Raksti

6.3. Apgriezto funkciju teorēma


6.3. Apgriezto funkciju teorēma

Transformācijas un apgriezto funkciju teorēma

Šajā sadaļā mūs interesē funkcijas $ bff: U līdz V $, kur $ U $ un $ V $ ir atvērtas $ R ^ n $ apakškopas. Šādas funkcijas (kuras mēs sauksim par transformācijām) vislabāk var vizualizēt, izmantojot pirms un pēc skicēm, it īpaši, ja $ n = 2 $.

Mūs īpaši interesē funkcijas $ bff: U līdz V $, kā norādīts iepriekš

  • $ bff $ is ir bijection (tas ir, gan viens pret vienu, gan uz). Tas nozīmē, ka pastāv $ bff ^ <-1>: V uz U $.
  • Gan $ bff $, gan $ bff ^ <-1> $ pieder $ C ^ 1 $ klasei.
    Šādu transformāciju $ bff $ var uzskatīt par koordinātu maiņu.

The Apgriezto funkciju teorēma, kas apspriests turpmāk, var palīdzēt mums identificēt šādas funkcijas (vismaz lokāli).

Kā vizualizēt transformāciju

Labs veids, kā vizualizēt transformāciju $ bff $ $ 2 $ dimensijās, ir zīmēt parādītu attēlu pārus

  • kreisajā pusē līniju vai līkņu kolekcija plaknē $ x-y $ vai kādā citā atskaites plaknē (piemēram, plakne $ r- theta $, vienā piemērā zemāk).
  • labajā pusē attēls, izmantojot šo līniju vai līkņu transformāciju $ bff $.

Tādējādi kreisās puses attēls ir * pirms $ bff $, un labajā pusē redzamais attēls ir & quotafter $ bff $.

1. piemērs. Piemēram, zemāk labajā pusē redzamais attēls parāda, kā Dekarta režģis (pirms, pa kreisi) tiek pārveidots, lineāri kartējot $ bff (x, y) = binom <2y-x>$ (aiz labajā pusē).

$ qquad $

Zilās līnijas tiek pārveidotas slīpās līnijās, kuras parametrizē $ binom <2c-x>$, kur $ c $ ir nemainīgs un $ x $ mainās, un sarkanās līnijas tiek pārveidotas slīpās līnijās, kuras parametrizē $ binom <2y-c>$, kur $ c $ ir nemainīgs un $ y $ mainās.

2. piemērs. Zemāk ir divi skaitļi, kas ilustrē funkciju $ bff (x, y) = (x ^ 2-y ^ 2, 2xy) $. Mēs to domāsim kā kartēšanu no $ x-y $ plaknes līdz $ u-v $ plaknei, kur $ u = x ^ 2-y ^ 2 $ un $ v = 2xy $.

$ qquad qquad $

Kreisajā pusē parasts režģis plaknē $ x-y $. (tas ir, $ x-y $ plakne pirms piemērojot $ bff $
Labajā pusē tā attēls plaknē $ u-v $, kur sarkanās līknes ir vertikālu līniju attēli, bet zilās - horizontālas līnijas. Tas notiek ar $ x-y $ plakni pēc piemērojot $ bff $

$ qquad qquad $ -->

Otrkārt, kā atšķirīgu veidu, kā aplūkot to pašu funkciju, mēs varam attēlot arī regulāru režģi $ u-v $ plaknē (pēc, joprojām labajā pusē), un korespondējošās līknes $ x-y $ plaknē (pirms, pa kreisi).

$ qquad qquad $

Ņemiet vērā, ka kreisās puses zilās līknes ir tieši USD u (x, y) = x ^ 2-y ^ 2 $ līmeņa kopas, kas atbilst kopām $ uv $ plaknē, kur $ u $ ir nemainīgs (vertikālās līnijas zilas labajā pusē) un sarkanās līknes ir līmeņu kopas $ v (x, y) = 2xy $, kas atbilst horizontālajām sarkanajām līnijām kreisajā pusē.

Interesanta šīs funkcijas iezīme ir tā, ka abos attēlos liektās līnijas vienmēr saskaras taisnā leņķī.

(Tā kā $ bff (x, y) = bff (-x, -y) $, $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ dalījuma daļu. , mēs varētu izmest pusi no kreisās puses attēliem, piemēram, daļu, kur $ x & lt0 $, nemainot labās puses attēlus.)


Pierādījums:

Vispirms mums būs jāpierāda divas lemmas attiecībā uz lineāro algebru, kuras mēs izmantosim.

1. lemma: Ļaujiet būt apgrieztai lineārai kartēšanai un būt lineārai kartēšanai no tā, lai. Tad arī ir invertējams. nozīmē operatora normu.

Pierādījums 1: No trijstūra nevienlīdzības.

Tā kā operatora normām ir īpašums, mums tas ir.

Turklāt, tā, tātad, kopumā, kas ir nulle tikai tad, ja tāpēc, tas ir apgriezts.

2. lemma: Funkcija ir nepārtraukta attiecībā pret operatora normu.

2. pierādījums: Tāpēc, ja tas ir nemainīgs, mēs varam izgatavot tik mazus, cik mums patīk, un būsim tik mazi, cik mums patīk.

Tagad mēs esam gatavi sākt faktisko pierādījumu.

Injektivitātes pierādījums:

Ļaujiet būt tāds, kāds mums ir. Šādu a ir iespējams izvēlēties, jo atvasinājumi ir nepārtraukti un arī operatora norma. Ņemiet vērā, ka ar 1. lemmu tas nozīmē, ka tas ir maināms.

Ļaujiet. Mēs norādīsim zemāko robežu, parādīsim, ka tā ir pozitīva, tāpēc funkcija ir ieslēgta.

Lai to izdarītu, ļaujiet & # 8217s vispirms pierādīt nelielu lemmu, kas mums palīdzēs.

3. pierādījums: Definējiet pēc. Ievērojiet to. Arī pamaniet, ka bumbiņas ir izliektas, tāpat kā bumbas iekšpusē visiem.

Tātad no pamatrēķina teorēmas:

ko mēs vēlējāmies parādīt.

Ļaujiet atsākt injekciju pierādījumu. Redziet to, un tāpēc mēs iegūstam kustīgas puses:

Tātad tas nozīmē to, kas noslēdz pierādījumu par injektivitāti.

Apkopojot, ja tāds ir, ir iespējams atrast mazu tādu, kas ir injicējams.

Surektivitātes pierādījums:

Ja mēs definējam, tad no definīcijas ir surjektīvs.

Tas parāda, ka pastāv apgrieztais, tāds kā un.

Atliek pierādīt, ka tas ir nepārtraukts, ka tā diferenciālis ir nepārtraukts, tas ir atvērts un tas.

Apgrieztā pierādījuma nepārtrauktība:

Ļaujiet $ x, x + h U_a $ un $ y = f (x), y + k = f (x + h) V_b $.

Injekcijas pierādījumos mēs to redzējām.

Bet tagad, kad mēs zinām, ka pastāv apgrieztā versija, mums ir un.

Tātad kopumā, kas pierāda nepārtrauktību, ko var patvaļīgi padarīt mazu, patvaļīgi mazu.

Attēls ir atvērts:

Mēs vēlamies pierādīt, ka tas ir atklāts.

Tas ir viegli, jo ir nepārtraukts, tāpēc atvērts komplekts ir atvērts. Bet ir, un ir atvērts, tāpēc ir atvērts.

Apgrieztā pierādījuma atšķirība:

Tā kā tas ir diferencējams, mums ir tas, kur ir, vai citiem vārdiem sakot, ja un tāpēc ir pietiekami mazi.

Ļaujiet mums vēlreiz atgādināt, ka $ k = f (x + h) & # 8211 f (x) $ un izmantojot iepriekšējo apzīmējumu (no nepārtrauktības daļas).

tad, reiziniet ar un iegūstiet, pārslēdzieties uz pusēm, lai redzētu

Tādējādi, ja mēs to parādīsim, mēs būtu parādījuši, ka tas ir atšķirams, tātad tas ir atšķirīgs.

Bet atkal no pierādījumiem par injekcijām mēs to redzējām.

Tas ir patvaļīgi mazs, samazinoties, tāpēc ir diferencējams un tā atvasinājums ir!

Apgrieztā pierādījuma diferenciācijas nepārtrauktība:

Tas viegli izriet no ķēdes noteikuma. . Labā puse ir trīs funkciju sastāvs:,, un kuru esam pierādījuši, ka sākumā lineārā algebras daļa ir nepārtraukta. Tātad šie visi ir nepārtraukti, tāpēc arī kompozīcija ir nepārtraukta.


Apgrieztās funkcijas teorēmas pierādījums

Kolektori

Apgrieztās funkcijas teorēmu var pārformulēt kā diferencējamas kartes starp diferencējamiem kolektoriem. Šajā kontekstā teorēma norāda, ka diferencējamai kartei F: M & # 8594 N < displaystyle F: M to N> (C 1 klasei < displaystyle C ^ <1>>), ja F < displaystyle F>,

ir diffeomorfisms. Ņemiet vērā, ka tas nozīmē, ka savienotie M un N komponenti satur lpp un F(lpp) ir tāda pati dimensija, kā tas jau tieši izriet no pieņēmuma, ka dFlpp ir izomorfisms. Ja F atvasinājums ir izomorfisms visos M punktos, tad karte F ir lokāls diffeomorfisms.

Banach vietas

Banaha kolektori

Šos divus vispārināšanas virzienus var apvienot apgrieztās funkcijas teorēmā par Banaha kolektoriem. [10]

Pastāvīga ranga teorēma

Kad F atvasinājums ir injicējošs (resp. Surjektīvs) p punktā, tas ir arī injektīvs (resp. Surjektīvs) p apkaimē, un tāpēc F rangs šajā apkārtnē ir nemainīgs, un tiek piemērota nemainīgas rangu teorēma .

Holomorfās funkcijas

Ja holomorfo funkciju F definē no atvērtas kopas U no C n < displaystyle mathbb ^!> C n < displaystyle mathbb ^!>, un sarežģīto atvasinājumu Jēkaba ​​matrica ir pā invertējama, tad F ir invertējama funkcija p tuvumā. Tas nekavējoties izriet no teorēmas reālās daudzveidīgās versijas. Var arī parādīt, ka apgrieztā funkcija atkal ir holomorfiska. [12]

Polinoma funkcijas

Ja tā būtu taisnība, Jēkaba ​​minējums būtu polinomu apgrieztās funkcijas teorēmas variants. Tajā teikts, ka, ja ar vektoru novērtētai polinoma funkcijai ir Jakoba noteiktais faktors, kas ir invertējams polinoms (tas ir nenulles konstante), tad tai ir apgrieztā vērtība, kas ir arī polinoma funkcija. Nav zināms, vai tā ir patiesa vai nepatiesa, pat divu mainīgo gadījumā. Šī ir galvenā atklātā problēma polinomu teorijā.

Atlases


Par $ F (x, , y) = (x ^ 2 + y ^ 2, xy) $ apzīmē $ beginu = x ^ 2 + y ^ 2, v = xy beigas$ Tad sākas $ u + 2v = (x + y) ^ 2, u-2v = (x-y) ^ 2 beigas $ Dotajā komplektā $ <(x, y): −x & lt y & lt x > $ mums ir $ x + y & gt0, x-y & gt0, quad J_F (x, , y) = 2 (x ^ 2-y ^ 2) ne <0>, $ tāpēc $ F $ ir invertējams un $ sākas x + y = sqrt, x-y = sqrt beigas$ Tādējādi $ sākas 2x = kvrt+ sqrt, 2y = sqrt- sqrt. beigas$

Funkcijai $ F: quad Omega to < mathbb R> ^ 2, qquad (x, y) mapsto (u, v): = (x ^ 2 + y ^ 2, xy) $ ir apgriezts atbilstoši izvēlētai $ Omega apakškopai < mathbb R> ^ 2 $ apgrieztās funkcijas teorēmas dēļ, bet gan tāpēc, ka jūs varat skaidri aprēķināt šo apgriezto vērtību, kā tas tika darīts M. Strochyk atbildē. Ņemiet vērā, ka, lai nonāktu pie formulas $ F ^ <-1>: quad (u, v) mapsto (x, y) = left (< sqrt+ sqrt over2>, < sqrt- sqrt over2> pa labi) $ Jacobians pārbaude nebija nepieciešama. Turklāt mums ir skaidrs priekšstats par $ F ^ <-1> $ domēnu, kas atbilst dotajam $ Omega $.

Apgriezto funkciju teorēma ir nepieciešama teorētiskiem apsvērumiem un gadījumos, kad apgriezto $ F ^ <-1> $ nevar izteikt ar zināmām funkcijām. Tā ir tīri lokāla teorēma: ņemot vērā punktu $ (x_0, y_0) $ ar $ F (x_0, y_0) = :( u_0, v_0) $, tas garantē "loga" esamību $ U $ ar centru $ (x_0 , y_0) $ tā, ka ierobežojums $ F_: = F ierobežojums U $ ir apgriezts $ F ^ <-1> _: F (U) uz U $, kas atkal ir diferencējams. Būtiskais tehniskais nosacījums ir jakobieša nonāvēšana no $ F $ pie $ (x_0, y_0) $. Teorēma jums nepasaka, kāds varētu būt šīs lokālās apgrieztās vērtības "maksimālais domēns".


Ko nozīmē apgrieztās funkcijas teorēma algebriskajā ģeometrijā?

Es dzirdēju vairākas reizes, ka apgriezto funkciju teorēma neizdodas algebriskajā ģeometrijā. Tagad es saprotu, ka esmu diezgan apjukusi. Šim jautājumam ir divas daļas. Pirmajā daļā tiek prasīts pareizi formulēt sintētiskās apgrieztās funkcijas teorēmas. Otrais prasa skaidrojumus un intuīcijas par Penona darbu.

Būtu ļoti pateicīgas detalizētas atsauces - es zinu tikai par diviem Koka tekstiem, Lavedhomme grāmatu un Kostecki piezīmēm par SDG, un tajās šīs lietas netiek apspriestas, un es nepazīstu algebrisko ģeometrijas literatūru pietiekami labi, lai atrastu šo lietu.

Atvainojiet, ja tas viss ir pārāk elementāri!

In Kolektoru sintētiskā ģeometrija, Koks raksta apgrieztās funkcijas teorēmu, kas mūs noved "no bezgalīgi mazas invertivitātes līdz vietējai invertibilitātei", kas izklausās morāli pareizi.

  1. Attiecībā uz "vietējo invertibilitāti" es varu iedomāties tikai vienu interpretāciju - $ f $ étale punktā $ x $ nozīmē atvērtu $ U ni x $ tādu, ka $ f | _U $ ir izomorfisms.
  2. Attiecībā uz "bezgalīgi mazo invertivitāti" es varu iedomāties divas iespējas:
    • (2a) parastais unikālais celšanas īpašums pret bezgalīgi maziem rajoniem
    • (2b) diferenciālis $ operatora nosaukums_x ! f $ visos gadījumos ir izomorfisms.

Es izvēlēšos otro variantu, mēģinot paralēli klasiskajai diferenciālgeometrijai.

Vai, vadoties pēc Koka vārdiem, es pareizi nosaucu šādu nosacījumu par "apgrieztas funkcijas teorēmu"?

Nosacījums IFT1. (2b) $ nozīmē $ (1).

Vai arī šī ideja ir pilnīgi nepareiza?

Vai Henselian īpašums ir saistīts ar implikāciju (2a) $ implicit $ (1)?

Es jautāju šāda fragmenta dēļ no 2.3. Sadaļas Néron modeļi, kas vismaz attiecībā uz shēmām pāri laukiem šķiet līdzīgs.

Ļaujiet $ R $ būt lokālam gredzenam ar maksimālo ideālo $ mathfrak m $ un atlikuma lauku $ k $. Ļaujiet $ S $ būt afinētai (vietējai) shēmai $ R $ un lai $ s $ būtu slēgts punkts $ S $. No ģeometriskā viedokļa Henselian un stingri Henselian gredzenus var ieviest, izmantojot shēmas, kas apmierina dažus apgriezto funkciju teorēmas aspektus.

1. definīcija. Tiek saukta vietējā shēma $ S $ Henselians ja katra karte $ X līdz S $ ir lokāls izomorfisms visos $ X $ punktos virs $ s $ ar nenozīmīgu atlikumu lauka paplašinājumu $ k (x) = k (s) $. Ja papildus atlieku lauks $ k (s) $ ir atsevišķi aizvērts, tiek izsaukts $ S $ stingri Henselian.

Turklāt attiecībā uz morfismu $ f: X uz S $ shēmām $ f $ ir gluds pie $ x $ iff, ja tas ir vietējs projekcija, ti, ir atvērta apkārtne $ U ni x $, ka $ f | _U $ faktori, izmantojot kādu morfismu, kam seko kanoniska projekcija no $ mathbb A_S ^ n $. Gludas aizstāšana ar étale izskatās kā netieša funkciju teorēma, un es domāju, ka tieši to nozīmē Henselian īpašums laukā. Vai tas ir pareizi, vai iepriekš minētajā fragmentā ir domāts kāds cits jēdziens "vietējais izomorfisms"?

Šajā Penona rakstā ir formulēta sintētiska apgriezto funkciju teorēma un turklāt apgalvots, ka viendimensionālu šķirņu morfisms ir vairākās ekvivalentās nozīmēs, ja vien tas atbilst parastajai sintētiskajai definīcijai - kvadrāts zemāk ir pullback. $ pieprasīt sākas TM @ & gt& gt & gt TN @VVV @VVV M @ & gt & gt& gt N beigas$

Es nelasu franču valodu, un es nevaru daudz saprast viņa aprakstīto atvilkšanas laukumu, bet es zinu, ka tas attiecas tikai uz bezgalīgi maziem objektiem. Līdz ar to šķiet, ka Penona dokumentā nav iespējams pievērsties "vietējai invertivitātei" atvērto mikrorajonu izpratnē. Ja tā, kāda jēga no darba? Ņemiet vērā, ka viņa jēdzienu šajā rakstā izmanto arī Marta Bunge.

Pievienots. Lūk, Penona tēze. Atkal, no tā, ko es varu saprast, vietējie apstākļi nav minēti par mikrorajoniem.


Nozīme

Versijas tips Nozīme
konkrēts punkts ar nosauktajām funkcijām (divpusējs, ierobežots) Tas mums saka, ka, ja viens-viens funkcija pēc tam ir diferencējams ar nulles atvasinājumu ir diferencējams attēls punktā .
konkrēts punkts ar nosauktajām funkcijām (divpusējas, jutīgas pret bezgalību) Tas mums saka, ka, ja viens-viens funkcija vai nu kādā brīdī ir diferencējama vai tad ir vertikāla pieskare ir vai nu diferencējama attēls vai tam ir vertikāla pieskare. Turklāt mēs varam apvienot iespējas ar iespējām izmantojot teorēmu.
konkrēts punkts ar nosauktajām funkcijām (vienpusēja versija) Tas mums saka, ka, ja viens-viens funkcija ir vienpusīga diferencējama kādā punktā, tad apgrieztā funkcija ir vienpusēja diferencējama punktā attēls punkts, kur sāns paliek nemainīgs, ja funkcija palielinās, un tiek pārslēgta uz funkciju, kas samazinās.
vispārīgs punkts ar nosauktajām funkcijām (divpusējs, galīgs) Tas mums saka, ka diferencējamas vienas-vienas funkcijas apgrieztā vērtība ar atvasinājumu, kurā nekur nav nulle, ir arī atšķirīga viena-viena funkcija.
vispārīgs punkts ar nosauktajām funkcijām (divpusējas, jutīgas pret bezgalību) Tas mums saka, ka funkcijas “viens pret vienu” apgrieztā vērtība, kas ir diferencējama vai kurai katrā punktā ir vertikāla pieskare, ir arī funkcija “viens pret vienu”, kas ir vai nu diferencējama, vai arī katrā punktā ir vertikāla pieskare.
vispārīgs punkts ar nosauktajām funkcijām (vienpusīgas, jutīgas pret bezgalību) Tas mums saka, ka apgrieztā funkcija viena-viena funkcija, kas ir vienpusēja diferencējama vai kurai katrā punktā ir (vienpusēja vai divpusēja) vertikāla pieskare, ir arī funkcija viena-viena, kas ir vienpusēja diferencējama vai kurai ir ( vienā vai divpusējā) vertikālā pieskare katrā punktā.

Ievērojiet divus svarīgus iebildumus:

  • Diferencējams plkst sniedz mums informāciju par , nevis plkst , bet plkst .
  • Atgriešanās nozīmē, ka mums jābūt uzmanīgiem attiecībā pret nulli un bezgalību. Tādējādi diferencējamās vienas-vienas funkcijas apgrieztajai vērtībai nav jābūt diferencētai visur savā domēnā.

Skaitļošanas iespējamības nozīme

Versijas tips Nozīme
konkrēts punkts, nosauktas funkcijas Apsveriet funkciju viens pret vienu . Ir iespējams aprēķināt ja mēs zinām vērtību kur .
konkrēts punkts ar nosauktajām funkcijām (otrā versija) Apsveriet funkciju viens pret vienu . Ir iespējams aprēķināt ja mēs zinām vispārēja izteiksme priekš un konkrētā vērtība .
vispārīgs punkts, nosauktajām funkcijām Apsveriet funkciju viens pret vienu . Ir iespējams atrast vispārīgu izteicienu ziņā un . Piezīme: [RĀDĪT VAIRĀK]
pati par sevi, iespējams, nav skaidras izteiksmes, pat ja to dara, ja vien mēs pašu inversiju neuzskatām par derīgu pamatu izteicienu rakstīšanai.

Skaitļošanas rezultātu nozīmīgums

Dažus pamata skaitļošanas rezultātus šajā virzienā skatiet sadaļā # Bezgalīgajām versijām.


Zemāk redzamajā attēlā zilā līkne ir funkcijas y = x 2 - 4 x + 3 y = x ^ 2 - 4x + 3 y = x 2 - 4 x + 3 y diagramma, un melnā līnija ir y = xy = xy = x. Uzzīmējiet zilās līknes apgrieztās vērtības grafiku.

attēls

1) Tā kā abas asis ir novilktas vienā un tajā pašā skalā, tāpēc mēs varam vienkārši salocīt grafiku ap y = x y = x y = x, lai iegūtu sarkano daļu.

attēls

2) Tagad mēs izsekojam pārējo diagrammu, lai iegūtu pilnīgu apgrieztā grafiku.

attēls

3) Sarkanā līkne ir apgrieztā zilā līkne. Ievērojiet, ka līknes ir viena otras atspoguļojums ap līniju y = x y = x y = x. Funkcijas apgriezto vērtību esam atraduši grafiski!


Lejuplādēt tagad!

Mēs esam atvieglojuši PDF e-grāmatu atrašanu bez jebkādas rakšanas. Un, piekļūstot mūsu e-grāmatām tiešsaistē vai saglabājot tos datorā, jums ir ērtas atbildes, izmantojot apgrieztu funkciju teorēmas pierādījumu. Lai sāktu atrast apgrieztās funkcijas teorēmas pierādījumu, jums ir taisnība, ka atrodat mūsu vietni, kurā ir iekļauta visaptveroša rokasgrāmatu kolekcija.
Mūsu bibliotēka ir lielākā no tām, kurā ir pārstāvēti simtiem tūkstošu dažādu produktu.

Visbeidzot, es saņemu šo e-grāmatu, paldies par visiem šiem pierādījumiem par apgriezto funkciju teorēmu, ko es varu iegūt tagad!

Es nedomāju, ka tas izdosies, mans labākais draugs man parādīja šo vietni, un tā arī darbojas! Es saņemu savu visvairāk meklēto e-grāmatu

wtf šo lielisko e-grāmatu bez maksas ?!

Mani draugi ir tik traki, ka nezina, kā man ir visas augstas kvalitātes e-grāmatas, kuras viņiem nav!

Ir ļoti viegli iegūt kvalitatīvas e-grāmatas)

tik daudz viltotu vietņu. tas ir pirmais, kas strādāja! Liels paldies

wtffff es to nesaprotu!

Vienkārši atlasiet klikšķi un pēc tam lejupielādes pogu un izpildiet piedāvājumu, lai sāktu lejupielādēt e-grāmatu. Ja ir kāda aptauja, tas aizņem tikai 5 minūtes, izmēģiniet jebkuru jums piemērotu aptauju.


Apgriezto funkciju atvasinājumi

Apgrieztās funkcijas ir funkcijas, kuras & # 8220reversē & # 8221 viena otru.

Mēs uzskatām funkciju (f left (x right) ), kas ir stingri vienmuļa intervālā ( left ( aisnība)). Ja pastāv punkts () šajā intervālā tā, lai (f & # 8217 pa kreisi (<> right) ne 0 ), tad apgrieztā funkcija (x = varphi left (y right) ) ir diferencējama arī pie ( = f pa kreisi (<> pa labi) ) un tā atvasinājumu dod

Pierādīsim šo teorēmu (sauktu par apgriezto funkciju teorēmu).

Pieņemsim, ka mainīgais (y ) iegūst pieaugumu ( Delta y ne 0 ) punktā (. ) Attiecīgais mainīgā (x ) pieaugums punktā () apzīmē ar ( Delta x ), kur ( Delta x ne 0 ), pateicoties stingrai monotoniskai (y = f left (x right) ). Pieaugumu attiecība ir rakstīta kā

Pieņemsim, ka ( Delta y līdz 0 ). Tad ( Delta x līdz 0 ), jo apgrieztā funkcija (x = varphi left (y right) ) ir nepārtraukta pie (). Ierobežojumā, kad ( Delta x līdz 0 ), attiecību labā puse kļūst

Šajā gadījumā kreisā puse arī tuvojas robežai, kas pēc definīcijas ir vienāda ar apgrieztās funkcijas atvasinājumu:

tas ir apgrieztās funkcijas atvasinājums ir sākotnējās funkcijas atvasinājuma apgrieztais.

Turpmākajos piemēros atrodiet funkcijas atvasinājumu (y = f left (x right) ), izmantojot apgrieztās funkcijas atvasinājumu (x = varphi left (y right). )