Raksti

13.4: Matemātikas modeļi un ģeometrija


Mūs ieskauj visāda veida ģeometrija. Arhitekti ēku projektēšanai izmanto ģeometriju. Mākslinieki veido spilgtus attēlus no krāsainām ģeometriskām formām. Ielas zīmes, automašīnas un izstrādājumu iepakojums izmanto ģeometrisko īpašību priekšrocības. Šajā nodaļā mēs sāksim apsvērt formālu pieeju problēmu risināšanai un izmantot to, lai atrisinātu dažādas kopīgas problēmas, tostarp pieņemot lēmumus par naudu. Tad mēs izpētīsim ģeometriju un saistīsim to ar ikdienas situācijām, izmantojot mūsu izstrādāto problēmu risināšanas stratēģiju.

  • 13.4.1: naudas lietojumprogrammu risināšana
    Monētu vārdu problēmu risināšana ir līdzīga jebkuras citas vārdu problēmas risināšanai. Tomēr tas padara tos unikālus ar to, ka jāatrod monētu kopējā vērtība, nevis tikai kopējais monētu skaits. Viena veida monētām kopējo vērtību var atrast, reizinot monētu skaitu ar atsevišķas monētas vērtību. Jums var būt noderīgi visus skaitļus ievietot tabulā, lai pārliecinātos, ka tie tiek pārbaudīti.
  • 13.4.2. Izmantojiet leņķu, trijstūru un Pitagora teorēmas īpašības (1. daļa)
    Leņķi veido divi stari, kuriem ir kopīgs galapunkts. Katru staru sauc par leņķa pusi, un kopējo gala punktu sauc par virsotni. Ja divu leņķu mēru summa ir 180 °, tad tie ir papildu leņķi. Bet, ja to summa ir 90 °, tad tie ir papildu leņķi. Mēs pielāgosim mūsu problēmu risināšanas stratēģiju ģeometrijas lietojumiem. Tā kā šajās lietojumprogrammās būs ietvertas ģeometriskas formas, tas palīdzēs uzzīmēt figūru un apzīmēt to ar problēmas informāciju.
  • 13.4.3. Izmantojiet leņķu, trijstūru un Pitagora teorēmas īpašības (2. daļa)
    Trijstūri tiek nosaukti pēc to virsotnēm. Jebkuram trijstūrim leņķu mērījumu summa ir 180 °. Dažiem trijstūriem ir īpaši nosaukumi, piemēram, taisnstūrim, kuram ir viens 90 ° leņķis. Pitagora teorēma stāsta, kā taisnstūra trīsstūra trīs malu garumi ir savstarpēji saistīti. Tajā teikts, ka jebkurā taisnstūra trīsstūrī abu kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu. Lai atrisinātu problēmas, kurās tiek izmantota Pitagora teorēma, mums būs jāatrod kvadrātsaknes.
  • 13.4.4. Taisnstūru, trijstūru un trapecveida īpašību izmantošana (1. daļa)
    Daudzi ģeometrijas pielietojumi ietver figūras perimetra vai laukuma atrašanu. Perimetrs ir attāluma mērījums ap skaitli. Laukums ir virsmas skaitlis, kuru sedz skaitlis. Tilpums ir skaitļa aizņemtās vietas mērs. Taisnstūrim ir četras malas un četri taisni leņķi. Taisnstūra pretējās puses ir vienāda garuma. Taisnstūra vienu pusi mēs saucam par garumu L un blakus esošo pusi par platumu W.
  • 13.4.5. Taisnstūru, trijstūru un trapecveida īpašību izmantošana (2. daļa)
    Vienādiem trijstūriem ir vienādi sānu garumi un leņķi, un tāpēc to laukumi ir vienādi. Trijstūra laukums ir puse no bāzes reizinājuma ar augstumu. Vienādsānu trijstūris ir trijstūris ar divām vienāda garuma malām, savukārt trijstūris, kuram ir trīs vienāda garuma malas, ir vienādmalu trīsstūris. Trapeciņš ir četrpusēja figūra ar divām paralēlām malām, pamatnēm un divām malām, kas nav. Trapecijas laukums ir puse no augstuma, reizinot ar pamatu summu.

9.1. Attēls. Ievērojiet šīs ēkas daudzās atsevišķās formas. (kredīts: Berts Kaufmans, Flickr)


Jaunākās publikācijas

Par mums

Paperwritten.com ir tiešsaistes rakstīšanas pakalpojums tiem, kas cīnās ar savu rakstīšanu. Tik vienkārši. Neatkarīgi no tā, vai esat students, kuram ir grūti rakstīt savu aprakstošo eseju, maģistra grāds, kurš mēģina sagatavot disertāciju, vai absolvents, kurš meklē veidus, kā uzlabot savu CV - labākais risinājums ir PaperWritten.com.

100+ angļu valodā runājošu rakstnieku apkalpe. Kopš 2008. gada mēs smagi strādājam, lai savāktu rakstniecības nozares krējumu.

Tā rezultātā mēs esam nonākuši ar vairāk nekā 100 amerikāņu, britu, austrāliešu, kanādiešu un Eiropas rakstnieku, redaktoru un korektoru pulku - tas ir pārsteidzošs rakstīšanas spēks, kas ļauj mums sniegt 100% naudas atmaksas garantiju mūsu klientiem.


Pamatojoties uz TExES 4-8 matemātikas standartiem

Hjūstonas universitātes bezmaksas tiešsaistes matemātikas viktorīnas ir balstītas uz zemāk uzskaitītajām TExES Mathematics 4-8 jomām un kompetencēm. Lai iegūtu informāciju par to, kā katra tiešsaistes viktorīna ir saistīta ar šīm kompetencēm, kreisajā pusē esošajā navigācijas rūtī noklikšķiniet uz saites "Pārskats par viktorīnām".

SKOLOTĀJS SAProt SUMMU SISTĒMU STRUKTŪRU, DAUDZUMA JŪTAS ATTĪSTĪBU UN ATTIECĪBU ATTIECĪBĀ UZ DAUDZUMU UN SIMBOLISKO PĀRSTĀVJU.

  1. Analizē numerācijas sistēmu struktūru un vietas vērtības un nulles lomas pamata desmit sistēmā.

SKOLOTĀJS SAPROT Skaitļu operācijas un Skaitļošanas algoritmus.

  1. Prasmīgi strādā ar reāliem un sarežģītiem skaitļiem un to darbībām.

SKOLOTĀJS SAPROT Skaitļu teorijas idejas un izmanto skaitļus, lai modelētu un risinātu problēmas matemātikas ietvaros un ārpus tās.

  1. Parāda ideju izpratni no skaitļu teorijas (piemēram, galvenā faktorizācija, lielākais kopīgais dalītājs), jo tās attiecas uz veseliem skaitļiem, veseliem skaitļiem un racionāliem skaitļiem, un šīs idejas izmanto problemātiskās situācijās.


II DOMAIN - RAKSTI UN ALGEBRA

SKOLOTĀJS SAProt un izmanto matemātisko pamatojumu, lai identificētu, paplašinātu un analizētu paraugus un saprastu mainīgo, izteicienu, vienādojumu, nevienlīdzības, sakaru un funkciju starpā esošās attiecības.

  1. Izmanto induktīvo pamatojumu, lai identificētu, paplašinātu un izveidotu modeļus, izmantojot konkrētus modeļus, attēlus, skaitļus un algebras izteiksmes.

SKOLOTĀJS SAPROT UN IZMANTO LINEĀRĀS FUNKCIJAS PROBLĒMU MODELĒŠANAI UN RISINĀŠANAI.

  1. Demonstrē lineārās funkcijas jēdziena izpratni, izmantojot konkrētus modeļus, tabulas, grafikus un simboliskus un verbālus attēlojumus.

SKOLOTĀJS SAPROT UN IZMANTO NELINĀRĀS FUNKCIJAS UN ATTIECĪBAS UZ PROBLĒMU MODELĒŠANU UN RISINĀŠANU.

  1. Izmanto dažādas metodes kvadrātiskās funkcijas vai relācijas sakņu (reālo un sarežģīto), virsotņu un simetrijas izpētei.

SKOLOTĀJS IZMANTO UN SAPROT AR TĒMĀM SAISTĪTĀ CALKULA KONCEPCIONĀLOS PAMATUS VIDUSSKOLAS MATEMĀTIKĀ.

  1. Saista tēmas vidusskolas matemātikā ar robežas jēdzienu secībās un sērijās.

SKOLOTĀJS MĒRĪŠANU SAPROT kā PROCESU.

  1. Atlasa un izmanto atbilstošas ​​mērvienības (piemēram, temperatūra, nauda, ​​masa, svars, laukums, ietilpība, blīvums, procenti, ātrums, paātrinājums), lai kvantitatīvi noteiktu, salīdzinātu un paziņotu informāciju.

SKOLOTĀJS SAProt EUCLIDEAN GEOMETRY ĢEOMETRISKO ATTIECĪBU UN AKSIOMĀTISKO STRUKTŪRU.

  1. Izprot punktu, līniju, plakņu, leņķu, garumu un attālumu jēdzienus un īpašības.

SKOLOTĀJS ANALĪZĒ DIVDIENOŠU UN TRĪDIMENSIJU Skaitļu ĪPAŠĪBAS.

  1. Izmanto un izprot formulu izstrādi, lai atrastu ģeometrisko pamatattēlu garumus, perimetrus, laukumus un apjomus.

SKOLOTĀJS SAProt TRANSFORMĀCIJAS GEOMETRIJU UN SAISTA ALGEBRU ar GEOMETRIJU UN TRIGONOMETRIJU, izmantojot KARTĒZIJAS KOORDINĀTU SISTĒMU.

  1. Apraksta un pamato ģeometriskās konstrukcijas, kas izgatavotas, izmantojot atstarošanas ierīci un citas piemērotas tehnoloģijas.

SKOLOTĀJS SAProt, KĀ LIETOT Grafiskās un skaitliskās tehnikas, lai izpētītu datus, raksturotu rakstus un aprakstītu aizbraukšanu no paraugiem.

  1. Organizē un parāda datus dažādos formātos (piemēram, tabulas, frekvences sadalījums, stublāju un lapu diagrammas, lodziņu un ūsu diagrammas, histogrammas, sektoru diagrammas).

SKOLOTĀJS SAProt IESPĒJAMĪBAS TEORIJU.

  1. Izpēta varbūtības jēdzienus, izmantojot datu vākšanu, eksperimentus un simulācijas.

SKOLOTĀJS SAProt ATTIECĪBU TEORIJAS, PARAUGU ŅEMŠANAS UN STATISTISKĀS INFERENCES ATTIECĪBU UN KĀ STATISTISKO INFERENCU IZMANTO UN NOVĒRTĒJAM.

  1. Pielieto zināšanas par statistisko eksperimentu plānošanu, veikšanu, analīzi un interpretēšanu, lai izpētītu reālās problēmas.

SKOLOTĀJS SAProt MATEMĀTISKO MĒLOŠANU UN PROBLĒMU RISINĀŠANU.

  1. Parāda izpratni par pierādījumiem, ieskaitot netiešus pierādījumus matemātikā.

SKOLOTĀJS SAProt matemātiskos savienojumus matemātikā un ārpus tās, kā arī paziņot par matemātiskajām idejām un koncepcijām.

  1. Atpazīst un izmanto vairākus matemātiskā jēdziena attēlojumus (piemēram, punktu un tā koordinātas, apļa laukumu kā kvadrātisko funkciju r, varbūtību kā divu laukumu attiecību).

SKOLOTĀJS SAProt, kā bērni mācās un attīsta matemātiskās prasmes, procedūras un koncepcijas.

  1. Piemēro matemātikas apguves teorijas un principus, lai plānotu piemērotus mācību pasākumus visiem studentiem.

SKOLOTĀJS SAProt, KĀ PLĀNOT, ORGANIZĒT UN ĪSTENOT INSTRUKCIJAS, IZMANTOJOT STUDENTU ZINĀŠANAS, PRIEKŠMETU UN STATĪVAIS MĀCĪBU (TEXAS PAMATZINĀŠANAS UN PRASMES [TEKS]), MĀCĪT VISUS STUDENTUS MATEMATIKAS LIETOŠANAI.

  1. Parāda izpratni par dažādām mācību metodēm, rīkiem un uzdevumiem, kas veicina studentu spēju veikt matemātiku, kas aprakstīta TEKS.

SKOLOTĀJS SAPROT NOVĒRTĒŠANU UN IZMANTO FORMĀLO UN INFORMĀLO NOVĒRTĒŠANAS TEHNIKU ŠĶIRNI, LAI MATEMATIKAS INSTRUKCIJU UZRAUDZĪBAI UN VADĪBAI UN STUDENTU PROGRESA NOVĒRTĒŠANAI.

  1. Parāda izpratni par dažādu matemātikas vērtējumu, tostarp formatīvo un apkopojošo, mērķiem, īpašībām un lietojumiem.


13.4: Matemātikas modeļi un ģeometrija

Lielākā daļa iekštelpu mobilo robotu nepārvietojas kā automašīna. Piemēram, ņemiet vērā mobilās robotikas platformu, kas parādīta 13.2a attēlā. Šis ir piemērs vispopulārākajam veidam, kā vadīt iekštelpu mobilos robotus. Ir divi galvenie riteņi, no kuriem katrs ir piestiprināts pie sava motora. Trešais ritenis (nav redzams 13.2a attēlā) ir novietots aizmugurē, lai pasīvi ripotu, vienlaikus novēršot robota apgāšanos.

13.2. Attēls: (a) Pioneer 3-DX8 (pateicoties ActivMedia Robotics: MobileRobots.com) un daudzi citi mobilie roboti izmanto diferenciālo piedziņu. Papildus diviem piedziņas riteņiem aizmugurējā centrā ir novietots ritentiņš (kā biroja krēsla apakšā), lai novērstu robota apgāšanos. b) Vispārīga diferenciālā piedziņas robota parametri.
13.3. Attēls: (a) Tīra pāreja notiek, kad abi riteņi pārvietojas vienā leņķa ātrumā (b) tīra rotācija notiek, kad riteņi pārvietojas pretējā ātrumā.

Lai izveidotu vienkāršu ierobežojumu modeli, kas rodas no diferenciālās piedziņas, ir nepieciešams tikai attālums starp abiem riteņiem un riteņa rādiuss. Skatīt 13.2b. Attēlu. Darbības vektors tieši nosaka divus riteņa leņķiskos ātrumus (piemēram, radiānos sekundē). Apsveriet, kā robots pārvietojas, kad tiek pielietotas dažādas darbības. Skatīt 13.3. Attēlu. Ja 0 $ ->, tad robots virzās uz priekšu virzienā, kurā ritenīši ir vērsti. Ātrums ir proporcionāls ātrumam. Parasti, ja, tad laika gaitā nobrauktais attālums ir (jo ir riteņu kopējā leņķiskā nobīde). Ja, tad robots griežas pulksteņrādītāja kustības virzienā, jo riteņi griežas pretējā virzienā. Tas motivē ķermeņa un rāmja izcelsmi novietot ass centrā starp riteņiem. Veicot šo uzdevumu, tulkošana nenotiek, ja riteņi griežas tādā pašā ātrumā, bet pretējos virzienos.

Pamatojoties uz šiem novērojumiem, konfigurācijas pārejas vienādojums ir

Tulkojuma daļa satur un detaļas, tāpat kā vienkāršā automašīna, jo diferenciāļa piedziņa virzās virzienā, kurā tās piedziņas riteņi ir vērsti. Tulkošanas ātrums ir atkarīgs no riteņa leņķiskā ātruma vidējā. Lai to redzētu, apsveriet gadījumu, kad viens ritenis ir fiksēts un otrs griežas. Tas sākotnēji liek robotam tulkot ar ātrumu, salīdzinot ar abiem rotējošiem riteņiem. Rotācijas ātrums ir proporcionāls leņķa riteņu ātruma izmaiņām. Robota rotācijas ātrums lineāri aug ar riteņa rādiusu, bet lineāri samazinās attiecībā pret attālumu starp riteņiem.

Dažreiz ir ieteicams pārveidot darbības telpu. Ļaujiet un. Šajā gadījumā to var interpretēt kā darbības mainīgo, kas nozīmē "tulkot" un nozīmē "pagriezt". Izmantojot šīs darbības, konfigurācijas pārejas vienādojums kļūst

Šajā formā konfigurācijas pārejas vienādojums līdzinās (13.15) vienkāršai automašīnai (mēģiniet iestatīt un). Diferenciālā piedziņa var viegli simulēt vienkāršās automašīnas kustības. Diferenciālai piedziņai rotācijas ātrumu var iestatīt neatkarīgi no translācijas ātruma. Vienkāršajai automašīnai tomēr ātrums parādās izteiksmē. Tāpēc rotācijas ātrums ir atkarīgs no translācijas ātruma.

13.4. Attēls: īsākais ceļš, kuru šķērso ass centrs, ir vienkārši līnijas segments, kas savieno sākuma un mērķa pozīcijas plaknē. Šķiet, ka rotācijas ir bez maksas.

Atgādināsim uzdoto jautājumu par īsākajiem ceļiem automašīnām Reeds-Shepp un Dubins. Tas pats jautājums par diferenciālo piedziņu izrādās neinteresants, jo diferenciāļa piedziņa var izraisīt tā ass centru, lai ietu visu nepārtraukto ceļu. Kā parādīts 13.4. Attēlā, tas var pārvietoties starp jebkurām divām konfigurācijām: 1) vispirms pagriežot sevi, lai virzītu riteņus mērķa pozīcijā, kas neizraisa tulkojumu 2) pārvēršot sevi mērķa pozīcijā un 3) pagriežot sevi vēlamajā orientācijā , kas atkal neizraisa tulkojumu. Kopējais attālums, ko nobrauc ass centrs, vienmēr ir Eiklida attālums starp divām vēlamajām pozīcijām.

Tas var šķist dīvains efekts koordinātu izcelsmes izvietojuma dēļ. Šķiet, ka rotācijām nav jāmaksā. To var novērst, optimizējot kopējo riteņa griešanās apjomu vai nepieciešamo laiku, ja ātrums tiek turēts fiksēts [64]. Pieņemsim, ka tā. Noteikt minimālo laiku, kas vajadzīgs, lai pārvietotos starp divām konfigurācijām, ir diezgan interesanti, un tas ir aprakstīts 15.3. Tas pareizi ņem vērā robota pagriešanas izmaksas, pat ja tas neizraisa tulkojumu.


Atlasiet 8. klases matemātikas darblapas pēc tēmas

Izpētiet 2400+ astotās klases matemātikas darblapas

Konvertējiet katru daļu ar 10 reizinātāju kā tās saucēju decimāldaļskaitlī, ievietojot decimāldaļu pareizajā vietā.

Pielietojiet galveno koeficientu un nosakiet pirmo piecdesmit ideālo kvadrātu kvadrātsaknes, kas tiek piedāvāti kā pozitīvi veseli skaitļi.

Izmantojiet formulu, m = (y2 - y1) / (x1 - x1), lai atrastu līnijas slīpumu (m), kas iet caur diviem punktiem: (x1, y1) un (x2, y2).

Ievērojiet darbību secību, pārkārtojiet, lai nezināmais mainīgais kļūtu par priekšmetu, un atrisiniet tā veselās vērtības vērtību.

Ievērojiet katru sakārtoto pāru kopu, kas dota A daļā, izdomājiet sakārtotos pārus no B daļas grafikiem un norādiet, vai tie pārstāv funkciju.

Pabīdiet katru figūru minētajā virzienā: uz augšu vai uz leju, pa kreisi vai pa labi. Uzrakstiet nobīdītā attēla koordinātas.

Katram trijstūru pārim aizpildiet kongruences paziņojumu, uzrakstot atbilstošo malu vai atbilstošo leņķi.

Atrodiet norādītā iekšējā leņķa mērījumu, atņemot zināmo leņķu summu no 180.

Novērojiet, vai iekšējie leņķi atrodas vienā vai otrā šķērsvirziena pusē, un atrodiet nezināmo leņķi.

Kvadrātveida blakus esošās un pretējās trīsstūra malas sakņojas to summā, ja nonākat pie hipotenūzas, tad tas ir taisns trīsstūris.

Pievienojiet norādīto rādiusu (r) un augstumu (h) formulā V = 1/3 & # x3c0r 2 h un atrodiet konusa tilpumu.

Izlasiet katru vārdu problēmu ar reālās dzīves scenāriju un atrodiet katras datu kopas vidējo, vidējo, režīmu un diapazonu.

Pārslēdziet katru daļu uz procentiem, reizinot skaitītāju ar 100, dalot reizinājumu ar saucēju un pievienojot simbolu%.

Kvadrātveida saknes kvadrāts ir radikands. Tātad, vienkārši reiziniet radikandu ar skaitļa kvadrātu ārpus saknes.

Izolējiet vienādojuma x un y izteiksmes vienādai pusei un konstanti uz otru pusi un pārrakstiet to formā: ax + by = c.


Saturs

Senā Grieķija Rediģēt

Grieķu matemātiķis Menaehmuss atrisināja problēmas un pierādīja teorēmas, izmantojot metodi, kurai bija ļoti līdzīga koordinātu izmantošana, un dažreiz tiek uzskatīts, ka viņš ir ieviesis analītisko ģeometriju. [1]

Apolonijs no Pergas, in Par Noteikt sadaļu, risināja problēmas tādā veidā, ko var saukt par vienas dimensijas analītisko ģeometriju, ar jautājumu par tādu punktu atrašanu uz līnijas, kas bija proporcionāli pārējiem. [2] Apolonijs Koniki tālāk izstrādāja metodi, kas ir tik līdzīga analītiskajai ģeometrijai, ka dažreiz tiek uzskatīts, ka viņa darbs ir paredzējis Dekarta darbu apmēram 1800 gadus. Viņa pielietotās atskaites līnijas, diametrs un tangenss būtībā neatšķiras no mūsdienīgā koordinātu rāmja izmantošanas, kur attālumi, kas izmērīti pa diametru no pieskaršanās punkta, ir abscisas, un segmenti ir paralēli pieskarei un pārtverti starp ass un līkne ir ordinātas. Viņš turpināja attīstīt attiecības starp abscisām un atbilstošajām ordinātām, kas ir līdzvērtīgas līkņu retoriskajiem vienādojumiem. Lai gan Apolonijs tuvojās analītiskās ģeometrijas attīstībai, viņam tas neizdevās, jo viņš neņēma vērā negatīvos lielumus un katrā gadījumā koordinātu sistēma tika uzlikta uz dotās līknes a posteriori tā vietā priekšroka. Tas ir, vienādojumus noteica pēc līknēm, bet līknes nenoteica vienādojumi. Koordinātas, mainīgie un vienādojumi bija papildu jēdzieni, kas piemēroti konkrētai ģeometriskai situācijai. [3]

Persija Rediģēt

11. gadsimta persiešu matemātiķis Omar Khayyam saskatīja ciešas attiecības starp ģeometriju un algebru un virzījās pareizajā virzienā, kad ar savu ģeometrisko vispārējo kubisko vienādojumu risinājumu palīdzēja novērst plaisu starp skaitlisko un ģeometrisko algebru [4], [5] bet izšķirošais solis nāca vēlāk ar Dekartu. [4] Omar Khayyam tiek piešķirts algebriskās ģeometrijas pamatu noteikšana, un viņa grāmata Traktāts par algebras problēmu demonstrēšanu (1070), kas noteica analītiskās ģeometrijas principus, ir daļa no persiešu matemātikas, kas galu galā tika nodota Eiropai. [6] Sakarā ar visaptverošo ģeometrisko pieeju algebriskajiem vienādojumiem, Khayyam var uzskatīt par Dekarta priekšteci analītiskās ģeometrijas izgudrošanā. [7]: 248

Rietumeiropa Rediģēt

Analītisko ģeometriju neatkarīgi izgudroja Renē Dekarts un Pjērs de Fermats [8] [9], kaut arī Dekartam dažreiz piešķir vienīgo atzinību. [10] [11] Dekarta ģeometrija, alternatīvais termins, ko lieto analītiskajai ģeometrijai, ir nosaukts Dekarta vārdā.

Dekarts ar eseju ar ievērojamu progresu guva eseju ar nosaukumu La Geometrie (ģeometrija), viena no trim pavadošajām esejām (pielikumiem), kas publicēta 1637. gadā kopā ar viņu Diskusija par metodi, kā pareizi pamatot savu prātu un meklēt patiesību zinātnēs, ko parasti dēvē par Diskurss par metodi. La Geometrie, kas rakstīts viņa dzimtajā franču valodā, un tās filozofiskie principi deva pamatu kalkulācijai Eiropā. Sākotnēji darbs nebija labi uzņemts, daļēji daudzo argumentu trūkumu un sarežģīto vienādojumu dēļ. Tikai pēc tulkojuma latīņu valodā un van Šotena komentāru pievienošanas 1649. gadā (un turpmākajiem darbiem pēc tam) Dekarta šedevrs saņēma pienācīgu atzinību. [12]

Pjērs de Fermats bija arī pionieris analītiskās ģeometrijas izstrādē. Kaut arī viņa dzīves laikā tas nav publicēts, tā ir Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction to Plane and Solid Loci) Parīzē cirkulēja 1637. gadā, tieši pirms Dekarta publikācijas. Diskurss. Skaidri uzrakstīts un labi uztverts Ievads arī ielika pamatu analītiskajai ģeometrijai. Galvenā atšķirība starp Fermata un Dekarta ārstēšanu ir viedokļa jautājums: Fermats vienmēr sāka ar algebrisko vienādojumu un pēc tam aprakstīja ģeometrisko līkni, kas to apmierināja, savukārt Dekarts sāka ar ģeometriskām līknēm un izveidoja to vienādojumus kā vienu no vairākām līkņu īpašībām. . [12] Šīs pieejas rezultātā Dekartam bija jārisina sarežģītāki vienādojumi, un viņam bija jāizstrādā metodes darbam ar augstākas pakāpes polinomu vienādojumiem. Tas bija Leonhards Eulers, kurš vispirms pielietoja koordinātu metodi sistemātiskā kosmosa līkņu un virsmu izpētē.

Analītiskajā ģeometrijā plaknei tiek piešķirta koordinātu sistēma, ar kuras palīdzību katram punktam ir reālu skaitļu koordinātu pāris. Līdzīgi Eiklida telpai tiek piešķirtas koordinātas, kur katram punktam ir trīs koordinātas. Koordinātu vērtība ir atkarīga no sākotnējā sākuma punkta izvēles. Tiek izmantotas dažādas koordinātu sistēmas, taču visbiežāk tās ir šādas: [16]

Dekarta koordinātas (plaknē vai telpā) Rediģēt

Visbiežāk izmantotā koordinātu sistēma ir Dekarta koordinātu sistēma, kur katram punktam ir x-koordināts, kas pārstāv tā horizontālo stāvokli, un a y-koordināts, kas pārstāv tā vertikālo stāvokli. Parasti tos raksta kā kārtotu pāri (x, y). Šo sistēmu var izmantot arī trīsdimensiju ģeometrijai, kur katru punktu Eiklida telpā atspoguļo sakārtots koordinātu trīskāršs (x, y, z).

Polārās koordinātas (plaknē) Rediģēt

Polārajās koordinātās katru plaknes punktu attēlo tā attālums r no izcelsmes un tās leņķa θ, ar θ parasti mēra pretēji pulksteņrādītāja virzienam no pozitīvā x- ass. Izmantojot šo apzīmējumu, punkti parasti tiek rakstīti kā sakārtots pāris (r, θ). Var pārveidot uz priekšu un atpakaļ starp divdimensiju Dekarta un polārajām koordinātām, izmantojot šīs formulas: x = r cos ⁡ θ, y = r sin ⁡ θ r = x 2 + y 2, θ = arctan ⁡ (y / x) < displaystyle x = r , cos theta, , y = r , sin theta , r = < sqrt + y ^ <2> >>, , theta = arctan (y / x)>. Šo sistēmu var vispārināt trīsdimensiju telpā, izmantojot cilindriskas vai sfēriskas koordinātas.

Cilindriskas koordinātas (telpā) Rediģēt

Cilindriskās koordinātās katru telpas punktu attēlo tā augstums z, tā rādiuss r no z- ass un leņķis θ tā projekcija uz xy-plaknes izgatavošana attiecībā pret horizontālo asi.

Sfēriskās koordinātas (telpā) Rediģēt

Sfēriskās koordinātēs katru kosmosa punktu attēlo tā attālums ρ no izcelsmes, leņķa θ tā projekcija uz xy-plaknes izgatavo attiecībā pret horizontālo asi un leņķi φ ko tas padara attiecībā uz z- ass. Leņķu nosaukumi fizikā bieži tiek mainīti. [16]

Analītiskajā ģeometrijā jebkurš vienādojums, kas ietver koordinātas, norāda plaknes apakškopu, proti, vienādojumam noteikto risinājumu vai lokusu. Piemēram, vienādojums y = x atbilst visu to plaknes punktu kopai, kura x-koordinēt un y-koordinātas ir vienādas. Šie punkti veido līniju, un y = x tiek uzskatīts par šīs līnijas vienādojumu. Parasti lineārie vienādojumi, kas ietver x un y norāda līnijas, kvadrātvienādojumi norāda konusveida sadaļas, un sarežģītāki vienādojumi apraksta sarežģītākas figūras. [17]

Parasti viens vienādojums atbilst līknei plaknē. Tas ne vienmēr notiek: triviāls vienādojums x = x norāda visu plakni un vienādojumu x 2 + y 2 = 0 norāda tikai vienu punktu (0, 0). Trīs dimensijās viens vienādojums parasti dod virsmu, un līkne jānorāda kā divu virsmu krustošanās vieta (sk. Zemāk) vai kā parametru vienādojumu sistēma. [18] Vienādojums x 2 + y 2 = r 2 ir vienādojums jebkuram lokam, kura centrs ir sākums (0, 0) ar r rādiusu.

Līnijas un plaknes Rediģēt

Dekarta plaknes līnijas vai vispārīgāk - afīnu koordinātās - algebriski var aprakstīt lineārs vienādojumi. Divās dimensijās vienādojums vertikālām līnijām bieži tiek dots slīpuma pārtveršanas forma:

m ir līnijas slīpums vai gradients. b ir līnijas y pārtveršana. x ir funkcijas neatkarīgais mainīgais y = f(x).

Analogā veidā ar to, kā tiek aprakstītas līnijas divdimensiju telpā, to vienādojumiem izmantojot punkta-slīpuma formu, trīsdimensiju telpā esošajām plaknēm ir dabisks apraksts, izmantojot plaknes punktu un tai perpendikulāru vektoru ( normāls vektors), lai norādītu tā "slīpumu".

(Punkts šeit nozīmē punktu reizinājumu, nevis skalāru reizinājumu.) Paplašināts tas kļūst

kas ir punkts-normāls plaknes vienādojuma forma. [19] Šis ir tikai lineārs vienādojums:

Un otrādi, ir viegli pierādāms, ka, ja a, b, c un d ir konstantes un a, b, un c nav visas nulles, tad vienādojuma grafiks

ir plakne ar vektoru n = (a, b, c) < displaystyle mathbf = (a, b, c)> kā parasti. [20] Šo pazīstamo plaknes vienādojumu sauc par vispārējā forma plaknes vienādojuma. [21]

Trīs dimensijās līnijas var apraksta ar vienu lineāru vienādojumu, tāpēc tos bieži apraksta parametru vienādojumi:

x, y, un z ir visas neatkarīgā mainīgā funkcijas t kas svārstās no reālajiem skaitļiem. (x0, y0, z0) ir jebkurš līnijas punkts. a, b, un c ir saistīti ar līnijas slīpumu tā, ka vektors (a, b, c) ir paralēla līnijai.

Koniskas sadaļas Rediģēt

Dekarta koordinātu sistēmā kvadrātvienādojuma grafiks divos mainīgajos vienmēr ir konusveida griezums - lai arī tas var būt deģenerēts, un visas koniskās sekcijas rodas šādā veidā. Vienādojums būs formas

Tā kā visu sešu konstantu mērogošana dod tādu pašu nulles lokusu, konusus var uzskatīt par punktiem piecdimensiju projektīvajā telpā P 5. < displaystyle mathbf

^<5>.>

Šajā vienādojumā aprakstītās konusveida sekcijas var klasificēt, izmantojot diskriminantu [22]

Ja konuss nav deģenerēts, tad:

  • ja B 2 - 4 A C & lt 0 < displaystyle B ^ <2> -4AC & lt0>, vienādojums apzīmē elipsi
    • ja A = C < displaystyle A = C> un B = 0 < displaystyle B = 0>, vienādojums apzīmē apli, kas ir elipses īpašs gadījums
    • ja mums ir arī A + C = 0 < displaystyle A + C = 0>, vienādojums apzīmē taisnstūra hiperbolu.

    Kvadrālās virsmas Rediģēt

    A kvadriciklsvai četrstūra virsma, ir 2-dimensiju virsma trīsdimensiju telpā, kas definēta kā kvadrātveida polinoma nulles vieta. Koordinātēs x1, x2,x3 , vispārējo kvadriku nosaka algebriskais vienādojums [23]

    Analītiskajā ģeometrijā ģeometriskie jēdzieni, piemēram, attālums un leņķa mērījums, tiek definēti, izmantojot formulas. Šīs definīcijas ir izstrādātas tā, lai tās atbilstu pamatā esošajai Eiklida ģeometrijai. Piemēram, izmantojot Dekarta koordinātas plaknē, attālums starp diviem punktiem (x1, y1) un (x2, y2) nosaka pēc formulas

    ko var aplūkot kā Pitagora teorēmas versiju. Līdzīgi leņķi, ko taisne taisa ar horizontāli, var noteikt pēc formulas

    kur m ir līnijas slīpums.

    Trīs dimensijās attālumu dod Pitagora teorēmas vispārinājums:

    savukārt leņķi starp diviem vektoriem dod punktu reizinājums. Divu Eiklida vektoru punktu reizinājums A un B definē [24]

    kur θ ir leņķis starp A un B.

    Pārveidojumi tiek izmantoti vecāku funkcijai, lai to pārvērstu par jaunu funkciju ar līdzīgām īpašībām.

    Ir arī citas standarta transformācijas, kas parasti netiek pētītas elementārā analītiskajā ģeometrijā, jo transformācijas maina objektu formu tādā veidā, kāds parasti netiek ņemts vērā. Šķībs ir transformācijas piemērs, kas parasti netiek ņemts vērā. Lai iegūtu papildinformāciju, skatiet Wikipedia rakstu par afīnu transformācijām.

    Transformācijas var piemērot jebkuram ģeometriskajam vienādojumam neatkarīgi no tā, vai vienādojums apzīmē funkciju. Pārvērtības var uzskatīt par atsevišķiem darījumiem vai kombinācijās.

    ir relācija, kas apraksta vienības apli.

    Tradicionālās metodes krustojumu atrašanai ietver aizstāšanu un izslēgšanu.

    Tātad mūsu krustojumam ir divi punkti:

    Tātad mūsu krustojumam ir divi punkti:

    Konusveida sekcijām krustojumā varētu būt 4 punkti.

    Pārtverto punktu atrašana Rediģēt

    Viens no plaši pētītajiem krustošanās veidiem ir ģeometriskā objekta krustošanās ar koordinātu asīm x < displaystyle x> un y < displaystyle y>.

    Pieskares līnijas un plaknes Rediģēt

    Ģeometrijā pieskares līnija (vai vienkārši pieskāriens) līdz plaknes līknei noteiktā punktā ir taisna līnija, kas "vienkārši pieskaras" līknei šajā punktā. Neoficiāli tā ir līnija caur bezgalīgi tuvu līknes punktu pāri. Precīzāk, taisna līnija tiek uzskatīta par līknes pieskārienu y = f(x) punktā x = c līknē, ja līnija iet caur punktu (c, f(c)) uz līknes un ir slīpums f ' (c) kur f "ir atvasinājums no f. Līdzīga definīcija attiecas arī uz telpas līknēm un līknēm n-dimensionālā Eiklida telpa.

    Kad tas šķērso punktu, kur saskaras pieskares līnija un līkne, sauc par pieskaršanās punkts, pieskares līnija "iet tajā pašā virzienā" kā līkne, un tādējādi tā ir vislabākā taisnes tuvināšana līknei šajā punktā.

    Līdzīgi pieskares plakne uz virsmu noteiktā punktā ir plakne, kas "vienkārši pieskaras" virsmai šajā punktā. Pieskares jēdziens ir viens no fundamentālākajiem jēdzieniem diferenciālā ģeometrijā, un tas ir plaši vispārināts, sk. Tangenta telpa.

    Normāla līnija un vektors Rediģēt

    Ģeometrijā a normāli ir objekts, piemēram, līnija vai vektors, kas ir perpendikulārs dotajam objektam. Piemēram, divdimensiju gadījumā normāla līnija līknei noteiktā punktā ir taisne, kas ir perpendikulāra pieskares līnijai līknei punktā.

    Trīsdimensiju gadījumā a virsma normāla, vai vienkārši normāli, uz virsmu punktā P ir vektors, kas ir perpendikulārs pieskares plaknei šai virsmai pie P. Vārdu "normāls" lieto arī kā īpašības vārdu: plaknei normāla līnija, spēka parastā sastāvdaļa, normāls vektorsutt. Jēdziens normālums vispārina ortogonalitāti.


    Kas ir Thales teorēma?

    Thales teorēma nosaka, ka:

    Ja trīs punkti A, B un C atrodas apļa apkārtmērā, kur līnija AC ir apļa diametrs, tad leņķis ABC ir taisns leņķis (90 °).

    Alternatīvi, mēs varam norādīt Thales teorēmu kā:

    Apļa diametrs vienmēr ir taisns leņķis jebkuram apļa punktam.

    Jūs pamanījāt, ka Thales teorēma ir īpašs ierakstītā leņķa teorēmas gadījums (centrālais leņķis = divreiz lielāks par ierakstīto leņķi).

    Thales teorēma tiek attiecināta uz Taliss, grieķu matemātiķis un filozofs, kurš atradās Miletos. Taless vispirms uzsāka un formulēja ģeometrijas teorētisko pētījumu, lai astronomiju padarītu par precīzāku zinātni.

    Tur ir vairāki veidi, kā pierādīt Talesa teorēmu. Lai pierādītu šo teorēmu, mēs varam izmantot ģeometrijas un algebras paņēmienus. Tā kā šī ir ģeometrijas tēma, apskatīsim tālāk pamata metodi.


    Ņūdžersijas Izglītības departaments

    Virzoties uz formāliem matemātiskiem argumentiem, šajā vidusskolas ģeometrijas kursā uzrādītie standarti ir domāti, lai formalizētu un paplašinātu vidējās pakāpes ģeometrisko pieredzi. Pārveidojumi tiek prezentēti gada sākumā, lai palīdzētu veidot ģeometrisko jēdzienu konceptuālo izpratni.

    1. vienībā trīsstūra kongruences nosacījumi tiek noteikti, izmantojot stingras kustības un formālo konstrukciju analīzi. Lai pierādītu teorēmas par leņķiem, līnijām, trijstūriem un citiem daudzstūriem, tiks izmantoti dažādi formāti. Darbs 2. nodaļā balstīsies uz studentu izpratni par paplašinājumiem un proporcionālu pamatojumu, lai veidotu formālu izpratni par līdzību.

    3. vienībā ietvertie standarti paplašina taisnības trijstūru līdzības jēdzienu un taisnstūra trijstūra trigonometrijas izpratni. In developing the Laws of Sines and Cosines, the students are expected to find missing measures of triangles in general, not just right triangles.

    Work in unit 4 will focus on circles and using the rectangular coordinate system to verify geometric properties and to solve geometric problems. Concepts of similarity will be used to establish the relationship among segments on chords, secants and tangents as well as to prove basic theorems about circles.

    The standards in unit 5 will extend previous understandings of two- dimensional objects in order to explain, visualize, and apply geometric concepts to three-dimensional objects. Informal explanations of circumference, area and volume formulas will be analyzed.

    If you do not have the username and password to access assessments please email this address: [email protected]

    Provide the following information in the body of the email:

    The username and password are to be used by educators (teachers, principals, directors of curriculum, district administrative staff, etc.) of New Jersey ONLY. By emailing this address you certify you are an educator in New Jersey.

    Copyright © State of New Jersey, 1996 - 2019

    NJ Department of Education, PO Box 500, Trenton, NJ 08625-0500, (609) 376-3500


    Skatīties video: Pitagora teorēma. Kā to pierādīt? (Oktobris 2021).