 2.10. Sadaļas, kurā teikts, ka (a (b + c) = ab + ac ) kur (a, b text <,> ) un (c ) ir reāli skaitļi vai mainīgas izteiksmes. Reizinot monomālu ar binomu, mēs pielietojam šo īpašību, sadalot monomālu katram binomālā esošajam terminam. Piemēram, Vizuāla pieeja izplatīšanas īpašumam ir uzskatīt produktu par taisnstūra laukuma atrašanu. Šādi taisnstūri tiek saukti par, un tos var izmantot, lai modelētu polinomu reizināšanu. Lielais taisnstūris sastāv no diviem mazākiem taisnstūriem. Lielā taisnstūra laukums ir (2x (3x + 4) text <,> ), un šo divu mazāku taisnstūru summa ir (2x cdot3x + 2x cdot4 text <.> ). Tā kā šo divu mazāku taisnstūru laukumi ir tādi paši kā lielāka taisnstūra laukumi, mums ir: Sadales īpašuma vizualizēšanai bieži izmanto vispārīgus taisnstūrus. Monomāla reizināšana ar polinomu ietver divus posmus: sadalījumu un monomālo reizināšanu. Vienkāršojot, mums jāpaļaujas arī uz eksponentu 6.1.15. Noteikumiem. ###### 6.4.4. Kontrolpunkts ###### 6.4.5. Kontrolpunkts ###### 6.4.6. Kontrolpunkts ###### Piezīme 6.4.7 Mēs varam izmantot izplatīšanas īpašību, reizinot to pa kreisi vai pa labi. Tas nozīmē, ka mēs varam norādīt (a (b + c) = ab + ac text <,> ) vai ka ((b + c) a = ba + ca text <,> ), kas ir līdzvērtīgs (ab + ac text <.> ) Piemēram, ### 6.4.2. Apakšiedaļa Binomālu pavairošanas pieejas ##### Binomālu pavairošana, izmantojot izplatīšanu Neatkarīgi no tā, vai mēs reizinām monomālu ar polinomu vai diviem lielākiem polinomiem kopā, pirmais reizināšanas veikšanas solis ir izplatīšanas solis. Mēs sāksim ar binomu pavairošanu un pēc tam pāriet uz darbu ar lielākiem polinomiem. Mēs zinām, ka mēs varam izplatīt (3 ) ((x + 2) 3 ), lai iegūtu ((x + 2) multiplyright <3> = x multiplyright <3> +2 multiplyright <3> text <.> ) Mēs faktiski varam izplatīt jebko starp ((x + 2) text <.> ) Piemēram: Paturot to prātā, mēs varam sākt reizināt ((x + 2) (x + 3) ), sadalot ((x + 3) ) pa ((x + 2) tekstu <:> ) Lai pabeigtu reizināšanu, mēs turpināsim izplatīt vēlreiz, bet šoreiz ((x + 3) text <:> ) Lai reizinātu binomu ar citu binomu, mums vienkārši vajadzēja atkārtot izplatīšanas darbību un vienkāršot iegūtos terminus. Faktiski, reizinot jebkurus divus polinomus, paļaujas uz šīm pašām darbībām. ##### Binomālu pavairošana, izmantojot FOIL Lai gan reizinot divus binomālus, ir nepieciešami divi izplatīšanas rekvizītu pielietojumi, cilvēki bieži atceras šo izplatīšanas procesu, izmantojot mnemotehniku. FOIL attiecas uz terminu pāriem no katra binoma, kas galu galā tiek sadalīti viens otram. Ja vēlreiz aplūkosim tikko pabeigto piemēru, ((x + 2) (x + 3) text <,> ) mēs varam izcelt FOIL procesa darbību. FOIL ir saīsinājums vārdam "First, Outer, Inner, Last". Termins (x ^ 2 ) bija rezultāts no produkta vispirms termini no katra binomāla. (3x ) bija produkta rezultāts ārējā termini no katra binomāla. Tas bija no (x ) pirmā binomija priekšpusē un (3 ) otrā binomāla aizmugurē. (2x ) bija produkta rezultāts iekšējais termini no katra binomāla. Tas bija no (2 ) pirmā binoma aizmugurē un (x ) otrā binomāla priekšpusē. Nemainīgais termins (6 ) bija rezultāts no produkta Pēdējais katra binomāla termini. ##### Binomālu pavairošana, izmantojot vispārīgus taisnstūrus Arī šim pašam piemēram mēs varam vērsties, izmantojot vispārīgā taisnstūra metodi. Lai izmantotu vispārīgus taisnstūrus, mēs uzskatām (x + 2 ) par taisnstūra pamatu un (x + 3 ) kā augstumu. Viņu reizinājums ((x + 2) (x + 3) text <,> ) apzīmē taisnstūra laukumu. Nākamajā diagrammā parādīts, kā iestatīt vispārīgus taisnstūrus, lai reizinātu ((x + 2) (x + 3) text <.> ) Lielais taisnstūris sastāv no četriem mazākiem taisnstūriem. Katru nelielu taisnstūra laukumu mēs atradīsim nākamajā diagrammā pēc formulas ( text= teksts cdot teksts teksts <.> ) Lai pabeigtu šī produkta atrašanu, mums jāpievieno četru mazāku taisnstūru laukumi: Ievērojiet, ka četru mazāku taisnstūru laukumi ir tieši tādi paši kā četri termini, kurus mēs ieguvām, izmantojot izplatīšanu, kas arī ir tie paši četri termini, kas nāk no FOIL metodes. Gan FOIL metode, gan vispārējo taisnstūru pieeja ir dažādi veidi, kā attēlot notiekošo sadalījumu. ###### 6.4.11. Piemērs Reiziniet ((2x-3y) (4x-5y) ), izmantojot izplatīšanu. Lai izplatīšanas rekvizītu izmantotu šo divu binomālu reizināšanai, vispirms otro binomu izdalīsim pa ((2x-3y) text <.> ). Pēc tam mēs atkal izplatīsim un vienkāršosim iegūtos terminus. ###### 6.4.12. Piemērs Pirmkārt, Ārējais, Iekšējais, Pēdējais: vai nu ar bultiņām uz papīra, vai garīgi galvā, mēs sapārosim četrus monomālu pārus un reizināsim šos pārus kopā. ###### 6.4.13. Piemērs Reiziniet ((2x-3y) (4x-5y) ), izmantojot vispārīgus taisnstūrus. Mēs sākam ar četru taisnstūru zīmēšanu un to pamatu un augstuma atzīmēšanu ar terminiem dotajos binomālos: Pēc tam mēs aprēķinām katra taisnstūra laukumu, reizinot tā pamatu ar tā augstumu: Visbeidzot, lai atrastu produktu, mēs sasummējam visu taisnstūru laukumu: ### Apakšnodaļa 6.4.3. Citi binomālu reizināšanas piemēri Reizinot binomus, visām 6.4.2. Apakšiedaļā parādītajām pieejām būs vienāds rezultāts. FOIL metode ir vistiešākā un tiks izmantota turpmākajos piemēros. ###### 6.4.16. Kontrolpunkts ###### 6.4.17. Kontrolpunkts ###### 6.4.18. Piemērs Reiziniet un vienkāršojiet Avery ievārījuma uzņēmuma ieņēmumu formulu (R ) (dolāros) no 6.4.2 piemēra, kur (R = (13 + 0,25x) (1500-50x) ) un (x ) ir 25 centu cenu pieaugums līdz ievārījuma burkas pārdošanas cenai. Lai to reizinātu, mēs izmantosim FOIL: ###### 6.4.19. Piemērs Tyrone ir mākslinieks, un viņš pārdod katru savu gleznu par ($ 200 text <.> ). Pašlaik viņš gadā var pārdot (100 ) gleznas. Tādējādi viņa gada ienākumi no gleznām ir (200 cdot100 = 20000 ) dolāri. Viņš plāno paaugstināt cenu. Tomēr par katru $(20 ) cenu pieaugumu par vienu gleznu viņa klienti katru gadu nopirktu (5 ) mazāk gleznu. Pieņemsim, ka Tyrone paaugstinās savu gleznu cenu (x ) reizes, katru reizi par$ (20 text <.> ). Izmantojiet izvērstu polinomu, lai attēlotu viņa jaunos ienākumus gadā.

Pašlaik katra glezna maksā $(200 text <.> ) Pēc cenas paaugstināšanas (x ) reizes, katru reizi par$ (20 text <,> ) katras gleznas jaunā cena būtu (200 + 20x ) dolāru.

Pašlaik Tyrone gadā pārdod (100 ) gleznas. Paaugstinājis cenu (x ) reizes, katru reizi pārdodot (5 ) mazāk gleznu, viņš pārdotu (100-5x ) gleznas gadā.

Viņa gada ienākumus var aprēķināt, reizinot katras gleznas cenu ar pārdoto gleznu skaitu:

Pēc cenas paaugstināšanas (x ) reizes, katru reizi par $(20 text <,> ) Tyrone gada ienākumi no gleznām būtu (- 100x ^ 2 + 1000x + 20000 ) dolāri. ### 6.4.4. Apakšnodaļa Polinomu, kas lielāki par binomāliem, reizināšana Jebkura polinoma pāra reizināšanas pamats ir sadalījums un monomālā reizināšana. Neatkarīgi no tā, vai mēs strādājam ar binomāliem, trinomāliem vai lielākiem polinomiem, process būtībā ir vienāds. ###### 6.4.20. Piemērs Reizināt ( left (x + 5 right) left (x ^ 2-4x + 6 right) text <.> ) Mēs varam pieiet šim produktam, izmantojot jebkurus izplatīšanas taisnstūrus. Mēs nevaram tieši izmantot FOIL metodi, lai gan var būt noderīgi vilkt bultiņas sešiem produktu pāriem, kas notiks. Izmantojot izplatīšanas rekvizītu, mēs vispirms sadalām pa ( left (x ^ 2-4x + 6 right) text <,> ) veicam otro izplatīšanas soli un pēc tam apvienojam līdzīgus terminus. Ar monomālās reizināšanas pamatu un izpratni par izplatīšanas piemērošanu šajā kontekstā mēs varam atrast jebkuru divu polinomu reizinājumu. ## 6.4 .: Polinomu reizināšana - matemātika Reizinot polinomus, tika izgudrots 15 '' gadsimtā pirms tam, vienādojumi tika izrakstīti ar vārdiem. Renē Dekarts ir viens no cilvēkiem, kurš ieviesa polinoma vienādojumu grafika jēdzienu La ģeometriskajā 1637. gadā. Polinomi ir vissvarīgākie algebras, kā arī matemātikas un zinātnes jēdzieni. Matemātikā polinoms ir izteiksmes konstrukcija no mainīgajiem, kas pazīstami arī kā nenoteikti un konstantes, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un nemainīgo veselu skaitļu eksponentu darbības. Precīza atrašanās vieta nav zināma, lai gan senā polinoma forma tika atklāta Ķīnas ap 200. gadu p.m.ē. Mūsdienu polinoma formā pirmo reizi domāja Mišels Stifels 1544. gadā ar Hilbook Arithomatica Integra, latīņu valodā nozīmē “Integral Arithmatic”. Tad 1557. gadā bija Roberts Rekords ar “The Whetstone of Witte”. Tad, iespējams, atnāca slavenākais Renē Dekarts ar grāmatu “La Geometrie” 1637. gadā. Visi šie cilvēki apgalvoja, ka ir atraduši polinomu spēku, taču joprojām ir noslēpums. Atrastais pamata polinomu saraksts bija saskaitīšanas, atņemšanas un burtu izmantošanas simboli nezināmiem skaitļiem. Polinomi ir viens no vissvarīgākajiem jēdzieniem algebrā, kā arī visā matemātikā un zinātnē. Tos izmanto, lai izveidotu polinomu vienādojumus, kas kodē plašu problēmu loku, sākot no elementārām vārdu problēmām līdz sarežģītām problēmām zinātnēs, kuras tiek izmantotas polinomu funkciju definēšanai, kas parādās iestatījumos, sākot no pamata ķīmijas un fizikas līdz ekonomikai, un tiek izmantoti aprēķinā un skaitliskajā analīzē, lai tuvinātu citas funkcijas. Polinomus izmanto polinomu gredzenu konstruēšanai, kas ir viens no spēcīgākajiem algebras un algebriskās ģeometrijas jēdzieniem. Kādu pamatīpašību jūs atkārtojat, reizinot divus polinomus? Ļaujiet V =. Citiem vārdiem sakot, V ir visu 2. vai mazāk pakāpju polinomu kopa, lai to integrālis no 0-1 būtu vienāds ar 1. a) Parādiet, ka divu V polinomu summa nav V b) Parādiet, ka afinīns kombinācija Ļaujiet V =. Citiem vārdiem sakot, V ir visu 2. vai mazāk pakāpju polinomu kopa, lai to integrālis no 0-1 būtu vienāds ar 1. a) Parādiet, ka divu V polinomu summa nav V. B) Parādiet, ka afinīns kombinācija Šis ir jautājums, kas man tika dots, lai atbildētu: Kā polinoma dalīšana ar binomu ir līdzīga vai atšķirīga no garās dalīšanas, kuru mācījāties pamatskolā? Vai izpratne par to, kā veikt viena veida dalīšanu, var palīdzēt saprast otru ## Polinomu reizināšana - jēdziens Karls pasniedza augstākā līmeņa matemātiku vairākās skolās un šobrīd vada savu korporācijas uzņēmumu. Viņš der, ka neviens nespēj pārspēt viņa mīlestību pret intensīvām brīvdabas aktivitātēm! Polinomu reizināšanai ir dažādas metodes. Viena no metodēm ir apgabala modeļa izmantošana, bet vēl viens veids, kā reizināt polinomus, nevelkot diagrammas, ir polinomu pavairošana, izmantojot sadalījumu. Lai saprastu reizinot polinomus, mums ir nepieciešamas zināšanas par monomālu un binomu reizināšanu un jāzina eksponentu reizināšanas likumi. Reizinot polinomus, un būtībā tas, ko mēs darām, reizinot polinomus, paplašina terminu līdz spēkam vai pat dažreiz tikai terminam reizē ar terminu. Jūs zināt, ka tad, kad jums ir x mīnus 3 kvadrātā, tas, ko jūs patiesībā darāt, ir x mīnus 3 reizes x mīnus 3. Un vārds, ko es esmu pārliecināts, ka jūs kādā brīdī matemātikas karjerā esat dzirdējis, ir FOIL, pirmais, ārējais, iekšējais, pēdējais un tas ir lieliski, piemēram, princips, kas nosaka notiekošo, bet tas, ko es vēlos darīt, ir tikai nedaudz vairāk sadalīt. Un būtībā parādiet, ka tas, ko jūs patiešām darāt, ir katra termina ņemšana jūsu pirmajā polinomā, šajā gadījumā tas ir binomāls, jo tur ir 2 termini un reizinot to ar katru citu vārdu arī citā. Tātad, ko jūs patiešām darāt, ir x reizes 3 un x reizes x, un jūs arī ņemat negatīvo 3 reizes x un negatīvo 3 reizes negatīvo 3, kā arī. Tātad jūs patiešām ņemat šo x un reiziniet to ar visu šeit esošo un šo terminu šeit, reizinot to arī ar visu. Tagad jums ir darīšana ar binomāliem, kad jūs nodarbojaties ar kaut ko ar 2 terminiem, folija darbojas labi, bet, ejot uz priekšu, un jums ne vienmēr būs darīšana tikai ar 2 un 2, FOIL vārds, kuru tas neizdevās turēt, bet princips joprojām būs. Labi, ļaujiet mums to pabeigt, mums ir x reizes x, kas vienkārši būs x kvadrātā, negatīvs 3 reizes x, negatīvs 3 reizes x un negatīvs 3 reizes negatīvs 3, apvienojot līdzīgus terminus, ar kuriem mēs patiesībā nonākam, tad ir x kvadrātā mīnus 6x + 9. Tātad polinoma paplašināšana līdz 2 reizes polinoma [IB] problēmai ir tikai binoma paplašināšana, kaut kas ar 2 terminiem. FOIL ir vārds, kuru jūs zināt, bet atcerieties, ka FOIL faktiski tikai iestājas par principu ņemt katru terminu vienā polinomā un reizināt to ar katru otro terminu un otru. ## 6.4. Polinomu reizināšana - matemātika Polinoms ir algebriska izteiksme, kas sastāv no mainīgā un koeficienta. Mainīgo dažkārt sauc arī par nenoteiktu. We can perform any of the operations using polynomials whether it be multiplication, division, subtraction, or addition. In this article, we are going to learn how to multiply polynomials. ### Multiplying Monomial by a Monomial In mathematic, a monomial is an expression in algebra that contains only one variable, it can be a number, whole number, and a variable that multiplies together like 2x, 4mn, etc. Now, we will learn how to multiply a monomial by a monomial: Multiplying two monomials: Similarly, 3 × (10m) = 10m +10m +10m = 30 m i) m × 10n 2 = m × 10 × n × n = 10mn 2 ii) 20t × 3n = 20 × t × 3 × n = 60tn iii) 100q × (-8qzr) = 100 × q × (-8) × q × z × r= -800q 2 zr As we can see from these examples that the coefficient of product is equal to the product of coefficients of the first and second monomial. Multiplying three or more monomials: To find the product of three or more monomials, we can first multiply any two monomials and then multiply this product with the remaining monomials. We can extend this method to find the product of any number of monomials. Question 1. Evaluate 100pq × 4qr × 8pr Given: 100pq × 4qr × 8pr So, we shall first multiply 100 pq and 4qr = 400pq 2 r Now multiply this product with 8pr Final product is 400pq 2 r × 8pr = 3200p 2 q 2 r 2 We can obtain the same solution by first multiplying the coefficients 100 × 4 × 8 = 3200 The product of algebraic coefficients is pq × qr × pr = p 2 q 2 r 2 So, the final product is 3200p 2 q 2 r 2 Question 2. Find 5pqr × 10 rst Multiply the coefficients 5 × 10 =50 Multiply the algebraic coefficients = pqr × rst = pqr 2 st So, Product = 50pqr 2 st The result of multiplication doesn’t depend on the order in which multiplication is carried out. ### Multiplying Monomial by a Polynomial We are allowed to multiply a monomial by a polynomial using the following steps: 1. darbība: Arrange the monomial and polynomial in a line. 2. darbība: Now use distributed law to separate them. 3. solis: After separation multiply the first term with the second term 4. solis: simplifies the result(if needed). Question 1. Multiply 20m × (10n + 3). Given: 20m x (10n + 3) Using the distributive laws, = (20m × 10n) + (20m × 3) = 200mn + 60m Question 2. Find the product 19p × (2q + 3z + 5pq) Given: 19p × (2q + 3z + 5pq) Using the distributive law, = (19p × 2q) + (19p × 3z) + (19p × 5pq) = 38pq + 57pz + 95p 2 q ### Multiplying Polynomial We are allowed to multiply one polynomial with another polynomial using the following steps: 1. darbība: Arrange the polynomials in a line. 2. darbība: Now use distributed law to separate them. 3. solis: After separation multiply the first term with the second term 4. solis: simplifies the result(if needed). Using these steps you can multiply multiple polynomials with each other. And when the two polynomial multiplies then the degree of the resulting polynomial is always higher. Question 1. Multiply (2x – 4y) and (3x – 5y). Given: (2x – 4y) × (3x – 5y) Using the distributive laws, [2x × (3x – 5y)] – [4y × (3x – 5y)] [6x 2 – 10xy] – [12xy – 20y 2 ] 6x 2 – 10xy – 12xy – 20y 2 6x 2 – 20y 2 – 22xy Question 2. Multiply (2x + 4y) and (2x + y). Given: (2x + 4y) × (2x + y) Using the distributive laws, [2x × (2x + y)] + [4y × (2x + y)] [4x 2 + 2xy] + [8xy + 4y 2 ] 4x 2 + 2xy + 8xy + 4y 2 4x 2 + 4y 2 + 10xy Question 3. Find the value of 3m (4m – 5) + 4 when m = 1 Given: 3m (4m – 5) + 4, m = 1 3m(4m – 5) = 12m 2 – 15m So, 3m (4m – 5) + 4 = 12m 2 – 15m + 4 Now put the value m = 1 = 12(1) 2 – 15 (1) + 4 = 12 – 15 + 4 = 1 Types of polynomial multiplication: There are two types of polynomial multiplication are available: 1. Multiplying binomial by a binomial We are allowed to multiply one binomial with another binomial using the following steps: 1. darbība: Arrange the binomials in a line. 2. darbība: Now use distributed law to separate them. 3. solis: After separation multiply the first term with the second term 4. solis: Combine similar terms(if available). Question 1. Multiply (t – 5) and (3m + 5) Question 2. Multiply (z + 4) and (z – 4) Given: (z + 4) × (z – 4) Using distributed law = z(z – 4) + 4(z – 4) = z 2 – 4z + 4z – 16 = z 2 – 16 Question 3. Multiply (m – n) and (3m + 5n) Given: (m – n) × (3m + 5n) Using distributed law = m(3m + 5n) – n(3m + 5n) = 3m 2 + 5mn – 3mn – 5n 2 = 3m 2 + 2mn – 5n 2 2. Multiplying binomial and a trinomial We are allowed to multiply one binomial with another trinomial using the following steps: 1. darbība: Arrange the binomial and trinomial in a line. 2. darbība: Now use distributed law to separate them. 3. solis: After separation, each of two terms of the binomial gets multiplied by each of three terms of the trinomial. 4. solis: Combine similar terms(if available). Question 1. Simplify (m – n)(2m + 3n + r) Given: (m – n)(2m + 3n + r) Using distributed law = m(2m + 3n + r) – n(2m + 3n + r) = 2m 2 + 3mn + mr – 2mn – 3n 2 – nr = 2m 2 + mn – 3n 2 + mr – nr Question 2. Evaluate (p + q) (p + q + r) Given: (p + q)(p + q + r) Using distributed law = p(p + q + r) + q(p + q + r) = p 2 + pq + pr + pq + q 2 + qr = p 2 + q 2 + 2pq + pr + qr Question 3. Evaluate (4 + 5t)(5 + 3t + q) Given: (4 + 5t)(5 + 3t + q) Using distributed law = 4(5 + 3t + q) + 5t (5 + 3t + q) = 20 + 12t + 4q + 25t + 15 t 2 + 5tq = 15t 2 + 37t + 5tq + 4q + 20 I can't find the way using only 5-6, but here is a way to do it in$7$. Suppose we are multiplying together$ax^2 + bx + c$and$dx^2 + ex + f$. Compute$(a+b+c)(d+e+f) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + ce + cf$. This takes$1$multiplication. Now compute$ad,ae,bd,bf,ce,cf$. This brings up up to$7$. The coefficients of the product are simply$ad, ae + bd, be + af + cd, bf + ce, cf$. By straightfoward additions we know$ad, ae + bd, bf + ce, cf$already. This coefficient$be + af + cd$can be computed as$(a+b+c)(d+e+f) - ad - ae - bd - bf - ce - cf$, thus we're done and we only need$7$multiplications. Elaborating on Dinoboy's answer, there is a way to do it in 6 multiplications: compute$ad$,$be$,$cf$, and also$(a+b)(d+e), (b+c)(e+f), (a+c)(d+f)$. Then we have the following identities for the coefficients (where$[x^p] E$denotes the coefficient of$x^p$in expression$E\$ ):

sākas [x^0] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= cf [x^1] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= ce + bf = (b+c)(e+f) - be - cf [x^2] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= af + be + cd = be + (a+c)(d+f) - ad - cf [x^3] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= ae + bd = (a+b)(d+e) - ad - be [x^4] (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) &= ad. beigas

I am not sure it is possible to do it in 5 multiplications, but I'll let the others try.

## Kopsavilkums

Multiplication of binomials and polynomials requires use of the distributive property as well as the commutative and associative properties of multiplication. Whether the polynomials are monomials, binomials, or trinomials, carefully multiply each term in one polynomial by each term in the other polynomial. Be careful to watch the addition and subtraction signs and negative coefficients. A product is written in simplified form if all of its like terms have been combined.

## Saturs

For this, a new sequence of constants is defined recursively as follows:

To see why this works, the polynomial can be written in the form

Thus, by iteratively substituting the b i > into the expression,

Now, it can be proven that

This expression constitutes Horner's practical application, as it offers a very quick way of determining the outcome of

with b0 (which is equal to p(x0)) being the division's remainder, as is demonstrated by the examples below. if x0 is a root of p(x), then b0 = 0 (meaning the remainder is 0), which means you can factor p(x) with (x-x0).
As to finding the consecutive b-values, you start with determining bn, which is simply equal to an. You then work your way down to the other b's, using the formula

### Piemēri Rediģēt

The entries in the third row are the sum of those in the first two. Each entry in the second row is the product of the x-value (3 in this example) with the third-row entry immediately to the left. The entries in the first row are the coefficients of the polynomial to be evaluated. Then the remainder of f ( x ) on division by x − 3 is 5.

As a consequence of the polynomial remainder theorem, the entries in the third row are the coefficients of the second-degree polynomial, the quotient of f ( x ) on division by x − 3 . The remainder is 5. This makes Horner's method useful for polynomial long division.

The quotient is x 2 − 4 x + 3 -4x+3> .

The third row is the sum of the first two rows, divided by 2. Each entry in the second row is the product of 1 with the third-row entry to the left. The answer is

### Efficiency Edit

Evaluation using the monomial form of a degree-n polynomial requires at most n additions and (n 2 + n)/2 multiplications, if powers are calculated by repeated multiplication and each monomial is evaluated individually. (This can be reduced to n additions and 2n − 1 multiplications by evaluating the powers of x iteratively.) If numerical data are represented in terms of digits (or bits), then the naive algorithm also entails storing approximately 2n times the number of bits of x (the evaluated polynomial has approximate magnitude x n , and one must also store x n pati). By contrast, Horner's method requires only n additions and n multiplications, and its storage requirements are only n times the number of bits of x. Alternatively, Horner's method can be computed with n fused multiply–adds. Horner's method can also be extended to evaluate the first k derivatives of the polynomial with kn additions and multiplications. [3]

Horner's method is optimal, in the sense that any algorithm to evaluate an arbitrary polynomial must use at least as many operations. Alexander Ostrowski proved in 1954 that the number of additions required is minimal. [4] Victor Pan proved in 1966 that the number of multiplications is minimal. [5] However, when x is a matrix, Horner's method is not optimal.

This assumes that the polynomial is evaluated in monomial form and no preconditioning of the representation is allowed, which makes sense if the polynomial is evaluated only once. However, if preconditioning is allowed and the polynomial is to be evaluated many times, then faster algorithms are possible. They involve a transformation of the representation of the polynomial. In general, a degree-n polynomial can be evaluated using only ⌊n/2⌋+2 multiplications and n additions. [6]

#### Parallel evaluation Edit

A disadvantage of Horner's rule is that all of the operations are sequentially dependent, so it is not possible to take advantage of instruction level parallelism on modern computers. In most applications where the efficiency of polynomial evaluation matters, many low-order polynomials are evaluated simultaneously (for each pixel or polygon in computer graphics, or for each grid square in a numerical simulation), so it is not necessary to find parallelism within a single polynomial evaluation.

If, however, one is evaluating a single polynomial of very high order, it may be useful to break it up as follows:

More generally, the summation can be broken into k parts:

where the inner summations may be evaluated using separate parallel instances of Horner's method. This requires slightly more operations than the basic Horner's method, but allows k-way SIMD execution of most of them. Modern compilers generally evaluate polynomials this way when advantageous, although for floating-point calculations this require enabling (unsafe) reassociative math.

### Application to floating-point multiplication and division Edit

Horner's method is a fast, code-efficient method for multiplication and division of binary numbers on a microcontroller with no hardware multiplier. One of the binary numbers to be multiplied is represented as a trivial polynomial, where (using the above notation) a i = 1 =1> , and x = 2 . Tad, x (vai x to some power) is repeatedly factored out. In this binary numeral system (base 2), x = 2 , so powers of 2 are repeatedly factored out.

#### Example Edit

For example, to find the product of two numbers (0.15625) and m:

#### Method Edit

To find the product of two binary numbers d un m:

1. A register holding the intermediate result is initialized to d. 2. Begin with the least significant (rightmost) non-zero bit in m. 2b. Count (to the left) the number of bit positions to the next most significant non-zero bit. If there are no more-significant bits, then take the value of the current bit position. 2c. Using that value, perform a left-shift operation by that number of bits on the register holding the intermediate result 3. If all the non-zero bits were counted, then the intermediate result register now holds the final result. Otherwise, add d to the intermediate result, and continue in step 2 with the next most significant bit in m.

#### Derivation Edit

In general, for a binary number with bit values ( d 3 d 2 d 1 d 0 d_<2>d_<1>d_<0>> ) the product is

At this stage in the algorithm, it is required that terms with zero-valued coefficients are dropped, so that only binary coefficients equal to one are counted, thus the problem of multiplication or division by zero is not an issue, despite this implication in the factored equation:

The denominators all equal one (or the term is absent), so this reduces to

or equivalently (as consistent with the "method" described above)

In binary (base-2) math, multiplication by a power of 2 is merely a register shift operation. Thus, multiplying by 2 is calculated in base-2 by an arithmetic shift. The factor (2 −1 ) is a right arithmetic shift, a (0) results in no operation (since 2 0 = 1 is the multiplicative identity element), and a (2 1 ) results in a left arithmetic shift. The multiplication product can now be quickly calculated using only arithmetic shift operations, addition and subtraction.

The method is particularly fast on processors supporting a single-instruction shift-and-addition-accumulate. Compared to a C floating-point library, Horner's method sacrifices some accuracy, however it is nominally 13 times faster (16 times faster when the "canonical signed digit" (CSD) form is used) and uses only 20% of the code space. [7]

### Other applications Edit

Horner's method can be used to convert between different positional numeral systems – in which case x is the base of the number system, and the ai coefficients are the digits of the base-x representation of a given number – and can also be used if x is a matrix, in which case the gain in computational efficiency is even greater. However, for such cases faster methods are known. [8]

These two steps are repeated until all real zeros are found for the polynomial. If the approximated zeros are not precise enough, the obtained values can be used as initial guesses for Newton's method but using the full polynomial rather than the reduced polynomials. [9]

### Example Edit

p 6 ( x ) = ( x + 8 ) ( x + 5 ) ( x + 3 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 7 ) (x)=(x+8)(x+5)(x+3)(x-2)(x-3)(x-7)>

From the above we know that the largest root of this polynomial is 7 so we are able to make an initial guess of 8. Using Newton's method the first zero of 7 is found as shown in black in the figure to the right. Next p ( x ) is divided by ( x − 7 ) to obtain

which is drawn in red in the figure to the right. Newton's method is used to find the largest zero of this polynomial with an initial guess of 7. The largest zero of this polynomial which corresponds to the second largest zero of the original polynomial is found at 3 and is circled in red. The degree 5 polynomial is now divided by ( x − 3 ) to obtain

which is shown in yellow. The zero for this polynomial is found at 2 again using Newton's method and is circled in yellow. Horner's method is now used to obtain

which is shown in green and found to have a zero at −3. This polynomial is further reduced to

which is shown in blue and yields a zero of −5. The final root of the original polynomial may be found by either using the final zero as an initial guess for Newton's method, or by reducing p 2 ( x ) (x)> and solving the linear equation. As can be seen, the expected roots of −8, −5, −3, 2, 3, and 7 were found.

Horner's method can be modified to compute the divided difference ( p ( y ) − p ( x ) ) / ( y − x ) . Given the polynomial (as before)

Horner's paper, titled "A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation", [12] was read before the Royal Society of London, at its meeting on July 1, 1819, with a sequel in 1823. [12] Horner's paper in Part II of Philosophical Transactions of the Royal Society of London for 1819 was warmly and expansively welcomed by a reviewer [ permanent dead link ] in the issue of The Monthly Review: or, Literary Journal for April, 1820 in comparison, a technical paper by Charles Babbage is dismissed curtly in this review. The sequence of reviews in Mēneša pārskats for September, 1821, concludes that Holdred was the first person to discover a direct and general practical solution of numerical equations. Fuller [13] showed that the method in Horner's 1819 paper differs from what afterwards became known as "Horner's method" and that in consequence the priority for this method should go to Holdred (1820).

Unlike his English contemporaries, Horner drew on the Continental literature, notably the work of Arbogast. Horner is also known to have made a close reading of John Bonneycastle's book on algebra, though he neglected the work of Paolo Ruffini.

Although Horner is credited with making the method accessible and practical, it was known long before Horner. In reverse chronological order, Horner's method was already known to:

in 1809 (see Ruffini's rule) [14][15] in 1669 [16][17]
• the Chinese mathematicianZhu Shijie in the 14th century [15]
• the Chinese mathematicianQin Jiushao in his Mathematical Treatise in Nine Sections in the 13th century
• the PersianmathematicianSharaf al-Dīn al-Ṭūsī in the 12th century (the first to use that method in a general case of cubic equation) [18]
• the Chinese mathematician Jia Xian in the 11th century (Song dynasty)
• The Nine Chapters on the Mathematical Art, a Chinese work of the Han dynasty (202 BC – 220 AD) edited by Liu Hui (fl. 3rd century). [19]

Qin Jiushao, in his Shu Shu Jiu Zhang (Mathematical Treatise in Nine Sections 1247), presents a portfolio of methods of Horner-type for solving polynomial equations, which was based on earlier works of the 11th century Song dynasty mathematician Jia Xian for example, one method is specifically suited to bi-quintics, of which Qin gives an instance, in keeping with the then Chinese custom of case studies. Yoshio Mikami in Development of Mathematics in China and Japan (Leipzig 1913) wrote:

". who can deny the fact of Horner's illustrious process being used in China at least nearly six long centuries earlier than in Europe . We of course don't intend in any way to ascribe Horner's invention to a Chinese origin, but the lapse of time sufficiently makes it not altogether impossible that the Europeans could have known of the Chinese method in a direct or indirect way." [20]

Ulrich Libbrecht concluded: It is obvious that this procedure is a Chinese invention . the method was not known in India. He said, Fibonacci probably learned of it from Arabs, who perhaps borrowed from the Chinese. [21] The extraction of square and cube roots along similar lines is already discussed by Liu Hui in connection with Problems IV.16 and 22 in Jiu Zhang Suan Shu, while Wang Xiaotong in the 7th century supposes his readers can solve cubics by an approximation method described in his book Jigu Suanjing.

## MathHelp.com

#### Simplify (4x 2 &ndash 4x &ndash 7)​(x + 3)

Here's what the multiplication looks like when it's done horizontally:

That was painful! Now I'll do it vertically:

That was a daudz easier! But, by either method, the answer is the same:

#### Simplify (x + 2)​(x 3 + 3x 2 + 4x &ndash 17)

I'm just going to do this one vertically horizontally is too much trouble.

Note that, since order doesn't matter for multiplication, I can still put the " x + 2 " polynomial on the bottom for the vertical multiplication, just as I always put the smaller number on the bottom when I was doing regular vertical multiplication with just plain numbers back in grammar school.

#### Simplify (3x 2 &ndash 9x + 5)​(2x 2 + 4x &ndash 7)

I'll take my time, and do my work neatly:

#### Simplify (x 3 + 2x 2 + 4)​(2x 3 + x + 1)

First off, I notice that terms of these polynomials have some power (that is, degree) "gaps".

The first polynomial has an x 3 term, an x 2 term, and a constant term, but no x term and the second polynomial has an x 3 term, an x term, and a constant term, but no x 2 term. When I do the vertical multiplication, I will need to leave spaces in my set-up, corresponding to the "gaps" in the degrees of the polynomials' terms, because I will almost certainly need the space.

(This is similar to using zeroes as "place holders" in regular numbers. You might have a thousands digit of 3 , a hundreds digit of 2 , and a units digit of 5 , so you'd put a 0 in for the tens digits, creating the number 3,205 .)

Here's what that looks like:

See how I needed the gaps? See how it helped that I had everything lined up according to the term's degree? If I hadn't left gaps when writing out my original factors, my terms could easily have become misaligned in the rows below. By taking the time to write things out explicitly neatly, I saved myself from many needless difficulties.

I did have one professor who could just look at huge polynomial products, and somehow keep all the terms straight while he did the multiplications and additions in his head. He'd write down the terms one-by-one, starting from the highest degree to the lowest, going straight from the original product to the final answer. He seriously freaked us all out!

While you may aspire to such proficiency, don't reject the tool of vertical multiplication, at least when you're getting started. Don't try to freak out your classmates until you're tiešām good at using the regular methods.

You can use the Mathway widget below to practice multiplying general polynomials. Izmēģiniet ievadīto vingrinājumu vai ierakstiet pats. Then click the button and select "Multiply" to compare your answer to Mathway's.

(Noklikšķiniet uz & quot; Pieskarieties, lai skatītu darbības & quot; jāveic tieši Mathway vietnē, lai veiktu apmaksātu jaunināšanu.)