Raksti

4.1. Trigonometriskās identitātes


Fokusēšanas jautājumi

Šie jautājumi ir domāti, lai vadītu mūsu pētījumus par šīs sadaļas materiāliem. Pēc šīs sadaļas izpētīšanas mums būtu jāsaprot šo jautājumu motivētie jēdzieni un jāspēj uzrakstīt precīzas, saskaņotas atbildes uz šiem jautājumiem.

  • Kas ir identitāte?
  • Kā mēs pārbaudām identitāti?

Apsveriet trigonometrisko vienādojumu ( sin (2x) = cos (x) ). Pamatojoties uz mūsu pašreizējām zināšanām, šādu vienādojumu var būt grūti atrisināt tieši tāpēc, ka iesaistīto funkciju periodi ir atšķirīgi. Tas, kas mums ļaus salīdzinoši viegli atrisināt šo vienādojumu, ir trigonometriskā identitāte, un mēs skaidri atrisināsim šo vienādojumu nākamajā sadaļā. Šī sadaļa ir ievads trigonometriskajām identitātēm.

Kā mēs apspriedām 2.6. Sadaļā, matemātiskā vienādojums like (x ^ {2} = 1 ) ir saistība starp divām izteiksmēm, kas var būt taisnība dažām mainīgā vērtībām. Vienādojuma atrisināšana nozīmē atrast visas vērtības mainīgajiem, kas padara abas izteiksmes vienādas viena ar otru. An identitāti, ir vienādojums, kas atbilst visām mainīgā pieļaujamajām vērtībām. Piemēram, no iepriekšējiem algebras kursiem mēs to redzējām

[x ^ {2} - 1 = (x + 1) (x - 1) ]

visiem reālajiem skaitļiem (x ). Šī ir algebriskā identitāte, jo tā ir taisnība visām (x ) reālā skaitļa vērtībām. Trigonometriskās identitātes piemērs ir ( cos ^ {2} + sin ^ {2} = 1 ), jo tas attiecas uz visām (x ) reālā skaitļa vērtībām.

Tātad, lai gan mēs risinām vienādojumus, lai noteiktu, kad vienlīdzība ir derīga, identitātes risināšanai nav pamata, jo identitātes vienlīdzība vienmēr ir derīga. Katra identitāte ir vienādojums, bet ne katrs vienādojums ir identitāte. Lai zinātu, ka vienādojums ir identitāte, jāsniedz pārliecinošs arguments, ka abas vienādojuma izteiksmes vienmēr ir vienādas ar otru. Šādu pārliecinošu argumentu sauc par a pierādījums un mēs izmantojam pierādījumus, lai pārbaudītu trigonometriskās identitātes.

Definīcija: identitāte

An identitāti ir vienādojums, kas atbilst visām iesaistīto mainīgo pieļaujamajām vērtībām.

Sākuma aktivitāte

  1. Izmantojiet grafiku utilītu, lai uzzīmētu diagrammu (y = cos (x - dfrac { pi} {2}) ) un (y = sin (x + dfrac { pi} {2}) ) intervālā ([- 2 pi, 2 pi] ) uz vienas un tās pašas asu kopas. Vai abas izteiksmes ( cos (x - dfrac { pi} {2}) ) un ( sin (x + dfrac { pi} {2}) ) ir vienādas - tas ir, viņiem ir vienāda vērtība katram ievadam (x )? Ja tā, paskaidrojiet, kā diagrammas norāda, ka izteicieni ir vienādi. Ja nē, atrodiet vismaz vienu vērtību (x ), pie kuras ( cos (x - dfrac { pi} {2}) ) un (y = sin (x + dfrac { pi) } {2}) ) ir dažādas vērtības.
  2. Izmantojiet grafiku utilītu, lai zīmētu diagrammu (y = cos (x - dfrac { pi} {2}) ) un (y = sin (x) ) intervālā ([- 2 pi, 2 pi] ) uz tā paša asu kopuma. Vai abas izteiksmes ( cos (x - dfrac { pi} {2}) ) un ( sin (x) ) ir vienādas - tas ir, vai katrai ievadei ir vienāda vērtība ( x )? Ja tā, paskaidrojiet, kā diagrammas norāda, ka izteicieni ir vienādi. Ja nē, atrodiet vismaz vienu vērtību (x ), kurā ( cos (x - dfrac { pi} {2}) ) un ( sin (x) ) ir dažādas vērtības.

Dažas zināmās trigonometriskās identitātes

Mēs jau esam izveidojuši dažas svarīgas trigonometriskās identitātes. Lai palīdzētu izveidot jaunas identitātes, mēs varam izmantot šādas identitātes.

Pitagora identitāte

Šī identitāte ir būtiska trigonometrijas attīstībai. Skatīt 1.2. Sadaļu.

Visiem reālajiem skaitļiem (t ),

[ cos ^ {2} + sin ^ {2} = 1. ]

Identitātes no definīcijām

Pieskares, kotangenta, sekanta un kosekanta funkciju definīcijas tika ieviestas 1.6. Sadaļā. Šie ir derīgi visām (t ) vērtībām, kurām ir definēta katra vienādojuma labā puse.

[ tan (t) = dfrac { sin (t)} { cos (t)} ]

[ gultiņa (t) = dfrac { cos (t)} { sin (t)} ]

[ sec (t) = dfrac {1} { cos (t)} ]

[ csc (t) = dfrac {1} { sin (t)} ]

Negatīvās identitātes

Negatīvais tika ieviests 2. nodaļā, kad tika apspriesta grafiku simetrija. (Skatiet 82. lpp. Un 2. vingrinājumu 139. lpp.)

[ cos (-t) = cos (t) ]

[ grēks (-t) = - grēks (t) ]

[ tan (-t) = - tan (t) ]

Kosinusa un sinusa negatīvās identitātes ir derīgas visiem reālajiem skaitļiem (t ), un negatīvā identitāte tangentam ir derīga visiem reālajiem skaitļiem (t ), kuriem ( tan (t) ) ir noteikts.

Identitāšu pārbaude

Ņemot vērā divus izteicienus, teiksim ( tan ^ {2} (x) + 1 ) un ( sec ^ {2} (x) ), mēs vēlētos uzzināt, vai tie ir vienādi (tas ir, vai viņiem ir vienādas vērtības katrai pieļaujamajai ieejai) vai nē. Mēs varam uzzīmēt grafikus ar (y = tan ^ {2} (x) + 1 ) un (y = sec ^ {2} (x) ) un redzēt, vai grafiki izskatās vienādi vai atšķirīgi. Pat ja diagrammas izskatās vienādi, tāpat kā ar (y = tan ^ {2} (x) + 1 ) un (y = sec ^ {2} (x) ), tas ir tikai norāde, ka abas izteiksmes ir vienādas ar katrs pieļaujamā ievade. Lai pārbaudītu, vai izteicieni patiesībā vienmēr ir vienādi, mums jāsniedz pārliecinošs arguments, kas darbojas visos iespējamos ievados. Lai to izdarītu, mēs izmantojam zināmus faktus (esošās identitātes), lai parādītu, ka divas trigonometriskās izteiksmes vienmēr ir vienādas. Piemēram, mēs pārbaudīsim, vai vienādojums [ tan ^ {2} (x) + 1 = sec ^ {2} (x) ] ir identitāte.

Pareizs šāda veida argumenta formāts ir izvēlēties vienādojuma pusi un pielietot esošās identitātes, kuras mēs jau zinām, lai pārveidotu izvēlēto pusi par atlikušo pusi. Parasti dzīvi ir vieglāk sākt ar sarežģītāk izskatīto pusi (ja tāda ir). Mūsu (1) vienādojuma piemērā mēs varētu sākt ar izteiksmi ( tan ^ {2} (x) + 1 ).

Piemērs ( PageIndex {1} ): trigonometriskās identitātes pārbaude

Lai pārbaudītu, vai (1) vienādojums ir identitāte, mēs strādājam ar izteiksmi ( tan ^ {2} (x) + 1 ). Bieži vien var būt laba ideja uzrakstīt visas trigonometriskās funkcijas, sākot no kosinusa un sinusa. Šajā gadījumā mēs zinām, ka ( tan (t) = dfrac { sin (t)} { cos (t)} ), tāpēc mēs varētu sākt ar šo aizstāšanu, lai iegūtu identitāti [ tan ^ {2} (x) + 1 = ( dfrac { sin (x)} { cos (x)}) ^ {2} + 1 ]

Ņemiet vērā, ka šī ir identitāte un tā ir derīga visām mainīgā pieļaujamajām vērtībām. Pēc tam mēs varam piemērot kvadrātu gan mūsu identitātes labās puses skaitītājam, gan saucējam (2).

[( dfrac { sin (x)} { cos (x)}) ^ {2} + 1 = dfrac { sin ^ {2} (x)} { cos ^ {2} (x) } + 1 ]

Tālāk mēs varam veikt dažas algebras, lai apvienotu abas frakcijas identitātes labajā pusē (3) un iegūtu jauno identitāti

[ dfrac { sin ^ {2} (x)} { cos ^ {2} (x)} + 1 = dfrac { sin ^ {2} (x) + cos ^ {2} (x )} { cos ^ {2} (x)} ]

Tagad mēs varam atpazīt Pitagora identitāti ( cos ^ {2} (x) + sin ^ {2} (x) = 1 ), kas padara identitātes labo pusi (4)
[ dfrac { sin ^ {2} (x) + cos ^ {2} (x)} { cos ^ {2} (x)} = dfrac {1} { cos ^ {2} ( x)} ]

Atgādinām, ka mūsu mērķis ir pārbaudīt identitāti (1), tāpēc mums izteiksme jāpārveido par ( sec ^ {2} (x) ). Atgādinām, ka ( sec (x) = dfrac {1} { cos (x)} ), un tāpēc identitātes labā puse (5) noved pie jaunās identitātes, kas verificē identitāti.

[ dfrac {1} { cos ^ {2} (x)} = sec ^ {2} (x) ]

Tādu argumentu, kādu mēs tikko sniedzām un kas parāda, ka vienādojums ir identitāte, sauc par pierādījums. Mēs parasti neatstājam lielāko daļu paskaidrojošo darbību (soļiem jābūt redzamiem no vienādojumiem) un vienā garā identitāšu virknē ierakstām pierādījumu kā

[ tan ^ {2} (x) + 1 = ( dfrac { sin (x)} { cos (x)}) ^ {2} + 1 = dfrac { sin ^ {2} (x )} { cos ^ {2} (x)} + 1 = dfrac { sin ^ {2} + cos ^ {2} (x)} { cos ^ {2} (x)} = dfrac {1} { cos ^ {2} (x)} = sec ^ {2} (x). ]

Lai pierādītu identitāti, ir jāpierāda, ka izteiksmes katrā vienādojuma pusē ir vienādas visām pieļaujamajām ieejām. Mēs ilustrējām šo procesu ar vienādojumu ( tan ^ {2} (x) + 1 = sec ^ {2} (x) ). Lai parādītu, ka vienādojums nav identitāte, pietiek ar to, lai parādītu, ka vienādojuma abām pusēm vienā ieejā ir atšķirīgas vērtības.

Piemērs ( PageIndex {2} ): (parādot, ka vienādojums nav identitāte)

Apsveriet vienādojumu ar vienādojumu ( cos (x - dfrac { pi} {2}) = sin (x + dfrac { pi} {2}) ), ar kuru mēs saskārāmies mūsu darbības sākumā. Lai gan jūs varat pārbaudīt, vai ( cos (x - dfrac { pi} {2}) ) un ( sin (x + dfrac { pi} {2}) ) dažās vērtībās ir vienādi, Piemēram, ( dfrac { pi} {4} ) tās nav vienādas visās vērtībās - ( cos (0 - dfrac { pi} {2}) = 0 ), bet ( sin (0 + dfrac { pi} {2}) = 1 ). Tā kā identitātei jānodrošina vienlīdzība visi mainīgā pieļaujamās vērtības, ja vienā izteiksmē abas izteiksmes atšķiras, tad vienādojums nav identitāte. Tātad vienādojums ( cos (x - dfrac { pi} {2}) = sin (x + dfrac { pi} {2}) ) nav identitāte.

4.2. Piemērs ilustrē svarīgu lietu. lai parādītu, ka vienādojums nav identitāte, pietiek atrast vienu ievadi, kurā vienādojuma abas puses nav vienādas. Mēs apkopojam savu darbu ar identitātēm šādi.

  • Lai pierādītu, ka vienādojums ir identitāte, mums jāpielieto zināmās identitātes, lai parādītu, ka vienādojuma pusi var pārveidot par otru.
  • Lai pierādītu, ka vienādojums nav identitāte, mums jāatrod viena ieeja, kurā vienādojuma abām pusēm ir atšķirīgas vērtības.

Svarīga piezīme: Pierādot identitāti, varētu būt vilinoši sākt strādāt ar pašu vienādojumu un manipulēt ar abām pusēm, līdz nonākat pie tā, ko zināt par patiesu. NEDARI ŠO! Strādājot ar abām vienādojuma pusēm, mēs pieņemam, ka vienādojums ir identitāte - taču tas pieņem tieši to, kas mums jāparāda. Tātad pareizais trigonometriskās identitātes pierādīšanas formāts ir izvēlēties vienādojuma pusi un pielietot esošās identitātes, kuras mēs jau zinām, lai pārveidotu izvēlēto pusi par atlikušo pusi. Parasti dzīvi ir vieglāk sākt ar sarežģītāk izskatīto pusi (ja tāda ir).

Piemērs ( PageIndex {3} ): identitātes pārbaude

Apsveriet vienādojumu [2 cos ^ {2} (x) - 1 = cos ^ {2} (x) - sin ^ {2} (x). ]
Šķiet, ka abu pušu grafiki norāda, ka šis vienādojums ir identitāte. Lai pierādītu identitāti, mēs sākam ar kreiso pusi:

[2 cos ^ {2} (x) - 1 = cos ^ {2} (x) + cos ^ {2} (x) - 1 = cos ^ {2} (x) + (1 - sin ^ {2} (x)) - 1 = cos ^ {2} (x) - sin ^ {2} (x). ]

Ievērojiet, ka mūsu pierādījumos mēs pārrakstījām Pitagora identitāti ( cos ^ {2} (x) + sin ^ {2} (x) = 1 ) kā ( cos ^ {2} (x) = 1 - sin ^ {2} (x) ). Jebkura pareiza identitātes pārkārtošana ir arī identitāte, tāpēc mēs varam manipulēt ar zināmām identitātēm, kuras izmantot arī savos pierādījumos.

Lai atkārtotu, pareizais trigonometriskās identitātes pierādījuma formāts ir izvēlēties vienādojuma pusi un pielietot esošās identitātes, kuras mēs jau zinām, lai pārveidotu izvēlēto pusi par atlikušo pusi. Nav cietu un ātru metožu identitātes pierādīšanai - tā ir mazliet māksla. Jums ir jāprakti, lai kļūtu labi.

Vingrinājums ( PageIndex {1} )

Katram no šiem veidiem izmantojiet grafikas utilītu, lai uzzīmētu vienādojuma abas puses. Ja grafiki norāda, ka vienādojums nav identitāte, atrodiet vienu vērtību (x ), kurā abām vienādojuma pusēm ir atšķirīgas vērtības. Ja grafiki norāda, ka vienādojums ir identitāte, pārbaudiet identitāti.

  1. [ dfrac { sec ^ {2} (x) - 1} { sec ^ {2} (x)} = sin ^ {2} (x) ]
  2. [ cos (x) sin (x) = 2 sin (x) ]
Atbilde

1. Abas vienādojuma puses grafiki norāda, ka tas ir ievilkums.

2. Abas vienādojuma puses grafiki norāda, ka tas nav ievilkums. Piemēram, ja mēs ļausim (x = dfrac { pi} {2} ), tad

[ cos ( dfrac { pi} {2}) sin ( dfrac { pi} {2}) = 0 cdot 1 = 0 ] un [2 sin ( dfrac { pi} {2}) = 2 cdot 1 = 2 ]

Kopsavilkums

Šajā sadaļā mēs pētījām šādus svarīgus jēdzienus un idejas:

An identitāti ir vienādojums, kas atbilst visām iesaistīto mainīgo pieļaujamajām vērtībām.

  • Lai pierādītu, ka vienādojums ir identitāte, mums jāpielieto zināmās identitātes, lai parādītu, ka vienādojuma vienoto pusi var pārveidot par otru.
  • Lai pierādītu, ka vienādojums nav identitāte, mums jāatrod viens ievads, kurā vienādojuma abām pusēm ir atšķirīgas vērtības.


Skatīties video: . Matemātika. Trigonometriskās identitātes. (Oktobris 2021).