Raksti

10.2: nogāzes polārajās koordinātās - matemātika


Aprakstot līkni, izmantojot polārās koordinātas, tā joprojām ir līkne (x-y ) plaknē. Mēs vēlētos, lai varētu aprēķināt šo līkņu nogāzes un laukumus, izmantojot polārās koordinātas.

Mēs esam redzējuši, ka (x = r cos theta ) un (y = r sin theta ) apraksta saikni starp polārajām un taisnstūrveida koordinātām. Ja mūs savukārt interesē līkne, kuru dod (r = f ( theta) ), tad mēs varam rakstīt (x = f ( theta) cos theta ) un (y = f ( theta) sin theta ), aprakstot (x ) un (y ) tikai ( theta ) izteiksmē. Pirmais no šiem vienādojumiem netieši apraksta ( theta ) ar izteiksmi (x ), tāpēc, izmantojot ķēdes kārtulu, mēs varam aprēķināt

[{dy over dx} = {dy over d theta} {d theta over dx}. ]

Tā kā (d theta / dx = 1 / (dx / d theta) ), tā vietā mēs varam aprēķināt

[{dy over dx} = {dy / d theta over dx / d theta} = {f ( theta) cos theta + f '( theta) sin theta over -f ( theta) sin theta + f '( theta) cos theta}. ]

Piemērs ( PageIndex {1} ):

Atrodiet punktus, kuros (r = 1 + cos theta ) dotajai līknei ir vertikāla vai horizontāla pieskares līnija. Tā kā šai funkcijai ir periods (2 pi ), mēs varam ierobežot savu uzmanību intervālam ([0,2 pi) ) vai ((- pi, pi] ), kā to nosaka ērtības. Pirmkārt, mēs aprēķinām slīpumu:

[{dy over dx} = {(1+ cos theta) cos theta- sin theta sin theta over - (1+ cos theta) sin theta- sin theta cos theta} = { cos theta + cos ^ 2 theta- sin ^ 2 theta over - sin theta-2 sin theta cos theta}. ]

Šī daļa ir nulle, ja skaitītājs ir nulle (un saucējs nav nulle). Skaitītājs ir (2 cos ^ 2 theta + cos theta-1 ), tāpēc pēc kvadrātiskās formulas $$ cos theta = {- 1 pm sqrt {1 + 4 cdot2} over 4} = -1 quad hbox {vai} quad {1 over 2}. $$ Tas nozīmē, ka ( theta ) ir ( pi ) vai ( pm pi / 3 ). Tomēr, kad ( theta = pi ), saucējs ir arī (0 ), tāpēc mēs nevaram secināt, ka pieskares līnija ir horizontāla.

Iestatot saucēju uz nulli, mēs iegūstam $$ eqalign {- theta-2 sin theta cos theta & = 0 cr sin theta (1 + 2 cos theta) & = 0, cr} $$ tātad vai nu ( sin theta = 0 ), vai ( cos theta = -1 / 2 ). Pirmais ir taisnība, ja ( theta ) ir (0 ) vai ( pi ), otrais, ja ( theta) ir (2 pi / 3 ) vai (4 pi / 3 ). Tomēr, tāpat kā iepriekš, kad ( theta = pi ), skaitītājs ir arī (0 ), tāpēc mēs nevaram secināt, ka pieskares līnija ir vertikāla. Attēls 10.2.1 rāda punktus, kas atbilst ( theta ), kas vienādi ar (0 ), ( pm pi / 3 ), (2 pi / 3 ) un (4 pi / 3 ). funkcijas grafiks. Ņemiet vērā, ka tad, kad ( theta = pi ), līkne trāpās ar izcelsmi un tai nav pieskares līnijas.

10.2.1. Attēls. (R = 1 + cos theta ) vertikālās un horizontālās tangences punkti.

Mēs zinām, ka otrais atvasinājums (f '' (x) ) ir noderīgs funkciju aprakstā, proti, ieliekuma aprakstā. Mēs varam aprēķināt (f '' (x) ) arī polāro koordinātu izteiksmē. Mēs jau zinām, kā rakstīt (dy / dx = y ') ( theta ) izteiksmē, tad

[{d over dx} {dy over dx} = {dy ' over dx} = {dy' over d theta} {d theta over dx} = {dy '/ d theta over dx / d theta}. ]

Elipsis šeit ir diezgan ievērojams algebras daudzums. No augšas mēs zinām, ka kardioīdam ir horizontālas pieskares pie ( pm pi / 3 ); aizstājot šīs vērtības otrajā atvasinājumā, mēs iegūstam (y '' ( pi / 3) = - sqrt {3} / 2 ) un (y '' (- pi / 3) = sqrt {3} / 2 ), norādot attiecīgi ieliektu uz leju un uz augšu. Tas saskan ar funkcijas grafiku.


10.2: nogāzes polārajās koordinātās - matemātika

Mēs esam redzējuši, ka dažas funkcijas var attēlot kā sērijas, kas var sniegt vērtīgu informāciju par funkciju. Līdz šim mēs esam redzējuši tikai tos piemērus, kas izriet no manipulācijām ar mūsu vienu pamatpiemēru, ģeometrisko sēriju. Mēs vēlētos sākt ar noteiktu funkciju un, ja iespējams, izveidot sēriju, kas to atspoguļo.

Pieņemsim, ka $ ds f (x) = summa_^ infty a_nx ^ n $ uz kādu konverģences intervālu. Tad mēs zinām, ka mēs varam aprēķināt $ f $ atvasinājumus, ņemot sērijas noteikumu atvasinājumus. Apskatīsim dažus pirmos kopumā: $ eqalign ^ infty n a_n x ^= a_1 + 2a_2x + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + cdots cr f "(x) & = summa_^ infty n (n-1) a_n x ^= 2a_2 + 3 cdot2a_3x +4 cdot3a_4x ^ 2 + cdots cr f "" (x) & = summa_^ infty n (n-1) (n-2) a_n x ^= 3 cdot2a_3 +4 cdot3 cdot2a_4x + cdots cr> $ Pārbaudot tos, nav grūti noteikt vispārējo modeli. $ K $ th atvasinājumam ir jābūt $ eqalign (x) & = sum_^ infty n (n-1) (n-2) cdots (n-k + 1) a_nx ^ cr & = k (k-1) (k-2) cdots (2) (1) a_k + (k + 1) (k) cdots (2) a_x + <> cr & qquad <> + (k + 2) (k + 1) cdots (3) a_x ^ 2 + cdots cr> $ Mēs varam to diezgan nedaudz samazināt, izmantojot faktoriālo apzīmējumu: $ f ^ <(k)> (x) = sum_^ infty a_nx ^= k! a_k + (k + 1)! a_x + <(k + 2)! pāri 2!> a_x ^ 2 + cdots $ Tagad aizstājiet $ x = 0 $: $ f ^ <(k)> (0) = k! a_k + sum_^ infty a_n0 ^= k! a_k, $ un atrisiniet $ ds a_k $: $ a_k =(0) pār k!>. $. Ņemiet vērā īpašo gadījumu, kas iegūts no sērijas pašam $ f $, kas dod $ ds f (0) = a_0 $.

Tātad, ja funkciju $ f $ var attēlot ar virkni, mēs tikai zinām, kāda tā ir sērija. Ņemot vērā funkciju $ f $, sērija $ sum_^ infty (0) over n!> X ^ n $ sauc par Maclaurin sērija par $ f $.

11.10.1. Piemērs. Atrodiet Maclaurin sēriju ar vērtību $ f (x) = 1 / (1-x) $. Mums jāaprēķina $ f $ atvasinājumi (un jācer, ka pamanīsim modeli). $ eqalign cr f '(x) & = (1-x) ^ <-2> cr f' '(x) & = 2 (1-x) ^ <-3> cr f "" (x) & = 6 (1-x) ^ <-4> cr f ^ <(4)> (x) & = 4! (1 -x) ^ <-5> cr & vdots cr f ^ <(n)> (x) & = n! (1-x) ^ <-n-1> cr> $ So $(0) pāri n!> = over n!> = 1 $ un Maclaurin sērija ir $ sum_^ infty 1 cdot x ^ n = summa_^ infty x ^ n, $ ģeometriskā sērija.

Brīdinājums šeit ir kārtībā. Ņemot vērā funkciju $ f $, mēs, iespējams, varēsim aprēķināt Maclaurin sēriju, taču tas nenozīmē, ka esam atraduši sērijas attēlojumu $ f $. Mums joprojām ir jāzina, kur sērija saplūst, un ja, ja tā saplūst, tā saplūst ar $ f (x) $. Lai gan visbiežāk sastopamajām funkcijām Maclaurin sērija dažos intervālos patiešām saplūst ar $ f $, tas neattiecas uz visām funkcijām, tāpēc ir nepieciešama piesardzība.

Praktiski, ja mēs esam ieinteresēti izmantot sēriju, lai tuvinātu funkciju, mums būs vajadzīgs noteikts skaits sērijas terminu. Pat funkcijām ar netīriem atvasinājumiem mēs tās varam aprēķināt, izmantojot datoru programmatūru, piemēram, Sage. Ja mēs vēlamies uzzināt visu sēriju, tas ir, sērijas tipisko terminu, mums ir nepieciešama funkcija, kuras atvasinājumi ietilpst modelī, kuru mēs varam saskatīt. Dažas no vissvarīgākajām funkcijām, par laimi, ir ļoti vienkāršas.

11.10.2. Piemērs Atrodiet Maclaurin sēriju $ sin x $.

Atvasinājumi ir diezgan viegli: $ f '(x) = cos x $, $ f' '(x) = - sin x $, $ f' '(x) = - cos x $, $ ds f ^ <(4)> (x) = sin x $, un pēc tam modelis atkārtojas. Mēs vēlamies uzzināt atvasinājumus pie nulles: 1, 0, $ -1 $, 0, 1, 0, $ -1 $, 0 un hellip, un tāpēc Maclaurin sērija ir $ x-+- cdots = summa_^ infty (-1) ^ n pāri (2n + 1)!>. $ Mums vienmēr jānosaka konverģences rādiuss: $ lim_ <| x | ^ <2n + 3> virs (2n + 3)!> <(2n + 1)! pāri | x | ^ <2n + 1 >> = lim_ <| x | ^ 2 over (2n + 3) (2n + 2)> = 0, $ tāpēc sērija saplūst katram $ x $. Tā kā izrādās, ka šī sērija patiešām visur saplūst ar $ sin x $, mums ir sērijas attēlojums $ sin x $ par katru $ x $.

Dažreiz funkcijas $ f $ atvasinājuma formulu ir grūti atklāt, taču zināmas Maclaurin sērijas un dažu algebrisku manipulāciju kombinācija viegli noved pie Maclaurin sērijas par $ f $.

11.10.3. Piemērs. Atrodiet Maclaurin sēriju $ x sin (-x) $.

Lai iegūtu no $ sin x $ uz $ x sin (-x) $, mēs $ x $ aizstājam ar $ x $ un pēc tam reizinām ar $ x $. Mēs varam darīt to pašu sērijai par $ sin x $: $ x sum_^ infty (-1) ^ n <(- x) ^ <2n + 1> virs (2n + 1)!> = x summa_^ infty (-1) ^(-1) ^ <2n + 1> virs (2n + 1)!> = summa_^ infty (-1) ^ pāri (2n + 1)!>. $

Kā mēs redzējām, vispārēju jaudas sēriju var centrēt citā vietā, nevis nulle, un metode, kas ražo Maclaurin sēriju, var radīt arī šādas sērijas.

11.10.4. Piemērs Atrodiet sēriju, kuras centrā ir $ -2 $ par $ 1 / (1-x) $.

Ja sērija ir $ ds summa_^ infty a_n (x + 2) ^ n $, tad aplūkojot $ k $ th atvasinājumu: $ k! (1-x) ^ <-k-1> = summa_^ infty a_n (x + 2) ^$ un aizstājot $ x = -2 $, mēs iegūstam $ ds k! 3 ^ <-k-1> = k! a_k $ un $ ds a_k = 3 ^ <-k-1> = 1/3 ^$, tātad sērija ir $ sum_^ infty <(x + 2) ^ n virs 3 ^>. $ Mēs to jau esam redzējuši 11.8. Sadaļā.

Šādu sēriju sauc par Teilora sērija funkcijai, un vispārējā termina forma ir $(a) over n!> (x-a) ^ n. $ Maklaurina sērija ir vienkārši Teilora sērija ar $ a = 0 $.


10.3. Polārās koordinātas (# 1)

Ievads: Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā zīmēt punktus, izmantojot polārās koordinātas. Mēs arī uzzīmēsim dažādas polārās līknes. Mēs arī uzzināsim, kā mēs varam vispārināt atvasinājuma ideju, lai atrastu polārās līknes slīpumu. Tas arī ļaus mums noteikt, kad pieskares līnija ir vertikāla vai horizontāla.

Mērķi: Pēc šīs nodarbības jums vajadzētu būt iespējai:

  • Izprotiet polāro koordinātu sistēmu.
  • Pārrakstiet taisnstūra koordinātas un vienādojumus polārā formā un otrādi.
  • Ieskicējiet polārā formā dotā vienādojuma grafiku.
  • Atrodiet pieskares līnijas slīpumu polārajam grafikam.
  • Identificējiet vairākus polāro diagrammu veidus.

Video un amp piezīmes: Skatoties videoklipu, aizpildiet šīs nodarbības piezīmju lapu (10-3-Polar-Coordinates). Ja vēlaties, jūs varat patstāvīgi izlasīt 10.3. Sadaļu un pats izstrādāt problēmas piezīmēs. Atcerieties, ka piezīmes katru nedēļu jāaugšupielādē Blackboard, lai saņemtu atzīmi! Ja kāda iemesla dēļ zemāk redzamais videoklips netiek ielādēts, šeit varat piekļūt tam vietnē YouTube.

Mājasdarbs: Pārejiet uz sadaļu Tīmekļa piešķiršana un izpildiet & # 822010.3 Polāro koordinātu un polāro diagrammu & # 8221 uzdevumu.


10.3. Polārās koordinātas (# 1)

Ievads: Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā zīmēt punktus, izmantojot polārās koordinātas. Mēs arī uzzīmēsim dažādas polārās līknes. Mēs arī uzzināsim, kā mēs varam vispārināt atvasinājuma ideju, lai atrastu polārās līknes slīpumu. Tas arī ļaus mums noteikt, kad pieskares līnija ir vertikāla vai horizontāla.

Mērķi: Pēc šīs nodarbības jums vajadzētu būt iespējai:

  • Izprotiet polāro koordinātu sistēmu.
  • Pārrakstiet taisnstūra koordinātas un vienādojumus polārā formā un otrādi.
  • Ieskicējiet polārā formā dotā vienādojuma grafiku.
  • Atrodiet pieskares līnijas slīpumu polārajam grafikam.
  • Identificējiet vairākus polāro diagrammu veidus.

Video un amp piezīmes: Skatoties videoklipu, aizpildiet šīs nodarbības piezīmju lapu (10-3-Polar-Coordinates). Ja vēlaties, jūs varat patstāvīgi izlasīt 10.3. Sadaļu un pats izstrādāt problēmas piezīmēs. Atcerieties, ka piezīmes katru nedēļu jāaugšupielādē Blackboard, lai saņemtu atzīmi! Ja kāda iemesla dēļ zemāk redzamais videoklips netiek ielādēts, šeit varat piekļūt tam vietnē YouTube.

Mājasdarbs: Pārejiet uz sadaļu Tīmekļa piešķiršana un izpildiet & # 822010.3 Polāro koordinātu un polāro diagrammu & # 8221 uzdevumu.

Prakses problēmas: Likmes Nr. 1-11, koeficienti 15-25, koeficienti 29-43

Atstāj atbildi Atcelt atbildi

Aļaskas Fērbenksas universitāte ir AA / EO darba devēja un izglītības iestāde, un tā aizliedz nelikumīgu jebkura cilvēka diskrimināciju. Uzziniet vairāk par UA & # 8217 paziņojumu par nediskrimināciju.


10.3. Polārās koordinātas (# 2)

Ievads: Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā zīmēt punktus, izmantojot polārās koordinātas. Mēs arī uzzīmēsim dažādas polārās līknes. Mēs arī uzzināsim, kā mēs varam vispārināt atvasinājuma ideju, lai atrastu polārās līknes slīpumu. Tas arī ļaus mums noteikt, kad pieskares līnija ir vertikāla vai horizontāla.

Mērķi: Pēc šīs nodarbības jums vajadzētu būt iespējai:

  • Izprotiet polāro koordinātu sistēmu.
  • Pārrakstiet taisnstūra koordinātas un vienādojumus polārā formā un otrādi.
  • Ieskicējiet polārā formā dotā vienādojuma grafiku.
  • Atrodiet pieskares līnijas slīpumu polārajam grafikam.
  • Identificējiet vairākus polāro diagrammu veidus.

Video un amp piezīmes: Skatoties videoklipu, aizpildiet šīs nodarbības piezīmju lapu (10-3-Polar-Coordinates-2). Ja vēlaties, varat praksē patstāvīgi izlasīt 10.3. Sadaļu un piezīmēs noteiktās problēmas. Atcerieties, ka piezīmes ik nedēļu jāaugšupielādē Blackboard, lai saņemtu atzīmi! Ja kāda iemesla dēļ zemāk redzamais videoklips netiek ielādēts, šeit varat piekļūt tam vietnē YouTube.

Mājasdarbs: Pārejiet uz sadaļu Tīmekļa piešķiršana un izpildiet & # 822010.3 Polāro koordinātu un polāro diagrammu & # 8221 uzdevumu.


10. nodaļa Galīgais pārskats

Ievads: Šajā nodarbībā mēs pārskatīsim, kā noformēt parametriskās līknes un kā vispārināt mums zināmo aprēķinu uz parametriski definētām līknēm. Mēs atradīsim pieskares līniju nogāzes, noteiksim, kur pieskares līnija ir vertikāla un horizontāla, kā atrast laukumus zem līknēm, virsmas laukumus un loka garumu. Mēs arī pārskatīsim, kā attēlot polārās koordinātas un polārās līknes. Pēc tam mēs pārskatīsim, kā mēs atrodam polāro līkņu nogāzes, laukumus, loka garumus un virsmas laukumus.

Mērķi: Pēc šīs nodarbības jums vajadzētu būt iespējai:

  • Grafisko parametru līknes un, ja iespējams, izslēdziet parametru, lai atrastu līknes Dekarta vienādojumu.
  • Atrodiet pieskares līniju nogāzes, laukumus zem līknēm, loka garumu un parametriski definētu līkņu virsmas laukumus.
  • Grafika polārās koordinātas un polārās līknes.
  • Atrodiet polāro līkņu nogāzes, laukumus, loka garumus un virsmas laukumus.

Video un amp piezīmes: Skatoties videoklipu, aizpildiet šīs nodarbības piezīmju lapu (10. nodaļa - galīgais pārskats). Ja vēlaties, jūs varat pārskatīt 10. nodaļu (vai savas piezīmes no šīs nodaļas) un praksē patstāvīgi noteikt piezīmju problēmas. Atcerieties, ka piezīmes katru nedēļu jāaugšupielādē Blackboard, lai saņemtu atzīmi! Ja kāda iemesla dēļ zemāk redzamais videoklips netiek ielādēts, šeit varat piekļūt tam vietnē YouTube.

Mājasdarbs: Šajā nodarbībā nav WebAssign mājasdarbu. Tā kā jums vēl nav bijis eksāmens, kas aptvertu šo materiālu, es prasu, lai jūs papildus prakses finālam veiktu arī šīs pārbaudes stundas praksi. Šeit tas atkal ir: Nodaļa-10-Prakse-Eksāmens. Papildus prakses eksāmenam es iesaku arī pabeigt šādas pārskata problēmas, kas atrodamas jūsu teksta 10. nodaļas beigās.

Prakses problēmas: 10. nodaļa Pārskata vingrinājumi Nr. 1-4 visi, 9-13 koeficienti, 17, 21-25 koeficienti, 33-39 koeficienti


Ortogonālās trajektorijas slīpums polārajās koordinātās (salīdzinot ar ortogonālās trajektorijas slīpumu plaknē $ xy $)

Atrodot līkņu saimes ortogonālās trajektorijas plaknē $ xy $, mēs rīkojamies šādi:

  1. Diferencējiet līkņu saimes vienādojumu attiecībā pret neatkarīgajiem mainīgajiem, kas mums dod līkņu saimes slīpumu
  2. Novērst parametru (ja diferenciācijas laikā tas vēl nav izslēgts)
  3. Pārkārtojiet, lai iegūtu veidlapu $ dfrac= f (x, y) $
  4. Ņemiet negatīvo abpusējo vērtību $ dfrac nozīmē dfrac <-dx>= f (x, y) $, kas dod mums ortogonālo trajektoriju slīpumu
  5. Atrisiniet diferenciālvienādojumu, izmantojot mainīgo atdalīšanu vai kādu citu metodi. Tas dod mums ortogonālo trajektoriju vienādojumu.

Savā iepriekšējā (saistītajā) jautājumā es savā mācību grāmatā pieminēju savdabīgu problēmu "Diferenciālvienādojumi ar lietojumiem un vēsturiskām piezīmēm, 3. izdevums", autori Simmons un Finlay, kur autori izmantoja polārās koordinātas, lai atrisinātu ortogonālo trajektoriju problēmu. Iepriekš minētajā jautājumā es atklāju, ka manas neskaidrības iemesls bija tāpēc, ka ortogonālo trajektoriju slīpums polārā forma ir atšķirīgs no ortogonālo trajektoriju slīpuma xy plakne: Ortogonālo trajektoriju slīpums xy plakne, kā iepriekš minēts, ir negatīvs abpusējs $ dfrac nozīmē dfrac <-dx> = f (x, y) $, savukārt ortogonālo trajektoriju slīpums polārā forma ir $ dfrac <1> negatīvs abpusējs dfrac < mathrm dr> < mathrm d theta> nozīmē -r dfrac < mathrm d theta> < mathrm dr> = f (r, theta) $. Citiem vārdiem sakot, un vispārīgāk, mēs varam redzēt, ka veids, kādā mēs iegūstam ortogonālo (normālo) trajektoriju (vektoru) slīpumu polārā formā, atšķiras no $ xy $ plaknes.

Mana sākotnējā neskaidrība izrietēja no šī fakta, ka ar polārajām koordinātām mēs ne tikai ņemam operatora $ dfrac < mathrm dr> < mathrm d theta> $ negatīvo atgriezenisko vērtību, bet arī $ dfrac negatīvo atgriezenisko vērtību <1>$ kopā ar to. Šī atšķirība mācību grāmatā netika minēta, vienīgais pieminētais gadījums bija darīšana ar operatoru $ dfrac = f (x, y) $ - xy plaknes koordinātas.

Es būtu ļoti pateicīgs, ja cilvēki varētu, lūdzu, veltīt laiku, lai ievietotu pakāpenisku pierādījumu, kas skaidri parāda, ka atšķirībā no ortogonālās trajektorijas $ xy $ plaknē ortogonālā trajektorija polārā formā tiek atrasta, ņemot negatīvo abpusējs no $ dfrac nozīmē -r dfrac < mathrm d theta> < mathrm dr> = f (r, theta) $. Mans mērķis ir pārliecināt sevi, ka tā ir taisnība - ka veids, kā mēs iegūstam slīpumu ortogonālajām trajektorijām, atšķiras starp vienādojumiem, izmantojot koordinātas xy plaknē $ left ( dfrac nozīmē dfrac <-dx> = f (x, y) right) $ un tie, kas izmanto koordinātas polārā formā $ left ( dfrac <1> dfrac < mathrm dr> < mathrm d theta> nozīmē -r dfrac < mathrm d theta> < mathrm dr> = f (r, theta) right) $.


10.2: nogāzes polārajās koordinātās - matemātika

1. Atrodiet pieskares līniju pa (r = sin pa kreisi (<4 theta> pa labi) cos pa kreisi ( theta pa labi) ) pie ( displaystyle theta = frac < pi> <6> ).

Rādīt visus soļus Slēpt visus soļus

Pirmkārt, mums būs jāievēro atvasinājums,

[ frac <><> = 4 cos left (<4 theta> right) cos left ( theta right) - sin left (<4 theta> right) sin left ( theta right) ] Parādiet 2. darbību

Pēc tam izmantojiet formulu no šīs sadaļas piezīmēm, kas mums ir,

Tas ir ļoti netīrs atvasinājums (tas bieži notiek), un, vismaz šajā gadījumā, mēs nevaram izdarīt daudz vienkāršojumu ...

Tālāk mums būs jānovērtē gan atvasinājums no iepriekšējā soļa, gan arī (r ) pie ( theta = frac < pi> <6> ).

Jūs varat redzēt, kāpēc mums abi šie labi ir vajadzīgi?

Visbeidzot, mums ir vajadzīgas (x ) un (y ) koordinātas, pie kurām būsim, kad ( theta = frac < pi> <6> ). Šīs vērtības ir pietiekami viegli atrodamas, ņemot vērā, ka mēs zinām, kas šajā brīdī ir (r ), un mēs zinām arī koordinātu konvertēšanas formulas no polārā uz Dekarta. Tātad,

[x = r cos left ( theta right) = frac <3> <4> cos left (< frac < pi> <6>> right) = frac << 3 sqrt 3 >> <8> hspace <0.75in> y = r sin left ( theta right) = frac <3> <4> sin left (< frac < pi> <6> > pa labi) = frac <3> <8> ]

Protams, mums ir arī pieskares līnijas slīpums, jo tā ir tikai atvasinājuma vērtība, kuru mēs aprēķinājām iepriekšējā solī.


10. nodaļa Galīgais pārskats

Ievads: Šajā nodarbībā mēs pārskatīsim, kā attēlot parametriskās līknes un kā vispārināt mums zināmo aprēķinu parametriski definētām līknēm. Mēs atradīsim pieskares līniju nogāzes, noteiksim, kur pieskares līnija ir vertikāla un horizontāla, kā atrast laukumus zem līknēm, virsmas laukumus un loka garumu. Mēs arī pārskatīsim, kā attēlot polārās koordinātas un polārās līknes. Pēc tam mēs pārskatīsim, kā mēs atrodam polāro līkņu nogāzes, laukumus, loka garumus un virsmas laukumus.

Mērķi: Pēc šīs nodarbības jums vajadzētu būt iespējai:

  • Grafisko parametru līknes un, ja piemērojams, izslēdziet parametru, lai atrastu līknes Dekarta vienādojumu.
  • Atrodiet pieskares līniju nogāzes, laukumus zem līknēm, loka garumu un parametriski definētu līkņu virsmas laukumus.
  • Grafika polārās koordinātas un polārās līknes.
  • Atrodiet polāro līkņu nogāzes, laukumus, loka garumus un virsmas laukumus.

Video un amp piezīmes: Skatoties videoklipu, aizpildiet šīs nodarbības piezīmju lapu (10. nodaļa - galīgais pārskats). Ja vēlaties, jūs varat pārskatīt 10. nodaļu (vai savas piezīmes no šīs nodaļas) un praksē patstāvīgi noteikt piezīmju problēmas. Atcerieties, ka piezīmes katru nedēļu jāaugšupielādē Blackboard, lai saņemtu atzīmi! Ja kāda iemesla dēļ zemāk redzamais videoklips netiek ielādēts, varat tam piekļūt vietnē YouTube šeit.

Mājasdarbs: Šajā nodarbībā nav WebAssign mājasdarbu. Tā kā jums vēl nav bijis eksāmens, kas aptvertu šo materiālu, es prasu, lai jūs papildus prakses finālam veiktu arī šīs pārbaudes stundas praksi. Šeit tas atkal ir: Nodaļa-10-Prakse-Eksāmens. Papildus prakses eksāmenam es iesaku arī pabeigt šādas pārskata problēmas, kas atrodamas jūsu teksta 10. nodaļas beigās.

Prakses problēmas: 10. nodaļa Pārskata vingrinājumi Nr. 1-4 visi, 9-13 koeficienti, 17, 21-25 koeficienti, 33-39 koeficienti


Polārās, sfēriskās un ģeogrāfiskās koordinātas

Pētot jauno VL matemātikas bibliotēku, parādījās polāro, sfērisko un ģeogrāfisko koordinātu tēma. Pēc vairāku rakstu izlasīšanas bija skaidrs, ka pastāv neskaidrības par leņķa konvenciju, orientāciju un nosaukumiem.

Šis emuāra ziņojums sākas no oficiālās definīcijas matemātikas mācību grāmatās un iegūst pareizās realizācijas kreisās puses koordinātu sistēmā ar y asi uz augšu, tāpat kā DirectX.

Polārās un sfēriskās koordinātu sistēmas veic to pašu darbu, ko vecā labā Dekarta koordinātu sistēma, kuru jūs vienmēr ienīdāt skolā. Tas apraksta katru punktu plaknē vai telpā attiecībā pret izcelsmi O ar vektoru. Bet 3 perpendikulāru virzienu xyz vietā tā izmanto attālumu no sākuma un leņķiem, lai noteiktu pozīciju.

Konvencijas

Turpmākajos aprakstos leņķa mērvienības ir grādi, un Dekarta koordinātu sistēmas un rasējumi ir tie, kurus atradīsit matemātikas mācību grāmatās.

2.d definīcija ir vienkārša. Pozīciju nosaka attālums līdz sākumam un viens leņķis. Mums vienkārši vajag:

Praktisku apsvērumu dēļ matemātiķi novieto izcelsmi tajā pašā stāvoklī, kur tā atrodas Dekarta sistēmā, un atskaites virziens ir pozitīvā x ass:

Tad konvertācija no pozīcijas Dekarta vektora (x, y) P līdz polārajām koordinātām (rādiuss, leņķis) ir:

Šeit pozitīvs leņķa ātrums pārvieto pozīciju apļa virzienā pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam:

Ņemiet vērā, ka daudzām 2d datorgrafikas koordinātu sistēmām y ass ir vērsta uz leju, lai viss būtu apgāzts otrādi. Tādā gadījumā, izmantojot tos pašus aprēķinus kā iepriekš, pozitīvs leņķa ātrums pārvieto pozīciju pulksteņrādītāja virzienā.

Lai iegūtu tādu pašu uzvedību 2d Dekarta sistēmā ar Y asi uz leju, aprēķini būtu šādi:

Lai noteiktu punktu telpā, izmantojot sfēriskas koordinātas, attālums līdz sākumam O kā arī ir nepieciešami divi leņķi. Neskaidrības sākas šeit, jo pastāv daudzas konvencijas par apzīmējumiem un leņķu secību. Šajā lapā ir uzskaitīta lielākā daļa no tām: http: //mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Bet ļaujiet atkāpties un apskatīt, kas mums jādefinē sfēriskās koordinātas. Mēs redzēsim, ka neatkarīgi no apzīmējuma faktiskā aprēķina formula ir vienāda:

  • izcelsmi O
  • vienam leņķim mums ir nepieciešama virzīta ass, kas nosaka polus (piemēram, zemes ziemeļu un dienvidu polu), šo leņķi bieži sauc polārais leņķis, zenīta leņķis, kolatitāte, slīpums vai pacēlums
  • otram leņķim mums ir nepieciešams atskaites virziens ekvatoriālajā plaknē, šo leņķi sauc azimutālais leņķis

Izcelsme ir tāda pati kā Dekarta sistēmai. Tradicionāli matemātiķi izvēlas z asi kā polāro asi un xy plakni kā ekvatoriālo plakni ar atskaites virzienu kā pozitīvo x asi:

Konversijas formulas ir šādas:

Kā redzams zīmējumā, ja polārais leņķis ir 0, vektors norāda uz pozitīvo z asi un azimutālais leņķis neietekmē, jo tas velmē vektoru tikai ap z asi.

Pozitīvs polārais ātrums pārvieto punktu no pola pie pozitīvā z uz pozitīvo x.
Pozitīvs azimutālais ātrums pārvieto punktu no pozitīvā x uz pozitīvo y.

Zīmējumā tiek izmantota labo roku sistēma ar z-ass uz augšu, kas ir izplatīta matemātikas mācību grāmatās. Tāpat kā 2.d gadījumā tas izskatās atšķirīgi atkarībā no Dekarta koordinātu sistēmas xyz ass orientācijas, kurā tiks parādīta pozīcija.

Ģeogrāfiskās koordinātas

Sfērisko koordinātu definīcijai ir divi trūkumi. Vispirms polārajam leņķim ir jābūt ar vērtību, kas nav 0 ° (vai 180 °), lai azimutālā vērtība varētu ietekmēt. Otrkārt, ģeogrāfiskā platuma un garuma sistēma nesakrīt ar diviem leņķiem.

Lai sfēriskos leņķus saskaņotu ar platumu un garumu, polārā leņķa vērtībai jābūt 90 °. Tad pozīcijas vektors norāda uz pozitīvo x asi ekvatoriālajā plaknē, kas atbilst 0 ° platumam un 0 ° garumam.

Platuma un garuma leņķiskie virzieni ir vienādi. Tātad pārveidošana ir pavisam vienkārša:

Ar trigonometriskām aizstāšanām var iegūt tiešu konversiju starp ģeogrāfiskajām un Dekarta koordinātām:

Īstenošana VL

VL pieņem, ka lietotājs strādā kreisās puses Dekarta koordinātu sistēmā ar y asi uz augšu, ko parasti lieto kopā ar DirectX. Tas nozīmē, ka visi iepriekš minētie attēli un virzieni būtu kaut kā pagriezti un pagriezti, ja tos izmantotu šādā koordinātu sistēmā. Bet tas, protams, nav tas, ko mēs vēlamies. Sfēras ziemeļu polam joprojām jābūt augšā, un leņķu leņķa virzieniem jābūt tādiem pašiem kā iepriekš.

Vektora pārveidošana starp sistēmām nav ļoti sarežģīta:

Vienkāršākais risinājums būtu vektora konvertēšana pirms vai pēc aprēķina, bet konversiju varam piemērot arī formulām. Tad mēs iegūstam sfēriskās koordinātas:


Skatīties video: Procenti - decimāldaļas un parastās daļas. (Oktobris 2021).