Raksti

7.1. Ievads lineāro otrās kārtas vienādojumu sērijas risinājumiem


Šajā nodaļā mēs pētām otrās kārtas diferenciālvienādojumu klasi, kas sastopami daudzos lietojumos, bet tos nevar atrisināt slēgtā formā attiecībā uz pamatfunkcijām. Šeit ir daži piemēri:

  1. Besela vienādojums kas rodas problēmas parādot cilindrisku simetriju, piemēram, gaismas difrakcija caur apļveida atvērumu, elektromagnētiskā starojuma izplatīšanās caur koaksiālo kabeli un apļveida cilindra galvas vibrācijas. [x ^ 2y '' + xy '+ (x ^ 2- nu ^ 2) y = 0, skaitlis ]
  2. Airy's vienādojums kas notiek astronomijā un kvantu fizikā. [y '' - xy = 0, skaitlis ]
  3. Leģendra vienādojums kas rodas sfēriskās simetrijas parādīšanās problēmās, īpaši elektromagnētismā. [(1-x ^ 2) y '' - 2xy '+ alfa ( alfa + 1) y = 0, skaitlis ]

Šos vienādojumus un citus šajā nodaļā aplūkotos var uzrakstīt formā

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0, iezīme {A} ]

kur (P_0 ), (P_1 ) un (P_2 ) ir polinomi bez kopēja faktora. Lielākajai daļai vienādojumu, kas rodas lietojumos, šiem polinomiem ir otrā vai mazāka pakāpe. Mēs uzliksim šo ierobežojumu, lai gan mūsu izstrādātās metodes var attiecināt arī uz gadījumu, kad koeficienta funkcijas ir patvaļīgas pakāpes polinomi vai pat jaudas sērijas, kas saplūst kādā lokā ap izcelsmi sarežģītajā plaknē.

Tā kā vienādojumam ref {A} parasti nav slēgtas formas risinājumu, mēs meklējam risinājumu sērijas attēlojumus. Mēs redzēsim, ka, ja (P_0 (0) ne0 ), tad (A) risinājumus var rakstīt kā jaudas sērijas [y = sum_ {n = 0} ^ infty a_nx ^ n nonumber ], ka saplūst atklātā intervālā, kura centrā ir (x = 0 ).


MAP2302 Lekciju tēmas, mājas darbi un paziņojumi

1. viktorīna ir piektdien, 16. septembrī. 1. viktorīna Risinājumi
2. viktorīna ir pirmdien, 17. oktobrī. 2. viktorīna Risinājumi
3. viktorīna ir pirmdien, 21. novembrī. 3. viktorīna Risinājumi
1. eksāmens ir pirmdien, 3. oktobrī, LIT 101, E2-E3. 1. eksāmena risinājumi
1. eksāmena kompensācija (ebreju svētku dēļ (NY 5777)) ir otrdien, 4. oktobrī, 418 LIT, 14-16
2. eksāmens ir pirmdien, 31. oktobrī, LIT 101, E2-E3 2. eksāmena risinājumi

Gala eksāmens ir ceturtdien, 15. decembrī, LIT 121 (mūsu parastās klases sēžu zāle) 12: 30–2: 30.
Gala eksāmena risinājumi
Eksāmens aptver visus L27-L38 (jūs varat sagaidīt arī 1-2 problēmas ar L1-L26). Tātad, pārskatiet visas diferenciālvienādojumu risināšanas pamatmetodes. Pārskatiet zemāk esošo “Take-Home Final” eksāmenu (kā gala paraugu).
Papildu darba laiks: trešdien, 14. decembrī, pulksten 15.00 NPB 2180
Uzņemšanas gala eksāmens. Studenti, kuriem gala eksāmens nav obligāts (kā norādīts rezultātu lapā), var vai nu kārtot kārtējo finālu, kā paredzēts iepriekš, vai arī ņemt līdzi mājas finālu (ievietots iepriekš). Uzņemšanas mājās gala eksāmena rezultāts tiek ieskaitīts kā gala eksāmena rezultāts kopējā vērtējumā (vērtējumā). Mājup gala eksāmena termiņš ir svētdien, 11. decembrī plkst. 17.00, 127. LIT. Jūs to varat arī ieslēgt agrāk LIT 418 vai NPB 2180 (skavot, pabīdīt zem biroja durvīm un nosūtīt man e-pastu, kad un kad kurā birojā to ieslēdzāt). Parakstiet studenta godīguma solījumu sava darba pirmajā lapā! Uzņemšanas gala eksāmens ar risinājumiem .

Novērtēto līdzņemšanas finālu jūs varat uzņemt NPB 2180 pulksten 15–15, trešdien, 14. decembrī, vai parastā gala eksāmena laikā.

22. novembris un # 8211. 2016. gada 9. decembris ir UF mācību vērtēšanas periods. Vērtēšanas veidlapa jāaizpilda tiešsaistē. Tagad jums bija jāsaņem reģistrētāja paziņojums par tiešsaistes novērtēšanas procedūru. Jums jāpiesakās vērtēšanas lapā, izmantojot savu Gatorlink lietotāja vārdu un paroli. Lūdzu, neaizmirstiet to izdarīt!

L1, 22.08.2016 .: Diferenciālvienādojumu elementāri piemēri. Iedzīvotāju skaita pieauguma problēma. Svārsta problēma. Vispārējs risinājums. Svārsta kustības sākotnējās vērtības problēmas risinājums. Periodiska svārsta kustība. N-tās kārtas diferenciālvienādojuma vispārīgs jēdziens. Integrācijas konstantes. Vispārējs risinājums.
HW-1.2: 3, 5, 7, 21, 22

L2, 24.08.2016 .: Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Sākotnējās vērtības problēmas risinājuma esamība un unikalitāte. Atdalāmi vienādojumi.
HW-1.2: 23, 25, 27, 29, 31
HW-2.2: 3, 5, 7, 9, 13, 19, 21, 29, 31, 34, 38

L3, 26.08.2016 .: Lineāri pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Vispārējs risinājums. Sākotnējās vērtības problēmas esamība un unikalitāte. Pielietojums: Brīvi krītoša objekta ātrums atmosfērā.
HW-2.3: 3., 7., 13., 19., 23., 25. punkta a) apakšpunkts, 31., 35. lpp

L4, 29.08.2016 .: Divu mainīgo funkcijas diferenciālis. Precīzi vienādojumi. Precizitātes pārbaude. Vispārējs risinājums kā divu mainīgo funkcijas līmeņa līknes.
HW-2.4: 3, 5, 7, 9, 13, 19, 21, 27, 31, 33

L5, 31.08.2016 .: Integrējošie faktori. Integrējošā faktora vispārīgais vienādojums.

L6, 09.07.2016 .: Īpaši integrējošie faktori, kas ir atkarīgi no viena mainīgā u = x, vai u = y, vai u = xy, vai u = x + y.
HW-2.5: 1, 3, 5, 11, 13, 16, 17

L7, 09.09.2016 .: Aizstāšana un pārveidošana. Mainīgo lielumu vispārēja maiņa pirmās kārtas vienādojumos. Diferenciālu pārveidojumi. Homogēnu vienādojumu vispārīgie risinājumi dy = g (v) dx, v = y / x. Formas dy = g (v) dx, v = ax + vienādojumi ar
HW-2.6: 1, 5, 11, 13, 16, 46, 45

L8, 09.01.2016 .: Bernulli vienādojumi. Mainīgo lielumu lineārā maiņa, u = ax + par, v = px + qy.
HW-2.6: 17, 19, 21, 25, 47

L9, 14.09.2016 .: Pielietojums: Saules atstarotāja problēma, vienkāršs tirgus modelis. Braukšanas līkne, populācijas pieauguma modeļi, ķīmiskās sajaukšanas problēma, ēkas dzesēšanas problēma, Ņūtona mehānika
HW-3.2: 2, 3, 11, 12, 15, 19, 25
HW-3.3: 5, 9, 15, 16
HW-3.4: 7, 13, 14, 24, 25
HW-2. Pārskats: 21, 25, 29, 39, 35

1. viktorīna, 16.09.2015. F: 1. viktorīna aptver LW-L9 HW. Viktorīnā var parādīties tikai tās L9 tēmas, kuras tiek apspriestas klasē. Piemēram, ja ēkas dzesēšanas problēma nav apskatīta L9, tad attiecīgā HW problēma viktorīnā neparādīsies.

L10, 19.09.2016. M: Sarežģīti skaitļi. Pamata darbības ar kompleksiem skaitļiem. Eulera & # 8217s formula. Kompleksas polinoma saknes ar reāliem koeficientiem. Sarežģīta mainīgā eksponenciālā funkcija.
HW - izlasiet projektu F mācību grāmatā, 239. – 240. lpp., papildus savām piezīmēm par L10 un L11.

L11, 21.09.2016. P: Lineāri otrās kārtas diferenciālvienādojumi. Homogēni lineāri otrās kārtas diferenciālvienādojumi. Lineāri neatkarīgi risinājumi. Vispārīgi risinājumi. Lineāri viendabīgi otrās kārtas diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem. Palīgvienādojums. Vispārējs risinājums reālu un sarežģītu palīgvienādojuma sakņu gadījumā. Sākotnējās vērtības problēma. Piemērs: svārsts ar berzi.
HW-4.2: 1, 3, 5, 9, 13, 15, 17, 19
HW-4.3:5, 9, 17, 21, 23, 24

L12, 23.09.2016. F: Homogēni lineāri diferenciālvienādojumi ar augstākiem pasūtījumiem ar nemainīgiem koeficientiem. Palīgvienādojuma komplekso sakņu metode. Vairākas reālas saknes un vairākas sarežģītas saknes.
HW-4.2: 37, 39, 41, 43
HW-4.3: 19, 27, 29, 37

L13, 26.09.2016. M: Homogēni lineāri diferenciālvienādojumi ar augstākām kārtām ar nemainīgiem koeficientiem. Vispārējs risinājums. Sākotnējās vērtības problēma.
HW-4.2: 37, 39, 41, 43
HW-4.3: 19, 27, 29, 37

L14, 28.09.2016. P: Nehomogēna lineārā diferenciālvienādojuma ar nemainīgiem koeficientiem vispārējs risinājums. Piemēri.

L15, 30.09.2016. F: Nenoteiktu koeficientu metode, lai atrastu konkrētu neviendabīgu lineāru diferenciālo vienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem risinājumu. Īpašs gadījums. Raksturīgā vienādojuma kompleksu risinājumu izmantošana vispārēja risinājuma iegūšanai.
HW-4.4: 9, 11, 13, 15, 21, 23, 25, 33, 35

L16, 10.03.2016. M: Superpozīcijas princips. Nehomogēnu lineāro diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem īpašs risinājums, ja labajā pusē ir polinoma, eksponenta un sinusa un kosinusa funkciju kombinācija.
HW-4.5:1, 5, 7, 11, 14, 17, 19, 27, 29, 33, 35, 37, 39, 45

1. eksāmens, 2016. gada 10. marts: 1. eksāmens aptver L1-L15 tēmas. (Eksāmenam atzīmējiet vakara periodus E2 – E3)

L17, 2016. gada 10. maijs: Lineārie diferenciāļi. Visu viendabīga lineārā diferenciālvienādojuma risinājumu kopums kā diferenciālā operatora nulles kopa. Pamata risinājumu kopums. Vispārējs lineāra viendabīga diferenciālvienādojuma ar nemainīgiem koeficientiem risinājums
HW-6.2: 3, 5, 9, 11, 15, 17, 19, 31
HW-6.3: 1, 3, 5, 9, 13, 17, 19, 25, 31

L18, 10.07.2016. F: Nenoteiktu koeficientu metode augstākas pakāpes lineārajiem diferenciālvienādojumiem. Augstākas pakāpes lineāro diferenciālo vienādojumu superpozīcijas princips.
HW-6.2: 3, 5, 9, 11, 15, 17, 19, 31
HW-6.3: 1, 3, 5, 9, 13, 17, 19, 25, 31

L19, 2016.10.10. M: Lineāro diferenciālo vienādojumu sistēmas. Eliminācijas metode lineāru diferenciālo vienādojumu sistēmai ar nemainīgiem koeficientiem.
HW-5.2: 3, 5, 9, 11, 23, 25, 29, 31, 33

L20, 2016. gada 10. decembris: Novēršanas metodes pielietošana elektriskajām sistēmām un sakabinātām masas atsperes sistēmām. Masas atsperes sistēmas rezonanses frekvences. Elektrisko ķēžu rezonanses frekvences. Pārskatīšana.
HW-5.6: 1, 7, 8, 9
HW-5.7: 3, 7, 11, 13

L21, 14.10.2016. F: Pieteikumi. Mehāniskās vibrācijas. Stingras stieņa un auklas vibrācija. Eigen frekvences. Piespiedu vibrācijas. Rezonanses parādības. Kāpēc daži tilti sabrūk?
HW-4.10: 3, 5, 7, 11, 13

2. viktorīna, 17.10.2016: QUIZ 2 aptver mājas darbus tēmām L11-L19.

L22, 19.10.2016. P: Lineāri neviendabīgi otrās kārtas diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem. Parametru variēšanas metode, lai atrastu konkrētu risinājumu.
HW-4.6:1, 5, 7, 11, 13, 17, 20

L23, 21.10.2016. F: Lineārie diferenciālvienādojumi ar mainīgiem koeficientiem. Risinājumu esamība un unikalitāte. Cauchy-Euler vienādojums. Vispārējs risinājums. Raksturīgā vienādojuma reālas un sarežģītas saknes.
HW-4.7:1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 23, 24

L24, 24.10.2016: Lineārie diferenciālvienādojumi ar mainīgiem koeficientiem. Sākotnējās vērtības problēma. Homogēna vienādojuma lineāri neatkarīgi risinājumi. Wronskian. Parametru variēšanas metode nehomogēnam otrās kārtas lineārajam vienādojumam, lai atrastu konkrētu risinājumu.
HW-4.7: 25, 27, 31, 45, 47, 52, 37, 39, 41

L25, 26.10.2016. W: Kārtības samazināšana (cita neatkarīga risinājuma atrašana, ja zināms viens risinājums). Parametru variēšanas metode nehomogēnam otrās kārtas lineārajam vienādojumam, lai atrastu konkrētu risinājumu.
HW-4.7: 25, 27, 31, 45, 47, 52, 37, 39, 41

L26, 28.10.2016. F:Cramer & # 8217s likums lineāru vienādojumu sistēmas risināšanai. Pielietojums sākotnējās vērtības problēmai augstākas pakāpes lineārajiem diferenciālvienādojumiem. Parametru variācijas metode augstāku pakāpju lineārajiem diferenciālvienādojumiem.
HW-6.4: 1, 5, 7, 8, 11

L27, 31.10.2016. M: Laplasa transformācija. Laplasa transformācijas esamība. Pamatīpašības: funkcijas linearitāte, diferenciācija, Laplasa transformācija, kas reizināta ar jaudas funkciju un / vai ar eksponenciālu funkciju.
HW-7.2:9, 11, 13, 19, 29, 31
HW-7.3: 9, 11, 13, 16, 19, 27

2. eksāmens, 31.10.2015.: 2. eksāmens aptver L16-L26 tēmas. L20 elektriskās ķēdes NAV iekļautas eksāmenā. (Vieta: LIT 101, E2-E3 (8: 20–10: 22))

L28, 11.02.2016. P: Laplasa transformācija un lineāro diferenciālo vienādojumu sākotnējās vērtības problēma. Apgrieztā Laplasa pārveidošana.
HW-7.3: 29, 30, 31, 37

L29, 11.04.2016. F: Apgrieztā Laplasa pārveidošana. Daļējo frakciju metode: neatkārtoti lineārie faktori, atkārtoti lineārie koeficienti, kvadrātiskie faktori
HW-7.4: 1, 4, 13, 15, 25, 27, 29, 33, 35, 36

L30, 11.07.2016. M: Sākotnējās vērtības problēmas risināšana lineāriem diferenciālvienādojumiem ar Laplasa transformācijas metodi. Lineārie diferenciālvienādojumi ar koeficientiem, kas ir lineāras funkcijas (secības samazināšana ar Laplasa metodi). Papildu metodes apgriezto Laplasa transformāciju atrašanai, izmantojot Laplasa transformācijas īpašības.
HW-7.5: 35, 36, 37, 38

L31, 2016. gada 11. septembris: Nepārtraukto funkciju Laplasa transformācija. Step funkcija un tās Laplasa transformācija. Logu funkcija. Sākotnējās vērtības problēmas risināšana neviendabīgiem lineāriem vienādojumiem ar nepārtrauktu neviendabīgumu.
HW-7.6: 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 20, 33, 35, 39

L32, 14.11.2016. M: Periodisku pārtraukto funkciju Laplasa transformācija. Sākotnējās vērtības problēmas risināšana lineāriem vienādojumiem ar periodiskām neviendabīgumu.
HW-7.6: 21, 23, 25, 27, 32

L33, 16.11.2016. P: Divu funkciju pārveidošana. Konvolūcijas pamatīpašības. Konvolūcijas Laplasa transformācija. Reakcijas funkcija lineārajam diferenciālvienādojumam. Sākotnējās vērtības problēmas risinājums, izmantojot atbildes funkciju. Integro-diferenciālie lineārie vienādojumi. Laplasa metodes izmantošana to risināšanai.
HW-7.7: 1, 3, 13, 15, 17, 21, 22

L34, 18.11.2016. F: Dirac delta funkcija. Atbildes funkcijas interpretācija. Lineāru diferenciālo vienādojumu sistēmu risināšana ar Laplasa transformācijas metodi. Pielietojums masu atsperu sistēmām un elektriskajām ķēdēm.
HW-7.8: 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 30 HW-7.9: 3, 9, 11, 13, 17, 19

3. viktorīna, 21.11.2016. M: Viktorīna aptver mājas darbus L27-L34 (visas klasē aplūkotās Laplasa transformācijas tēmas)

L35, 28.11.2016. M: Teilora polinomu aproksimāciju un jaudas sēriju pārskats. Sākotnējās vērtības problēmas tuvināšanas pamatideja ar Teilora polinomu. Jaudas sērija. Jaudas sērijas konverģences rādiuss. Reālas analītiskās funkcijas.
HW-8.1: 1, 3, 5, 7, 13, 15
HW-8.2: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 31

L36, 30.11.2016. P: Jaudas sērijas risinājumi lineāriem diferenciālvienādojumiem. Lineārā otrās kārtas diferenciālvienādojuma parastie un vienskaitļa punkti. Sākotnējās vērtības problēma.
HW-8.3: 1, 5, 11, 15, 17, 19, 23, 25, 27

L37, 11.02.2016. F: Lineārie vienādojumi ar analītiskajiem koeficientiem. Analītisko šķīdumu esamība. Sākotnējās vērtības problēma. Vispārējs risinājums kā jaudas sērija un tās konverģences rādiuss.
HW-8.4: 1, 3, 7, 9, 15, 19

L37, 11.05.2016. M: Regulāri lineāro diferenciālo vienādojumu vienskaitļa punkti. Frobeniusa metode.
HW-8.6: 1, 3, 5, 19, 21, 23, 25, 31

L38, 2016. gada 11. jūlijs: Otra lineāri neatkarīga risinājuma atrašana ar Frobenius metodi.
HW-8.7: 3, 5, 17, 19, 21, 23, 25, 31 (salīdzināt ar HW-8.6: 19, 21, 23, 25, 31!)


Lejuplādēt tagad!

Mēs esam atvieglojuši PDF e-grāmatu atrašanu bez jebkādas rakšanas. Un, piekļūstot mūsu e-grāmatām tiešsaistē vai saglabājot tos datorā, jums ir ērtas atbildes, izmantojot otrās kārtas lineāro vienādojumu sērijas risinājumus. Lai sāktu atrast otrās kārtas lineāro vienādojumu sērijas risinājumus, jums ir taisnība, ka atrodat mūsu vietni, kurā ir iekļauta visaptveroša rokasgrāmatu kolekcija.
Mūsu bibliotēka ir lielākā no tām, kurā ir burtiski simtiem tūkstošu dažādu produktu.

Visbeidzot, es saņēmu šo e-grāmatu, paldies par visiem šiem otrās kārtas lineāro vienādojumu sērijas risinājumiem, kurus es varu iegūt tagad!

Es nedomāju, ka tas izdosies, mans labākais draugs man parādīja šo vietni, un tā arī darbojas! Es saņemu savu visvairāk meklēto e-grāmatu

wtf šo lielisko e-grāmatu bez maksas ?!

Mani draugi ir tik traki, ka nezina, kā man ir visas augstas kvalitātes e-grāmatas, kuras viņiem nav!

Ir ļoti viegli iegūt kvalitatīvas e-grāmatas)

tik daudz viltotu vietņu. tas ir pirmais, kas strādāja! Liels paldies

wtffff es to nesaprotu!

Vienkārši atlasiet klikšķi un pēc tam lejupielādes pogu un izpildiet piedāvājumu, lai sāktu lejupielādēt e-grāmatu. Ja ir kāda aptauja, tas aizņem tikai 5 minūtes, izmēģiniet jebkuru jums piemērotu aptauju.


Atbildes un atbildes

Tātad, es kādu laiku biju pētījis svārstību kustību, un man šķita nepatīkami atcerēties dažādos dažādos kustības vienādojumu risinājumus. Es sāku uzzināt par otrās kārtas lineārajiem diferenciālvienādojumiem, un tagad es zinu, kā atrisināt šāda veida lietas. Bet ir problēma:

Attiecībā uz nākamajiem apsvērumiem šī ir vienādojuma vispārīgā forma:
P (x) y '' + Q (x) y '+ R (x) y = 0, kur P, Q, R ir x funkcijas

Pirmkārt, es noskatījos dažus videoklipus, un puisis teica, ka pastāv teorēma, kas saka, ka risinājumu vienmēr veido e rx, kur r ir konstante (bet viņš nedeva pierādījumus). Un, aizstājot šo funkciju vienādojumā, jūs varat atrast r un pēc tam izveidot vispārējo risinājumu. Mana pirmā problēma ir: kā jūs varat pierādīt, ka nav citas funkcijas, izņemot e rx, kas to dara?

Izmēģinājuma šķīdums y = e rx darbojas tikai tad, ja P, Q un R ir konstantes. Ja P, Q vai R nav konstantes, jāizmanto cita risinājuma pieeja, dažreiz ietverot gadījumu, kad y = bezgalīga virkne x.

Izmēģinājuma šķīdumu y = e rx bieži ir visvieglāk izmantot, jo y '= r ⋅ e rx y & quot = r 2 ⋅ e rx utt. Ievērojiet kopējo faktoru e rx. Tā kā sākotnējais ODE ir viendabīgs, e rx var viegli novērst, lai atrastu sākotnējam ODE raksturīgo vienādojumu.

Šim izmēģinājuma risinājumam ir arī tā priekšrocība, ka e rx nekad nav nulle, tāpēc, izslēdzot e rx, jūs neatrodaties nekādā netīrā situācijā par nulles dalīšanu ar nulli, lai atrastu sākotnējā ODE raksturīgo vienādojumu.

Noteiktu veidu vienādojumiem var darboties dažādi izmēģinājuma risinājumi, taču var pierādīt, ka šos citus risinājumus var pārveidot par kaut kādām eksponenciālām funkcijām.

Tad es atradu grāmatu, kur bija šī teorēma:
& quot Ja y1 un y2 ir lineāri neatkarīgi vienādojuma risinājumi, un P (x) nekad nav 0, tad vispārīgo risinājumu dod
y = c1y1 + c2y2
kur c1 un c2 ir patvaļīgas konstantes. & quot
Bet autori nesniedz nekādus pierādījumus. Tāpēc mana otrā problēma ir tā, kā jūs faktiski pierādāt šo teorēmu.

Nākamie jautājumi ir saistīti ar gadījumu P (x) = a, Q (x) = b, R (x) = c, kur a, b, c ir reālas konstantes.

Ja jums ir b 2 = 4ac, varat pieņemt, ka y = f (x) e rx ir risinājums, un jūs iegūsiet, ka f '' (x) = 0. Tagad ir acīmredzams, ka f (x) = cx + c 'apmierina f' '(x) = 0, kur c un c' ir dažas konstantes.
Tātad šeit ir divi jautājumi:
1. Kāpēc jūs izmantojat y = f (x) e rx, nevis citu funkciju?
2. Vai f (x) = cx + c 'ir vienīgais risinājums f' '(x) = 0?

Kad b 2 = 4ac, raksturīgajam vienādojumam ir divas identiskas saknes.

Šis raksts parāda, kas notiek šajā gadījumā:

Gandrīz jebkuram DE tekstam vajadzētu izskaidrot iepriekš minēto materiālu.

Boyce & amp DiPrima daudzus gadus tika izmantots kā koledžas teksts (agrākais tā izdevums bija teksts, kuru es toreiz izmantoju):

Pastāvīgā koeficienta gadījums ir diezgan jauks un vienkāršs. Lieta ir tāda, ka, ja mēs uzskatām diferenciāciju kā operatoru D, tad sakot ay '' + ar '+ cy = 0, tas ir tas pats, kas jautāt, kurš y atbilst (aD ^ 2 + bD + c) y = 0. (Mēs var arī sadalīt ar a un iegūt svina koeficientu 1.) Tātad ļauj atrisināt y '' + ar '+ cy = (D ^ 2 + bD + c) y = 0.

Patīkamā daļa par nemainīgiem koeficientiem ir tāda, ka kreisās puses kvadrātiskais operators tāpat kā vidusskolas algebrā iekļauj divu lineāru operatoru sastāvu ("produkts"), proti, pēc kvadrātiskās formulas ir (sarežģītas) konstantes p un q, piemēram, ka D ^ 2 + bD + c = (Dp) (Dq), un šie lineārie operatori pārvietojas! Tātad, ja tos risinām atsevišķi, mēs iegūstam divus risinājumus, un tas ir viss, kas mums nepieciešams.

T.i. ja (Dp) y1 = 0, tad arī (Dq) (Dp) y1 = (Dq) (0) = 0. Līdzīgi, ja (Dq) y2 = 0, tad arī (Dp) (Dq) y2 = (Dq) ( 0) = 0. Tātad mums būs pamata risinājumi y1 un y2. Tā kā operators ir lineārs, jebkura lineāra y1 un y2 kombinācija būs arī risinājums. Tātad viss ir atkarīgs no tā, kā atrisināt (D-p) y = 0.

Bet tas ir viegli! T.i. (D-p) y = 0 tad un tikai tad, ja Dy = py, t.i., ja y atvasinājums ir konstants reizes y, un mēs zinām, ka eksponenciālā funkcija ir vienīgā šāda funkcija. T.i. mēs zinām, D (e ^ pt) = p.e ^ pt, tāpēc y = e ^ pt ir risinājums. Turklāt, ja y ir jebkurš Dy = py risinājums, tad dalot y ar e ^ pt un diferencējot, iegūst D (y / e ^ pt) = [Dy.e ^ pt - yD (e ^ pt)] / e ^ 2pt = [ py.e ^ pt - ype ^ pt] / e ^ 2pt = 0. tātad y / e ^ pt ir konstante, tātad y = konstante.e ^ pt, un tie ir vienīgie risinājumi.

Tagad, sastādot divus šādus operatorus, t.i., lietojot (D-p) (D-q), risinājumu skaits var pieaugt tikai par vienu dimensiju, tāpēc tas no viena diml risinājumu telpas pāriet uz divu diml telpu. Tā kā mums jau ir risinājumi e ^ pt un e ^ qt, tātad visas kombinācijas, proti, r.e ^ pt + s.e ^ qt visiem skaitļiem r, s, mums tie visi ir.

Ir viens īpašs gadījums, kad operatori ir kvadrāti, t.i., atrisina (D-p) (D-p) y = 0. Šajā gadījumā jums ir jāmeklē funkcija y tā, lai (D-p) y = r.e ^ pt. T.i. D-p šo funkciju nenogalina, bet nosaka, ka tā tiek nogalināta ar citu D-p lietojumu. Es domāju, ka pēc integrācijas pa daļām ir viegli redzēt, ka vēl viens šāds risinājums ir t.e ^ pt. voila!

Ak, un mans iecienītākais DE teksts ir Martin Braun. Man nekad nav paticis Boiss un dePrima, neskatoties uz plaši izplatīto popularitāti un ilgtermiņa lietojumu. Tātad, ja jums ir tāda pati reakcija, varat izmēģināt Braun.


Lejuplādēt tagad!

Mēs esam atvieglojuši PDF e-grāmatu atrašanu bez jebkādas rakšanas. Un, piekļūstot mūsu e-grāmatām tiešsaistē vai saglabājot tos datorā, jums ir ērtas atbildes, izmantojot sērijas risinājumus otrās kārtas lineārajiem diferenciālvienādojumiem. Lai sāktu atrast otrās kārtas lineāro diferenciālo vienādojumu sērijas risinājumus, jums ir taisnība, ka atrodat mūsu vietni, kurā ir iekļauta visaptveroša rokasgrāmatu kolekcija.
Mūsu bibliotēka ir lielākā no tām, kurā ir burtiski simtiem tūkstošu dažādu produktu.

Visbeidzot, es saņēmu šo e-grāmatu, paldies par visiem šiem sērijas risinājumiem otrās kārtas lineārajiem diferenciālvienādojumiem, kurus es varu iegūt tagad!

Es nedomāju, ka tas izdosies, mans labākais draugs man parādīja šo vietni, un tā arī darbojas! Es saņemu savu visvairāk meklēto e-grāmatu

wtf šo lielisko e-grāmatu bez maksas ?!

Mani draugi ir tik traki, ka nezina, kā man ir visas augstas kvalitātes e-grāmatas, kuras viņiem nav!

Ir ļoti viegli iegūt kvalitatīvas e-grāmatas)

tik daudz viltotu vietņu. tas ir pirmais, kas strādāja! Liels paldies

wtffff es to nesaprotu!

Vienkārši atlasiet klikšķi un pēc tam lejupielādes pogu un izpildiet piedāvājumu, lai sāktu lejupielādēt e-grāmatu. Ja ir kāda aptauja, tas aizņem tikai 5 minūtes, izmēģiniet jebkuru jums piemērotu aptauju.


Lejuplādēt tagad!

Mēs esam atvieglojuši PDF e-grāmatu atrašanu bez jebkādas rakšanas. Un, piekļūstot mūsu e-grāmatām tiešsaistē vai saglabājot tos datorā, jums ir ērtas atbildes, izmantojot otrās kārtas lineāro vienādojumu sērijas risinājumus. Lai sāktu atrast otrās kārtas lineāro vienādojumu sērijas risinājumus, jums ir taisnība, ka atrodat mūsu vietni, kurā ir iekļauta visaptveroša rokasgrāmatu kolekcija.
Mūsu bibliotēka ir lielākā no tām, kurā ir burtiski simtiem tūkstošu dažādu produktu.

Visbeidzot, es saņēmu šo e-grāmatu, paldies par visiem šiem otrās kārtas lineāro vienādojumu sērijas risinājumiem, kurus es varu iegūt tagad!

Es nedomāju, ka tas izdosies, mans labākais draugs man parādīja šo vietni, un tā arī darbojas! Es saņemu savu visvairāk meklēto e-grāmatu

wtf šo lielisko e-grāmatu bez maksas ?!

Mani draugi ir tik traki, ka nezina, kā man ir visas augstas kvalitātes e-grāmatas, kuras viņiem nav!

Ir ļoti viegli iegūt kvalitatīvas e-grāmatas)

tik daudz viltotu vietņu. tas ir pirmais, kas strādāja! Liels paldies

wtffff es to nesaprotu!

Vienkārši atlasiet klikšķi un pēc tam lejupielādes pogu un izpildiet piedāvājumu, lai sāktu lejupielādēt e-grāmatu. Ja ir kāda aptauja, tas aizņem tikai 5 minūtes, izmēģiniet jebkuru jums piemērotu aptauju.


Laipni lūdzam!

Šis ir viens no vairāk nekā 2400 OCW kursiem. Izpētiet šī kursa materiālus lapās, kas saistītas ar kreiso pusi.

MIT OpenCourseWare ir bezmaksas un atvērta publikācija tūkstošiem MIT kursu materiāliem, kas aptver visu MIT mācību programmu.

Nav reģistrācijas vai reģistrācijas. Brīvi pārlūkojiet un izmantojiet OCW materiālus savā tempā. Nav reģistrēšanās un sākuma vai beigu datumu.

Zināšanas ir jūsu atlīdzība. Izmantojiet OCW, lai vadītu savu mūžizglītību vai mācītu citus. Mēs nepiedāvājam kredītus vai sertifikātus par OCW izmantošanu.

Radīts koplietošanai. Lejupielādējiet failus vēlāk. Nosūtīt draugiem un kolēģiem. Modificēt, pārveidot un atkārtoti izmantot (vienkārši atcerieties norādīt OCW kā avotu.)


Otrās kārtas lineārie viendabīgie diferenciālvienādojumi ar mainīgiem koeficientiem

Funkcijas ( pa kreisi (x pa labi), pa kreisi (x pa labi), ldots, left (x right) ) tiek saukti lineāri atkarībā no intervāla ( left [ right], ) ja ir konstantes (< alpha _1>, < alpha _2>, ldots, < alpha _n>, ), nav visas nulles, piemēram, visām (x ) vērtībām no šī intervāla - identitāte

tur. Ja šī identitāte ir apmierināta tikai tad, ja (< alpha _1> = < alpha _2> = ldots ) ​​ (= < alpha _n> = 0, ), tad šīs funkcijas ( pa kreisi (x pa labi), pa kreisi (x pa labi), ldots, ) ( left (x right) ) tiek saukti lineāri neatkarīgi no intervāla ( left [ aisnība].)

Divu funkciju gadījumā lineārā neatkarības kritēriju var uzrakstīt vienkāršākā formā: Funkcijas ( pa kreisi (x pa labi), ) ( left (x right) ) ir lineāri neatkarīgi no intervāla ( left [ right], ) ja viņu koeficients šajā segmentā nav identiski vienāds ar konstanti:

Pretējā gadījumā, kad (< liels frac << pa kreisi (x pa labi) >> << left (x right) >> normalsize> equiv text) šīs funkcijas ir lineāri atkarīgas.

Ļaujiet (n ) funkcijām ( pa kreisi (x pa labi), ) ( pa kreisi (x pa labi), ldots, ) ( left (x right) ) ir atvasinājumi no ( left ( pa labi) ) pasūtījums. Noteicošais

šai funkciju sistēmai tiek dēvēts par Wronski determinantu vai Wronskian.

Wronskian tests.

Ja funkciju sistēma ( pa kreisi (x pa labi), ) ( pa kreisi (x pa labi), ldots, ) ( left (x right) ) ir lineāri atkarīgs no intervāla ( left [ pa labi], ), tad šajā laikā Wronskian izzūd.

No šejienes izriet, ka, ja vronskietis ir nulle, vismaz vienā intervāla punktā ( left [ labi], ), tad funkcijas ( pa kreisi (x pa labi), ) ( pa kreisi (x pa labi), ldots, ) ( left (x right) ) ir lineāri neatkarīgi. Šis Wronskian īpašums ļauj noteikt, vai viendabīga diferenciālvienādojuma risinājumi ir lineāri neatkarīgi.

Risinājumu pamatsistēma

Divu lineāri neatkarīgu konkrētu lineāra viendabīga otrās kārtas diferenciālvienādojuma risinājumu kopums veido tā pamatsistēmu sistēmu.

Ja ( pa kreisi (x pa labi), left (x right) ) ir fundamentāla risinājumu sistēma, tad otrās kārtas vienādojuma vispārīgais risinājums tiek attēlots kā

kur (, ) ir patvaļīgas konstantes.

Ņemiet vērā, ka noteiktai risinājumu sistēmai ( pa kreisi (x pa labi), ) ( left (x right) ) varam uzbūvēt atbilstošo viendabīgo diferenciālvienādojumu. Otrās kārtas vienādojuma gadījumā tas tiek izteikts kā determinants:

Liouville & # 8217s Formula

Tādējādi, kā minēts iepriekš, viendabīga otrās kārtas diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums ir divu lineāri neatkarīgu konkrētu risinājumu lineāra kombinācija ( pa kreisi (x pa labi), ) ( kreisais (x labais) ) no šī vienādojuma.

Acīmredzot konkrētie risinājumi ir atkarīgi no diferenciālvienādojuma koeficientiem. Liouville formula izveido saikni starp Wronskian (W left (x right), ), kas izveidota, pamatojoties uz konkrētiem risinājumiem ( pa kreisi (x pa labi), ) ( pa kreisi (x pa labi), ) un koeficients ( left (x right) ) diferenciālvienādojumā.

Ļaujiet (W left (x right) ) būt risinājumu wronskian ( pa kreisi (x pa labi), ) ( kreisais (x labais) ) lineārā otrās kārtas viendabīgā diferenciālvienādojumā

kurā funkcijas ( pa kreisi (x pa labi) ) un ( left (x right) ) ir nepārtraukti intervālā ( left [ labi]. ) Ļaujiet punktam () pieder intervālam ( left [ pa labi]. ) Tad visiem (x iekšā pa kreisi [ pa labi] ) Liouville formula

Praktiskās metodes otrās kārtas viendabīgu vienādojumu ar mainīgiem koeficientiem risināšanai

Diemžēl vispārēja metode konkrēta risinājuma atrašanai nepastāv. Parasti tas tiek darīts, uzminot.

Ja konkrēts risinājums (ir zināms homogēnā lineārā otrās kārtas vienādojuma kreisais (x labais) ne 0 ), sākotnējo vienādojumu var pārveidot par lineāru pirmās kārtas vienādojumu, izmantojot aizstāšanu (y = left (x right) z left (x right) ) un turpmākā nomaiņa (z & # 8217 left (x right) = u. )

Vēl viens veids, kā samazināt pasūtījumu, ir balstīts uz Liouville formulu. Šajā gadījumā konkrēts risinājums (Ir jāzina arī left (x right) ). Attiecīgie piemēri ir sniegti turpmāk.


7.1. Ievads lineāro otrās kārtas vienādojumu sērijas risinājumiem


Boiss un DiPrima, kas ir šī kursa grāmata, ir atrodami tiešsaistē šeit. Šis ir 9. izdevums, taču tas ir gandrīz identisks 10. izdevumam.

1. starpposma pārbaude: Šeit strādāja atbildes.
2. starpposma pārbaude: Šeit strādāja atbildes.

Vispārīgas saites (kas nav mājas darbs)

Mājasdarbs

1. mājas darbs: iestatiet pirmdien, 8. septembrī. Roku 10:00 pirmdien, 15. septembrī. Ieteikumi papildu prakses jautājumiem ir atrodami lapas beigās. Atbildes šeit.

Mājas darbs 2: iestatiet pirmdien, 15. septembrī. Roku 10:00 pirmdien, 22. septembrī. Ieteikumus papildu prakses jautājumiem var atrast lapas beigās. Atbildes šeit.

3. mājas darbs: iestatiet pirmdien, 22. septembrī. Roka 10:00 pirmdien, 29. septembrī. Ieteikumus papildu prakses jautājumiem var atrast lapas beigās. Atbildes šeit.

4. jautājuma piemērs: iestatiet pirmdien, 29. septembrī. Nepadodieties - tie ir tikai prakses jautājumi. Izstrādātās atbildes var atrast šeit.

5. jautājuma piemērs: iestatiet pirmdien, 6. oktobrī. Nepadodieties - tie ir tikai prakses jautājumi. Izstrādātās atbildes var atrast šeit.

Mājas darbs 6: iestatiet pirmdien, 13. oktobrī. Roka 10:00, pirmdien, 20. oktobrī. Ieteikumi papildu prakses jautājumiem atrodami lapas beigās. Atbildes šeit.

7. mājas darbs: iestatiet pirmdien, 20. oktobrī. Roka 10:00 pirmdien, 27. oktobrī. Ieteikumi papildu prakses jautājumiem atrodami lapas beigās. Atbildes šeit.

8. mājas darbs: iestatiet pirmdien, 27. oktobrī. Roku pulksten 10:00 pirmdien, 3. novembrī. Ieteikumi papildu prakses jautājumiem atrodami lapas beigās. Atbildes šeit.

9. mājas darbs: iestatiet pirmdien, 3. novembrī. Roka 10:00, pirmdien, 10. novembrī. Ieteikumi papildu prakses jautājumiem atrodami lapas beigās. Atbildes šeit.

10. jautājuma piemērs: iestatiet pirmdien, 10. novembrī. Nepadodieties - tie ir tikai prakses jautājumi. Izstrādātās atbildes var atrast šeit.

11. mājas darbs: iestatiet pirmdien, 17. novembrī. Roka 10:00 trešdien, 26. novembrī. Ieteikumi papildu prakses jautājumiem atrodami lapas beigās. Izstrādātās atbildes var atrast šeit.

12. mājas darbs: iestatiet trešdienu, 26. novembri. TIKAI 1 MĀJAS DARBU JAUTĀJUMS (paredzēts pirmdien, 1. decembrī, no pulksten 9:00 līdz 14:00 ārpus LSK203, vai nodot klasē piektdien, 28. novembrī). Pārējie jautājumi ir sarežģītāki prakses jautājumi, ar atbildēm šeit.

Plašu suku lekciju izklāsts katru nedēļu

Attiecīgie sadaļu numuri Boyce un DiPrima, kas norādīti kvadrātiekavās []

1. nedēļa (līdz piektdienai, 5. septembrim): Galvenais jēdziens: Ievads diferenciālvienādojumos. Diferenciālvienādojumu terminoloģija [1.3]

2. nedēļa (līdz piektdienai, 12. septembrim): Galvenā koncepcija: Pirmās kārtas ODE un kā tos atrisināt. Kā atrisināt atdalāmos vienādojumus [2.2] un izmantojot faktoru integrēšanas metodi [2.1]. Spēja pārvērst no vārdiem matemātikā [2.3]. Starpība starp lineārajiem / nelineārajiem vienādojumiem [2.4]. Autonomie vienādojumi: kā uzzināt par risinājumu būtību, neatrisinot vienādojumu [2.5].

3. nedēļa (līdz piektdienai, 19. septembrim): Galvenais jēdziens: (Lineāri) Otrās kārtas ODE un kā tos atrisināt. Metode homogēnu lineāru otrās kārtas vienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem risināšanai [3.1]. Daži vispārīgi teorijas par viendabīgiem lineāriem otrās kārtas vienādojumiem - Wronskian un jēdziens “fundamentāli risinājumu komplekti” [3.2]. Vienādojumu risināšana ar sarežģītām saknēm [3.3] vai atkārtotām saknēm [3.4].

4. nedēļa (līdz piektdienai, 26. septembrim): Galvenais jēdziens: (Lineāri) Otrās kārtas ODE: risinājumi neviendabīgiem vienādojumiem. Pabeidziet materiālu par atkārtotām vienādojumu saknēm un vispārējo teoriju, lai atrastu otro sakni, samazinot pasūtījumu [3.4]. Neviendabīgi vienādojumi: nenoteiktu koeficientu metode [3.5] un parametru variēšanas metode [3.6]. Matemātiskā modelēšana: 2. kārtas DE pielietošana [3.7-3.8] (īsi).

5. nedēļa (līdz piektdienai, 3. oktobrim): Galvenais jēdziens: Pabeidziet 2. kārtas ODE, (varbūt) sāciet domāt par vienādojumu sistēmām, (noteikti) sēdiet 1. starpposma eksāmenu. Pabeigt parametru variēšanas metodi [3.6] un īsi pieminēt matemātisko modelēšanu [3.7-3.8]. Apkopojiet pirms eksāmena. (varbūt) Sāciet aplūkot lineāro vienādojumu sistēmas [7.1]

6. nedēļa (līdz piektdienai, 10. oktobrim): Galvenais jēdziens: Lineāru 1. kārtas vienādojumu sistēmas: pamatidejas, viendabīgas problēmas ar atšķirīgām reālām saknēm. Pārskats par lineāro algebru: īpašvektori un īpašvērtības [7.2-7.4], viendabīgas pirmās kārtas vienādojumu sistēmas: atšķirīgas reālās saknes un fāžu portretu jēdziens [7.5], sarežģītas saknes [7.6].

7. nedēļa (līdz piektdienai, 17. oktobrim): Galvenais jēdziens: Lineāro 1. kārtas vienādojumu sistēmas: viendabīgas sistēmas ar atkārtotām saknēm. Pabeidziet sarežģītas saknes [7.6], (īsi) pamatmatricas definīciju [7.7], sāciet atkārtotas saknes [7.8]. Piezīme: Nodarbības nav ne pirmdienā, ne 13., ne trešdienā.

8. nedēļa (līdz piektdienai, 24. oktobrim): Galvenais jēdziens: Lineāro 1. kārtas vienādojumu sistēmas: atkārtotas saknes un neviendabīgas sistēmas. Atkārtotas saknes [7.8], neviendabīgi vienādojumi [7.9] - trīs metodes to risināšanai: nenoteikti koeficientu diagonalizācija vai parametru variācija.

9. nedēļa (līdz piektdienai, 31. oktobrim): Galvenais jēdziens: Laplasa transformācijas. Pamata definīcija un dažas vienkāršas Laplasa [6.1] lietojumprogrammas pārveidošana ODE [6.2] lietošanai ar soļu funkcijām un pielietošana ODE ar nepārtrauktu piespiešanu [6.3,6.4].

10. nedēļa (līdz piektdienai, 7. novembrim): Galvenais jēdziens: vairāk Laplasa transformāciju un ievads PDE. Impulsu funkcijas (Diraka delta funkcija) [6.5] un konvekcija [6.6]. Sāciet daļējos diferenciālvienādojumus [7. nodaļa] - pamatidejas [7.1].

11. nedēļa (līdz piektdienai, 14. novembrim): Galvenais jēdziens: Furjē sērija. Robežvērtību problēmas, īpašfunkcijas / īpašvērtības [7.1] Furjē sērija: periodiskums, nepāra / pāra funkcijas, ortogonalitāte, Furjē sērijas aprēķināšanas metode [7.2 - 7.4].

12. nedēļa (līdz piektdienai, 21. novembrim): Galvenais jēdziens: MID-TERM 2. Mainīgo atdalīšana PDE. Finišs Furjē sērija [10.3,10.4]. Mainīgo atdalīšana: difūzijas vienādojums (siltuma vadīšana) [10.5,10.6].

13. nedēļa (līdz piektdienai, 28. novembrim): Galvenais jēdziens: Mainīgo atdalīšana PDE Viļņu vienādojums (virknes vibrācijas) [10.7], Laplasa vienādojums [10.8]. KURSA BEIGAS.


Zusammenfassung

Arhīvs parastajā arbītā ar nāves metodi Methode um die annähernde Lösungen - die WKB Lösungen genannt - für eine Klasse gewöhlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung festzusetzen. Wir analysieren auch die Versuchungen vershiedener Beiträger zu dieser Methode die ihre Rezultāts mathematisch begründen wollten. Diese WKB Lösungen würden später bewiesen als asymptotische Lösungen im Sinne Poincaré & # x27s. Auch presentiert und untersucht sind die verschiedenen Methoden, das “connection problem” zu behandlen, welcome alls der Benützung dieser WKB Lösungen ensteht.