Raksti

8.4. Izmantojiet taisnstūra koordinātu sistēmu (2. daļa) - matemātika


Pārbaudiet divu mainīgo vienādojuma risinājumus

Visi vienādojumi, ko līdz šim atrisinājām, ir vienādojumi ar vienu mainīgo. Gandrīz visos gadījumos, kad mēs atrisinājām vienādojumu, mēs saņēmām tieši vienu risinājumu. Vienādojuma risināšanas process beidzās ar tādu apgalvojumu kā x = 4. Tad mēs pārbaudījām risinājumu, atkal aizstājot vienādojumu.

Šeit ir lineārā vienādojuma piemērs vienā mainīgajā un tā viens risinājums.

[ sāciet {split} 3x + 5 & = 17 3x & = 12 x & = 4 end {split} ]

Bet vienādojumos var būt vairāki mainīgie. Vienādojumus ar diviem mainīgajiem var rakstīt vispārējā formā Ax + By = C. Šīs formas vienādojumu divos mainīgos sauc par lineāru vienādojumu.

Definīcija: lineārais vienādojums

Formas Ax + By = C vienādojumu, kur A un B abi nav nulle, divos mainīgos sauc par lineāru vienādojumu.

Ievērojiet, ka vārds “līnija” ir lineārs.

Šeit ir lineārā vienādojuma piemērs divos mainīgos, x un y:

[ begin {split} textcolor {red} {A} x + textcolor {blue} {B} y & = textcolor {green} {C} x + textcolor {blue} {4} y & = textcolor {green} {8} textcolor {red} {A = 1}, ; textcolor {zils} {B = 4}, ; & textcolor {green} {C = 8} end {split} ]

Vai y = −5x + 1 ir lineārs vienādojums? Šķiet, ka tas nav formā Ax + By = C. Bet mēs to varētu pārrakstīt šajā formā.

$$ y = -5x + 1 $$
Pievienojiet 5x abām pusēm.$$ y + 5x = -5x + 1 + 5x $$
Vienkāršojiet.$ $ y + 5x = 1 $$
Izmantojiet kopējo īpašību, lai to ievietotu Ax + By = C.$$ begin {split} textcolor {red} {A} x + textcolor {blue} {B} y & = C 5 + quad y & = 1 end {split} $$

Pārrakstot y = −5x + 1 kā 5x + y = 1, mēs varam redzēt, ka tas ir lineārs vienādojums divos mainīgajos, jo to var uzrakstīt formā Ax + By = C.

Divu mainīgo lineārajiem vienādojumiem ir bezgalīgi daudz risinājumu. Katram skaitlim, kas aizstāts ar x, ir atbilstoša y vērtība. Šis vērtību pāris ir a lineārā vienādojuma risinājums un to attēlo sakārtotais pāris (x, y). Kad mēs aizstājam šīs x un y vērtības vienādojumā, rezultāts ir patiess apgalvojums, jo kreisās puses vērtība ir vienāda ar vērtību labajā pusē.

Definīcija: Lineārā vienādojuma risinājums divos mainīgajos

Sakārtots pāris (x, y) ir lineārā vienādojuma Ax + By = C risinājums, ja vienādojums ir patiess apgalvojums, kad sakārtotā pāra x- un y-vērtības tiek aizstātas vienādojumā.

Piemērs ( PageIndex {8} ):

Nosakiet, kuri sakārtotie pāri ir vienādojuma x + 4y = 8 risinājumi: (a) (0, 2) (b) (2, −4) (c) (−4, 3)

Risinājums

Katra sakārtotā pāra x- un y-vērtības aizstājiet vienādojumā un nosakiet, vai rezultāts ir patiess apgalvojums.

a) (0, 2)b) (2, −4)c) (−4, 3)
$$ begin {split} x = textcolor {blue} {0}, ; y & = textcolor {red} {2} x + 4y & = 8 textcolor {blue} {0} + 4 cdot textcolor {red} {2} & stackrel {?} {=} 8 0 + 8 & stackrel {?} {=} 8 8 & = 8 ; pārbaude end {split} $$$$ begin {split} x = textcolor {blue} {2}, ; y & = textcolor {red} {- 4} x + 4y & = 8 textcolor {blue} {2} + 4 ( textcolor {red} {- 4}) & stackrel {?} { =} 8 2 + (-16) & stackrel {?} {=} 8 -14 & neq 8 end {split} $$$$ begin {split} x = textcolor {blue} {- 4}, ; y & = textcolor {red} {3} x + 4y & = 8 textcolor {blue} {- 4} + 4 cdot textcolor {red} {3} & stackrel {?} {= } 8 -4 + 12 & stackrel {?} {=} 8 8 & = 8 ; pārbaude end {split} $$
(0, 2) ir risinājums.(2, −4) nav risinājums.(−4, 3) ir risinājums.

Vingrinājums ( PageIndex {15} ):

Nosakiet, kuri sakārtotie pāri ir norādītā vienādojuma risinājumi: 2x + 3y = 6

a) (3, 0) (b) (2, 0) (c) (6, −2)

Atbilde

a), c)

Vingrinājums ( PageIndex {16} ):

Nosakiet, kuri sakārtotie pāri ir norādītā vienādojuma risinājumi: 4x - y = 8

a) (0, 8) (b) (2, 0) (c) (1, −4)

Atbilde

b), c) apakšpunkts

Piemērs ( PageIndex {9} ):

Nosakiet, kuri sakārtotie pāri ir vienādojuma risinājumi. y = 5x - 1: (a) (0, -1) (b) (1, 4) (c) (−2, −7)

Risinājums

Katra sakārtotā pāra x- un y-vērtības aizstājiet vienādojumā un nosakiet, vai tā rezultātā ir patiess apgalvojums.

a) (0, -1)b) 1., 4. punkts(c) (−2, -7)
$$ begin {split} x & = textcolor {blue} {0}, ; y = textcolor {red} {- 1} y & = 5x - 1 textcolor {red} {- 1} & stackrel {?} {=} 5 ( textcolor {blue} {0}) - 1 -1 & stackrel {?} {=} 0 - 1 -1 & = -1 ; pārbaude end {split} $$$$ begin {split} x & = textcolor {blue} {1}, ; y = textcolor {red} {4} y & = 5x - 1 textcolor {red} {4} & stackrel {?} {=} 5 ( textcolor {blue} {1}) - 1 4 & stackrel {?} {=} 5 - 1 4 & = 4 ; pārbaude end {split} $$$$ begin {split} x & = textcolor {blue} {- 2}, ; y = textcolor {red} {- 7} y & = 5x - 1 textcolor {red} {- 7} & stackrel {?} {=} 5 ( textcolor {blue} {- 2} ) - 1 -7 & stackrel {?} {=} -10 - 1 -7 & neq -11 end {split} $$
(0, -1) ir risinājums.(1, 4) ir risinājums.(−2, -7) nav risinājums.

Vingrinājums ( PageIndex {17} ):

Nosakiet, kuri sakārtotie pāri ir dotā vienādojuma risinājumi: y = 4x - 3

a) (0, 3) (b) (1, 1) (c) (1, 1)

Atbilde

b)

Vingrinājums ( PageIndex {18} ):

Nosakiet, kuri sakārtotie pāri ir dotā vienādojuma risinājumi: y = −2x + 6

a) (0, 6) (b) (1, 4) (c) (−2, −2)

Atbilde

a), b)

Aizpildiet lineārā vienādojuma risinājumu tabulu

Iepriekšējos piemēros mēs aizstājām norādītā sakārtotā pāra x- un y-vērtības, lai noteiktu, vai tas ir vai nav lineārā vienādojuma risinājums. Bet kā mēs varam atrast pasūtītos pārus, ja tie netiek doti? Viens veids ir izvēlēties x vērtību un pēc tam atrisināt y vienādojumu. Vai arī izvēlieties vērtību y un pēc tam atrisiniet vērtību x.

Sāksim, aplūkojot vienādojuma y = 5x - 1 risinājumus, kurus atradām piemērā ( PageIndex {1} ). Mēs varam apkopot šo informāciju risinājumu tabulā.

y = 5x - 1
xy(x, y)
0-1(0, -1)
14(1, 4)

Lai atrastu trešo risinājumu, ļausim x = 2 un atrisināsim y.

$$ y = 5x - 1 $$
Aizstājiet x = ( textcolor {blue} {2} ).$$ y = 5 ( textcolor {blue} {2}) - 1 $$
Pavairot.$$ y = 10 - 1 $$
Vienkāršojiet.$$ y = 9 $$

Sakārtotais pāris ir risinājums y = 5x - 1. Mēs to pievienosim tabulai.

y = 5x - 1
xy(x, y)
0-1(0, -1)
14(1, 4)
29(2, 9)

Mēs varam atrast vairāk vienādojuma risinājumu, aizstājot jebkuru x vērtību vai jebkuru y vērtību un atrisinot iegūto vienādojumu, lai iegūtu vēl vienu sakārtotu pāri, kas ir risinājums. Šim vienādojumam ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Piemērs ( PageIndex {10} ):

Aizpildiet tabulu, lai atrastu trīs vienādojuma y = 4x - 2 risinājumus:

y = 4x - 2
xy(x, y)
0
-1
2

Risinājums

X = 0, x = -1 un x = 2 aizstāj ar y = 4x - 2.

x = ( textcolor {blue} {0} )x = ( textcolor {blue} {- 1} )x = ( textcolor {blue} {2} )
y = 4x - 2y = 4x - 2y = 4x - 2
y = 4 • ( textcolor {blue} {0} ) - 2y = 4 ( ( textcolor {blue} {- 1} )) - 2y = 4 • ( textcolor {blue} {2} ) - 2
y = 0 - 2y = −4 - 2y = 8 - 2
y = −2y = −6y = 6
(0, −2)(−1, −6)(2, 6)

Rezultāti ir apkopoti tabulā.

y = 4x - 2
xy(x, y)
0-2(0, -2)
-1-6(-1, -6)
26(2, 6)

Vingrinājums ( PageIndex {19} ):

Aizpildiet tabulu, lai atrastu trīs vienādojuma risinājumus: y = 3x - 1.

y = 3x - 1
xy(x, y)
0
-1
2
Atbilde
y = 3x - 1
xy(x, y)
0-1(0, -1)
-1-4(-1, -4)
25(2, 5)

Vingrinājums ( PageIndex {20} ):

Aizpildiet tabulu, lai atrastu trīs vienādojuma risinājumus: y = 6x + 1.

y = 6x + 1
xy(x, y)
0
1
-2
Atbilde
y = 6x + 1
xy(x, y)
01(0, 1)
-17(1, 7)
2-11(-2, -11)

Piemērs ( PageIndex {11} ):

Aizpildiet tabulu, lai atrastu trīs vienādojuma 5x - 4y = 20 risinājumus:

5x - 4y = 20
xy(x, y)
0
0
5

Risinājums

$$ begin {split} x & = textcolor {blue} {0} 5x - 4y & = 20 5 cdot textcolor {blue} {0} - 4y & = 20 textcolor {blue } {0} - 4g & = 20 -4y & = 20 y & = -5 (0, ; & -5) beigas {split} $$$$ begin {split} y & = textcolor {red} {0} 5x - 4y & = 20 5x - 4 cdot textcolor {red} {0} & = 20 5x - 0 & = 20 5x & = 20 x & = 4 (& 4, ; 0) end {split} $$$$ begin {split} y & = textcolor {red} {5} 5x - 4y & = 20 5x - 4 cdot textcolor {red} {5} & = 20 5x - 20 & = 20 5x & = 40 x & = 8 (& 8, ; 5) end {split} $$

Rezultāti ir apkopoti tabulā.

5x - 4y = 20
xy(x, y)
0-5(0, -5)
40(-4, 0)
85(8, 5)

Vingrinājums ( PageIndex {21} ):

Aizpildiet tabulu, lai atrastu trīs vienādojuma risinājumus: 2x - 5y = 20.

2x - 5y = 20
xy(x, y)
0
0
-5
Atbilde
2x - 5y = 20
xy(x, y)
0-4(0, -4)
100(10, 0)
-5-6(-5, -6)

Vingrinājums ( PageIndex {22} ):

Aizpildiet tabulu, lai atrastu trīs vienādojuma risinājumus: 3x - 4y = 12.

3x - 4y = 12
xy(x, y)
0
0
-4
Atbilde
3x - 4y = 12
xy(x, y)
0-3(0, -3)
40(4, 0)
-4-6(-4, -6)

Atrodiet lineāro vienādojumu risinājumus divos mainīgajos

Lai atrastu lineārā vienādojuma risinājumu, x vai y vienādojumā varam izvēlēties jebkuru skaitli, kuru vēlamies aizstāt. Mēs varētu izvēlēties 1, 100, 1000 vai jebkuru citu vēlamo vērtību. Bet ir ieteicams izvēlēties numuru, ar kuru ir viegli strādāt. Parasti kā vienu no vērtībām izvēlēsimies 0.

Piemērs ( PageIndex {12} ):

Atrodiet vienādojuma 3x + 2y = 6 risinājumu.

Risinājums

1. solis: Izvēlieties jebkuru vērtību vienam no vienādojuma mainīgajiem.

Jebkuru vēlamo vērtību mēs varam aizstāt ar x vai jebkuru vērtību ar y.

Izvēlēsimies x = 0. Kāda ir y vērtība, ja x = 0?

2. solis: Aizstājiet šo vērtību vienādojumā. Atrisiniet otru mainīgo.

Aizstāt x ar 0. Vienkāršojiet.

Sadaliet abas puses ar 2.

$$ begin {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {0} + 2y & = 6 0 + 2y & = 6 2y & = 6 y & = 3 end {split} $$
3. solis: Rakstiet risinājumu kā sakārtotu pāri.Tātad, kad x = 0, y = 3.Šo risinājumu attēlo sakārtotais pāris (0, 3).
4. solis: Pārbaudiet.

Aizstājiet x = ( textcolor {blue} {0} ), y = ( textcolor {red} {3} ) vienādojumā 3x + 2y = 6.

Vai rezultāts ir patiess vienādojums? Jā!

$$ begin {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {0} + 2 cdot textcolor {red} {3} & stackrel {?} {=} 6 0 + 6 & stackrel {?} {=} 6 6 & = 6 ; pārbaude end {split} $$

Vingrinājums ( PageIndex {23} ):

Atrodiet vienādojuma risinājumu: 4x + 3y = 12.

Atbilde

Atbildes būs dažādas

Vingrinājums ( PageIndex {24} ):

Atrodiet vienādojuma risinājumu: 2x + 4y = 8.

Atbilde

Atbildes būs dažādas

Mēs teicām, ka lineārajiem vienādojumiem divos mainīgajos ir bezgalīgi daudz risinājumu, un mēs tikko atradām vienu no tiem. Atrodīsim citus vienādojuma 3x + 2y = 6 risinājumus.

Piemērs ( PageIndex {13} ):

Atrodiet vēl trīs vienādojuma 3x + 2y = 6 risinājumus.

Risinājums

Lai atrastu risinājumus 3x + 2y = 6, izvēlieties vērtību x vai y. Atcerieties, ka mēs varam izvēlēties jebkuru vērtību, kuru vēlamies x vai y. Šeit mēs izvēlējāmies 1 x un 0 un −3 y.

Aizstājiet to vienādojumā.$$ begin {split} y & = textcolor {red} {0} 3x + 2y & = 6 3x + 2 ( textcolor {red} {0}) & = 6 end {split} $ $$$ begin {split} x & = textcolor {blue} {1} 3x + 2y & = 6 3 ( textcolor {blue} {1}) + 2y & = 6 end {split} $ $$$ begin {split} y & = textcolor {red} {- 3} 3x + 2y & = 6 3x + 2 ( textcolor {red} {- 3}) & = 6 end {split } $ $
Vienkāršojiet. Atrisiniet.$$ begin {split} 3x + 0 & = 6 3x & = 6 end {split} $$$$ sāciet {split} 3 + 2y & = 6 2y & = 3 end {split} $$$$ sāciet {split} 3x - 6 & = 6 3x & = 12 end {split} $$
x = 2y = ( dfrac {3} {2} )x = 4
Uzrakstiet pasūtīto pāri.(2, 0)(1, ( dfrac {3} {2} ))(4, −3)

Pārbaudi savas atbildes.

(2, 0)(1, ( dfrac {3} {2} ))(4, −3)
$$ begin {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {2} + 2 cdot textcolor {red} {0} & stackrel {?} {=} 6 6 + 0 & stackrel {?} {=} 6 6 & = 6 ; pārbaude end {split} $$$$ begin {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {1} + 2 cdot textcolor {red} { dfrac {3} {2}} & stackrel {? } {=} 6 3 + 3 & stackrel {?} {=} 6 6 & = 6 ; pārbaude end {split} $$$$ begin {split} 3x + 2y & = 6 3 cdot textcolor {blue} {4} + 2 cdot ( textcolor {red} {- 3}) & stackrel {?} {=} 6 12 + (-6) & stackrel {?} {=} 6 6 & = 6 ; pārbaude end {split} $$

Tātad (2, 0), (1, ( dfrac {3} {2} )) un (4, −3) visi ir vienādojuma 3x + 2y = 6. risinājumi. Iepriekšējā piemērā mēs atklājām, ka (0, 3) ir arī risinājums. Šos risinājumus mēs varam uzskaitīt tabulā.

3x + 2y = 6
xy(x, y)
03(0, 3)
20(2, 0)
1 ( dfrac {3} {2} )(1, ( dfrac {3} {2} ))
4-3(4, -3)

Vingrinājums ( PageIndex {25} ):

Atrodiet trīs vienādojuma risinājumus: 2x + 3y = 6.

Atbilde

Atbildes būs dažādas

Vingrinājums ( PageIndex {26} ):

Atrodiet trīs vienādojuma risinājumus: 4x + 2y = 8.

Atbilde

Atbildes būs dažādas

Tagad meklēsim dažus risinājumus citam vienādojumam.

Piemērs ( PageIndex {14} ):

Atrodiet trīs vienādojuma x - 4y = 8 risinājumus.

Risinājums

Izvēlieties vērtību x vai y.x = ( textcolor {blue} {0} )y = ( textcolor {red} {0} )y = ( textcolor {red} {3} )
Aizstājiet to vienādojumā.$$ textcolor {blue} {0} - 4g = 8 $$$$ x - 4 cdot textcolor {red} {0} = 8 $$$$ x - 4 cdot textcolor {red} {3} = 8 $$
Atrisiniet.$$ begin {split} -4y & = 8 y & = -2 end {split} $$$$ begin {split} x - 0 & = 8 x & = 8 end {split} $$$$ begin {split} x - 12 & = 8 x & = 20 end {split} $$
Uzrakstiet pasūtīto pāri.(0, −2)(8, 0)(20, 3)

Tātad (0, −2), (8, 0) un (20, 3) ir trīs vienādojuma x - 4y = 8 risinājumi.

x - 4y = 8
xy(x, y)
0-2(0, -2)
80(8, 0)
203(20, 3)

Atcerieties, ka katram lineārajam vienādojumam ir bezgalīgi daudz risinājumu. Jebkurš atrastais punkts ir risinājums, ja tas padara vienādojumu patiesu.

Vingrinājums ( PageIndex {27} ):

Atrodiet trīs vienādojuma risinājumus: 4x + y = 8.

Atbilde

Atbildes būs dažādas

Vingrinājums ( PageIndex {28} ):

Atrodiet trīs vienādojuma risinājumus: x + 5y = 10.

Atbilde

Atbildes būs dažādas

Prakse padara perfektu

Uzzīmējiet punktus taisnstūra koordinātu sistēmā

Turpmākajos vingrinājumos uzzīmējiet katru punktu koordinātu režģī.

  1. (3, 2)
  2. (4, 1)
  3. (1, 5)
  4. (3, 4)
  5. (4, 1), (1, 4)
  6. (3, 2), (2, 3)
  7. (3, 4), (4, 3)

Turpmākajos vingrinājumos uzzīmējiet katru punktu koordinātu režģī un identificējiet kvadrantu, kurā atrodas punkts.

  1. (a) (−4, 2) (b) (−1, −2) (c) (3, −5) (d) ( pa kreisi (2, dfrac {5} {2} pa labi) )
  2. (a) (−2, −3) (b) (3, −3) (c) (−4, 1) (d) ( pa kreisi (1, dfrac {3} {2} pa labi) )
  3. (a) (−1, 1) (b) (−2, −1) (c) (1, −4) (d) ( pa kreisi (3, dfrac {7} {2} pa labi) )
  4. a) (3, -2) (b) (−3, 2) (c) (-3, −2) (d) (3, 2)
  5. a) (4, -1) (b) (−4, 1) (c) (-4, -1) (d) (4, 1)
  6. (a) (−2, 0) (b) (−3, 0) (c) (0, 4) (d) (0, 2)

Pārbaudiet divu mainīgo vienādojuma risinājumus

Turpmākajos vingrinājumos nosakiet, kuri sakārtotie pāri ir dotā vienādojuma risinājumi.

  1. 2x + y = 6
    1. (1, 4)
    2. (3, 0)
    3. (2, 3)
  2. x + 3y = 9
    1. (0, 3)
    2. (6, 1)
    3. (-3, -3)
  3. 4x - 2y = 8
    1. (3, 2)
    2. (1, 4)
    3. (0, -4)
  4. 3x - 2y = 12
    1. (4, 0)
    2. (2, -3)
    3. (1, 6)
  5. y = 4x + 3
    1. (4, 3)
    2. (-1, -1)
    3. ( ( dfrac {1} {2} ), 5)
  6. y = 2x - 5
    1. (0, -5)
    2. (2, 1)
    3. ( ( dfrac {1} {2} ), -4)
  7. y = ( dfrac {1} {2} ) x - 1
    1. (2, 0)
    2. (-6, -4)
    3. (-4, -1)
  8. y = ( dfrac {1} {3} ) x + 1
    1. (-3, 0)
    2. (9, 4)
    3. (-6, -1)

Atrodiet lineāro vienādojumu risinājumus divos mainīgajos

Turpmākajos vingrinājumos aizpildiet tabulu, lai atrastu katra lineārā vienādojuma risinājumus.

y = 2x - 4

xy(x, y)
-1
0
2
  1. y = 3x - 1
xy(x, y)
-1
0
2
  1. y = - x + 5
xy(x, y)
-2
0
3
  1. y = ( dfrac {1} {3} ) x + 1
xy(x, y)
0
3
6
  1. y = (- dfrac {3} {2} ) x - 2
xy(x, y)
-2
0
2
  1. x + 2y = 8
xy(x, y)
0
4
0

Ikdienas matemātika

  1. Zīdaiņa svars Makenzija ik pēc diviem mēnešiem reģistrēja mazuļa svaru. Zīdaiņa vecums mēnešos un svars mārciņās ir uzskaitīti tabulā un parādīti kā sakārtots pāris trešajā slejā.
    1. Uzzīmējiet punktus koordinātu režģī.
    2. Kāpēc man vajadzīgs tikai kvadrants?
VecumsSvars(x, y)
07(0, 7)
211(2, 11)
415(4, 15)
616(6, 16)
819(8, 19)
1020(10, 20)
1221(12, 21)
  1. Bērna svars Latreša katru gadu reģistrēja dēla augumu un svaru. Viņa augstums collās un svars mārciņās ir uzskaitīti tabulā un parādīti kā sakārtots pāris trešajā kolonnā.
    1. Uzzīmējiet punktus koordinātu režģī.
    2. Kāpēc man vajadzīgs tikai kvadrants?
AugstumsSvars(x, y)
2822(28, 22)
3127(31, 27)
3333(33, 33)
3735(37, 35)
4041(40, 41)
4245(42, 45)

Rakstīšanas vingrinājumi

  1. Vai esat kādreiz izmantojis karti ar taisnstūra koordinātu sistēmu? Aprakstiet karti un to, kā jūs to izmantojāt.
  2. Kā noteikt, vai sakārtots pāris ir dotā vienādojuma risinājums?

Pašpārbaude

a) Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu šīs sadaļas mērķu apguvi.

b) Ja lielākā daļa jūsu pārbaužu bija:

…pārliecinoši. Apsveicam! Jūs esat sasniedzis šīs sadaļas mērķus. Pārdomājiet izmantotās mācību prasmes, lai jūs varētu tās turpināt izmantot. Ko jūs darījāt, lai pārliecinātos par spēju veikt šīs lietas? Esi konkrēts.

... ar nelielu palīdzību. Tas ir ātri jārisina, jo tēmas, kuras jūs neapgūstat, kļūst par bedrēm ceļā uz panākumiem. Matemātikā katra tēma balstās uz iepriekšējo darbu. Pirms doties tālāk, ir svarīgi pārliecināties, ka jums ir spēcīgs pamats. Kam jūs varat lūgt palīdzību? Jūsu klases biedri un instruktori ir labi resursi. Vai pilsētiņā ir kāda vieta, kur ir pieejami matemātikas pasniedzēji? Vai jūsu studiju prasmes var uzlabot?

... nē - es to nesaprotu! Šī ir brīdinājuma zīme, un to nedrīkst ignorēt. Jums nekavējoties jāsaņem palīdzība, pretējā gadījumā jūs ātri nomocīsit. Pēc iespējas ātrāk apmeklējiet savu instruktoru, lai pārrunātu savu situāciju. Kopā jūs varat nākt klajā ar plānu, lai sniegtu jums nepieciešamo palīdzību.


Koordinātu sistēmas nav topoloģijas sastāvdaļa, bet (topoloģiskā) dimensija atstarpe ir. Koordinātas ir veids, kā pārveidot ģeometriju algebrā un / vai analīzē.

@ Henno atbilde daudzējādā ziņā ir ideāla, it īpaši otrais teikums destilē kaut ko, ko es sapratu tikai daudzus gadus pēc doktora grāda iegūšanas, diemžēl. Tas arī nozīmē, ka iesācējam tas var nebūt pilnīgi apgaismojošs. Risks radīt neskaidrības, ļaujiet man pateikt mazliet vairāk:

"Daļa" matemātikā nav precīzi definēts jēdziens. Lai iegūtu rezultātus, mēs izmantojam visus piemērotos rīkus. Topoloģijā mēs mēdzam domāt par sevi kā “zinošus” par $ Bbb R ^ n $ (mums ir daudz noderīgu teorēmu par reālo līniju, plakni utt.). Ja mēs pētām kādu vietu $ X $ un varam, piemēram, atrast (jauku) atbilstību starp kādu apakškopu $ V apakškopa X $ un atvērtu kopu $ U apakškopa Bbb R ^ n $, tad mēs jūtamies, ka esam Mēs esam sapratuši par $ V $: tas "izskatās mazliet no Eiklida telpas." Mēs pat varētu izmantot koordinātas Eiklida telpā, lai kaut ko pateiktu par $ V $ punktiem. Tātad, lai gan "koordinātu sistēmas" nav daļa no topoloģijas, topoloģiju grāmatās (īpaši diferenciālās topoloģijas grāmatās) ir daudz vietu, kur jūs redzēsiet to parādīšanos.

Izmantojot Dekarta koordinātu sistēmu (Eiklida telpā), jūs varat noteikt attālumu, teiksim, ka jums ir punkti $ x = beginx_1 cdot x_n end, y = sākasy_1 cdot y_n end$, kas norādīts taisnstūra koordinātās ($ n $ -dimensiju telpā), to attālumu (piemēram) norāda $ d (x, y) = sqrt <(x_1-y_1) ^ 2 +. + (x_n-y_n) ^ 2> $ un tagad jūs varat teikt kopu $ M apakškopa mathbb^ n $ ir $ textbf$, ja katram punktam $ x M $ ir disks $ D _ < varepsilon> (x) $, kas atrodas $ M $: $ D _ < varepsilon> (x) = <>^ n: d (x, y) & lt varepsilon > apakškopa M. $ Tagad sakot, kuras kopas ir $ textbf$ Jūs definējat kopas topoloģiju. Tāpēc šo jēdzienu sauc par $ textbf$. Tas ir tikai viens veids, kā Dekarta koordinātas var izmantot topoloģijas definēšanai. Tātad pastāv saikne starp koordinātām un topoloģiju, nevarētu teikt, ka tās ir tās daļa, lai gan nav skaidrs, ko tam vajadzētu nozīmēt.


1 Atbilde 1

Pieņemot, ka attiecīgais reģions ir pietiekami mazs, salīdzinot ar Zemi, lai to varētu uzskatīt par plakanu, pāreja no polārā uz Dekarta x & amp = & amp r cos theta y & amp = & amp r sin theta end

Tomēr, kā jūs pamanījāt savā trešajā jautājumā, ja jūsu dati ir režģis $ r $ un $ theta $, tas nedos jums režģi $ x $ un $ y $. Ja tā ir problēma (iespējams, tāpēc, ka jūsu attēlu programmai ir nepieciešams režģis), šī datu kopa būs jāinterpolē tīklā. Vajadzētu būt programmatūras bibliotēkām, kas to var izdarīt efektīvāk nekā jebkas, ko jūs varat rakstīt. Ja kāda iemesla dēļ jums ir jāraksta savs, jums vajadzētu būt iespējai kodēt vienkāršu plaknes interpolāciju starp trim tuvākajiem datu punktiem.

Kas attiecas uz jūsu otro jautājumu, ja jums tiek dots punktu kopums, ko polārā koordinātu izteiksmē ierobežo aplis, kura izcelsme nav apļa centrs, es jautātu tam, kurš datus ņem, ko uz zemes viņš domāja. Risinājums ir pārveidot par Dekarta, pēc tam pielietojiet tulkojumu, atņemot centra koordinātas.

REDIĢĒT: Šķiet, ka jautājums bija par platuma un garuma datu pārveidošanu Dekarta valodā, kas ievērojami maina atbildi uz manu jautājumu.

Nelielam apļveida Zemes laukumam jūs vēlaties izmantot azimutālo projekciju. Lai gan kāds no tiem, visticamāk, darbosies mazās teritorijās, es ieteiktu vai nu gnomonisko projekciju, unikālo projekciju, kas lielus apļus piesaista taisnām līnijām, vai stereogrāfisko projekciju, kas lokāli saglabā formu. Transformāciju formulas var atrast saitēs.


8.4. Izmantojiet taisnstūra koordinātu sistēmu (2. daļa) - matemātika

Senā stāstā aprakstīts, kā septiņpadsmitā gadsimta filozofs / matemātiķis Renē Dekarts izgudroja sistēmu, kas slimnīcā gultā ir kļuvusi par algebras pamatu. Saskaņā ar stāstu Dekarts skatījās uz mušu, kas rāpoja pa griestiem, kad saprata, ka var aprakstīt mušas atrašanās vietu attiecībā pret perpendikulārām līnijām, ko veido blakus esošās viņa istabas sienas. Viņš perpendikulārās līnijas uzskatīja par horizontālām un vertikālām asīm. Turklāt, sadalot katru asi vienādos garuma vienībās, Dekarts redzēja, ka jebkuru objektu ir iespējams atrast divdimensiju plaknē, izmantojot tikai divus skaitļus - nobīdi no horizontālās ass un nobīdi no vertikālās ass.

Lai gan ir pierādījumi, ka idejas, kas līdzīgas Dekarta režģa sistēmai, pastāvēja gadsimtiem agrāk, tieši Dekarts ieviesa komponentus, kas veido Dekarta koordinātu sistēma, režģa sistēmai ar perpendikulārām asīm. Dekarts horizontālo asi nosauca par x-ass un vertikālā ass y-ass.

Dekarta koordinātu sistēma, saukta arī par taisnstūra koordinātu sistēmu, balstās uz divdimensiju plakni, kas sastāv no x- ass un y- ass. Perpendikulāri viens otram asis sadala plakni četrās sekcijās. Katru sadaļu sauc par a kvadrants kvadrantus numurē pretēji pulksteņrādītāja virzienam, kā parādīts zemāk redzamajā attēlā.

Dekarta koordinātu sistēma ar visiem četriem kvadrantiem.

Pamēģini

Plaknes centrs ir punkts, kurā abas asis krustojas. Tas ir pazīstams kā izcelsmi vai punkts [latekss] pa kreisi (0,0 pa labi) [/ latekss]. Sākotnēji katru asi tālāk sadala vienādās vienībās: palielinoši, pozitīvi skaitļi pa labi uz x-ass un uz augšu y-ass samazinās, negatīvie skaitļi pa kreisi uz x-ass un uz leju y-ass. Asis sniedzas līdz pozitīvai un negatīvai bezgalībai, kā parādīts bultiņu galā zemāk redzamajā attēlā.

Katru plaknes punktu identificē pēc tā x-koordinētvai horizontālā nobīde no izcelsmes, un tā y-koordinētvai vertikālā nobīde no sākuma. Kopā mēs tos rakstām kā pasūtīts pāris norādot kombinēto attālumu no sākuma formā [latekss] pa kreisi (x, y pa labi) [/ latekss]. Pasūtīts pāris ir pazīstams arī kā koordinātu pāris, jo tas sastāv no x un y-koordinātas. Piemēram, mēs varam attēlot punktu [latekss] pa kreisi (3, -1 pa labi) [/ lateksu] plaknē, pārvietojot trīs vienības pa labi no sākuma horizontālā virzienā un vienu vienību uz leju vertikālā virzienā .

Ilustrācija, kā uzzīmēt punktu (3, -1).

Sadalot asis vienādos attālumos, ņemiet vērā, ka x-ass var aplūkot atsevišķi no y-ass. Citiem vārdiem sakot, kamēr x-asi var sadalīt un marķēt pēc veseliem skaitļiem pēc kārtas, y-asi var sadalīt un marķēt ar pieaugumu 2 vai 10 vai 100. Faktiski asis var attēlot citas vienības, piemēram, gadus pret krājkonta atlikumu vai daudzumu pret izmaksām. Apsveriet taisnstūra koordinātu sistēmu galvenokārt kā metodi, lai parādītu attiecību starp diviem lielumiem.

Vispārīga piezīme: Dekarta koordinātu sistēma

Divdimensiju plakne, kur

Punktu plaknē definē kā sakārtotu pāri [latekss] pa kreisi (x, y pa labi) [/ latekss] tā, ka x nosaka pēc tā horizontālā attāluma no izcelsmes un y nosaka tā vertikālais attālums no izcelsmes.

Piemērs: punktu uzzīmēšana taisnstūra koordinātu sistēmā

Uzzīmējiet punktus [latekss] pa kreisi (-2,4 pa labi) [/ latekss], [latekss] pa kreisi (3,3 pa labi) [/ latekss] un [latekss] pa kreisi (0, -3 pa labi) [/ latekss] koordinātu plaknē.

Lai uzzīmētu punktu [latekss] pa kreisi (-2,4 pa labi) [/ latekss], sāciet no sākuma. The x-koordināta ir –2, tāpēc pārvietojiet divas vienības pa kreisi. The y-koordināts ir 4, tāpēc pārvietojiet četras vienības pozitīvā virzienā uz augšu y virzienu.

Lai uzzīmētu punktu [latekss] pa kreisi (3,3 pa labi) [/ latekss], sāciet no sākuma. The x-koordināts ir 3, tāpēc pārvietojiet trīs vienības pa labi. The y-koordinātu arī ir 3, tāpēc virziet trīs vienības uz augšu pozitīvā virzienā y virzienu.

Lai uzzīmētu punktu [latekss] pa kreisi (0, -3 pa labi) [/ lateksu], sāciet no sākuma. The x-koordināts ir 0. Tas mums liek nepārvietoties nevienā virzienā pa x- ass. The y-koordināts ir –3, tāpēc pārvietojiet trīs vienības uz leju negatīvā y virzienu.

Risinājuma analīze

Ņemiet vērā, ka tad, ja kāda no koordinātām ir nulle, punktam jābūt uz ass. Ja x-koordināta ir nulle, punkts ir uz y- ass. Ja y-koordināta ir nulle, punkts ir uz x- ass.

Pamēģini

Key Takeaways

Varat izmantot tiešsaistes grafiku rīku, lai praktizētu punktu zīmēšanu Dekarta koordinātu plaknē. Noskatieties šo īso video, lai uzzinātu, kā!


8.4. Izmantojiet taisnstūra koordinātu sistēmu (2. daļa) - matemātika


Garš apbrīnojami talantīga pedagoga rakstu cikls, kas ir vērts jūsu vērtīgā laika ieguldījumam. Labākais traktāts par SPC koordinātu praktisko pielietošanu un pārveidošanu, ko esmu redzējis jebkur.

Kļūdas un nejaušas rakstzīmes ir radušās POB Magazine pārveidojot rakstu un kā tādas parādās mūsu datos, tāpat kā POB vietnē. POB veic brīnišķīgu darbu, ievietojot lielu daudzumu profesionālu rakstu, kas bez maksas pieejami mūsu profesionālai lietošanai, un tas ir tikai viens no kaitinošajiem elementiem, kas rodas, cenšoties sasniegt šādu darbu. Lūdzu, atbalstiet POB, izmantojot savus bezmaksas abonēšanas pakalpojumus gan savai vietnei, gan žurnālam.

Tālāk ir citēts no U. S. Coast and Geodetic Survey publikācijas.

1930. gadu sākumā kāda valsts šosejas departamenta inženieris vērsās pie ASV Krasta un ģeodēziskā dienesta, meklējot metodi ģeodēzisko datu izmantošanai visā štatā, kurā būtu iesaistītas tikai plaknes uzmērīšanas formulas. Tādējādi 1933. gadā tika izveidota Ziemeļkarolīnas koordinātu sistēma, ar kuras palīdzību Ziemeļkarolīnu varēja pārveidot plaknes taisnstūra (x un y) koordinātēs vienā tīklā, un aptaujas visās štata daļās, uz kurām atsaucas, lai varētu precīzi aprakstīt uzmērīšanas stacijas un orientierus, norādot to koordinātas, atsaucoties uz tīkla kopējo izcelsmi.

Apmēram gada laikā pēc Ziemeļkarolīnas koordinātu sistēmas izveidošanas katram savienības štatam tika izstrādāta līdzīga sistēma. Dažiem no tiem bija pietiekama viena režģa izcelsme un atsauces meridiāns. Citus štatus lielo izmēru dēļ katrs sadalīja vairākās joslās vai zonās, katrai zonai bija sava izcelsme un atskaites meridiāns.

Katra stāvokļa koordinātu sistēma ir balstīta uz konformālu kartes projekciju. Izmantojot konformālu kartes projekciju kā pamatu valsts koordinātu sistēmai un ierobežojot vienu apgabala dimensiju, kas jāpārklāj ar vienu režģi, tiek paveiktas divas lietas:

Konformālā kartē tiek saglabāti projekcijas leņķi. Tas nozīmē, ka noteiktā brīdī atšķirība starp ļoti īsu līniju ģeodēziskajiem un režģa azimutiem ir nemainīga, un leņķi uz zemes, ko veido šādas līnijas, kartē patiešām tiek attēloti. Mērniecības praktiskiem mērķiem šis nosacījums attiecas uz attālumiem līdz 10 jūdzēm. Garākām līnijām atšķirība mainās, un korekcija, kas jāpiemēro jebkuram novērotajam (ģeodēziskajam) leņķim, lai iegūtu atbilstošu režģa leņķi, ir atšķirība no līniju azimutu korekcijām, kas atvasinātas atsevišķi. Režģa garumu novirzes no ģeodēziskajiem garumiem būs maksimāli gar režģa garākās dimensijas malām un pa vidu starp šīm malām. Daudzumu, ar kuru tiek reizināts ģeodēziskais garums, lai iegūtu atbilstošo režģa garumu, sauc par mēroga koeficientu.

Projekcijas vai režģa platuma ierobežojumi ļauj kontrolēt režģa garumu novirzes no ģeodēziskajiem garumiem. Kad viena režģa klāta laukuma platums ir 158 statuju jūdzes, galējā starpība starp ģeodēzisko un režģa garumu būs 1/10 000 no līnijas garuma, kas ir diezgan apmierinoša lielākajai daļai zemes mērījumu. ”

Citētā publikācija ir Krasta un ģeodēzisko pētījumu īpašā publikācija Nr. 235 “Valsts koordinātu sistēmas”. Ir vēl viena publikācija - Krasta un ģeodēzisko pētījumu publikācija 62-4 “Valsts lidmašīnu koordinātas, izmantojot automātisku datu apstrādi”. Šīs divas publikācijas sniedza mērniecības un kartēšanas profesijai informāciju par 1927. gada štata plaknes koordinātu iegūšanu, pamatojoties uz Ziemeļamerikas 1927. gada datumu (NAD 27), kā arī informāciju par šķērsošanu un citiem aprēķiniem ar šīm koordinātām.

Pirms vairākiem gadiem es biju viens no trim runātājiem seminārā Ņūmeksikas profesionālo mērnieku konferencē Albukerkē. Tika parādīta valsts plaknes koordinātu sistēma, un es lūdzu visus, kas izmanto valsts plaknes koordinātas, pacelt roku. No aptuveni 150 cilvēkiem telpā tika paceltas tikai 10 rokas. Es esmu uzdevis to pašu jautājumu semināros visā valstī, un es uzskatu, ka vairāk cilvēku izmanto sistēmu, taču vienmēr ir mazāk nekā puse telpā esošo cilvēku.

Kāpēc tik maz mērnieku izmanto valsts plaknes koordinātas un kāpēc citi atsakās to izmantot? Tāpēc, ka viņi to nesaprot. Daži mērnieki vaino inženieru kopienu, un es to varu saprast. Vismaz 95 procentiem no visiem jaunajiem būvinženieru absolventiem nav bijusi pakļauta valsts plaknes koordinātām, un viņi ir cilvēki, kas atbildīgi par automaģistrāļu projektiem, kurus kontrolē valsts plakņu koordinātas. Ko šie cilvēki dara? Uzstājiet, lai visas stāvokļa plaknes koordinātas tiktu pārvērstas virsmas koordinātās tā, lai skalas koeficients visiem izmērītajiem attālumiem būtu viens. Vēl viena problēma ir tā, ka kādu valsts lidmašīnas datorprogrammatūru ir uzrakstījuši datorprogrammētāji, kuri nav praktiski izmantojuši mērniecības darbu. Ļaujiet man pabeigt šo sleju ar atrunu, tas nav raksts, kas rāda uz pirkstu. Ir reizes, kad virsmas attālumi un virsmas koordinātas ir piemērotāki nekā režģa attālumi un stāvokļa plaknes koordinātas.

Kad valsts plaknes koordinātu sistēma tika izveidota, autori sistēmu aprakstīja vienkārši, lietotājiem viegli saprotami. 1. attēlā parādīta divdimensiju koordinātu sistēma, kas pazīstama gandrīz visiem. Šodien mēs to sauksim par x, y taisnstūra koordinātu sistēmu vai divdimensiju labo roku Dekarta koordinātu sistēmu. Valsts plaknes koordinātu sistēmas autori to sauca par režģi. Nākamais citāts no Krasta un ģeodēzisko pētījumu speciālās publikācijas Nr. 235 "Valsts koordinātu sistēmas" parāda, kā viņi to aprakstīja. Tāpat kā jebkurai plaknes-taisnstūra koordinātu sistēmai, valsts koordinātu sistēmas izveidē izmantoto projekciju var attēlot ar divām paralēlu līniju kopām, kas krustojas taisnā leņķī. Šādi izveidoto tīklu sauc par režģi. Viena šo līniju kopa ir paralēla meridiāna plaknei, kas iet aptuveni caur režģī parādītā laukuma centru, un režģa līnija, kas atbilst šim meridiānam, ir režģa Y ass. To sauc arī par režģa centrālo meridiānu. Taisnā leņķa veidošanās ar Y asi un uz dienvidiem no režģī redzamā laukuma ir X ass. Šo asu krustošanās punkts ir koordinātu izcelsme. Režģī attēlotā punkta atrašanās vietu var noteikt, norādot divus attālumus, ko sauc par koordinātām. Viens no šiem attālumiem, kas pazīstams kā x koordināta, dod pozīciju austrumu un rietumu virzienā. Otrs attālums, kas pazīstams kā y koordināta, dod pozīciju ziemeļu un dienvidu virzienā, šī koordināta vienmēr ir pozitīva. X koordinātu lielums palielinās skaitliski no rietumiem uz austrumiem, y koordinātu lielums palielinās no dienvidiem uz ziemeļiem. Visas x koordinātas apgabalā, kas attēlotas štata režģī, tiek padarītas pozitīvas, piešķirot koordinātām izcelsmi: x = 0 plus liela konstante.Jebkuram punktam tad x koordināta ir vienāda ar sākotnējās vērtības x vērtību, plus vai mīnus punkta austrumu vai rietumu attālums (x ') no centrālā meridiāna (Y ass) un y koordināta ir vienāda perpendikulārais attālums līdz punktam no X ass. Valsts koordinātu sistēmu lineārā vienība ir 12 collu pēda, ko nosaka līdzvērtība: 1 starptautiskais skaitītājs = precīzi 39,37 collas.

Valsts koordinātu sistēma tika izstrādāta, lai starp ģeodēziskajām koordinātām, platumu un garumu un režģa koordinātām x un y būtu tieša sakarība. To izskaidro šādi:

Vairāk nekā gadsimtu Amerikas Savienoto Valstu piekrastes un ģeodēziskais dienests ir veicis ģeodēziskās darbības, kas noteica ģeodēziskās pozīcijas - platuma un garuma - tūkstošiem visā valstī izplatītu pieminekļu punktu. Šīs platuma un garuma vērtības ir ideālas figūras - atskaites sfēriskais elements, kas cieši tuvojas Zemes jūras līmeņa virsmai. Izmantojot matemātiskos procesus, valsts koordinātu sistēmas režģa līniju pozīcijas tiek noteiktas attiecībā pret atskaites sfēriskā elementa meridiāniem un paralēlēm. Punktu, ko definē, norādot tā platumu un garumu uz atskaites sfērisko lodi, var definēt arī, norādot tā x- un y-koordinātas stāvokļa režģī. Ja kāda no pozīcijām ir zināma, otru var iegūt, izmantojot formālu matemātisko aprēķinu. Tāpat arī ar garumiem un azimutiem: ģeodēzisko garumu un azimutu starp divām pozīcijām var pārveidot režģa garumā un azimutā, izmantojot matemātiskas darbības. Vai procesu var mainīt, ja ir zināmas tīkla vērtības un ir vēlamas ģeodēziskās vērtības.

Visus apsekojuma aprēķinus, kas saistīti ar ģeodēziskās atrašanās vietas datu izmantošanu, var veikt arī ar atbilstošajiem tīkla datiem, bet ar šo atšķirību: rezultāti, kas iegūti ar ģeodēziskajiem datiem, ir precīzi, taču tie prasa iesaistīto un garlaicīgo sfērisko formulu un īpašu tabulu izmantošanu . No otras puses, ar tīkla datiem iegūtie rezultāti nav precīzi, jo tie ietver noteiktus pieļāvumus, kas jāveic, pārnesot apsekojuma datus no Zemes izliektās virsmas (sferoīda) uz valsts koordinātu sistēmas plaknes virsmu, bet aprēķini ar režģa datiem ir diezgan vienkārši, tos veic, izmantojot parastās plaknes mērīšanas formulas un valsts koordinātu sistēmas, precīzas režģa vērtību un režģa vērtību un ģeodēzisko vērtību korelācijas var viegli iegūt ar vienkāršām matemātiskām procedūrām.

Mūsdienu ģeodēzijā izteiciens "revolūcijas elipsoīds" ir aizstājis vārdu "sferoīds". Ievērojiet apgalvojumus par tiešām attiecībām starp ģeodēziskajām koordinātām un stāvokļa plaknes režģa koordinātām. Šīs attiecības nepastāv, ja tiek izmantotas virsmas koordinātas.

Daži cilvēki ir neizpratnē, ja lieto izteicienu "karšu projekcijas". Valsts koordinātu sistēmas uz plakanas plaknes ar uzmērīšanai pieņemamu precizitāti novieto elipsoīda formas Zemi ar precizitāti, un, lai to izdarītu, U. S. Krasta un ģeodēziskā aptauja izvēlējās karšu projekcijas, kuras kartogrāfi izmanto, lai apaļo zemi uzliktu uz plakana papīra.

Izmantojot konformālo kartes projekciju kā pamatu valsts koordinātu sistēmai un ierobežojot vienu apgabala dimensiju, kas jāpārklāj ar vienu režģi, tiek paveiktas divas lietas [tas ir atkārtojums no 1. daļas, bet formulēts atšķirīgi].

Konformālās kartes projekcijā tiek saglabāti leņķi. Tas nozīmē, ka noteiktā brīdī atšķirība starp ļoti īsu līniju ģeodēziskajiem un režģa azimutiem ir nemainīga, un leņķi uz zemes, ko veido šādas līnijas, kartē patiešām tiek attēloti. Mērniecības praktiskiem mērķiem šis nosacījums attiecas uz attālumiem līdz aptuveni desmit jūdzēm. Garākām līnijām atšķirība mainās, un korekcija, kas jāpiemēro novērotajam (ģeodēziskajam) leņķim, lai iegūtu atbilstošu režģa leņķi, ir atšķirība no līniju azimutu korekcijām, kas atvasinātas atsevišķi.

"Projekcijas vai režģa platuma ierobežojums ļauj kontrolēt režģa garuma novirzes no ģeodēziskajiem garumiem. Ja viena režģa pārklātā laukuma platums ir 158 statuju jūdzes, galējā starpība starp ģeodēzisko un režģa garumu būs 1 / 10 000 līnijas garuma, kas ir diezgan apmierinošs lielākajai daļai zemes mērījumu.

Kaut arī valsts koordinātu sistēmu izstrādē kā standarts tika pieņemts 158 statuju jūdžu platums, no šī platuma tika veikti novirzes, ja izmaiņas atļāva atļautie ģeogrāfiskie apstākļi vai uzmērīšanas prasības. Ja stāvokļa platums ir mazāks par 158 jūdzēm, režģa platums tika samazināts un tādējādi samazinājās arī mēroga faktora ietekme. Jo šaurāka josla uz Zemes virsmas, kuru vēlas attēlot plaknē, jo mazāka būs procesā iesaistītā deformācija. Konektikutas ziemeļu-dienvidu dimensija ir mazāka par 80 jūdzēm: Konektikutas koordinātu sistēmas maksimālais mēroga koeficients (2. attēls 18. lpp.) Gar valsts ziemeļu un dienvidu robežām, izteikts kā attiecība, ir aptuveni 1: 40 000. Pusceļā starp precīzas mēroga līnijām tas ir 1: 79 000. Ja stāvoklis ir pārāk plašs, lai to pārklātu viens režģis, tas tiek sadalīts joslās, ko sauc par zonām, un katrai no tām ir noteikts atsevišķs režģis. Robežlīnijas starp zonām seko apgabala līnijām. Ierobežojošajiem mēroga faktoriem dažādās valsts koordinātu sistēmas zonās nav jābūt vienādiem. Piemēram, Ilinoisas koordinātu sistēmā (3. attēls 18. lpp.) Ir divas zonas. Austrumu zonā, kurā atrodas Čikāga, ir daudz mazāki mēroga faktori nekā rietumu zonā. Izstrādājot valsts koordinātu sistēmu, tika meklēts viens minimāls zonu skaits jebkurā valstī, kas atbilst skalas precizitātes prasībām. Piemēram, ļaujot mēroga attiecībai nedaudz pārsniegt 1: 10 000, viss Teksasas štats tika sadalīts piecās zonās.

Garš raksts. Garuma dēļ es noņēmu vismaz divas skices, kuras, iespējams, padarīja aprakstu skaidrāku. Tie tiks iekļauti nākamajā kolonnā. Atcerieties, ka apspriestās valsts koordinātu sistēmas attiecas uz NAD 27, Ziemeļamerikas datumu 1927. gadā. Izmaiņas tika veiktas attiecībā uz Ziemeļamerikas datumu 1983. gadā.


Kā jau iepriekš minēju šajā sērijā, stāvokļa plaknes koordinātas ir balstītas uz konformālām karšu projekcijām. Tā kā mēs esam mērnieki, mēs nevaram iedomāties karšu projekciju, kas tiek izmantota tikai papīra kartēm, taču dažiem cilvēkiem šo koncepciju var būt grūti saprast.

Ir daudz karšu projekciju definīciju. Viens atsauces stāvoklis, kartes projekcija ir sistemātiska visa apaļa ķermeņa virsmas vai tās daļas, it īpaši zemes, attēlojums plaknē (Snyder). Citā atsaucē teikts, ka projekcija ir līdzeklis punktu pārvietošanai uz vienas virsmas uz atbilstošajiem punktiem uz citas virsmas (Buckner). Apsekojot vai kartējot lielu platību, ir nepieciešama projekcija. Neatkarīgi no tā, kāda projekcija tiek izmantota, būs deformācijas. Ja apsekojums vai karte aptver nelielu teritoriju, piemēram, pilsētu, sagrozījumi var nebūt redzami, bet tie tomēr pastāv. Nosakiet, kādi izkropļojumi ir vismazāk nevēlami, un izvēlieties šo projekciju apsekojumam vai kartei.

Ar dažiem izņēmumiem ir trīs attīstāmas virsmas, kas ir vairuma karšu projekciju pamatā: cilindrs, konuss un plakne. Attīstāmu virsmu var "sagriezt" un atritināt, lai izveidotu plakni. Tas parādīts 1. attēlā. Ilustratīviem nolūkiem aprakstīsim šīs virsmas globālā mērogā.

  • Virsma pieskaras ekvatoram visā tā apkārtmērā.
  • Garuma meridiāni tiks projicēti uz cilindra kā vienāda attāluma taisnas līnijas, kas ir perpendikulāras ekvatoram.
  • Platuma paralēles tiek projicētas kā līnijas, kas ir paralēlas ekvatoram, un matemātiski izvietotas noteiktiem raksturlielumiem.
  • Mercator projekcija ir vispazīstamākais piemērs, un tās paralēlēm jābūt matemātiski izvietotām (sk. 2. attēlu).
  • Ja konuss ir novietots virs globusa, tā smailei gar zemes polāro asi un konusa virsmai pieskaroties pasaulei gar kādu noteiktu platuma paralēli, var izveidot konisku projekciju (sk. 3. attēlu).
  • Meridiāni tiek projicēti uz konusa kā vienāda attāluma taisnas līnijas, kas izstaro no virsotnes.
  • Paralēles tiek projicētas kā līnijas ap konusa apkārtmēru plaknēs, kas ir perpendikulāras zemes polārajai asij un izvietotas vēlamo parametru dēļ.
  • Plakne, kas pieskaras vienam no zemes poliem, ir pamats polārajām azimutālajām projekcijām. Azimutālā projekcija ir tā, kurā visu punktu virzieni vai azimuti ir pareizi parādīti attiecībā pret centru.
  • Projekciju grupa ir nosaukta funkcijai, nevis plaknei, jo visas pieskares plaknes projekcijas sfērā ir azimutālas.
  • Meridiāni tiek projicēti kā taisnas līnijas, kas izstaro no punkta, bet tie ir izvietoti to patiesajos leņķos, nevis mazākajos konisko izvirzījumu leņķos. Viens piemērs ir parādīts 4. attēlā.
  • Platuma paralēles ir pilni apļi, kas centrēti uz stabu.

  1. Cilindrs vai konuss var būt noliecies vai sagriezis globusu divās paralēlēs, nevis pieskarties tikai vienam. Tas nodrošina divas standarta paralēles.
  2. Lidmašīna var pārgriezt globusu jebkurā paralēlē, nevis pieskarties stabam.
  3. Cilindra vai konusa ass virziens var atšķirties no polārās ass virziena, savukārt plakne var būt pieskarama punktam, kas nav pols. Šāda veida modifikācijas noved pie svarīgām slīpām, šķērsvirziena un ekvatoriālām projekcijām, kurās lielākā daļa meridiānu un paralēles vairs nav taisnas līnijas vai loku loki.


Trīs galvenās projekcijas, kas aplūkotas pēdējā slejā, ir parādītas 1. attēlā. Valsts plaknes koordinātu sistēmām izmantotās projekcijas virsmas ir modifikācijas, kas arī tiek aplūkotas pēdējā slejā un parādītas 2. attēlā. Tos sauc par secant projekcijām: secant konuss Lamberta projekcijā un sekundārais cilindrs Mercator projekcijā. Mercator projekcijā sekundārais cilindrs ir pagriezts par 90 °, tāpēc cilindra ass ir perpendikulāra nulles virsmas rotācijas asij. Reizēm cilindru pagriež iepriekš noteiktā azimutā, izveidojot slīpi Mercator projekciju, Aļaskā ir viena stāvokļa plaknes koordinātu zona, kas izmanto šo koncepciju. Lūdzu, ņemiet vērā, ka šīs projekcijas virsmas šķērso elipsoīdu, nevis zemes virsmu. Secant konuss šķērso elipsoīda virsmu gar divām platuma paralēlēm, kuras sauc par standarta paralēlēm. Norādot šīs divas paralēles, tiek noteikts konuss, norādot centrālo meridiānu, kas konusu orientē attiecībā uz elipsoīdu. Šķērsvirziena sekundārais cilindrs šķērso elipsoīda virsmu pa divām mazām elipsiem, kas atrodas vienādā attālumā no meridiāna caur zonas centru. Sekundāro cilindru nosaka, norādot šo centrālo meridiānu plus vēlamo režģa skalas koeficientu centrālajā meridiānā. Krustošanās elipses ir standarta līnijas, to atrašanās vieta ir centrālā meridiāna mēroga faktora funkcija.

Režģa izcelsmes platuma un garuma specifikācija un šai vietai piešķirtās tīkla vērtības ir vajadzīgas, lai unikāli noteiktu vai nu Lamberta, vai šķērsvirziena Mercator projekcijas zonu. Džeimsa E. Stema 1983. gada Valsts plaknes koordinātu sistēmas 3. attēlā parādīts, kā tiek definētas Lamberta un Šķērsvirziena Mercator sistēmas. Pirms nonākam zonu un zonu konstanšu noteikšanā, vēlreiz apskatīsim 2. attēlu un vaicāsim: "Kad var izmantot Lamberta konformo konisko projekciju?" un "Kad var izmantot šķērsvirziena Mercator projekciju?" (Piezīme: Kaut arī vārds "konformāls" netiek izmantots, nosaucot šķērsvirziena Mercator projekciju, projekcija ir konformāla). Lamberta projekcija nodrošina taisnstūra zonas vistuvāko tuvinājumu bāzes virsmai austrumu-rietumu virzienā. Šķērsvirziena Mercator projekcija nodrošina vistuvāko tuvinājumu taisnstūra zonai, kas ir garākā ziemeļu-dienvidu virzienā. Jo šaurāka ir zemes virsmas sloksne, kuru vēlaties attēlot plaknē, jo mazāka ir projekcijas deformācija. Kā minēts agrākā slejā, "kad viena režģa pārklātā laukuma platums ir 158 likumu jūdzes, galējās atšķirības starp ģeodēzisko un tīkla garumu būs 1/10 000 no līnijas garuma". Tādai valstij kā Konektikuta, kas ir nedaudz garāka austrumu-rietumu virzienā, Lamberta projekcija ir ideāla. Ziemeļu-dienvidu attālums pāri Konektikutai ir mazāks par 158 likumpunktiem, kurus viena zona var aptvert un aptver visu štatu. Ņūhempšīra, Ņūdžersija un Rodas sala ziemeļu-dienvidu virzienā ir nedaudz garākas. Visi trīs štati izmanto šķērsvirziena Mercator projekciju, un, tāpat kā Konektikutas gadījumā, katru zonu pārklāj viena zona.

Kā ir ar lielākām valstīm? Ja stāvoklis ir liels, nav svarīgi, kura no abām projekcijām tiek izmantota, jums vienkārši jāsadala stāvoklis divās vai vairākās zonās. Esmu pārliecināts, ka tika daudz domāts par projekcijas izvēli un zonu skaitu katrā valstī. Kaut arī Kalifornija ziemeļu-dienvidu virzienā ir daudz garāka, nelīdzenstūra forma padarīja praktiskāku Lamberta projekcijas izmantošanu ar septiņām zonām. 1. tabulā, kas ir liela tabula 1927. gada valsts lidmašīnu koordinātu sistēmai, ir apkopots viss, ko mēs esam apsprieduši līdz šim brīdim. Katram stāvoklim tā identificē izmantoto (-ās) projekciju (-as), nosauc zonas, norāda centrālajam meridiānam vai paralēlēm izvēlēto platuma, garuma un mēroga koeficientu, kā arī norāda izcelsmei izvēlētās platuma, garuma un x un y koordinātas. Katras zonas izcelsme bija pietiekami tālu uz dienvidiem, lai visas taisnstūra y koordinātas būtu pozitīvi skaitļi. Ar dažiem izņēmumiem zonas centrālā meridiāna x koordināta bija 500 000 pēdas vai 2 000 000 pēdas.

Šeit ir problēma:
Aprēķiniet štata plaknes koordinātas stacijai Blackduck Tank, kuras NAD 27 koordinātas ir

N47 ° platums 43 '50,270 "
Garums W94 ° 32 '58.240 "

Stacija atrodas Minesotas štatā, Minesotas ziemeļu štata plaknes zonā.

Y = 0 koordinātas notiek pie N46Â ° 30 ', kas atrodas pietiekami tālu uz dienvidiem no Minesotas ziemeļu zonas, lai visas y koordinātas būtu pozitīvas. Ņemot vērā punkta P platumu un garumu, jums būs jāzina leņķa, rādiusa Rb un rādiusa R vērtības, lai aprēķinātu punkta P koordinātas x, y. Atcerieties, ka šī ir konusveida projekcija, punkts A apzīmē virsotni konusa, uz kura tiek projicēts laukums, un loka EP ir daļa no platuma paralēles caur punktu P.

Veiksim aprēķinus. Atsaucoties uz 2. attēlu, P punkta x un y koordinātas var aprēķināt, izmantojot šādus vienādojumus:

Kā redzams no 2. attēla, C = 2 000 000 pēdas. Lai gan tas nav parādīts, Rb= 19 471 398,75 pēdas, konstante uz Minesotas ziemeļiem.

Tabulas ir nepieciešamas, lai iegūtu R un q. Šīs tabulas ir dotas Minesotas štata publikācijā, taču šim rakstam Rayner un Schmidt 1. un 2. tabula ir oriģinālu tabulu kopsavilkumi, kas aptver vērtības, kas nepieciešamas mūsu problēmas risināšanai. 1. tabulā q vērtības norādītas kā garuma funkcija, sākot no W94 ° 21 'garuma līdz W95 ° 00' garumam. 2. tabulā ir norādītas R, y 'un mēroga faktora vērtības atkarībā no platuma, sākot no platuma N47 ° 31' līdz platuma N47 ° 50 '(y' mūsu problēmai nav vajadzīgs).

Ņemot vērā: Stacijas Blackduck tvertne
N47 ° platums 43 '50,270 "
Garums W94 ° 32 '58.240 "
Štats - Minesota, Ziemeļu zona
C = 2 000 000 pēdas
Rb = 19 471 398,75 pēdas

Atrast: Stāvokļa plaknes koordinātas x un y, plus skalas koeficients.

Risinājums:
1. Interpolējiet no 2. tabulas, lai iegūtu R platumam N47Â ° 43 '50,270 "

47 ° 43 'platumam,
R = 19 027 633,05 pēdas
47 ° 44 'platumam,
R = 19 021 553,99 pēdas
Starpība = 6079,06 pēdas

Interpolēt 47 ° 43 '50,270 "platumam

Tā kā R vērtība samazinās no 47 ° 44 'līdz 47 ° 43', lai iegūtu R 47 ° 43 '50,270 "platumā, jūs atņemat 5093,24 no R vērtības 47 ° 43' platumā.

1. tabula. Q vērtības - Minesotas ziemeļu zona

Lamberta projekcija Minesotai - ziemeļu zonai
1 "no garas. = 0". 7412196637 no q

-0 55 35.4885
-0 56 19.9617
-0 57 04.4348
-0 57 48.9080
-0 58 33.3812
-0 59 17.8543
-1 00 02.3276
-1 00 46.8007
-1 01 31.2739
-1 02 15.7471
-1 03 00.2202
-1 03 44.6935
-1 04 29.1666
-1 05 13.6398
-1 05 58.1130
-1 06 42.5862
-1 07 27.0594
-1 08 11.5325
-1 08 56.0057
-1 09 40.4789

-1 10 24.9521
-1 11 09.4253
-1 11 53.8984
-1 12 38.3716
-1 13 22.8448
-1 14 07.3180
-1 14 51.7912
-1 15 36.2643
-1 16 20.7375
-1 17 05.2107
-1 17 49.6839
-1 18 34.1571
-1 19 18.6302
-1 20 03.1034
-1 20 47.5766
-1 21 32.0498
-1 22 16.5230
-1 23 00.9961
-1 23 45.4693
-1 24 29.9425

2. No 1. tabulas interpolējiet q garumā W94Â ° 32 '58.240 ".

W94 ° 32 'garumam,
q = -1 ° 03 '44,6935 "
W94 ° 33 'garumam,
q = -1 ° 04 '29,1666 "
Starpība = -0 ° 00 '44,4731 "

Interpolējiet garuma virzienā
94 ° 32 '58,240 "

Tā kā q vērtība negatīvi palielinās no 94 ° 32 'līdz 94 ° 33', algebriski pievienojiet 43.1686 "vērtībai 94 ° 32 '.

3. Atrisiniet vienādojumu x = R sin q + C: x = 1 643 311,67 pēdas.

4. Atrisiniet vienādojumu y = Rb - R cos q:
y = 452 203,34 pēdas.

2. tabula. R, y 'un
Mēroga faktori - Minesotas ziemeļu zona

Lamberta projekcija Minesotai - ziemeļu zonai

y '
y Vērtība ieslēgta
Centrālais meridiāns (pēdas)

Tabulas veidā
Atšķirība
par 1 "no lat. (pēdām)

Mērogot
Vienības
7. vieta
no žurnāliem

19,100,580.81
19,094,501.88
19,088,422.95
19,082,344.01
19,076,265.06
19,070,186.10
19,064,107.13
19,058,028.15
19,051,949.16
19,045,870.15
19,039,791.13
19,033,712.10
19,027,633.05
19,021,553.99
19,015,474.92
19,009,395.83
19,003,316.72
18,997,237.60
18,991,158.46
18,985,079.30

370,817.94
376,896.87
382,975.80
389,054.74
395,133.69
401,212.65
407,291.62
413,370.60
419,449.59
425,528.60
431,607.62
437,686.65
443,765.70
449,844.76
455,923.83
462,002.92
468,082.03
474,161.15
480,240.29
486,319.45

101.31550
101.31550
101.31567
101.31583
101.31600
101.31617
101.31633
101.31650
101.31683
101.31700
101.31717
101.31750
101.31767
101.31783
101.31817
101.31850
101.31867
101.31900
101.31933
101.31950

0.9999182
0.9999166
0.9999152
0.9999138
0.9999125
0.9999112
0.9999101
0.9999090
0.9999080
0.9999071
0.9999063
0.9999056
0.9999050
0.9999044
0.9999039
0.9999035
0.9999032
0.9999030
0.9999029
0.9999028

5. Atrodiet mēroga koeficientu:

N47 ° ° 43 'platums,
mēroga koeficients = 0,9999050
N47 ° ° 44 'platums,
mēroga koeficients = 0,9999044
Starpība = 0,0000006

Interpolēt 47 ° 43 '50,270 "platumam

Tā kā mēroga koeficients samazinās no 47 ° 43 'līdz 47 ° 44', no vērtības 47 ° 43 'atņemiet 0,0000005:

Mēroga koeficients =
0.9999050 - 0.0000005 = 0.9999045.

Ņemot vērā:
Station Blackduck Tank Minesotā
N47 ° platums 43 '50,270'
Garums W94 ° 32 '58.240'

Aprēķināts:
Minesotas ziemeļu zona, NAD 27
x = 1 643 311,67 pēdas
y = 452 203,34 pēdas
mēroga koeficients = 0,9999045.

Lai šķērsotu, nepieciešams otrs ģeodēziskais kontrolpunkts, un šim punktam jāaprēķina valsts plaknes koordinātas. Ja abi ģeodēziskie kontroles punkti ir neredzami, apgriežoties starp divām stāvokļa plaknes koordinātām, tiek iegūts "režģa azimuts" (ir iespējams izmantot arī saules vai zvaigznes azimutu, par to vēlāk). Tad visi uz virsmas izmērītie attālumi ir jāsamazina līdz režģim, un visi šķērsvirziena aprēķini, kas veikti, izmantojot plaknes trigonometriju, to izdarīsim nākamajā rakstā.

Kā redzat, Lambert režģa aprēķini ir vienkārši, ja jums ir tabulas. Nākamajā rakstā es pārveidošu transversālo Mercator režģi, kas nav tik vienkārša kā Lambert režģī, kā jūs redzēsiet.

Problēma ir:
Aprēķiniet stāvokļa plaknes koordinātas stacijai King, kuras NAD 27 koordinātas ir

platums N40 ° 43 '37.302 "
garums W88 ° 41 '35.208 "

Stacija atrodas Ilinoisas štatā, štata lidmašīnas zonā Ilinoisas austrumos.

1. attēlā parādīta karte no ASV krasta un ģeodēzisko pētījumu rokasgrāmatas Ilinoisas štatā, kas arī atkārtota Rayner un Schmidt1. Ilinoisa izmanto šķērsvirziena Mercator projekciju ar divām zonām - austrumiem un rietumiem. Katrai zonai ir sava ass y, lai gan abām asīm, kas iet caur austrumu un rietumu zonu, x vērtība ir 500 000 '. Abās zonās tiek izmantota viena un tā pati ass, kas atrodas krietni zem štata dienvidu robežas un kuras vērtība ir nulle pēdu. Austrumu zonas centrālais meridiāns ir 88 ° 20 'rietumu garums pa šo līniju, projekcijas mērogs ir viena daļa no 40 000 daļām par mazu. Precīzas mēroga līnijas ir paralēlas centrālajam meridiānam un atrodas aptuveni 28 jūdzes uz austrumiem un rietumiem. Protams, uz austrumiem un rietumiem no šīm līnijām mērogs ir pārāk liels. 36 ° 40 'platuma paralēle nosaka x asi, austrumu zonas koordinātu izcelsme ir punkts 36 ° 40' paralēlā, kas atrodas 500 000 'uz rietumiem no 88 ° 20' garuma.
Veiksim aprēķinus. Atšķirībā no Lamberta projekcijas nav skices, kas parādītu ģeometriskās attiecības starp platumu, garumu un x, y. Šo aprēķinu veikšanai nepieciešamie vienādojumi ir šādi:

x = x '+ 500 000 (1)
x '= H Dl "+/- a b (2)
y = yo + V ("/ 100) 2 +/- c (3)

Kur x 'ir attālums, punkts ir vai nu uz austrumiem, vai rietumiem no centrālā meridiāna yo, H, V un a ir lielumi, kuru pamatā ir ģeodēziskais platums b un c ir balstīti uz Dl "(punkta garuma atšķirība no centrālā meridiāna garums, loka sekundēs).

Tabulas ir vajadzīgas, lai iegūtu vērtības H, V, a, b, yo un c. Par laimi, visas vērtības ir atrodamas divās tabulās, kas dotas Ilinoisas štata publikācijā, taču šim rakstam Rayner un Schmidt 1. un 2. tabula (18. lpp.) Ir oriģinālu tabulu kopsavilkumi, kas aptver vērtības nepieciešami, lai atrisinātu mūsu problēmu.

Ņemot vērā:
Station King
platums N40 ° 43 '37.302 "
garums W88 ° 41 '35.208 "
Štats - Ilinoisa, Austrumu zona
Centrālais meridiāns - W88 ° 20 '00

Risinājums:
1) Atrisiniet Dl. Tā kā mēs atrodamies rietumu puslodē, visas garuma vērtības ir mīnusas.
Dl "= garums - centrālais meridiāna garums.
Dl = -88 ° 41 '35,208 "- (-88 ° 20' 00")
Dl = -0 ° 21 '35,208 "= -1 295,208 loka sekundes


Labākā atbilde

NeilCooke moderators, darbinieku amata vietas: 3,810

@ john_P37 - pirmajai iespējai ir izveidot paletes savienotāju montāžā ar leņķveida seju pirms daļas izveidošanas kontekstā (nevis izmantojot montāžas sākumu), tad jaunā daļa būs pareizajā orientācijā studija. Otrais variants būtu izveidot konstrukcijas skici uz plāksnes virsmas, pēc tam caur šo skici izveidot plakni, lai plaknes orientācija būtu pareiza. Ceru, ka tam ir jēga.

Trešā iespēja ir izveidot mate savienotāju uz sejas pareizā orientācijā, pēc tam izmantot šo pielāgoto funkciju no mūsu pašu @Jake_Rosenfeld
lai caur to izveidotu plakni. Tad ieskicējiet to.


Pitagora teorēma: savienojums ar izteiksmēm un amp vienādojumiem un skaitļu sistēmu

Pitagora teorēma ir cieši saistīta ar darbu skaitļu sistēmas (NS) un izteiksmju un vienādojumu (EE) domēnos. EE standarti ir daļa no 8. pakāpes pamatdarba, savukārt NS standarti ir noteikti kā “atbalstošs” darbs, jo tie var stiprināt un paplašināt galvenās tēmas.

8. pakāpē NS standarti iepazīstina studentus ar iracionāliem skaitļiem (skaitļiem, piemēram, √2, kurus nevar izteikt kā frakcijas), (8.NS.A.1), un EE standarti pakļauj skolēnus vienkāršiem vienādojumiem, piemēram, x 2 = 8 un y 3 = 27, kas ietver risināšanu ar kvadrātveida un kuba saknēm. (8.EE.A.2) Tā kā Pitagora teorēmas piemērošana, protams, rada šāda veida vienādojumus, problēmu risināšana taisnstūra trīsstūru kontekstā ir divu standartu konverģence. Piemēram, ņemiet vērā mūsu problēmu no standarta 8.G.B.8.

Kad studenti atrisina, viņi iegūst vienādojumu 22 + 62 = c 2, un viņu risinājums izskatās apmēram šādi:

Pamatojoties uz darbu ar 8.NS.A.1 standartu, 8. klases skolēnam jāspēj pateikt, ka √40 ir skaitlis no 6 līdz 7, jo 40 ir starp 36 (62) un 49 (72). Turpmāk viņi var pamatot, ka tas ir mazāks par 6,5, jo 40 ir tuvāk 36 nekā 49, un izmantot secīgus tuvinājumus, lai uzzinātu, ka tas ir aptuveni 6,3. Atskatoties uz problēmu, kas saistīta ar 2 vienību un 6 vienību attālumiem kājām, tas ir saprātīgs garums, ko var sagaidīt hipotenūzai.


Nonholonomiskām sistēmām - vispārinātās koordinātas qi nav neatkarīgi viens no otra, un tos nav iespējams samazināt, izmantojot ierobežojuma vienādojumus. Tomēr, ja tādi ir k formas ierobežojumi ( summa_^ <3n> A_ , delta q_k = 0, ) kur (j = 1,2, ldots, k ), tad ierobežojumu aprakstīšanai var izmantot Lagranžas reizinātājus. Kustības vienādojumi, kas izriet no šiem ierobežojumiem, ir

Lagranža reizinātājam pašam nav fiziskas nozīmes: to var pārveidot par jaunu laika funkciju, tikai pārrakstot ierobežojuma vienādojumu par kaut ko fiziski līdzvērtīgu.

Apsvērsim vispārējo problēmu, kā atrast funkcionalitātes galējību

Piemērs: Bīdāmie un piekaramie svari uz rampas

Piemērs: Apskatīsim gadījumu, kad bloks slīd pa fiksētu leņķa fr berzes bez slīpumu. Acīmredzot visvieglāk tam būtu vai nu vienkārši pierakstīt Ņūtona 2. likumu ērtā koordinātu sistēmā, vai arī izmantot vispārinātu koordinātu q attēlojot nobraukto attālumu pa bloku un vienkārši pierakstot Lagranža vienādojumus. Otrajai metodei - vispārinātas koordinātas izvēle q netieši ņems vērā ierobežojumu, saskaņā ar kuru blokam trajektorijas laikā jāpaliek uz slīpuma, pirms tas sasniedz zemi. Tomēr darīsim to, izmantojot Lagranžas reizinātāju metodi.

Izmantojot x horizontālajai koordinātai un y vertikālajai koordinātai mēs varam izrakstīt Lagrangian kā (L = frac <1> <2> , m , dot^ 2 + frac <1> <2> , m , dot^ 2 + mgy. ) Tomēr taisnstūra koordinātas nav neatkarīgas: tās ir saistītas ar holonomisko ierobežojumu (g (x, y) = y - x , tan theta. ) Iestatījums (L '= L- lambda , g, ) mēs izmantojam Lagranža otro vienādojumu

Tagad pieņemsim, ka pastāv berze, kas iedarbojas uz masu m1, kuru mēs modelējam

  1. J. R. Gaskils juniors un M. Arenšteins, Lagranžas reizinātāju ģeometriskais skats mehānikā, Matemātiskās fizikas žurnāls, 8, 1912. gada 9. izdevums (1967) https://doi.org/10.1063/1.1705436
  2. Volkovs, A. un Zubeļevičs, O., Lagranža sistēmas ar nevienmērīgiem ierobežojumiem, Glāzgovas matemātiskais žurnāls, 2016, Vol. 59, Nr. 2, 289. – 298. Lpp. Doi: 10.1017 / S0017089516000173

Atgriezties Mathematica lapā
Atgriezties uz galveno lapu (APMA0340)
Atgriezieties pie 1. daļas matricas algebras
Atgriezieties pie 2. daļas parasto diferenciālvienādojumu lineārajām sistēmām
Atgriezieties pie 3. daļas parasto diferenciālvienādojumu nelineārām sistēmām
Atgriezieties pie 4. daļas skaitliskajām metodēm
Atgriezieties pie 5. daļas Furjē sērijas
Atgriezieties pie 6. daļas daļējiem diferenciālvienādojumiem
Atgriezieties pie 7. daļas īpašajām funkcijām


16.8 Geom rekvizītu modificēšana

Ģeomu īpašības var modificēt, norādot opcijas viņu attiecīgajām ģeom_ * funkcijām. Piemēram, šeit mēs modificējam izkliedes diagrammas punktus, lai padarītu krāsu “steelblue”, izmēru lielāku un alfa caurspīdīgumu lielāku.

16.5. Attēls: Punkta krāsas modificēšana ar konstanti

Papildus konkrētu ģeomatu atribūtu iestatīšanai konstantēm mēs varam kartēt estētiku ar mainīgajiem. Tātad, šeit mēs krāsu estētisko krāsu kartējam ar mainīgo bmicat, tāpēc punkti tiks iekrāsoti atbilstoši bmicat līmenim. Mēs izmantojam funkciju aes (), lai norādītu šo atšķirību no iepriekš redzamā grafika.

16.6. Attēls: Krāsas kartēšana mainīgajam


Ekvatoriālā koordinātu sistēma

Vai domājāt iegādāties teleskopu? Tas ir mierīgs un iedvesmojošs hobijs. Vai nu grupā, vai atsevišķi jūs varat izpētīt planētas, galaktikas un citus kosmiskos brīnumus no sava pagalma (ja tas nav pārāk piesārņots ar gaismu). Bet ir daudz dažādu teleskopu veidu un stiprinājumu. Viens izplatīts stiprinājuma veids ir tā saucamais ekvatoriālais stiprinājums. Šis stiprinājums ir saskaņots ar Zemes rotācijas asi un “rotē ar debesīm”. Ar šiem stiprinājumiem ir iespējami ilgstošas ​​ekspozīcijas attēli vai vizuāli novērojumi bez pastāvīgas atkārtotas pielāgošanas. Mūsdienu stiprinājumiem ir iekšējais pulkstenis, kas apvienots ar elektromotoru, lai kompensētu rotāciju.

Atbilstošā koordinātu sistēma ir tā saucamā Ekvatoriālā koordinātu sistēma (SPICE to vienkārši sauc J2000… mazliet mulsinoši, ņemot vērā, ka J2000 ir laika zīmogs), kur x ass norāda uz pavasara ekvinokcijas virzienu un z ass ir Zemes rotācijas ass. Zemes ekvators ir slīps attiecībā pret ekliptikas plakni (ap 23 °, sk. 2. skici sākumā) un “nepārklājas” ar ekliptikas koordinātu sistēmu.

Garums un platums ekvatoriālajās koordinātās ir aprakstīti šādi:

  • Pareiza pacelšanās: Tas ir Ekvatoriālās koordinātu sistēmas garums un tiek noteikts stundās (h), nevis grādos, un svārstās no 0h līdz 24h (1h atbilst 15 grādiem).
  • Deklinācija: Šis ir platums un svārstās no -90 ° līdz + 90 °. 0 ° atbilst ekvatora līnijai.

Aprēķināsim mūsu interesējošo debess ķermeņu ekvatoriālās koordinātas. Mēs atkal lietojam for-loop, kas atkārtojas caur visiem ķermeņiem, un mēs izmantojam tās pašas funkcijas kā iepriekš, lai aprēķinātu virziena vektoru un koordinātas Ekvatoriālajā koordinātu sistēmā.

Lai vizualizētu radušos deformāciju starp ekliptikas un ekvatoriālās koordinātu sistēmas, aprēķinos pievienojam ekliptikas plakni. Šim nolūkam papildu pandas tiek izveidots datu ietvars (6. rinda). 11. rindā tiek pievienotas garuma koordinātas ECLIPJ2000no 0 līdz 2 * pi (360 °) kā masīvs. 12. rindā tiek pievienotas platuma vērtības. Faktiski koordinātām jābūt 0 °, šajā gadījumā mums ir nepieciešama sfērisko koordinātu vienošanās. 18. līdz 23. līnija pārveido sfēriskās ekliptikas koordinātas virziena vektoros, izmantojot funkciju SPICE sphrec. Funkcijai nepieciešams attālums r (šeit: vienības sfēra ar rādiusu 1), platums (kolāts) un garumu (lon) vērtības. Atgrieztie vektori ir ekliptikas plaknes virziena vektori vektorizētā ekliptikas koordinātu sistēmā (x, y, z komponenti).

Nākamajā solī mums jāpārveido šie vektori vektorizētajā ekvatoriālajā koordinātu sistēmā (x, y, z komponenti). Mēs izmantojam SPICE funkciju pxform kas aprēķina 3x3 transformācijas matricu starp abām koordinātu sistēmām. Funkcijai nepieciešama šāda ievade:

  • fromstr: (Piezīme: sufikss str attiecas tikai uz spiceypy bibliotēka) Koordinātu sistēmas nosaukums, no kura pārveidot (šeit: ECLIPJ2000)
  • tostr: (Piezīme: sufikss str attiecas tikai uz spiceypy bibliotēka) Koordinātu sistēmas nosaukums, uz kuru pārveidot (šeit: J2000)
  • et: ET starp abām transformācijām. Inerciālajām koordinātu sistēmām šī vērtība var būt jebkura ET (sistēmas, kas laikā nemaina savu orientāciju / definīciju. Turpmākajās apmācībās mēs sastapsimies ar rotācijas koordinātu sistēmām, kur jāņem vērā šis ievades parametrs)

Ar transformācijas matricu mēs varam pārveidot vektorus no ECLIPJ2000 uz J2000 kā parādīts 10. un 11. rindā. Matrica tiek uzklāta ar punktu reizinājumu vektoros. Pēc tam (15. – 24. Rinda) vektorus vektorizētajā Ekvatoriālās koordinātu sistēmā var pārveidot uz labo augšupejas un deklinācijas vērtību, izmantojot funkciju SPICE recrad.

Tagad mēs varam uzzīmēt debess objektus un pievienot ekliptikas plakni ekvatoriālajās koordinātās (17. – 19. Līnija) kā zilu punktētu līniju. Līdzīgi kā iepriekš, mēs iestatījām dažus formatēšanas rekvizītus un mainījām x atzīmes uz labo augšupcelšanās stundu (22. – 25. Rinda). Rezultātā iegūtais skaitlis ir parādīts zemāk.


Skatīties video: . Parasto daļu salīdzināšana. (Oktobris 2021).