Raksti

11.5: Pozitīvie operatori - matemātika


Atgādinām, ka pašpievienotie operatori ir operatora analogi reāliem skaitļiem. Tagad definēsim operatora analogo pozitīvajiem (vai, precīzāk, negatīvajiem) reālajiem skaitļiem.

Definīcija 11.5.1. Tiek izsaukts operators (T in mathcal {L} (V) ) pozitīvs (apzīmē (T ge 0 )), ja (T = T ^ * ) un ( iekšējais {Tv} {v} ge 0 ) visiem (v V ).

Ja (V ) ir sarežģīta vektoru telpa, tad pašpiegādes nosacījums izriet no nosacījuma ( iekšējais {Tv} {v} ge 0 ) un līdz ar to to var atcelt.

11.5.2. Piemērs. Ņemiet vērā, ka visiem (T in mathcal {L} (V) ) mums ir (T ^ * T ge 0 ), jo (T ^ * T ) ir pašpiegādāti un ( iekšējais {T ^ * Tv} {v} = iekšējais {Tv} {Tv} ge 0 ).

11.5.3. Piemērs. Ļaujiet (U apakškopa V ) būt (V ) apakšvieta un (P_U ) ir ortogonālā projekcija uz (U ).

Tad (P_U ge 0 ). Lai to redzētu, katram (v = V ) ierakstiet (V = U oplus U ^ bot ) un (v = u_v + u_v ^ bot ), kur (u_v U ) un (u_v ^ bot U ^ bot ). Tad ( iekšējais {P_U v} {w} = iekšējais {u_v} {u_w + u_w ^ bot} = iekšējais {u_v} {u_w} = iekšējais {u_v + u_v ^ bot} {u_w} = iekšējais {v} {P_U w} ), lai (P_U ^ * = P_U ). Nosakot (v = w ) iepriekš minētajā vienādojumu virknē, mēs iegūstam ( internal {P_U v} {v} = internal {u_v} {u_v} ge 0 ) visiem (v V =). Tādējādi (P_U ge 0 ).

Ja ( lambda ) ir pozitīva operatora (T ) īpašvērtība un (v V =) ir saistīts īpašais vektors, tad ( internal {Tv} {v} = internal { lambda v} {v} = lambda iekšējais {v} {v} ge 0 ). Tā kā visiem vektoriem ( internal {v} {v} ge 0 ) (v in V ), no tā izriet, ka ( lambda ge 0 ). Šo faktu var izmantot, lai definētu ( sqrt {T} ), iestatot

begin {vienādojums *}
sqrt {T} e_i = sqrt { lambda_i} e_i,
end {vienādojums *}

kur ( lambda_i ) ir (T ) īpašvērtības attiecībā uz ortonormālo bāzi (e = (e_1, ldots, e_n) ). Mēs zinām, ka tie pastāv Spektrālā teorēma.


Ielūgums uz operatora teoriju

Šī grāmata piedāvā visaptverošu un lasītājiem draudzīgu lineāro operatoru teorijas izklāstu par Banach telpām un Banach režģiem. Abramovičs un Aliprantis sniedz unikālu prezentāciju, kurā iekļauti daudzi jaunumi operatoru teorijā, kā arī apkopoti rezultāti, kas izplatīti plašajā literatūrā. Piemēram, pozitīvo operatoru nemainīgās apakšvietas un Daugaveta vienādojums pirmo reizi tiek parādīti monogrāfijas formā.

Autori saglabā diskusiju patstāvīgi un izmanto vingrinājumus, lai sasniegtu šo mērķi. Grāmatā ir vairāk nekā 600 vingrinājumu, lai palīdzētu studentiem apgūt tekstā izstrādāto materiālu. Vingrinājumi ir dažādas grūtības pakāpes, un tiem ir svarīga un noderīga loma ekspozīcijā. Tie palīdz atbrīvot dažu tehnisko detaļu galveno rezultātu apliecinājumus, bet sniedz studentiem precīzus un pilnīgus pārskatus par to, kā šāda informācija būtu jāizstrādā. Vingrinājumi satur arī ievērojamu daudzumu papildu materiālu, kas ietver daudzus labi zināmus rezultātus, kuru pierādījumi nav viegli pieejami citur.

Pavadošais sējums “Operatora teorijas problēmas”, kuru autori ir arī Abramovičs un Aliprantis, ir pieejams AMS kā sērijas “Absolventu studijas matemātikā” 51. sējums, un tajā ir ietverti visu risinājumu uzaicinājumi uz operatora teoriju.

Risinājumi skaidri parāda tehniskas detaļas daudzu operatoru teorijas rezultātu pierādījumos, sniedzot lasītājam precīzu un pilnīgu šādas detaļas pārskatu. Visbeidzot, grāmata piedāvā ievērojamu daudzumu papildu materiālu un turpmāko attīstību. Pievienojot papildu materiālu daudziem vingrinājumiem, autoriem ir izdevies saglabāt prezentāciju pēc iespējas patstāvīgāku. Vislabākais matemātikas apguves veids ir matemātika, un grāmata “Operatora teorijas problēmas” palīdzēs sasniegt šo mērķi.

Katras grāmatas priekšnoteikumi ir standarta ievada absolventu kursi reālajā analīzē, vispārējā topoloģijā, mērījumu teorijā un funkcionālajā analīzē. Uzaicinājums uz operatora teoriju ir piemērots operatora teorijas, reālās analīzes, integrācijas teorijas, mērījumu teorijas, funkciju teorijas un funkcionālās analīzes absolventu vai padziļinātiem kursiem. Operatora teorijas problēmas ir ļoti noderīgs papildu teksts iepriekš minētajās jomās. Abas grāmatas pētniekus un studentus ļoti interesēs matemātikā, kā arī fizikā, ekonomikā, finansēs, inženierzinātnēs un citās saistītās jomās, un tās būs neaizstājams atsauces rīks.

Lasītāju skaits

Absolventi un pētnieki, kas interesējas par matemātiku, fiziku, ekonomiku, finansēm, inženierzinātnēm un citām saistītām jomām.

Atsauksmes un apstiprinājumi

Grāmata ir lielisks ievads šai konkrētajai operatoru teorijas un elles daļai. Papildus materiāla izvēlei un grāmatai ir jābūt tik labi uzrakstītai, kā parasti tiek sagaidīts no šiem autoriem un elles, ir divas iezīmes, kas atšķir šo grāmatu no citām. Pirmais ir ļoti rūpīgs, ko autori pievērš pareizam sākotnējo rezultātu un hellip attiecinājumam, un otrais ir vingrinājumi, kas ir iekļauti, un hellip ir vairāk nekā 600 vingrinājumi un hellip. Autori ar šo vingrinājumu attiecināšanu rūpējas tāpat kā ar rezultātā teksta pamatteksts un hellip diez vai varētu vēlēties labāku tekstu nekā šis.


Četras matemātikas pamatoperācijas

- saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana - ir piemērojama pat vismodernākajās matemātikas teorijās. Tādējādi to apgūšana ir viena no atslēgām, lai sasniegtu izpratni par matemātiku un konkrēti par algebru. Elektroniskie kalkulatori ir padarījuši šīs (un citas) operācijas vienkārši izpildāmas, taču šīs ierīces var radīt arī atkarību, kas matemātikas īstu izpratni padara diezgan sarežģītu. Kalkulatori var būt ērts rīks, lai pārbaudītu atbildes, taču, ja jūs pārāk lielā mērā paļaujaties uz to, jūs varat sev liegt tādus stingrus garīgos vingrinājumus, kas palīdzēs jums ne tikai veikt matemātiku, bet arī pilnībā saprast, ko jūs darāt.

Saskaitīšana un atņemšana ir divas papildinošas darbības - mēs faktiski varam definēt atņemšanu saskaitīšanas ziņā. Papildinājums ir vienkārši atšķirīgu līdzīgu entītiju kopu kombinācija (un mums ir jāuzsver šis vārds patīk). Tādējādi, ja mēs pievienojam vienu četru kvadrātu kopumu citam piecu kvadrātu kopumam, mēs kopā iegūstam deviņus kvadrātus. (Vai arī, ja vēlaties, aizstājiet "kvadrātus" ar visu, kas jums patīk - suņus, banānus, cilvēkus, klintis vai jebko citu.)

Iepriekš redzamā diagramma ir pievienošanas procesa ilustrācija. Ņemiet vērā, ka plusa zīme (+) norāda operāciju, kas veikta ar abiem noteikumiem. Šajā gadījumā summāri ir četri kvadrāti un pieci kvadrāti. Vienādības zīme (=) norāda, ka tas, kas atrodas pa kreisi un kas ir pa labi, ir līdzvērtīgi (vai vienādi). Labajā pusē ir summa, kas ir summju pievienošanas rezultāts. Protams, zīmēt attēlus katru reizi, kad mēs vēlējāmies attēlot papildinājumu, būtu ļoti kaitinoši (un dažos gadījumos neiespējami). Tā vietā, lai runātu, piemēram, par noteiktu kvadrātu, ābolu, cilvēku, collu vai dolāru skaitu, mēs varam vienkārši tikt galā ar skaitļiem.

Turklāt ņemiet vērā, ka secībai, kādā mēs pievienojam kvadrātus, nav atšķirības. Neatkarīgi no tā, vai pieciem kvadrātiem pievienojam četrus kvadrātus, vai otrādi, rezultāts vienmēr ir deviņi kvadrāti.

Matemātiskajā valodā papildinājums ir komutatīvs mēs varam pievienot divus kopsummas jebkurā secībā un vienmēr iegūt tādu pašu rezultātu. Sekojot mūsu piemēram,

Atņemšana ir pretstatskaitīšanai. Tā vietā, lai pievienotu divus daudzumus (skaitļus), mēs noņemam vienu daudzumu no cita. Tādējādi, ja mums ir deviņi laukumi un atņemam (atņemam) piecus, mums paliek četri kvadrāti. Izmantojot tikai skaitļus, kur mīnus zīme (& # 8211) apzīmē atņemšanas darbību,

Šeit 9 un 5 ir operācijas noteikumi, un 4 ir atšķirība. Atšķirībā no saskaitīšanas atņemšana nav komutatīva. Tas ir, 9 & # 8211 5 un 5 & # 8211 9 ir tāpat - patiesībā tie dod diezgan atšķirīgus rezultātus! (Zemāk redzamais simbols & # 8800 vienkārši nozīmē "nav vienāds".)

Papildinājums (un jebkura cita no pamatdarbībām) var ietvert skaitīšanas skaitļus (1, 2, 3, 4, 5 utt.), Skaitli nulle (0) un jebkuru skaitli starp tiem (daļējas vērtības, piemēram, puse , piemēram). Arī mēs varam saskarties negatīvs skaitļi, kas ir lielumi, kas ir mazāki par nulli. Ja mēs domājam par pozitīviem skaitļiem kā par kaut ko tādu, kas mums ir (piemēram, piemēram, ka mums ir 10 apelsīni), tad negatīvs skaitlis būtu kaut kas tāds, par ko esam parādā (ja kādam būtu parādā 10 apelsīnus, tad mēs varētu sakiet, ka mums ir negatīvi 10 apelsīni). Negatīvos skaitļus parasti izsaka, izmantojot mīnus zīmi (& # 8211), tādējādi negatīvo 10 var uzrakstīt kā -10. Mīnusa zīmes izmantošana nav nejaušība - patiesībā atņemšana nav nekas cits kā saskaitīšana, kas ietver negatīvu skaitli! Iedomājieties, ka jūsu īpašumā ir deviņi āboli (deviņi pozitīvi), bet draugam esat parādā četrus ābolus (četrus negatīvus). Tādējādi jūs ņemat četrus ābolus no deviņiem, kas jums ir, atstājot piecus.

Reizināšana un dalīšana

Pieņemsim, ka mēs vēlamies sev vairākas reizes pievienot konkrētu skaitli, piemēram, sešus. Piemēram, rūpnīcas darbinieks var vēlēties saskaitīt piegādāto detaļu skaitu vairākās kastēs. Katrā lodziņā ir sešas daļas, un kopā ir piecas kastes. Lai uzzinātu, cik daudz daļu viņam ir, strādniekam piecas reizes jāpievieno sev skaitlis seši.

Summu mēs varam atrast, vienkārši veicot pievienošanu vairākas reizes. Īsceļš tomēr ir reizināšana. Iedomājieties detaļas katrā no piecām lodziņiem, kas izvietoti rindās, kā parādīts zemāk (mēs izmantojam kvadrātu, lai attēlotu daļu).

Katra rinda iepriekš apzīmē lodziņu katrā rindā ir sešas daļas. Mums kopā ir piecas rindas. Tādējādi tā vietā, lai veiktu piecus papildinājumus no sešiem, mēs vienkārši reizinām sešus ar pieciem, lai iegūtu kopsummu 30. Reizināšanu parasti apzīmē ar, lai gan dažreiz tā vietā tiek izmantots & # 183. Tiek saukti divi reizinātie skaitļi faktori, un rezultātu sauc par produktu.

Tāpat kā saskaitīšana, reizināšana ir komutatīva. Iedomājieties, kā pagriezt iepriekš parādīto kvadrātu izvietojumu tā, lai tā vietā, lai būtu piecas rindas pa sešiem kvadrātiem katrā, tā būtu sešas rindas pa pieciem kvadrātiem katrā. Mēs neesam mainījuši kopējo kvadrātu skaitu, bet, ievērojot izmantoto loģiku, mēs varam teikt, ka kopējais kvadrātu skaits tagad ir seši reizināts ar (vai reizēm) ar pieciem.

Negatīvo skaitļu pavairošana nes sevī dažus papildu smalkumus. Pieņemsim, ka kāds draugam savā ziņā ir parādā piecus ābolus, tad viņam ir & # 82115 āboli. Mēs varam aplūkot šo situāciju arī tā, ka šī persona parādā savam draugam piecas reizes vairāk par vienu ābolu, kas tiek reizināts ar # 5. Mēs jau zinām, ka viņam ir & # 82115 āboli, tāpēc & # 82111 un 5 reizinājumam jābūt & # 82115.

Tādējādi, ja viens faktors ir pozitīvs un otrs negatīvs, viņu produkts ir negatīvs. Kā ir ar divu negatīvu skaitļu reizinājumu? Mēs to varam uzskatīt par "negācijas negāciju" vai dubultu negatīvu - rezultāts ir pozitīvs skaitlis. (Iedomājieties, ka draugam esat parādā negatīvu ābolu skaitu - tas būtu tas pats, kas šiem āboliem būt pirmajā vietā!) Piemēram,

Dalīšana ir reizināšanas apgrieztā vērtība. Piemēram, iedomājieties, ka iepriekš minētajam rūpnīcas darbiniekam ir 30 daļas un viņš vēlas tos sadalīt pa piecām kastēm. Viņam jāsadala 30 ar 5, un šī darbība tiek parādīta, izmantojot dalīšanas simbolu ().

Citiem vārdiem sakot, starp 30 daļām mēs varam saskaitīt 5 daļas kopā 6 reizes. (Vēl viens veids, kā to pateikt, ir tas, ka 5 notiek 30 reizes sešas reizes.) Sadalāmo skaitli (šajā gadījumā 30) sauc par dalāmais, numuru, ar kuru tas tiek dalīts (šajā gadījumā 5), sauc par dalītājs, un rezultātu sauc par koeficients. Atgādinām, ka mēs uzrakstījām šādu produktu:

Tad ņemiet vērā, ka, ja divu faktoru reizinājums tiek dalīts ar vienu no faktoriem, koeficients ir vienāds ar otru faktoru.

Sadalījums, atšķirībā no reizināšanas, nav komutatīvs.

Negatīvo skaitļu dalīšanas noteikumi ir tādi paši kā reizināšanas noteikumi: ja dividende un dalītājs ir pozitīvi vai abi negatīvi, koeficients ir pozitīvs, un, ja viens ir pozitīvs un otrs negatīvs, tad koeficients ir negatīvs. Šīs prakses problēmas dod jums iespēju praktizēt dažus šajā rakstā aplūkotos jēdzienus.

Prakses problēma: Katram izteicienu pārim nosakiet, vai tie ir vienādi.

a. 3 + (& # 82114) un (& # 82114) + 3 b. 4 2 un 2 4 c. 3 & # 8211 1 un (& # 82111) + 3

Risinājums: Katrs izteicienu pāris iepriekš ir vienāds. Apskatīsim, kāpēc tas tā ir. Atcerieties, ka a daļa ir komutatīva. Tādējādi nav svarīgi, kādu secību mēs izmantojam terminiem, neatkarīgi no tā, vai skaitļi ir negatīvi vai pozitīvi. Tas pats pamatojums attiecas arī uz b daļu: reizināšana ir komutatīva. C daļā abi ir vienādi, jo atņemšana ir tāda pati kā negatīvā pievienošana:

Turklāt papildinājums ir komutatīvs:

Neskatoties uz to, jums jābūt piesardzīgam, jo ​​3 & # 8211 1 ir vienāds ar 1 & # 8211 3!

Prakses problēma: Aprēķiniet katru no šiem.

Risinājums: Katrā gadījumā uzmanīgi ņemiet vērā operāciju nosacījumu, faktoru, dividenžu un dalītāju zīmi, ievērojot iepriekš izklāstītos noteikumus. A un b daļas ir vienkāršas.

Ja dalot nevarat atcerēties noteikumus par zīmēm, atcerieties, ka koeficienta un dalītāja reizinājums ir dividende. (Šajā gadījumā & # 82113 un & # 82117 reizinājums ir 21.)

Varat arī pārrakstīt d daļu, izmantojot papildinājumu: (& # 82116) & # 8211 (3) = (& # 82116) + (& # 82113). Pārējās daļas atbilst jau apspriestajiem pamatnoteikumiem vai stratēģijām, kuras esam pārskatījuši šai problēmai.


Acu, A. M., Raşa, I .: Jaunas aplēses par pozitīvu lineāru operatoru atšķirībām. Skaitlis. Algoritmi 73, 775–789 (2016)

Agratini, O .: Diskrētu pavairošanas operatoru īpašības. Anal. Matemātika. Fiz. (2017). https://doi.org/10.1007/s13324-017-0186-4

DeVore, R.A., Lorentz, G.G .: Konstruktīva tuvināšana. Springer, Berlīne (1993)

Gonska, H., Pitul, P., Raşa, I .: Par atlikušo Teilora Peano formu, Voronovskajas teorēmu un pozitīvo lineāro operatoru komutatoru. In: Agratini, O., Blaga, P. (red.) Starptautiskās konferences par skaitlisko analīzi un tuvināšanas teoriju raksti, Cluj-Napoca, 2006, 55. – 80. Kluža-Napoka, Casa Cartii de Ştiinta (2006)

Gonska, H., Pitul, P., Raşa, I .: Par pozitīvo lineāro operatoru atšķirībām. Karpatu J. Math. 22(1–2), 65–78 (2006)

Gonska, H., Raşa, I .: Pozitīvo lineāro operatoru atšķirības un otrās kārtas modulis. Karpatu J. Math. 24(3), 332–340 (2008)

Ispir, N .: Par modificētiem Baskakova operatoriem uz svērtajām vietām. Turks. J. Math. 26(3), 355–365 (2001)

Mazhar, S. M., Totik, V .: Modifikēto Szász operatoru tuvināšana. Acta Sci. Matemātika. 49, 257–269 (1985)

Raşa, I., Stanilă, E .: Daži operatori, kas saista Bernstein un patiesos Bernstein – Durrmeyer operatorus. J. Appl. Funkcija Anal. 9(3–4), 369–378 (2014)

Szász, O .: S. Bernšteina polinomu vispārināšana līdz bezgalīgam intervālam. J. Res. Natl. Bur. Stāvēt. 45, 239–245 (1950)


Pozitīvie operatori, Riesz telpas un lietojumprogrammas

Plānota darbnīca, kurā tiks izveidota pētnieku grupa pozitīvo operatoru, Riesz Spaces (vai vispārīgāk sakārtotu vektoru telpu) un to pielietojuma ekonomikā un finansēs jomās starp Brīvvalsts universitāti, Hāres fortas universitāti, Johannesburgas universitāti. , Limpopo universitāte, Sefako Makgatho universitāte un Pretorijas universitāte. Lai pieņemtu darbā un apmācītu absolventus, kā arī piedalītos ikgadējā MASAMU pētījumu tīklā sadarbībā ar Auburnas universitāti ASV un Dienvidāfrikas Matemātikas zinātnes asociāciju (SAMSA).

Pozitivitātes teoriju mūsdienu analīzē 20. gadsimta 70. gados izstrādāja galvenokārt Zaanens ar līdzstrādniekiem, bet arī Krievijas un Polijas skolas. Tā rezultātā tika izstrādāta Rīsa telpas (vektora režģa) teorija, un drīz pēc tam pozitivitātes teorijas pielietojumi tika atrasti pozitīvo operatoru un ekonomikas spektrālajā teorijā. 1990. gadā Aliprantis un viņa līdzstrādnieku komanda rīkoja mini konferenci par pozitīvajiem operatoriem, Riesz Spaces un to lietojumiem, aicinot Riesz kosmosa teorētiķus un ekonomistus, kas strādā ar līdzsvara problēmām, apmainīties idejām un dalīties pieredzē. Pēc tam tika veikti daudzi atklājumi, kuru rezultātā tika publicēti vairāki raksti un grāmatas šajās jomās. Dažas nozīmīgas grāmatas par Riesz Spaces ar lietojumiem ekonomikā ir sarakstījušas Aliprantis un viņa līdzstrādnieki, it īpaši paplašinātā grāmata par Locally Solid Riesz Spaces un Applications to Economics (2003). 2000. gados Riesz Spaces pielietojumu stohastiskos procesos galvenokārt izstrādāja C.C.A. Labuschagne un viņa pētnieku komanda, kā arī Troitsky un citi. Labuschagne un viņa doktoranti izstrādāja ideju stohastiskos procesos Riesz telpās, kas sniedza jaunu un vairāk informācijas par martingāles konverģenci Bochner telpās. Nesen tika sniegti Riesz Spaces pielietojumi asimetriski normētos režģos, un šajā virzienā ir panākts zināms progress, jo īpaši attiecībā uz kompaktuma jēdzienu šādās telpās. Galvenā motivācija to izpētē ir viņu pielietojums teorētiskajā datorzinātnē. Galvenā atsauce uz jaunākajiem notikumiem šajā jomā ir S. Cobzas grāmata Funkcionālā analīze asimetriskās normētās telpās (2013).

Mūsu mērķis ir izveidot pētnieku grupu Pozitīvo operatoru, Riesz Spaces (vai vispārīgāk sakārtotu vektoru telpu) un viņu lietojumu ekonomikā un finansēs jomās starp Brīvvalsts universitāti, Harē fortas universitāti, Johannesburgas universitāti, Limpopo universitāte, Sefako Makgatho universitāte un Pretorijas universitāte. Lai pieņemtu darbā un apmācītu absolventus, kā arī piedalītos ikgadējā MASAMU pētījumu tīklā sadarbībā ar Auburnas universitāti ASV un Dienvidāfrikas Matemātikas zinātnes asociāciju (SAMSA).

Galvenā uzmanība tiek pievērsta Riesz Spaces rezultātu izstrādei un paplašināšanai uz vispārīgāk sakārtotām vektoru telpām,

  1. Joslu izpēte sakārtotās vektoru telpās, kas nav obligāti Riesz Spaces.
  2. Konusu, konusu pamatu un to pielietojuma izpēte, raksturojot refleksivitātes un līdzsvara problēmas ekonomikā.
  3. Izmēru brīvas iestatīšanas Martingales izstrāde Riesz telpās.
  4. Asimetrisko normu teorija par normētām Rīzu telpām.
  5. Lietderības funkciju izpēte sakārtotās vektoru telpās.
  6. Fiksēto punktu teorija par Riesz Spaces (vai sakārtotām vektoru atstarpēm) un par asimetrisku iestatījumu.
  7. Riesz atstarpju pielietošana pozitīvo operatoru spektrālajā teorijā.

Tiks ievērotas šādas darbības:

  1. Gada laikā organizējiet vismaz vienu mini semināru, kas notiks Pretorijas universitātē, Hatfīldas pilsētiņā.
  2. Klātienes izpētes sanāksme / diskusija / seminārs starp dalībniekiem ceļojuma attālumā.
  3. Skype vai tiešsaistes pētījumu tikšanās ar dalībniekiem, kuru universitātes atrodas tālu no pārējās grupas.
  4. Piedalieties pozitivitātes konferencē, topoloģijā, algebras, analīzes un ģeometrijas (TAAG) konferencē, Dienvidāfrikas Matemātikas zinātnes asociācijas (SAMSA) konferencē, Dienvidāfrikas matemātikas biedrības, topoloģijas un tās piemērošanas konferencē.

Mūsu partneri ir matemātikas, datorzinātņu un ekonomikas katedras šādās universitātēs

  1. Babes Bolyai universitāte, Kluža, Rumānija
  2. Navarras Valsts universitāte, Pamplona, ​​Spānija
  3. Baleāru salu universitāte, Palma de Maljorka, Spānija
  4. Valensijas Universitāte, Valensija, Spānija
  5. Auburn University, ASV.
  1. Dr Abdullah Aydin, Mat Alparslan Universitātes Matemātikas katedra, Mus, Turcija, a) multiplikatīvā konverģence Riesz telpās
    b) kārtības konverģence f-algebrās.
  2. Prof Nazife Erkusun, Hacettepe universitātes Matemātikas katedra, Ankara, Turcija
    a) Par operatora tīklu ergodiskajām īpašībām Fon Nīmaņa algebrās.
    b) Neierobežota p-konverģence normētās Riesz Spaces.
  3. Prof Jacek Banasiak, Matemātikas un lietišķās matemātikas katedra, Pretorijas Universitāte.
    a) Banach režģi un pielietojumi.
  4. Dr Mokhwetha Mabula, Pretorijas universitātes Matemātikas un lietišķās matemātikas katedra.
    a) Pasūtīt konverģenci Riesz Spaces un pasūtīt nepārtrauktus operatorus.
  5. Miss Queen Mabe, Johannesburgas Universitātes Ekonomikas departaments
    a) Rīzu atstarpes un līdzsvara vienādojumi.
  1. Profs Stefans Kobzas, Rumānijas Babes Bolyai universitātes Matemātikas un datorzinātņu katedra
  2. Prof. Džeraldo De Souza, Matemātikas un statistikas departaments, Oburnas universitāte, Amerikas Savienotās Valstis.
  3. Prof Oskars Valero, Matemātikas un informātikas katedra, Baleāru salu universitāte, Spānija
  4. Prof Enrike Sančess-Peress, Matemātikas un lietišķās matemātikas katedra, Universitātes Politecnica de Valencia, Spānija
  5. Prof Esteban Indurain, Statistikas departaments, Informātikas un matemātika, Navares Valsts universitāte, Spānija

Vēsturiski notikumi:

Masamu programma: Funkcionālās analīzes tēmas - Virtuālais kurss - 2020. gada rudens

Funkcionālās analīzes tēmu kursa programma tiks pasniegta Pretorijas universitātē, Dienvidāfrikā, no 2020. gada 5. augusta līdz 2020. gada 16. decembrim. Šo kursu sponsorē Masamu programma: ASV un Āfrikas sadarbības pētniecības tīkls

Kurss notiks katru trešdienu plkst. 17:00 -19: 00 Stundas (17: 00-19: 00) pēc Dienvidāfrikas laika.
Kurss sāksies: trešdien, 2020. gada 5. augustā
Kurss beigsies: trešdien, 2020. gada 16. decembrī

Šī kursa lekcijas lasīs:

Džeraldo Soaress de Souza (PhD)
Emeritētais profesors
Matemātikas katedra
Auburn University
Auburn, AL, ASV, 36849
E-pasts: [e-pasts un # 160 aizsargāts]

Edijs Kvessi (PhD)
Asociētais profesors
Matemātikas katedra
Trīsvienības universitāte
Sanantonio, TX, ASV 78212
E-pasts: [e-pasts un # 160 aizsargāts]

1. Vektoru telpas
2. Metriskās un normētās atstarpes
3. Banahs un Hilberts Spaces
4. Secības Telpas un kompaktums secību telpās
5. Lineārās transformācijas un ierobežoto lineāro funkcionālo raksturojums
6. Hāna Banaha teorēma
7. Slēgta grafika teorēma
8. Atveriet kartēšanas teorēmu
9. Vājas topoloģijas
10. Vienotas robežas princips
11. Dažu Banaha telpu ekvivalence
12. Vingrinājumi

Šis kurss būs balstīts uz Prof. Geraldo de Souza lekcijām “Mini-kurss par funkcionālo analīzi” SAMSA Masamu uzlaboto studiju institūtā, kas notika Livingstonā, Zambijā, 2011. gada 2.-12. Decembrī. Kursa piezīmes būs pieejamas visi studenti.

Dienvidāfrikas vietējais koordinators:

Mokhwetha Mabula (PhD)
Matemātikas vecākais pasniedzējs
Pretorijas universitāte
Pretorija, Dienvidāfrika
E-pasts: [e-pasts un # 160 aizsargāts]

Overtoun Jenda (PhD)
Provosta palīgs īpašos projektos un iniciatīvās un matemātikas profesors
Auburn University
Auburn, AL, ASV, 36849
E-pasts: [e-pasts un # 160 aizsargāts]


11.5: Pozitīvie operatori - matemātika

Visi MDPI publicētie raksti ir nekavējoties pieejami visā pasaulē ar atvērtas piekļuves licenci. Lai atkārtoti izmantotu visu MDPI publicēto rakstu vai tā daļu, ieskaitot attēlus un tabulas, nav nepieciešama īpaša atļauja. Rakstiem, kas publicēti ar brīvpiekļuves Creative Common CC BY licenci, jebkuru raksta daļu var atkārtoti izmantot bez atļaujas, ja ir skaidri norādīts oriģināls.

Feature Papers ir vismodernākais pētījums ar ievērojamu potenciālu, lai šajā jomā būtu liela ietekme. Rakstus par zinātniskajiem redaktoriem iesniedz pēc individuāla uzaicinājuma vai ieteikuma, un pirms publicēšanas tie tiek salīdzināti.

Feature Paper var būt vai nu oriģināls pētniecības raksts, nozīmīgs jauns pētījums, kas bieži ietver vairākas metodes vai pieejas, vai arī visaptverošs pārskata dokuments ar kodolīgiem un precīziem atjauninājumiem par jaunākajiem sasniegumiem šajā jomā, kas sistemātiski pārskata aizraujošākos sasniegumus zinātnes jomā. literatūra. Šāda veida papīrs sniedz nākotnes pētījumu virzienus vai iespējamos pielietojumus.

Redaktora Choice raksti ir balstīti uz MDPI žurnālu zinātnisko redaktoru ieteikumiem no visas pasaules. Redaktori izvēlas nelielu skaitu nesen žurnālā publicētu rakstu, kuri, viņuprāt, būs īpaši interesanti autoriem vai svarīgi šajā jomā. Mērķis ir sniegt momentuzņēmumu par dažiem aizraujošākajiem darbiem, kas publicēti dažādās žurnāla pētniecības jomās.


Saturs

Parasti glosārija ieraksti tiek sakārtoti pēc tēmām un sakārtoti alfabētiskā secībā. Šeit tas nav iespējams, jo simbolos nav dabiskas kārtības, un daudzi simboli tiek izmantoti dažādās matemātikas daļās ar atšķirīgu nozīmi, bieži vien pilnīgi nesaistīti. Tāpēc bija jāizdara dažas patvaļīgas izvēles, kuras ir apkopotas turpmāk.

Raksts ir sadalīts sadaļās, kuras ir sakārtotas pēc pieaugoša tehniskā līmeņa. Tas ir, pirmajās sadaļās ir simboli, ar kuriem sastopas lielākajā daļā matemātisko tekstu, un par kuriem it kā zina pat iesācēji. No otras puses, pēdējās sadaļās ir simboli, kas raksturīgi kādai matemātikas jomai un tiek ignorēti ārpus šīm jomām. Tomēr garā iekavu sadaļa ir novietota tuvu beigām, lai gan lielākā daļa tās ierakstu ir elementāri: tas atvieglo simbolu ieraksta meklēšanu, ritinot.

Lielākajai daļai simbolu ir vairākas nozīmes, kuras parasti atšķiras vai nu pēc matemātikas jomas, kur tās tiek izmantotas, vai pēc to simboliem sintakse, tas ir, pēc to pozīcijas formulā un citu tām tuvu esošo formulas daļu rakstura.

Tā kā lasītāji, iespējams, nezina matemātikas jomu, ar kuru ir saistīts meklētais simbols, dažādās simbola nozīmes tiek sagrupētas sadaļā, kas atbilst to visizplatītākajai nozīmei.

Kad nozīme ir atkarīga no sintakses, simbolam var būt dažādi ieraksti atkarībā no sintakses. Lai apkopotu sintaksi ieraksta nosaukumā, simbols ◻ < displaystyle Box> tiek izmantots, lai attēlotu blakus esošās formulas daļas, kurā ir simbols. Lietošanas piemērus skat.

Lielākajai daļai simbolu ir divas izdrukātas versijas. Tos var attēlot kā Unicode rakstzīmes vai arī LaTeX formātā. Izmantojot Unicode versiju, meklētājprogrammu izmantošana un kopiju ielīmēšana ir vienkāršāka. No otras puses, LaTeX renderēšana bieži ir daudz labāka (estētiskāka), un to parasti uzskata par matemātikas standartu. Tāpēc šajā rakstā simbolu Unicode versija tiek izmantota (ja iespējams) to ierakstu apzīmēšanai, un to aprakstā tiek izmantota LaTeX versija. Tātad, lai uzzinātu, kā LaTeX ierakstīt simbolu, pietiek aplūkot raksta avotu.

Lielākajai daļai simbolu ieraksta nosaukums ir atbilstošais Unicode simbols. Tātad, lai meklētu simbola ierakstu, pietiek ierakstīt vai kopēt simbolu Unicode meklēšanas tekstlodziņā. Līdzīgi, ja iespējams, simbola ieraksta nosaukums ir arī enkurs, kas ļauj viegli izveidot saiti no cita Vikipēdijas raksta. Ja ieraksta nosaukumā ir īpašas rakstzīmes, piemēram, [,] un |, ir arī enkurs, taču, lai to zinātu, ir jāaplūko raksta avots.

Visbeidzot, ja ir raksts par pašu simbolu (nevis tā matemātisko nozīmi), tas ir saistīts ar ieraksta nosaukumu.

Vairāki loģiski simboli tiek plaši izmantoti visā matemātikā, un tie ir uzskaitīti šeit. Par simboliem, kas tiek izmantoti tikai matemātiskajā loģikā vai tiek reti izmantoti, skatiet loģisko simbolu sarakstu.

Trekns tāfeles burtveidols tiek plaši izmantots, lai apzīmētu pamata ciparu sistēmas. Šīs sistēmas bieži apzīmē arī ar atbilstošo lielo trekno burtu. Skaidra treknā tāfeles priekšrocība ir tā, ka šos simbolus nevar sajaukt ar neko citu. Tas ļauj tos izmantot jebkurā matemātikas jomā, neatgādinot to definīciju. Piemēram, ja sastopas ar R < displaystyle mathbb > kombinatorikā nekavējoties jāzina, ka tas apzīmē reālos skaitļus, lai gan kombinatorika nepēta reālos skaitļus (bet tos izmanto daudziem pierādījumiem).

Matemātikā tiek izmantoti dažādi iekavu veidi. Viņu nozīme ir atkarīga ne tikai no to formas, bet arī no tā, kāda ir to norobežotā būtība un izkārtojums, un dažreiz tas, kas parādās starp viņiem vai pirms tiem. Šī iemesla dēļ ierakstu nosaukumos simbols □ tiek izmantots, lai shematizētu sintaksi, kas ir nozīmes pamatā.

Iekavas Rediģēt

Kvadrātiekavās Rediģēt

Bikšturi Rediģēt

Citas iekavas Rediģēt

  • lineārais laidums vektoru telpā (bieži apzīmēts arī ar Span (S) ),
  • izveidotā apakšgrupa grupā,
  • radītais ideāls gredzenā,
  • ģenerēto moduli modulī.

Šajā sadaļā uzskaitītie simboli tiek izmantoti kā dažāda veida pieturzīmes matemātiskajā pamatojumā vai kā angļu frāžu saīsinājumi. Tos parasti neizmanto formulas iekšpusē. Daži no tiem tika izmantoti klasiskajā loģikā, lai norādītu loģisko atkarību starp teikumiem, kas rakstīti vienkāršā angļu valodā. Izņemot pirmos divus, tos parasti neizmanto drukātos matemātiskos tekstos, jo lasāmības labad parasti ir ieteicams, lai starp divām formulām būtu vismaz viens vārds. Tomēr tie joprojām tiek izmantoti uz melna dēļa, lai norādītu attiecības starp formulām.


11.5: Pozitīvie operatori - matemātika

Sākot sastādīt konverģentu un atšķirīgu sēriju sarakstu, jaunas var dažreiz analizēt, salīdzinot tās ar mums jau saprotamām.

11.5.1. Piemērs. Vai $ ds sum_^ infty <1 over n ^ 2 ln n> $ saplūst?

Acīmredzamā pirmā pieeja, pamatojoties uz to, ko mēs zinām, ir neatņemama pārbaude. Diemžēl mēs nevaram aprēķināt nepieciešamo antivielu. Bet, aplūkojot sēriju, šķiet, ka tai ir jāsaplūst, jo pievienojamie vārdi ir mazāki nekā $ p $ -sērijas noteikumi, tas ir, $ <1 over n ^ 2 ln n> 11.5. Piemērs .2 Vai $ ds summa_^ infty <| sin n | over n ^ 2> $ saplūst?

Mēs šeit nevaram izmantot integrālo testu, jo šīs sērijas termiņi nemazinās. Tomēr tāpat kā iepriekšējā piemērā, $ <| sin n | over n ^ 2> le <1 over n ^ 2>, $ tāpēc, ka $ | sin n | le 1 $. Atkal daļējās summas nemazinās, un tās iepriekš ierobežo $ ds summa 1 / n ^ 2 = L $, tāpēc jaunā sērija saplūst.

Tāpat kā integrālo testu, salīdzināšanas testu var izmantot, lai parādītu gan konverģenci, gan divergenci. Integrālā testa gadījumā viens aprēķins apstiprinās to, kurš ir gadījums. Lai izmantotu salīdzināšanas testu, mums vispirms ir laba ideja par konverģenci vai divergenci un atbilstoši jāizvēlas secība salīdzināšanai.

11.5.3. Piemērs. Vai $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ saplūst?

Mēs novērojam, ka $ -3 $ vajadzētu būt maz efektam salīdzinājumā ar $ ds n ^ 2 $ kvadrātsaknes iekšpusē, un tāpēc uzminam, ka termini ir pietiekami kā $ ds 1 / sqrt= 1 / n $, ka sērijai vajadzētu atšķirties. Mēs mēģinām to parādīt, salīdzinot ar harmonisko sēriju. Mēs atzīmējam, ka $ <1 over sqrt>> <1 over sqrt> = <1 over n>, $ tā, ka $ s_n = <1 over sqrt <2 ^ 2-3 >> + <1 over sqrt <3 ^ 2-3 >> + cdots + <1 vairāk nekā sqrt>> <1 over 2> + <1 over3> + cdots + <1 over n> = t_n, $ kur $ ds t_n $ ir 1 mazāks par atbilstošo harmonisko virkņu daļējo summu (jo mēs sākam $ n = 2 $, nevis $ n = 1 $). Tā kā $ ds lim_t_n = infty $, $ ds lim_s_n = infty $.

Tātad vispārējā pieeja ir šāda: ja jūs uzskatāt, ka jauna sērija ir konverģenta, mēģiniet atrast konverģentu sēriju, kuras noteikumi ir lielāki par jaunās sērijas noteikumiem, ja uzskatāt, ka jauna sērija ir atšķirīga, mēģiniet atrast atšķirīgu sēriju kuru noteikumi ir mazāki par jaunās sērijas noteikumiem.

11.5.4 piemērs Vai $ ds sum_^ infty <1 over sqrt> $ saplūst?

Tāpat kā pēdējā piemērā, mēs domājam, ka tas ir ļoti līdzīgs harmonikas sērijai un tāpēc atšķiras. Diemžēl $ <1 over sqrt> <1 virs sqrt> = <1 over2n>, $ tātad, ja $ sum 1 / (2n) $ atšķiras, tad dotā sērija atšķiras. Bet, tā kā $ summa 1 / (2n) = (1/2) summa 1 / n $, teorēma 11.2.2 nozīmē, ka tā patiešām atšķiras.

Atsauces nolūkā salīdzināšanas testu apkopojam teorēmā.

11.5.5. Teorēma Pieņemsim, ka $ ds a_n $ un $ ds b_n $ nav negatīvi visiem $ n $ un ka $ ds a_n le b_n $, kad $ n ge N $, dažiem $ N $.

Ja $ ds summa_^ infty b_n $ saplūst, tāpat arī $ ds sum_^ infty a_n $.

Ja $ ds summa_^ infty a_n $ atšķiras, tāpat arī $ ds sum_^ infty b_n $.


C Piešķiršanas operatori

Piešķiršanas operators tiek izmantots, lai mainīgajam piešķirtu vērtību. Visizplatītākais piešķiršanas operators ir =

Operators Piemērs Tāds pats kā
= a = b a = b
+= a + = b a = a + b
-= a - = b a = a-b
*= a * = b a = a * b
/= a / = b a = a / b
%= a% = b a = a% b

3. piemērs: uzdevumu operatori

C Relāciju operatori

Relāciju operators pārbauda attiecības starp diviem operandiem. Ja saistība ir patiesa, tā atgriež 1, ja sakarība ir nepatiesa, tā atgriež vērtību 0.

Relāciju operatori tiek izmantoti lēmumu pieņemšanā un ciklos.

Operators Operatora nozīme Piemērs
== Vienāds ar 5 == 3 tiek vērtēts līdz 0
& gt Pārāks nekā 5 un gt 3 tiek vērtēti uz 1
& lt Mazāk nekā 5 & ​​lt 3 tiek novērtēts līdz 0
!= Nav vienāds ar 5! = 3 tiek vērtēts līdz 1
& gt = Lielāks vai vienāds ar 5 & ​​gt = 3 tiek vērtēts uz 1
& lt = Mazāks par vai vienāds ar 5 & ​​lt = 3 tiek vērtēts līdz 0

4. piemērs: Relāciju operatori

C loģiskie operatori

Izteiksme, kurā ir loģisks operators, atgriež vērtību 0 vai 1 atkarībā no tā, vai izteiksme ir patiesa vai nepatiesa. Loģiskos operatorus parasti izmanto lēmumu pieņemšanā C programmēšanā.

Operators Nozīme Piemērs
& amp & amp Loģiski UN. Patiesi tikai tad, ja visi operandi ir patiesi Ja c = 5 un d = 2, tad izteiksme ((c == 5) un amp & amp (d & gt5)) ir vienāda ar 0.
|| Loģiski VAI. Patiesi tikai tad, ja ir taisnība vai nu vienā no operandiem If c = 5 and d = 2 then, expression ((c==5) || (d>5)) equals to 1.
! Logical NOT. True only if the operand is 0 If c = 5 then, expression !(c==5) equals to 0.

Example 5: Logical Operators

Explanation of logical operator program

  • (a == b) && (c > 5) evaluates to 1 because both operands (a == b) and (c > b) is 1 (true).
  • (a == b) && (c < b) evaluates to 0 because operand (c < b) is 0 (false).
  • (a == b) || (c < b) evaluates to 1 because (a = b) is 1 (true).
  • (a != b) || (c < b) evaluates to 0 because both operand (a != b) and (c < b) are 0 (false).
  • !(a != b) evaluates to 1 because operand (a != b) is 0 (false). Hence, !(a != b) is 1 (true).
  • !(a == b) evaluates to 0 because (a == b) is 1 (true). Hence, !(a == b) is 0 (false).

C Bitwise Operators

During computation, mathematical operations like: addition, subtraction, multiplication, division, etc are converted to bit-level which makes processing faster and saves power.

Bitwise operators are used in C programming to perform bit-level operations.