Raksti

11.12: Teilora teorēma - matemātika


Viens no vissvarīgākajiem bezgalīgo sēriju izmantošanas veidiem ir iespēja sērijas sākuma daļu izmantot (f ), lai tuvinātu (f ). Mēs, piemēram, esam redzējuši, ka, summējot mainīgās sērijas pirmos (n ) nosacījumus ar samazinošiem noteikumiem, atšķirība starp šo un patieso vērtību ir maksimāli nākamā termina lielums. Līdzīgs rezultāts ir daudzām Teilora sērijām.

11.11.1. Teorēma: Teilora teorēma

Pieņemsim, ka (f ) ir definēts kādā atvērtā intervālā (I ) ap (a ), un pieņemsim, ka šajā intervālā pastāv $$ f ^ {(N + 1)} (x) $$. Tad katram (x not = a ) sadaļā (I ) ir vērtība (z ) starp (x ) un (a ), lai $$ f (x) = summa_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) pāri n!} , (xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) pāri (N + 1 )!} (xa) ^ {N + 1}. ]

Pierādījums

Pierādījums prasa zināmu gudrību, lai to uzstādītu, bet tad detaļas ir diezgan elementāras. Mēs vēlamies definēt funkciju (F (t) ). Sāciet ar vienādojumu $$ F (t) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (t) over n!} , (Xt) ^ n + B (xt) ^ { N + 1}. $$ Šeit mēs esam aizstājuši (a ) ar (t ) Teilora sērijas pirmajos (N + 1 ) terminos un beigās pievienojuši rūpīgi izvēlētu vārdu ar (B ) jānosaka. Ņemiet vērā, ka mēs pagaidām saglabājam fiksētu (x ), tāpēc vienīgais mainīgais šajā vienādojumā ir (t ), un mūs interesēs tikai (t ) starp (a ) un (x ). Tagad aizstājiet (t = a ): $$ F (a) = summa_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) virs n!} , (Xa) ^ n + B (xa) ^ {N + 1}. $$ iestatiet to vienādu ar (f (x) ): $$ f (x) = summa_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) virs n!} , (xa) ^ n + B (xa) ^ {N + 1}. $$ Tā kā (x not = a ), mēs to varam atrisināt (B ) , kas ir "konstante" --- tas ir atkarīgs no (x ) un (a ), bet tie ir īslaicīgi fiksēti.

Tagad mēs esam definējuši funkciju (F (t) ) ar rekvizītu (F (a) = f (x) ). Apsveriet arī (F (x) ): visi termini ar pozitīvo jaudu ((xt) ) kļūst nulle, kad aizstājam (t ) (x ), tāpēc mums paliek $$ F (x) = f ^ {(0)} (x) / 0! = f (x). $$ So (F (t) ) ir funkcija ar tādu pašu vērtību intervāla ([ a, x] ). Pēc Rolle teorēmas (6.5.1), mēs zinām, ka ir vērtība (z in (a, x) ), kas (F '(z) = 0 ). Apskatīsim (F '(t) ). Katrs (F (t) ) apzīmējums, izņemot pirmo vārdu un papildu terminu, kas saistīts ar (B ), ir produkts, tāpēc, lai ņemtu atvasinājumu, katram no šiem noteikumiem izmantojam produkta likumu.

Tas palīdzēs izrakstīt dažus pirmos definīcijas terminus: $$ eqalign {F (t) = f (t) & + {f ^ {(1)} (t) over 1!} (Xt) ^ 1+ {f ^ {(2)} (t) virs 2!} (Xt) ^ 2 + {f ^ {(3)} (t) virs 3!} (Xt) ^ 3 + cdots cr & + {f ^ {(N)} (t) virs N!} (xt) ^ N + B (xt) ^ {N + 1}. cr} $$ Tagad ņemiet atvasinājumu: $$ eqalign {F '(t) = f' (t) & + pa kreisi ({f ^ {(1)} (t) pāri 1!} (xt) ^ 0 (-1) + {f ^ {(2)} ( t) virs 1!} (xt) ^ 1 pa labi) cr & + pa kreisi ({f ^ {(2)} (t) pāri 1!} (xt) ^ 1 (-1) + {f ^ {(3)} (t) pāri 2!} (Xt) ^ 2 pa labi) cr & + pa kreisi ({f ^ {(3)} (t) pāri 2!} (Xt) ^ 2 (-1) + {f ^ {(4)} (t) virs 3!} (Xt) ^ 3 pa labi) +… + cr & + pa kreisi ({f ^ {(N)} (t) pāri (N-1)!} (xt) ^ {N-1} (- 1) + {f ^ {(N + 1)} (t) pāri N!} (xt) ^ N pa labi) cr & + B (N + 1) (xt) ^ N (-1). cr} $$ Tagad lielākā daļa šīs izteiksmes vārdu tiek atcelti, atstājot tikai $$ F '(t) = {f ^ {( N + 1)} (t) virs N!} (Xt) ^ N + B (N + 1) (xt) ^ N (-1). $$ Dažos (z ), (F '( z) = 0 ) tātad $$ eqalign {0 & = {f ^ {(N + 1)} (z) virs N!} (xz) ^ N + B (N + 1) (xz) ^ N ( -1) cr B (N + 1) (xz) ^ N & = {f ^ {(N + 1)} (z) virs N!} (Xz) ^ N cr B & = {f ^ {(N +1)} (z) pāri (N + 1)!}. Cr} $$ Tagad mēs varam ierakstīt $$ F (t) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (t) ov er n!} , (x-t) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) pāri (N + 1)!} (x-t) ^ {N + 1}. $$ Atgādinot, ka (F (a) = f (x) ) mēs iegūstam $$ f (x) = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) pāri n! } , (xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1)!} (xa) ^ {N + 1}, $$, ko mēs vēlējāmies parādīt .

(kvadrāts)

Varbūt nav uzreiz acīmredzams, ka tas ir īpaši noderīgi; apskatīsim dažus piemērus.

11.11.1. Piemērs

Atrodiet ( sin x ) polinoma aproksimāciju ar precizitāti līdz ( pm 0,005 ).

Risinājums

No Teilora teorēmas: $$ sin x = sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (a) over n!} , (Xa) ^ n + {f ^ {(N + 1)} (z) pāri (N + 1)!} (Xa) ^ {N + 1}. $$ Ko mēs varam teikt par termina $$ {f ^ {(N + 1)} (z) over (N + 1) lielumu!} (Xa) ^ {N + 1}? $$ Katrs atvasinājums no ( sin x ) ir ( pm sin x ) vai ( pm cos x ), tātad (| f ^ {(N + 1)} (z) | le 1 ). Faktors ((x-a) ^ {N + 1} ) ir nedaudz grūtāks, jo (x-a ) varētu būt diezgan liels. Izvēlēsimies (a = 0 ) un (| x | le pi / 2 ); ja mēs varam aprēķināt ( sin x ) par (x in [- pi / 2, pi / 2] ), mēs, protams, varam aprēķināt ( sin x ) visiem (x ).

Mums jāizvēlas (N ), lai $$ pa kreisi | {x ^ {N + 1} pāri (N + 1)!} Pa labi | <0,005. $$ Tā kā mums ir ierobežots (x ) līdz ([- pi / 2, pi / 2] ), $$ pa kreisi | {x ^ {N + 1} pāri (N + 1)!} Pa labi | <{2 ^ {N + 1} pāri (N + 1)!}. $ $ Labajā pusē esošais daudzums samazinās, palielinoties (N ), tāpēc mums atliek tikai atrast (N ), tāpēc ka $$ {2 ^ {N + 1} vairāk (N + 1)!} <0,005. $$ Neliels izmēģinājums un kļūda parāda, ka (N = 8 ) darbojas un faktiski (2 ^ {9 } / 9! <0,0015 ), tātad

[ eqalign { sin x & = sum_ {n = 0} ^ 8 {f ^ {(n)} (0) over n!} , x ^ n pm 0,0015 cr & = x- { x ^ 3 virs 6} + {x ^ 5 virs 120} - {x ^ 7 virs 5040} pm 0,0015. cr} ]

11.11.1. Attēlā parādīti grafiki ( sin x ) un aproksimācija uz ([0,3 pi / 2] ). Kad (x ) kļūst lielāks, tuvinājums ļoti ātri nonāk negatīvā bezgalībā, jo tas būtībā darbojas kā (-x ^ 7 ).

11.11.2. Piemērs

11.11.1. Attēls. ( sin x ) un polinoma aproksimācija.

Risinājums

No šī piemēra mēs varam iegūt nedaudz vairāk informācijas. Ja mēs neierobežojam (x ) vērtību, mums joprojām ir $$ pa kreisi | {f ^ {(N + 1)} (z) pāri (N + 1)!} X ^ {N + 1 } pa labi | le pa kreisi | {x ^ {N + 1} pāri (N + 1)!} pa labi | $$, lai ( sin x ) tiktu attēlots ar

[ sum_ {n = 0} ^ N {f ^ {(n)} (0) pāri n!} , x ^ n pm pa kreisi | {x ^ {N + 1} pāri (N + 1)!} Pa labi |. ]

Ja mēs varam parādīt, ka $$ lim_ {N to infty} pa kreisi | {x ^ {N + 1} pāri (N + 1)!} Pa labi | = 0 $$ katram x, tad

[ sin x = sum_ {n = 0} ^ infty {f ^ {(n)} (0) over n!} , x ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (- 1) ^ n {x ^ {2n + 1} pāri (2n + 1)!}, ]

tas ir, sinusa funkcija faktiski ir vienāda ar tās Maclaurin sēriju visiem x. Kā mēs varam pierādīt, ka robeža ir nulle? Pieņemsim, ka N ir lielāks par (| x | ), un M ir lielākais vesels skaitlis, kas ir mazāks par (| x | ) (ja (M = 0 ), tas ir vēl vieglāk). Tad

[ eqalign {{| x ^ {N + 1} | pāri (N + 1)!} & = {| x | virs N + 1} {| x | virs N} {| x | pāri N-1} cdots {| x | virs M + 1} {| x | pār M} {| x | virs M-1} cdots {| x | virs 2} {| x | pāri 1} cr & le {| x | virs N + 1} cdot 1 cdot 1 cdots 1 cdot {| x | pār M} {| x | virs M-1} cdots {| x | virs 2} {| x | virs 1} cr & = {| x | virs N + 1} {| x | ^ M pāri M!}. } ]

Daudzums (| x | ^ M / M! ) Ir konstante, tāpēc $$ lim_ {N to infty} {| x | virs N + 1} {| x | ^ M virs M! } = 0 $ $ un pēc Saspiediet teorēmu (11.1.3)

[ lim_ {N to infty} kreisi | {x ^ {N + 1} pāri (N + 1)!} pa labi | = 0 $$ pēc vēlēšanās. Būtībā tas pats arguments darbojas attiecībā uz ( cos x ) un (e ^ x ); diemžēl ir grūtāk pierādīt, ka lielākā daļa funkciju ir vienādas ar viņu Maclaurin sērijām.

11.11.3. Piemērs

Atrodiet (e ^ x ) tuvu (x = 2 ) polinoma aproksimāciju ar precizitāti līdz ( pm 0,005 ).

Risinājums

No Teilora teorēmas: $$ e ^ x = sum_ {n = 0} ^ N {e ^ 2 over n!} , (X-2) ^ n + {e ^ z over (N + 1)! } (x-2) ^ {N + 1}, $$ kopš (f ^ {(n)} (x) = e ^ x ) visiem n. Mūs interesē x, kas atrodas tuvu 2, un mums jāpārbauda (| (x-2) ^ {N + 1} | ), tāpēc mēs varam arī norādīt, ka (| x-2 | le 1 ), tātad (x [1,3] ). Arī $$ pa kreisi | {e ^ z pāri (N + 1)!} Pa labi | le {e ^ 3 pāri (N + 1)!}, $$, tāpēc mums jāatrod N, kas padara (e ^ 3 / (N + 1)! le 0,005 ). Šoreiz (N = 5 ) padara (e ^ 3 / (N + 1)! <0,0015 ), tāpēc aptuvenais polinoms ir $$ e ^ x = e ^ 2 + e ^ 2 (x-2) + {e ^ 2 over2} (x-2) ^ 2 + {e ^ 2 over6} (x-2) ^ 3 + {e ^ 2 over24} (x-2) ^ 4 + {e ^ 2 over120} (x-2) ^ 5 pm 0,0015. $$ Tas rada papildu problēmu tuvināšanai, jo mums ir arī jātuvina (e ^ 2 ), un jebkura mūsu izmantotā aproksimācija palielinās kļūdu, taču mēs šo sarežģījumu neizturēsim.

Labi ņemiet vērā, ka šajos piemēros zināmas precizitātes polinomus atradām tikai nelielā intervālā, kaut arī ( sin x ) un (e ^ x ) sērijas sakrīt visiem (x ); tas ir tipiski. Lai iegūtu tādu pašu precizitāti ar lielāku intervālu, būtu nepieciešami vairāk terminu.


Teilora sērija

Teilora sērija ir viens no visnoderīgākajiem rezultātiem visā matemātikā. Metodi visā tā vispārīgumā vispirms iepazīstināja Brūks Teilors. Lai skatītu pieteikumu Teilora sērijai, skatiet Eulera formulu.

Teilora sērijas pierādījums ir atkarīgs no pamata aprēķina.

Visiem, kas nejūtas ērti ar apzīmējumu f (x) vai matemātiskās funkcijas jēdzienu, sāciet šeit.

Visiem, kas nezina par atvasinājumiem vai par apzīmējumiem f '(x), f' '(x) vai f n (x), sāciet šeit.

Teorēma: Teilora sērija
ja
a) f ir funkcija ar visu pasūtījumu atvasinājumiem
(b) (lim n & # 8594 inf) [f (n + 1) (z)] / (n + 1)! (x-a) n + 1 = 0
tad:
f (x) = f (a) + f '(a) (x-a) + [f' '(a) / 2!] (x-a) 2 +. + [f (n) (a) / n!] (x-a) n +.

(1) Ļaujiet n būt patvaļīgs pozitīvs vesels skaitlis.

P n (x) = f (a) + f '(a) (x-a) + f' '(a) [(x-a) 2] / 2! +. + f (n) [(x-a) n] / n!

kur z ir starp a un x.

(3) No pieņēmuma b mēs redzam, ka:
lim (n & # 8594 inf) R n (x) = 0.

(4) Tad izriet, ka:
f (x) = lim (n & # 8594 inf) P n (x) =


11.12: Teilora teorēma - matemātika

Teilora teorēma tiek izmantots bezgalīgas sērijas, piemēram, utt. paplašināšanai, lai mēs varētu tuvināt šo funkciju vai polinomu vērtības. Teilora & # 8217s teorēmu izmanto k-laika diferencējamās funkcijas tuvināšanai.

Paziņojums, apgalvojums:
Ļaujiet (n-1) trešajam atvasinājumam i. būt nepārtrauktam n - tas atvasinājums pastāv un jābūt dotam pozitīvam skaitlim. Tad pastāv vismaz viens skaitlis atrodas starp 0 un 1 tā, ka:
…..

kur un
Ievietojot x = a + h vai h = x-a, mēs rakstām vienādojumu kā:
…..

Teilora pārējie Rn pēc n termiņa dēļ:
1. Cauchy: mēs vienkārši ievietojam p = 1 Teilora teorēmā, lai iegūtu
2. Lagranžs: p = n dod

Teilora formula:
Izmantojot atlikušo Lagranža daļu, iegūstam Teilora formulu:
…..
kur
Ja n & # 8594 & bezgalīgs, ja R & # 85940, tad formulas pēdējais termins kļūst

Tāpēc Teilora formula vēl vairāk samazinās līdz

Šo formulu tagad izmanto, lai iegūtu f (x) bezgalīgu sēriju paplašinājumu par punktu a.

Piemērs:
Iegūstiet Teilora sērijas paplašinājumu

par punktu x = -1.

Paskaidrojums:
Saskaņā ar formulu šeit mums ir a = -1, un mums tiek sniegts f (x). Vispirms mums jāaprēķina f (a) un pēc tam aprēķinām f (x) atvasinājumus dotajā punktā, līdz tas kļūst nulle.






Tagad mēs šeit apstājamies, jo nākamais atvasinājums būs nulle. f ^ n (x)

Tādējādi f (x) Teilora sērijas paplašināšanās par x = -1 ir:
…..

Aizstājot vērtības, kuras mēs aprēķinājām, mēs iegūstam

Uzmanības lasītājs! Don & rsquot pārtrauciet mācīties tagad. Iegūstiet visus svarīgos CS teorijas jēdzienus SDE intervijām ar CS teorijas kurss par studentiem draudzīgu cenu un kļūsti gatavs rūpniecībai.


Kvadrātiskais gadījums

$ P _ ( bfh) $ formula.

Saskaņā ar mūsu sniegto definīciju 2. pakāpes Teilora polinoms $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ no $ f $ pie $ bfa $ ir kvadrātiskais polinoms tāds, ka $ f ( bfa) = P_ < bfa, 2> (< bf 0>) $, un tāds, ka visi $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ pie $ bf h = 0 $ pirmie un otrie daļējie atvasinājumi sakrīt ar pirmo un otrie daļējie atvasinājumi no $ f $ pie $ bfa $.

2. priekšlikums. sākas P _ < bfa, 2> ( bfh) & amp = f ( bfa) + summa_^ n h_i daļējs_i f ( bfa) + frac 12 summa_^ n h_i h_j daļējs_i daļējs_j f ( bfa) nonumber & amp = f ( bfa) + nabla f ( bfa) cdot bfh + frac 12 (H ( bfa) bfh) cdot bfh etiķete beigas kur $ H ( bfa) $ apzīmē $ f $ otro atvasinājumu matricu pie $ bfa $: $ H ( bfa): = n reizes n mbox (i, j) mbox < ieraksts ir> daļējs_i daļējs_j f ( bfa). $

Pierādījums ir vingrinājums, noklikšķiniet šeit, lai redzētu, kā sākt.

To var pierādīt, apsverot mainīgu $ bfh $ vispārēju kvadrātisku polinomu $ q $. To vienmēr var rakstīt formā, pēc tam $ q $ var rakstīt formā $ q ( bfh) = frac 12 (A bfh) cdot bfh + bfb cdot bfh + c, $ kur $ A $ ir simetriska $ n reizes n $ matrica ar ierakstiem $ (a_) $, $ bfb in R ^ n $ un $ c in R $. Pēc tam var diferencēt $ q $ un redzēt, kādiem nosacījumiem koeficientiem $ A, bfb, c $ ir jāatbilst, lai visi atvasinājumi no kārtas līdz $ 2 $ pie $ bfh = bf 0 $ piekristu attiecīgajiem atvasinājumiem $ f $ pie $ bfa $. (Skatīt vingrinājumus.)

Ņemot vērā tā nozīmi, mēs atkārtojam Teilora & # 39s teorēmu gadījumā $ k = 2 $ (ieskaitot dažas papildu detaļas, kuras mēs neminējām vispārējā gadījumā).

Teorēma 3. Teilora teorēmas kvadrātiskais gadījums. Pieņemsim, ka $ S apakškopa R ^ n $ ir atvērta kopa un ka $ f: S to R $ ir $ C ^ 2 $ klases $ S $ funkcija.
Tad attiecībā uz $ bfa S $ un $ bfh in R ^ n $ tā, ka līnijas segments, kas savieno $ bfa $ un $ bfa + bfh $, ir $ S $, pastāv $ theta (0,1) $ tādā veidā, ka sākas etiķete f ( bfa + bfh) = f ( bfa) + nabla f ( bfa) cdot bfh + frac 12 (H ( bfa + theta bfh) bfh) cdot bfh. beigas Rezultātā (skat. Vingrinājumus) sākas etiķete lim _ < bfh uz < bf 0 >> frac( bfh)> <| bfh | ^ 2> = 0, quad mbox R _ < bfa, 2> ( bfh) = f ( bfa + bfh) - P _ < bfa, 2> ( bfh) beigas kur $ P _ < bfa, 2> ( bfh) $ formula ir dota eqref.

Pierādījuma ideja ir šāda:

Vispirms definējiet $ phi (s) = f ( bfa + s bfh) = f ( bfg (s)) $ par $ bfg (s) = bfa + s bfh $. Pieņemot, ka $ phi $ domēns ir atvērta kopa, kas satur intervālu $ [0,1] $. Mūsu pieņēmumi un ķēdes noteikums arī nozīmē, ka $ phi $ ir $ C ^ 2 $ klases funkcija.

Tādējādi mēs varam piemērot 1.priekšlikumu uz $ phi $ (ar $ a = 0 $ un $ h = 1 $), lai atrastu, ka $ (th) $ (th) $ $ theta etiķete phi (1) = phi (0) + phi & # 39 (0) + frac 12 phi & # 39 & # 39 ( theta). beigas

Mēs zinām, ka $ phi (1) = f ( bfa + bfh) $ un $ phi (0) = f ( bfa) $. Turklāt no ķēdes likuma mēs zinām, ka $ phi & # 39 (0) = bfh cdot nabla f ( bfa) $. Mēs varam pārbaudīt, izmantojot ķēdes kārtulu, kas sākas etiķete phi & # 39 & # 39 ( theta) = (H ( bfa + theta bfh) bfh) cdot bfh. beigas (skat. vingrinājumus). Viens iegūst eqref izmantojot šos, lai pārrakstītu eqref.

Sīkāku informāciju skatiet vingrinājumos.


11.12: Teilora teorēma - matemātika

Darba laiks: MW 2: 30-3: 30

Birojs: APM 5256, tālr. 534-2734

Kursu grāmata: Elementary Analysis, autors Kens Ross. 4., 5. un 6. nodaļa

Skolotāja palīgs: Qingyuan Chen, e-pasts: [email protected] darba laiks: M: 6-8 https://ucsd.zoom.us/j/97108359812

Saite uz diskusiju A01: https://ucsd.zoom.us/j/98918026102

Novērtējuma aprēķins: Novērtējums tiek aprēķināts no jūsu mājasdarbu vērtējumiem (25%) diviem starpposmiem (katrs 25%) un pēdējās A un B daļas (25% katrai daļai). Dedzīgais lasītājs būs pamanījis, ka tas veido līdz pat 125%: Mēs izvēlēsimies trīs labākos rādītājus no jūsu vidusposma un fināla A un B daļas.

Mēs atcelsim sliktākos divus jūsu mājasdarbu vērtējumus.

Eksāmeni: Eksāmeni tiks pasniegti arī pakāpē. Grima eksāmeni nebūs. Starpposmi tiks doti klasē. Precīzus laikus un datumus skatiet zemāk esošajā programmā.

Mājasdarbi Šajā ceturksnī mājasdarbi jāiesniedz, izmantojot augstas kvalitātes pakāpi HW. Jums tagad vajadzēja saņemt e-pasta ziņojumu, paziņojot par reģistrāciju pakāpē un norādot saiti personīgā konta izveidei. Lai gan mājasdarbi kopējā vērtējumā ir salīdzinoši maz, ir ārkārtīgi svarīgi, lai jūs tos izdarītu vai vismaz nopietni mēģinātu tos izpildīt. Lielākā daļa eksāmenu problēmu būs līdzīgas mājas vai prakses eksāmenu problēmām.

Jūs varat noskatīties šo video, kurā paskaidrots, kā skenēt un iesniegt HW tiešsaistē.

par 1/13: 23. nodaļa: 1, 4, 5, 7, 9, 24. nodaļa: 2, 9, 10

par 1/20: 24. nodaļa: 13, 14, 17, 25. nodaļa: 2, 4, 5, 9, 15. punkta a) apakšpunkts

par 1/27: (nav jāiesniedz, bet tas attiecas uz miderm) 26. nodaļa: 3, 4, 5, 6, 7

par 2/3: 28. nodaļa: 3 (a), 4, 7, 8 29. nodaļa: 2 (var pieņemt, ka grēka x atvasinājums ir -cos x) F, 5, 7 (a), 14

par 2/10: 30. nodaļa: 1, 4, 6: 31. nodaļa: 1, 5, 6

par 2/18: 32. nodaļa: 1, 2, 5, 6, 7 (jūs varat izmantot 33.3 (ii) teorēmu), 8

par 3/3: 33. nodaļa: 3. punkta a) apakšpunkts, 4., 7., 8., 9., 13. nodaļa

par 3/10: 34. nodaļa: 2, 3, 5, 10, 11, 12

Papildprakses problēmas finālam

attiecas uz vidēja termiņa periodu. Lūdzu, ritiniet uz leju, lai iegūtu informāciju pēc informācijas par pirmo termiņu

Informācija par pirmo termiņu

SATURS: Starpposms būs 50 minūšu eksāmens, pēc būtības līdzīgs prakses eksāmeniem, skatīt zemāk. Jums būs vēl 10 minūtes, lai skenētu un augšupielādētu eksāmenu (sīkāku informāciju skatiet tālāk). Jūsu pienākums ir savlaicīgi augšupielādēt eksāmenu (10 minūtes ir daudz laika!). Ja jūs to nepadarīsit savlaicīgi, jums tiks piemērots nopietns sods, pat ja jūs to tūlīt nosūtīsit pa e-pastu. .

NOTEIKUMI: Tas būs atvērts grāmatu eksāmens: jums būs atļauts iepazīties ar mācību grāmatu, savām piezīmēm vai iepriekšējiem mājas darbiem, kā arī piezīmēm, kuras es vai tehniskās palīdzības aģentūras ievietoju Canvas vai manā tīmekļa vietnē, taču citus resursus nedrīkst izmantot. Jo īpaši jūs nedrīkstat izmantot nekādus tiešsaistes resursus, citus drukātus materiālus (piemēram, risinājumu rokasgrāmatas) vai jebkāda veida kalkulatoru (visa eksāmena aritmētika būs vienkārša!), Un jūs nekādā gadījumā nedrīkstat sazināties ar kādu citu eksāmens. Jums būs jāuzraksta, jāparaksta un kopā ar darbu jāiesniedz paziņojums, kas apliecina, ka esat ievērojis noteikumus. Par noteikumu pārkāpumiem tiks ziņots Akadēmiskās integritātes birojam.

TEHNISKĀ INFORMĀCIJA: Eksāmens tiks prezentēts caur Gradescope formā, kas līdzīga mājas darbam, izņemot to, ka tas tiks savlaicīgi noteikts. Piesakoties Gradescope, jūs varēsit redzēt (un / vai lejupielādēt) eksāmena darba pdf kopiju. Jums vajadzētu uzrakstīt atbildes uz sava papīra, 60 minūšu laikā tās ieskenēt un augšupielādēt Gradescope - tas ir oficiāls eksāmena laiks 50 minūtes, kā arī augšupielādes laiks 10 minūtes. (Lūdzu, piešķiriet lapas, kas atbilst jautājumiem, tāpat kā jūs veicat mājas darbu.)

DATUMS UN LAIKS: Eksāmens notiks parastajā stundas laikā: trešdien, 27. janvārī, plkst. 13–13. Studentiem, kuri šobrīd dzīvo dažādās laika joslās, kuriem laiks būtu ļoti neērts, jāsazinās ar mani par iespēju kārtot eksāmenu citā laikā līdz svētdienai, 24. janvārim. Ja jūs to darāt, lūdzu, norādiet savu pašreizējo dzīvesvietu! Tikai studenti, kuri ir apstiprināti pirms eksāmena, var to kārtot citā laikā.

Informācija par otro termiņu

NOTEIKUMI UN TEHNISKĀ INFORMĀCIJA: Tiek piemēroti tādi paši noteikumi kā pirmajā termiņā. Lūdzu, izlasiet iepriekš ievietoto informāciju.

DATUMS UN LAIKS: Eksāmens notiks parastajā stundas laikā: trešdien, 24. februārī, plkst. 13–13. Studentiem, kuri šobrīd dzīvo dažādās laika joslās, kuriem laiks būtu ļoti neērts, līdz pirmdienai, 22. februārim, jāsazinās ar mani par iespēju kārtot eksāmenu citā laikā. Ja jūs to darāt, lūdzu, norādiet savu pašreizējo dzīvesvietu! Tikai studenti, kuri ir apstiprināti pirms eksāmena, var to kārtot citā laikā.

Lūdzu, ignorējiet neko zem šīm rindām

Informācija par starpposma termiņu:

Informācija par otro termiņu:

Fināls Uz finālu attiecas tie paši noteikumi kā uz vidējiem posmiem: nav apkrāptu lapas, nav piezīmju, nav kalkulatoru. Materiāls iet pa visām klasē apskatītajām sadaļām, līdz iekļauj 9.5. Jums nav jāmācās pierādījumi, kamēr jūs varat izpildīt visas uzticētās mājas darba problēmas un praktizēt problēmas. Jums vajadzētu arī pārvarēt vecās vidēja termiņa problēmas. Pārliecinieties, vai saprotat risinājumus.

Īpašais darba laiks: svētdien, 15.13–14.00. Līdzi ņemiet savu studenta apliecību, lai varētu iekļūt APM ēkā.


Teilora formula

Šodienas emuārā es apskatīšu Teilora Formulu. Šī ir teorēma, kuru var izmantot, lai izveidotu Teilora un MacLaurina sērijas, kuras es izmantoju Eulera identitātes pierādīšanā.

Ja jums nav zināmas nepārtrauktas funkcijas vai slēgti intervāli, sāciet šeit.

Ja vēlaties pārskatīt atvasinājumus, sāciet šeit.

Ļaujiet f (x) būt nepārtrauktai funkcijai slēgtā intervālā [a, b], kam ir (n + 1) atvasinājums, uz kuru atsaucas f (n + 1) (x), kur n ir pozitīvs vesels skaitlis.

f (b) = f (a) + f '(a) (b-a) +. + [f (n) (a) / n!] (b-a) n + [f (n + 1) (z) / (n + 1)!] (b-a) n + 1)

kādam skaitlim z, kas atrodas starp a un b.

(1) Ļaujiet H = f (b) - f (a) - f '(a) (b-a) - [f' '(a) / 2!] (B-a) 2 -. - [f (n) (a) / n!] (b-a) n

(3) Ļaujiet g (x) būt funkcijai, kas:
g (x) = f (b) - f (x) - f '(x) (b-x) - [f' '(x) / 2!] (b-x) 2 -. - [f (n) (x) / n!] (b-x) n - K (b-x) n + 1

(4) Mēs varam redzēt, ka g (x) ir nepārtraukta funkcija, jo:

(a) f (x) ir nepārtraukts pār [a, b] ar doto.

(b) f (n) ir nepārtraukta funkcija, jo ar doto mēs zinām, ka f (x) ir (n + 1) atvasinājums un tā kā f (x) ir diferencējams pie x, tad tas ir nepārtraukts pie x (skatīt šeit )

(c) (b-x) n ir nepārtraukts virs [a, b], jo f (x) ir nepārtraukts, jo:

h (x) ir nepārtraukts, jo tas ir divu nepārtrauktu funkciju i (x) = b un j (x) = - x pievienošana [Papildinājumu likuma pierādījumus skatiet šeit]

(b-x) n ir nepārtraukts ar reizināšanas likumu [Skatiet šeit, lai pierādītu reizināšanas likumu]

(b-x) n = (b - x) * (b-x) *. jo n ir pozitīvs vesels skaitlis.

d) f (b) ir nepārtraukta, jo tā ir konstante. (Skatīt šeit)

(e) Katrs f (n) (x) / n! ir nepārtraukta, jo (-1 / n!) var uzskatīt par nemainīgu funkciju h (x) = (- 1 / n!), un divu nepārtrauktu funkciju reizināšana pati par sevi ir nepārtraukta (skatīt šeit)

(f) Visbeidzot, g (x) ir nepārtraukts, jo nepārtrauktu funkciju kopas pievienošana pati par sevi ir nepārtraukta (skatīt šeit)

(5) Mēs varam redzēt, ka g (a) = 0, jo:

g (a) = H - H / (b-a) n + 1 * (b-a) n + 1 = H - H = 0

(6) Mēs varam arī redzēt, ka g (b) = 0, jo:

g (b) = f (b) - f (b) - f '(b) (b-b) - [f' '(b) / 2!] (b-b) 2 -. - [f (n) (b) / n!] (b-b) n - K (b-b) n + 1

(7) Saskaņā ar Rolle teorēmu, tā kā g (x) ir nepārtraukts uz [a, b], mēs zinām, ka pastāv z vērtība, ka z & # 8712 [a, b] un g '(z) = 0. [Skatiet šeit Rolle teorēmu]

(8) Ja mēs diferencējam g (x), mēs iegūstam:
g '(x) = -f' (x) + f '(x) -f (2) (x) (bx) + f (2) (x) (bx) - (1/2!) f (3) ) (x) (bx) 2 + (1/2!) f (3) (x) (bx) 2 - (1/3!) f (4) (x) (bx) 3 +. + [1 / (n-1)!] F (n) (x) (bx) n-1 - (1 / n!) F (n + 1) (x) (bx) n + (n + 1) K (bx) n kopš:

(a) g (x) = f (b) - f (x) - f '(x) (b-x) - [f' '(x) / 2!] (b-x) 2 -. - [f (n) (x) / n!] (b-x) n - K (b-x) n + 1

(b) Ar 3. lemmu šeit mēs varam atšķirt katru atsevišķo produktu summā.

(c) f (b) ir konstante, tāpēc d / dx (f (b)) = 0 [Pastāvīgas kārtulas sk. šeit]

(d) d / dx (-f (x)) = -f '(x) [Sīkāku informāciju skatiet šeit]

e) d / dx [-f '(x) (bx)] = -f' '(x) (bx) - f' (x) (- 1) = f '(x) -f' '(x) ) (bx) [Produkta noteikumu skatiet šeit]

(f) d / dx [(- f '' (x) / 2!) (bx) 2] = (-f (3) (x) / 2!) (bx) 2 + [-f '' (x ) / 2!] (2) (bx) (- 1)] =
= (-f (3) / 2!) (b-x) 2 + f '' (x) (b-x) [Vispārīgās jaudas kārtulu skatiet šeit]

(g) d / dx ([- f (n) (x) / n!] (bx) n) = (-f (n + 1) (x) / n!) (bx) n + [-f ( n) (n) / n!] (n) (bx) n-1 * (- 1) =
= (-f (n + 1) (x) / n!) (b-x) n + [f (n) / (n-1)!] (b-x) n-1

(h) Tā kā K ir konstante
d / dx (-K (b-x) n + 1) = (n + 1) (- K) (b-x) n (-1) = (n + 1) K (b-x) n

(9) Mēs redzam, ka lielākā daļa nosacījumu tiek atcelti, lai mēs iegūtu:
g '(x) = (n + 1) K (b-x) n - (1 / n!) f (n + 1) (x) (b-x) n

(10) Piemērojot faktu, ka g '(z) = 0 no 7. soļa, mēs iegūstam:
g '(z) = (n + 1) K (b-z) n - (1 / n!) f (n + 1) (z) (b-z) n = 0

(11) Mēs varam sadalīt abas puses ar (b-z) n, lai iegūtu:
(n + 1) K - (1 / n!) f (n + 1) (z) = 0

(12) Tagad mēs varam pārkārtot (# 11), lai iegūtu:
K = [(1 / n!) F (n + 1) (z)] / (n + 1) = [f (n + 1) (z)] / (n + 1)!

(13) Tagad, izmantojot (# 12) un (# 3) ar x = a, mēs iegūstam:
g (a) = 0 = f (b) - f (a) - f '(a) (b-a) - [f' '(a) / 2!] (b-a) 2 -. - [f (n) (a) / n!] (b-a) n - [(b-a) n + 1] [f (n + 1) (z) / (n + 1)!]

(14) Tagad, ja mēs pārvietojamies pāri visiem elementiem pēc f (b), mēs iegūstam:
f (b) = f (a) + f '(a) (b-a) + [f' '(a) / 2!] (b-a) 2 +. + [f (n) (a) / n!] (b-a) n + [(b-a) n + 1] [f (n + 1) (z) / (n + 1)!]


11.12: Teilora teorēma - matemātika

Mēs zinām, ka Teilora sērijas paplašināšanas formula ir rakstīta šādi:

Tagad, ja šajā formulā ievietosim a = 0, mēs iegūsim Maklaurina sērijas paplašināšanas formulu. T
hus Maclaurin sērijas paplašinājumu var sniegt pēc formulas & # 8211

  1. Eksponenciālā funkcija:

    Diferencējot n reizes,
    Tātad mēs saņemam
    Tādējādi
  2. f (x) = cos x
    …..
  3. f (x) = grēks x
  4. f (x) = (cirvis + b) ^ m
  5. f (x) = ln (1 + x)
  6. f (x) = ln (1-x)

1. piemērs:
Atrodiet pirmos septiņus nosacījumus f (x) = ln (sec x).

Paskaidrojums:


Diferencējot w.r.t. x,







Tādējādi mēs iegūstam Maclaurin sēriju kā & # 8211


2. piemērs:
Novērtējiet Maclaurin sērijas iedegumu x.

Paskaidrojums:






Tādējādi mēs iegūstam Maclaurin sēriju kā & # 8211

Uzmanības lasītājs! Don & rsquot pārtraukt mācīties tagad. Iegūstiet visus svarīgos CS teorijas jēdzienus SDE intervijām ar CS teorijas kurss par studentiem draudzīgu cenu un kļūsti gatavs rūpniecībai.


149. Teilora teorēmas pielietošana maksimumiem un minimumiem

A. Maxima un minimumi. Teilora teorēmu var piemērot, lai sniegtu lielāku teorētisko pilnīgumu Ch. VI, 122. – 123.§, lai gan rezultātiem nav lielas praktiskas nozīmes. Atcerēsimies, ka, pieņemot, ka ( phi (x) ) ir atvasinājumi no pirmajiem diviem pasūtījumiem, mēs norādījām, ka šādi nosacījumi ir pietiekami, lai maksimāli vai minimāli ( phi (x) ) (x = xi ): maksimāli, ( phi '( xi) = 0 ), ( phi & # 8221 ( xi) & lt 0 ) par minimumu, ( phi '( xi) = 0 ), ( phi & # 8221 ( xi) & gt 0 ). Ir skaidrs, ka šie testi neizdodas, ja ( phi & # 8221 ( xi) ), kā arī ( phi '( xi) ) ir nulle.

Pieņemsim, ka pirmie (n ) atvasinājumi [ phi '(x), quad phi & # 8221 (x), punkti, quad phi ^ <(n)> (x) ] ir nepārtraukti un visi saglabā pēdējo, kad (x = xi ). Tad pietiekami mazām (h ) vērtībām [ phi ( xi + h) & # 8211 phi ( xi) = frac<>> phi ^ <(n)> ( xi + teta_ h). ] Lai būtu maksimums vai minimums, šai izteiksmei jābūt ar nemainīgu zīmi visām pietiekami mazajām (h ) vērtībām, pozitīvām vai negatīvām. Tas acīmredzami prasa, lai (n ) būtu vienmērīgs. Un, ja (n ) ir pat, būs maksimums vai minimums, jo ( phi ^ <(n)> ( xi) ) ir negatīvs vai pozitīvs.

Tādējādi mēs iegūstam testu: ja ir jābūt maksimumam vai minimumam, pirmajam atvasinājumam, kas nepazūd, jābūt vienmērīgam atvasinājumam, un būs maksimums, ja tas ir negatīvs, minimums, ja tas ir pozitīvs.

1. Pārbaudiet rezultātu, kad ( phi (x) = (x & # 8211 a) ^), (m ) ir pozitīvs vesels skaitlis un ( xi = a ).

2. Pārbaudiet funkciju ((x & # 8211 a) ^ (x & # 8211 b) ^), kur (m ) un (n ) ir pozitīvi veseli skaitļi, maksimumiem un minimumiem punktos (x = a ), (x = b ). Uzzīmējiet dažādu iespējamo līknes formu grafikus (y = (x & # 8211 a) ^ (x & # 8211 b) ^) .

3. Pārbaudiet funkcijas ( sin x & # 8211 x ), ( sin x & # 8211 x + dfrac> <6> ), ( sin x & # 8211 x + dfrac> <6> & # 8211 dfrac> <120> ),…, ( cos x & # 8211 1 ), ( cos x & # 8211 1 + dfrac> <2> ), ( cos x & # 8211 1 + dfrac> <2> & # 8211 dfrac> <24> ),… maksimumiem vai minimumiem pie (x = 0 ).


Algebra 21.11.12

Lai pabeigtu šo projektu, jums būs nepieciešams grafiskais papīrs.
Lai uzzinātu, kā attēlot līnijas, skatiet Algebra ziņojumu 11/19/12

Ģeometrija 21.11.12

  • Katra pirāta vārds atbilst burtam kartē A = Alph onse, B = Beumont utt.
  • Nē, ka ziemeļiem ir jācenšas uz augšu, sui ir lejā, austrumiem ir taisnība un rietumiem ir kreisā puse
  • Lai izmērītu leņķi --- ja Alphonse mēra leņķi, tad A i ir virsotne
  • Apskatiet, kas tika norādīts problēmā, un izlemiet, vai varat izveidot vienotu trīsstūri, izmantojot SSS, SAS, ASA vai SAA (atcerieties, ka ASS nedarbojas !!)
  • Ja neviena no kongruences teorēmām / postulātiem nedarbojas, atzīmējiet DIVAS vietas, kur dārgums varētu atrasties (parādiet divus trijstūrus, kurus var veidot, izmantojot sniegto informāciju)

Inženiertehniskā matemātika I piezīmes un risinājums BTech pirmajam kursam

Šī ir tiešsaistes tēma gudri risinājumi un piezīmes par inženiertehnisko matemātiku BTech pirmā kursa studentiem.

I: Parastie diferenciālvienādojumi:

1. kārtas diferenciālvienādojumu pamatjēdzieni un definīcijas Diferenciālvienādojumu risinājuma veidošana
diferenciālvienādojumi: mainīgi atdalāmi, viendabīgi, vienādojumi, kas reducējami uz viendabīgu formu, precīzs diferenciālvienādojums, vienādojumi, kas reducējami uz precīzu formu, lineārs diferenciālais vienādojums, vienādojumi, kas reducējami uz lineāru formu (Bernulli vienādojums), ortogonālās trajektorijas, diferenciālvienādojumu pielietojumi.

II: 2. un augstākas kārtas lineārie diferenciālvienādojumi

Otrās pakāpes lineārie viendabīgie vienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem diferenciālie operatori viendabīgu vienādojumu risinājums .

III: Diferenciālrēķins (divi un trīs mainīgie)

Teilora teorēma, Maxima un Minima, Lagranža reizinātāji

IV: Matricas, determinanti, lineārā vienādojumu sistēma

Matricu matricu tipu algebras pamatjēdzieni Vector Space, Sub-space, Basis un dimension, lineāra lineāro sistēmu vienādojumu konsekvence matricas pakāpe matricas rangs Gauss novērš matricas apgriezto vērtību ar Gauss-Jordan metodi lineārā atkarība un neatkarība, lineārās transformācijas matricas noteicošo faktoru inversās transformācijas pielietojumi Krāmera likums.

V: Matrix-Eigen vērtības problēmas

Eigenvalues, Eigenvectors, Cayley Hamilton theorem, basis, complex matrics quadratic form Hermitian, SkewHermitian formas līdzīgas matricas matricu diagonalizācijas formas transformācija uz galveno asi (konusveida griezums).


Skatīties video: Теория вероятностей. Математика TutorOnline (Oktobris 2021).