Raksti

5.3. Integrācija aizvietojot - matemātika


Mācību mērķi

Šajā sadaļā mēs cenšamies izprast idejas, kuras radījuši šādi svarīgi jautājumi:

  • Kā mēs varam sākt atrast algebriskas formulas sarežģītāku algebrisko funkciju antivariātiem?
  • Kas ir nenoteikts integrālis un kā tā apzīmējumi tiek izmantoti, apspriežot antivielas?
  • Kā u aizvietošanas tehnika darbojas, lai palīdzētu mums novērtēt noteiktus nenoteiktus integrāļus, un kā šis process balstās uz funkciju un atvasinājumu pāru identificēšanu?

4.4. Sadaļā mēs uzzinājām galveno lomu, kāda antivielām ir precīzi noteiktu integrālu novērtēšanas procesā. Konkrēti, pamatrēķina teorēma mums saka, ka, ja (F ) ir jebkurš (f ) novirzītājs, tad

[ int ^ b_a f (x) dx = F (b) - F (a). ]

Turklāt mēs sapratām, ka katrs 2. nodaļā izstrādātais elementārais atvasinājuma noteikums noved pie atbilstoša elementārā antivāra, kā apkopots 4.1. Tabulā. Tādējādi, ja mēs vēlamies novērtēt tādu integrālu kā

[ int_0 ^ 1 x 3 - √ x + 5 x dx label {eq5.3} ]

to darīt ir vienkārši, jo mēs varam viegli diferencēt f (x) = x 3 - √ x + 5 x. Jo īpaši, tā kā funkciju (F ), kuras atvasinājums ir (f ), dod

[F (x) = 1 4 x 4–2 3 x 3/2 + 1 ln (5) 5 x ]

to mums saka pamatrēķina teorēma

[ int_0 ^ 1 x 3 - √ x + 5 x dx = 1 4 x 4 - 2 3 x 3/2 + 1 ln (5) 5 x 1 0 = 1 4 (1) 4 - 2 3 (1 ) 3/2 + 1 ln (5) 5 1! - 0 - 0 + 1 ln (5) 5 0! = - 5 12 + 4 ln (5). ]

Tā kā f antivērtības algebriskā formula ļauj mums novērtēt noteikto integrālu

[ int ^ b_a f (x) dx ]

tieši tā, mēs redzam, ka mums ir dabiska interese, lai mēs spētu atrast šādus algebras antivielas. Ņemiet vērā, ka mēs uzsvaru liekam uz algebras antivielām, pretstatā jebkuram citam, jo ​​ar Rēķina otro pamatteorēmu mēs zinām, ka

[G (x) = int ^ x_a f (t) dt ]

patiešām ir dotās funkcijas (f ) antivārds, bet tāds, kas tomēr ietver noteiktu integrālu. Viens no mūsu galvenajiem mērķiem šajā un turpmākajā sadaļā ir attīstīt izpratni atsevišķos apstākļos par to, kā “atsaukt” diferenciācijas procesu, lai atrastu algebrisku antivielu konkrētai funkcijai.

Priekšskatīt darbību ( PageIndex {1} )

2.5. Sadaļā mēs uzzinājām ķēdes likumu un to, kā to var izmantot, lai atrastu salikto funkciju atvasinājumu. Jo īpaši, ja (u ) ir diferencējama funkcija no (x ) un (f ) ir diferencējama funkcija no (u (x) ), tad

[ dfrac {d} {dx} [f (u (x))] = f '(u (x)) · u 0 (x). ]

Vārdos mēs sakām, ka saliktās funkcijas c (x) = f (u (x)) atvasinājums, kur f tiek uzskatīts par “ārējo” un u “iekšējo” funkciju, ir “ārējās funkcijas atvasinājums. , kas novērtēta pēc iekšējās funkcijas, reizina ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. ”

(a) Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, katrai no šīm funkcijām izmantojiet ķēdes kārtulu. Noteikti iezīmējiet katru atvasinājumu pēc nosaukuma (piemēram, g (x) atvasinājumam jābūt marķētam ar g '(x)).

  1. g (x) = e 3x
  2. h (x) = grēks (5x + 1)
  3. p (x) = arktāns (2x)
  4. q (x) = (2 - 7x) 4
  5. r (x) = 3 4−11x

(b) Katrai no šīm funkcijām izmantojiet a) apakšpunktā aprakstīto darbu, lai palīdzētu noteikt funkcijas vispārējo antivielu3. Iezīmējiet katru antivielu pēc nosaukuma (piem., M antivīrusu sauc par M). Turklāt pārbaudiet savu darbu, aprēķinot katra piedāvātā antivara atvasinājumu.

  1. m (x) = e 3x
  2. n (x) = cos (5x + 1)
  3. s (x) = 1 1 + 4x 2 3Atgādiniet, ka funkcijas vispārējā antivilkumā ir “+ C”, lai atspoguļotu visu funkciju saimi, kurai ir viens un tas pats atvasinājums.
  4. v (x) = (2 - 7x) 3 v. w (x) = 3 4-11x

(c) Pamatojoties uz savu pieredzi a) un b) daļā, uzminiet antivielu katrai no šīm funkcijām. Pārbaudiet savas minējumus, aprēķinot katra ierosinātā antivārda atvasinājumu.

  1. a (x) = cos (πx)
  2. b (x) = (4x + 7) 11
  3. c (x) = xex 2 ./

Ķēdes noteikuma maiņa: pirmie soļi

Priekšskatījuma aktivitātē ( PageIndex {1} ) mēs redzējām, ka parasti ir vienkārši antidiferencēt formas formas h (x) = f (u (x)) funkciju, kad vien f ir pazīstama funkcija, kuras antivielāmais līdzeklis ir zināms un u (x) ir lineāra funkcija. Piemēram, ja ņemam vērā h (x) = (5x - 3) 6, šajā kontekstā ārējā funkcija f ir f (u) = u 6, bet iekšējā funkcija ir u (x) = 5x - 3. Tā kā f priekšnoteikums ir

[F (u) = 1 7 u 7 + C, ]

mēs redzam, ka h antivītrojums ir

[H (x) = 1 7 (5x - 3) 7 · 1 5 + C = 1 35 (5x - 3) 7 + C. ]

Konstantes 1 5 iekļaušana ir būtiska tieši tāpēc, ka iekšējās funkcijas atvasinājums ir u 0 (x) = 5. Patiešām, ja mēs tagad aprēķinām (H '(x) ), tad ar ķēdes kārtulu (un Constant Multiple Rule), ka

[H '(x) = 1 35 · 7 (5x - 3) 6 · 5 = (5x - 3) 6 = h (x), ]

un tādējādi H patiešām ir (h ) vispārējs antiviels. Tādējādi īpašā gadījumā, kad ārējā funkcija ir pazīstama un iekšējā funkcija ir lineāra, mēs varam diferencēt saliktas funkcijas atbilstoši šādam noteikumam. Ja (h (x) = f (ax + b) ) un (F ) ir zināms f algebriskais antivatīvs, tad h vispārīgo antivirzienu sniedz

[H (x) = 1 a F (ax + b) + C. ]

Apspriežot antivielas, bieži ir noderīgi izmantot stenogrāfijas apzīmējumus, kas norāda uz instrukciju, kā atrast antivielu. Tādējādi, līdzīgi kā apzīmējums d dx [f (x)] apzīmē f (x) atvasinājumu attiecībā pret x, mēs izmantojam nenoteikta integrāla apzīmējumu Z f (x) dx, lai attēlotu vispārīgo (f ) novirze attiecībā pret x. Piemēram, atgriežoties pie iepriekšējā piemēra ar h (x) = (5x - 3) 6 iepriekš, mēs varam pārfrāzēt attiecības starp h un tā antivielu H, izmantojot apzīmējumu

[ int (5x - 3) 6 dx = 1 35 (5x - 6) 7 + C. ]

Atrodot antivielu, mēs bieži sakām, ka mēs novērtējam nenoteiktu integrālu; teikts citādi, instrukcija novērtēt nenoteiktu integrālu nozīmē atrast vispārēju antivielu. Tāpat kā apzīmējums d dx [] nozīmē “atrast atvasinājumu attiecībā pret x no”, apzīmējums R dx nozīmē “atrast x funkciju, kuras atvasinājums ir”.

Darbība ( PageIndex {2} )

Novērtējiet katru no šiem nenoteiktajiem integrāļiem. Diferencējot pārbaudiet katru atrasto antivielu.

  1. ( displaystyle int sin (8 - 3x) dx )
  2. ( displaystyle int sec2 (4x) dx )
  3. ( displaystyle int 1 11x-9 dx )
  4. ( displaystyle int csc (2x + 1) bērnu gultiņa (2x + 1) dx )
  5. ( displaystyle int 1 √ 1−16x 2 dx )
  6. ( displaystyle int 5 −x dx )

Ķēdes noteikuma maiņa

u aizvietošana Protams, mūsu nesenajā darbā rodas dabisks jautājums: kas notiek, ja iekšējā funkcija nav lineāra funkcija? Piemēram, vai mēs varam atrast tādu funkciju antivielas kā (g (x) = xex ^ 2 ) un (h (x) = e x ^ 2 )? Ir svarīgi skaidri atcerēties, ka diferenciācija un antidiferencēšana būtībā ir apgriezti procesi; tas, ka tie nav gluži apgriezti procesi, ir saistīts ar + C, kas rodas, diferencējot. Šī ciešā saikne ļauj mums ņemt jebkuru zināmu atvasinājuma likumu un pārtulkot to par atbilstošu likumu uz nenoteiktu integrāli. Piemēram, tā kā d dx x 5 = 5x 4, mēs varam līdzvērtīgi uzrakstīt Z 5x 4 dx = x 5 + C. Atgādinām, ka ķēdes noteikums nosaka, ka

[ dfrac {d} {dx} [f (g (x))] = f '(g (x)) · g' (x). ]

Atkārtojot šīs attiecības ar nenoteiktu integrāli,

[ int f '(g (x)) g' (x) dx = f (g (x)) + C. etiķete {5.5} ]

Tādējādi vienādojums ref {5.5} mums saka, ka, ja mēs varam ņemt noteiktu funkciju un tās algebras struktūru apskatīt kā f '(g (x)) g' (x) dažām piemērotām f un g izvēlēm, tad mēs varam diferencēt funkciju, mainot ķēdes likumu. Īpaši ievērojams ir fakts, ka gan g (x), gan g '(x) parādās f' (g (x)) g '(x) formā; mēs dažreiz teiksim, ka mēs cenšamies noteikt funkciju-atvasinājumu pāri, mēģinot piemērot likumu vienādojumā ref {5.5}. Situācijā, kad mēs varam identificēt funkciju-atvasinājumu pāri, mēs ieviesīsim jaunu mainīgo u, kas pārstāv funkciju g (x). Ievērojot, ka ar u = g (x) Leibnica pierakstā izriet, ka du dx = g '(x), tātad diferenciālo izteiksmē4, du = g' (x) dx. Tagad, pārveidojot nenoteikto interešu integrāli uz jaunu, mēs esam

[ int f '(g (x)) g' (x) dx = int f '(u) du. ]

Ar nosacījumu, ka f 'ir pamatfunkcija, kuras antivārdojums ir zināms, mēs tagad varam 4 Ja no atvasinājuma definīcijas atcerēsimies, ka du dx ≈ 4u 4x un izmantosim faktu, ka du dx = g' (x), tad mēs redzam, ka g '(x) ≈ 4u 4x. Atrodot 4u, 4u ≈ g '(x) 4x. Tieši šīs pēdējās attiecības, kas izteiktas “diferenciālā” apzīmējumā, ļauj mums rakstīt

[du = g '(x) dx ]

mainīgās formulas maiņā.

viegli novērtējiet nenoteikto integrāli u, un pēc tam turpiniet, lai noteiktu vēlamo f '(g (x)) g' (x) antivielu. Mēs šo procesu saucam par uaizvietošanu. Lai redzētu u aizvietošanu darbā, mēs apsveram šādu piemēru.

Piemērs ( PageIndex {1} ):

Novērtējiet nenoteikto integrāli

[ int x ^ 3 · grēks (7x4 + 3) dx ]

un pārbaudiet rezultātu, diferencējot.

Risinājums

Mēs varam veikt divus galvenos algebriskos novērojumus attiecībā uz integrandu x 3 · sin (7x 4 + 3). Pirmkārt, grēks (7x 4 + 3) ir salikta funkcija; kā tāds mēs zinām, ka mums būs nepieciešama sarežģītāka pieeja antidiferencēšanai.

Otrkārt, x 3 ir gandrīz (7x 4 + 3) atvasinājums; vienīgais jautājums ir trūkstošā konstante. Tādējādi x 3 un (7x 4 + 3) ir gandrīz funkciju-atvasinājumu pāris. Turklāt mēs zinām f (u) = grēka (u) antivielu. Šo novērojumu kombinācija liek domāt, ka mēs varam novērtēt norādīto nenoteikto integrāli, mainot ķēdes likumu, izmantojot u aizstāšanu. Ļaujot u attēlot saliktās funkcijas sin (7x 4 + 3) iekšējo funkciju, mums ir u = 7x 4 + 3 un tādējādi du dx = 28x 3. Diferenciālā apzīmējumā tas izriet

[du = 28x 3 dx, ]

un tādā veidā

[x 3 dx = 1 28 du.]

Mēs veicam šo pēdējo novērojumu, jo sākotnējam nenoteiktajam integrālim tagad var būt uzrakstīts Z sin (7x 4 + 3) · x 3 dx, un tāpēc, aizstājot izteicienus u ar x (konkrēti u - 7x 4 + 3 un 1 28 du - x 3 dx), tas izriet no tā

[ int grēks (7x 4 + 3) · x 3 dx = Z grēks (u) · 1 28 du. ]

Tagad mēs varam novērtēt sākotnējo integrālu, vispirms novērtējot vieglāko integrāli u, kam seko u aizstāšana ar izteicienu 7x 4 + 3. To darot, mēs atrodam

[ int grēks (7x 4 + 3) · x 3 dx = Z sin (u) · 1 28 du = 1 28 Z sin (u) du = 1 28 (- cos (u)) + C = - 1 28 cos (7x4 + 3) + C. ]

Lai pārbaudītu mūsu darbu, mēs ievērojam to pēc ķēdes likuma

[ dfrac {d} {dx} - 1 28 cos (7x 4 + 3) + C = - 1 28 · (−1) grēks (7x 4 + 3) · 28x 3 = grēks (7x 4 + 3) · x 3 ]

kas patiešām ir sākotnējais integrands. Būtisks novērojums par mūsu darbu 5.2. Piemērā ir tāds, ka u aizstāšana darbojās tikai tāpēc, ka grēka reizināšanas funkcija (7x 4 + 3) bija x 3. Ja tā vietā šī funkcija bija x 2 vai x 4, aizstāšanas process, iespējams, nedarbojās (un, iespējams, arī nedarbotos). Tas ir viens no primārajiem antidiferencēšanas izaicinājumiem: nelielas izmaiņas integrandā rada milzīgas atšķirības. Piemēram, lai to atrastu, mēs varam izmantot u aizvietošanu ar u = x 2 un du = 2xdx

[ int xex 2 dx = Z e u · 1 2 du = 1 2 Z e u du = 1 2 e u + C = 1 2 e x 2 + C. ]

Ja tomēr mēs uzskatām līdzīgu nenoteiktu integrālu

[ int e x 2 dx, ]

trūkstot x, lai reizinātu e x 2, u aizstāšana u = x 2 vairs nav iespējama. Tādējādi daļa no u aizvietošanas stundām ir tieši tā, cik specializēts ir process: tas attiecas tikai uz situācijām, kad līdz iztrūkstošajai konstantei esošais integrands ir ķēdes noteikuma piemērošanas citai, saistītai funkcijai rezultāts. .

Darbība ( PageIndex {3} )

Novērtējiet katru no šiem nenoteiktajiem integrāļiem, veicot šīs darbības:

  • Atrast divas funkcijas integrandā, kas veido (līdz iespējamai trūkstošai konstantei) funkciju-atvasinājumu pāri;
  • Veiciet aizstāšanu un pārveidojiet integrāli par vienu, kas ietver u un du;
  • Novērtējiet jauno integrāli u;
  • Konvertējiet iegūto u funkciju atpakaļ uz x funkciju, izmantojot iepriekšējo aizstāšanu;
  • Pārbaudiet savu darbu, diferencējot x funkciju. Jums vajadzētu nākt klajā ar sākotnēji piešķirto integrandu.
  1. (displaystyle int x 2 5x 3 + 1 dx )
  2. (displaystyle int e x sin (e x) dx )
  3. (displeja stils int cos (√ x) √ x dx C )

Noteiktu integrāļu novērtēšana, izmantojot u aizstāšanu

Mēs tikko esam ieviesuši u aizvietošanu kā līdzekli, lai novērtētu nenoteiktu funkciju integrālus, kurus var ierakstīt līdz konstanta daudzkārtnei f (g (x)) g '(x) formā. Šo pašu paņēmienu var izmantot, lai novērtētu noteiktus integrāļus, kas ietver šādas funkcijas, lai gan mums jābūt uzmanīgiem ar attiecīgajām integrācijas robežām. Apsveriet, piemēram, noteiktu integrālu

[ int ^ 5_2 xex 2 dx. ]

Ikreiz, kad mēs rakstām noteiktu integrālu, ir netieši noteikts, ka integrācijas robežas atbilst integrācijas mainīgajam. Lai būtu skaidrāks, ievērojiet to

[ int ^ 5_2 xex 2 dx = Z x = 5 x = 2 xex 2 dx. ]

Veicot u aizvietošanu, mēs mainām integrācijas mainīgo; ir svarīgi atzīmēt, ka tas maina arī integrācijas robežas. Piemēram, ar aizstāšanu u = x 2 un du = 2x dx arī izriet, ka tad, kad x = 2, u = 2 2 = 4 un kad x = 5, u = 5 2 = 25. Tādējādi, mainoties no u aizvietošanas mainīgajiem lielumiem, mums tagad ir

[ int ^ {x = 5} _ {x = 2} xex 2 dx = Z u = 25 u = 4 eu · 1 2 du = 1 2 euu = 25 u = 4 = 1 2 e 25 - 1 2 e 4 ]

Alternatīvi, mēs varētu apsvērt saistīto nenoteikto integrālu R xex 2 dx, atrast u antitivatīvu 1 2 e x 2 caur u-aizvietošanu un pēc tam novērtēt sākotnējo noteikto integrālu.

No šī viedokļa mums būtu

[ int ^ 5_2 xex 2 dx = 1 2 e x 2 5 2 = 1 2 e 25 - 1 2 e 4 ]

kas, protams, ir tāds pats rezultāts.

Darbība ( PageIndex {1} )

Novērtējiet katru no šiem noteiktajiem integrāļiem precīzi, izmantojot atbilstošu lietojumu.

  1. Z 2 1 x 1 + 4x 2 dx
  2. int_0 ^ 1 e −x (2e −x + 3) 9 dx
  3. Z 4 / π 2 / π cos 1 x x 2 dx C

Kopsavilkums

Šajā sadaļā mēs sastapāmies ar šādām svarīgām idejām:

  • Lai sāktu atrast algebriskas formulas sarežģītāku algebrisko funkciju antivariātiem, mums rūpīgi jādomā par to, kā mēs varam mainīt zināmos diferenciācijas noteikumus. Šajā nolūkā ir svarīgi saprast un atsaukt zināmus pamatfunkciju atvasinājumus, kā arī atvasinājumu standarta noteikumus.
  • Nenoteiktais integrālis nodrošina antivielu apzīmējumus. Rakstot “R f (x) dx”, mēs domājam “f vispārīgo antivielu”. Jo īpaši, ja mums ir tādas funkcijas f un F, ka f '= f, šie divi apgalvojumi saka precīzu lietu: d dx [F (x)] = f (x) un Z f (x) dx = F (x ) + C. Tas ir, f ir F atvasinājums, un F ir f antivide.
  • R u aizvietošanas paņēmiens palīdz mums novērtēt f (g (x)) g '(x) dx formas nenoteiktos integrālus, izmantojot aizstāšanas u = g (x) un du = g' (x) dx, lai Z f (g (x)) g '(x) dx = Z f (u) du. Galvenā daļa, izvēloties izteiksmi x, kas jāatspoguļo ar u, ir funkcijas un atvasinājumu pāra identificēšana. Lai to izdarītu, mēs bieži meklējam “iekšējo” funkciju g (x), kas ir daļa no saliktās funkcijas, vienlaikus pētot, vai g '(x) (vai g' (x) nemainīgs daudzkārtne) ir reizināms integranda faktors.

5.3. Integrācija aizvietojot - matemātika


Integrācija ar aizstāšanu

Integrācija ar aizstāšanu:

Kad f (x) = h (g (x)) g '(x) f (x) = h (g (x)) g' (x)

tad,
∫ f (x) d x = ∫ h (y) d y ∫ f (x) d x = ∫ h (y) d y
kur y = g (x) y = g (x)
un d y = g '(x) d x d y = g' (x) d x un tā
»∫ f (x) d x ∫ f (x) d x = [∫ h (y) d y] ∣ y = g (x) + c = [∫ h (y) d y] ∣ y = g (x) + c
stundas izklāsts

Apsveriet integrāciju ∫ 2 x sin x 2 d x ∫ 2 x sin x 2 d x
Mēs pamanām, ka d d x x 2 = 2 x d d x x 2 = 2 x ir daļa no integrācijas.

t = x 2 t = x 2 un aizvieto integrandā.

integrācija ∫ 2 x sin x 2 d x ∫ 2 x sin x 2 d x

Aizstājējs t = x 2 t = x 2 un d t = 2 x d x d t = 2 x d x.

∫ 2 x grēks x 2 d x ∫ 2 x grēks x 2 d x

aizstājējs t = x 2 t = x 2
= - cos x 2 + c = - cos x 2 + c

Ņemot vērā integrāciju ∫ f (x) d x ∫ f (x) d x:
Ja tiek novērots, ka f (x) f (x) var pārrakstīt kā
f (x) = h [g (x)] g '(x) f (x) = h [g (x)] g' (x)

tad,
∫ f (x) d x = ∫ h (y) d y ∫ f (x) d x = ∫ h (y) d y
kur y = g (x) y = g (x)
un d y = g '(x) d x d y = g' (x) d x

Šī metode ir "integrācija ar aizstāšanu".

Integrācija ar aizstāšanu: Kad f (x) = h (g (x)) g '(x) f (x) = h (g (x)) g' (x)

tad,
∫ f (x) d x = ∫ h (y) d y ∫ f (x) d x = ∫ h (y) d y
kur y = g (x) y = g (x)
un dy = g '(x) dxdy = g' (x) dx un tāpēc ∫ f (x) dx ∫ f (x) dx = [∫ h (y) dy] ∣ y = g (x) + c = [ ∫ h (y) dy] ∣ y = g (x) + c

Dota funkcija parametriskā formā y = r cos ty = r cos t un x = r sin tx = r sin t, Lai turpinātu integrāciju, aizstājiet y = r cos ty = r cos t un dx = d (r cos t ) dx = d (r cos t). Tad turpiniet ar integrācijas mainīgo kā t t

Dota funkcija parametriskā formā y = r cos t y = r cos t un x = r sin t x = r sin t.
∫ y d x ∫ y d x

aizstājot y = r cos t y = r cos t un d x = d (r sin t) d x = d (r sin t). d () d () ir atvasinājums no
= ∫ r cos t d (r sin t) = ∫ r cos t d (r sin t)

= ∫ r cos t r cos t d t = ∫ r cos t r cos t d t

= ∫ r 2 cos 2 t d t = ∫ r 2 cos 2 t d t

Integrēt ∫ iedegums x d x ∫ iedegums x d x

To var integrēt ar tan x = - (cos x) '/ cos x tan x = - (cos x) ′ / cos x

= ∫ - (cos x) 'cos x = ∫ - (cos x) ′ cos x

= - žurnāls | cos x | + c = - žurnāls | cos x | + c

Integrēt ∫ cot x d x ∫ cot x d x

To var integrēt ar bērnu gultiņu x = (sin x) '/ sin x gultiņa x = (sin x) ′ / sin x

= (grēks x) "grēks x = (grēks x)" grēks x

= log | grēks x | + c = žurnāls | grēks x | + c

Integrēt ∫ sek x d x ∫ sek x d x

To var integrēt ar sec x sec x = (sec x + tan x) '= (sec x + tan x) ′ / (sec x + tan x) / (sec x + tan x)

= ∫ (sec x + iedegums x) 'sec x + iedegums x d x = ∫ (sek x + iedegums x) ′ sek x + iedegums x d x

= log | sek x + iedegums x | + c = žurnāls | sek x + iedegums x | + c

Integrēt ∫ csc x d x ∫ csc x d x

To var integrēt ar csc x csc x = - (csc x + cot x) '= - (csc x + cot x) ′ / (csc x + cot x) / (csc x + cot x)

= ∫ - (csc x + cot x) 'csc x + cot x d x = ∫ - (csc x + cot x) ′ csc x + gultiņa x d x

= - žurnāls | csc x + gultiņa x | + c = - žurnāls | csc x + gultiņa x | + c

Integrācija ar aizstāšanu

Kad f (x) = h (g (x)) g '(x) f (x) = h (g (x)) g' (x)

tad,
∫ f (x) d x = ∫ h (y) d y ∫ f (x) d x = ∫ h (y) d y
kur y = g (x) y = g (x)
un d y = g '(x) d x d y = g' (x) d x un tā
»∫ f (x) d x ∫ f (x) d x = [∫ h (y) d y] ∣ y = g (x) + c = [∫ h (y) d y] ∣ y = g (x) + c
Nākamais


Šajā rakstā mēs apspriežam:

Izpratne par to, kā atrisināt integrāļus, izmantojot aizstāšanas metodi, ir ārkārtīgi svarīga prasme apgūt, jo tā ļauj studentiem atrisināt grūtākus integrācijas jautājumus, kā arī citus kalkulācijas jautājumus, piemēram, atrast laukumu zem līknēm vai revolūcijas cieto daļu tilpumu. Apskatīsim šīs tēmas NESA mācību programmas punktu!

NESA programmas rezultāts

  • Atrodiet un novērtējiet nenoteiktus un noteiktus integrālus, izmantojot integrēšanas metodi ar aizstāšanu, izmantojot noteiktu aizvietojumu:
    • Mainiet integrandu atbilstošā formā, izmantojot algebru.

    Lai iegādātos šo produktu, jums ir jāpiesakās

    Aizstāšanas metode ietver integrāla pārveidošanu attiecībā uz vienu mainīgo, teiksim, (x ), par integrālu pārveidošanu attiecībā uz saistīto mainīgo, teiksim, (u ).

    Ja (u ) ir (x ) funkcija, tad ar ķēdes kārtulu ( dfrac <><> = dfrac <><> reizes dfrac <><> uz f (x) reizes dfrac <><>)

    Integrējot attiecībā uz (u ), iegūst (y = int <>><>> , , du )

    Tas dod rezultātu, kas izmantots metodē, kas pazīstama kā mainīgā aizstāšana vai maiņa.

    Piemēram: Atrast ( int right)> ^ 5 >> dx ), izmantojot aizstājēju (u = 2x + 1 )

    (I = starp pa labi)> ^ 5 >> dx ) Ļaujiet (u = 2x + 1 uz x = dfrac <1> <2> pa kreisi ( pa labi) uz dfrac <><> = dfrac <1> <2> ).

    Ar noteiktu integrālu parasti mainās robežas vienlaikus ar mainīgā mainību, nevis jāintegrē un jāatgriežas pie sākotnējā mainīgā un attiecīgajiem ierobežojumiem.


    Integrācija ar aizstāšanu

    Integrācija ar aizstāšanu
    Mācīšanās integrācija ar aizstāšanu ietver integrālās funkcijas risināšanas procesa izpratni. Ja mums ir funkcijas, kas nav aktivizētas vai ir ērti integrējamas tieši, mēs tās atrisinām, izmantojot četras integrācijas darbības metodes.

    Integrācija ar aizstāšanu
    Aizstāšanas metode pārvērš nepazīstamu neatņemamu sastāvdaļu vienā, ko mēs varam novērtēt. Citiem vārdiem sakot, aizstāšana dod mums vienkāršāku integrālu, kas ietver mainīgo u. Šī nodarbība parāda, kā darbojas aizstāšanas tehnika.
    Tagad pārskatīsim piecus soļus integrācija ar aizstāšanu.

    7.d Integrācija ar aizstāšanu
    Integrācijas mini video lekcija
    Šajā videoklipā ir paskaidrots, kā aizstāt, lai integrālu, kas izskatās grūti, padarītu par vieglāku.

    (apmaiņa). Ja funkcija f (z) ir dota un tai ir primitīvs pie z Z, funkcijai z = g (x) ir nepārtraukts atvasinājums pie x X un g (X) Z, tad funkcijai F (x) = f [ g (x)] - g '(x) ir primitīvs un.

    Novērojot, ne vienmēr ir iespējams atrast sarežģītu funkciju integrāļus, un tāpēc mums ir vajadzīgas tādas metodes kā aizstāšana to risināšanai. Aizstāšanas metodei ir šādas daļas:
    ?

    Metode, kas ir līdzīga diferenciācijas ķēdes likumam, bet ir vājāka par to, kas ļauj integrēt izteiksmi, mainot mainīgos.

    Integrācija pa daļām
    Integrācija ar trigonometrisko aizstāšanu
    Integrācija ar daļējām frakcijām
    Integrācija ar reducēšanas formulām.

    Video piemēri: Maths Integrals 15. daļa (

    ) CBSE 12. klase Matemātika XII
    Atrisināts piemērs asimetrijai
    Jautājumi: kuri no attēliem ir asimetrijas piemēri?

    Integrācijas metode, kas būtībā ietver ķēdes kārtulas izmantošanu pretējā virzienā.

    Šajās piezīmēs tiek pieņemts, ka lasītājam ir labas zināšanas par I aprēķina tēmām, tostarp ierobežojumiem, atvasinājumiem un pamata integrāciju un

    .
    Rēķins II daudziem studentiem mēdz būt ļoti grūts kurss. Tam ir daudz iemeslu.


    Piemērs

    Parasti, kad integrēšanai ir racionāla funkcija, vēlaties iestatīt (u = text = x ^ 3 + 1 ). Bet šajā gadījumā (x ^ 3 + 1 ) atvasinājums ir (3x ^ 2 ), kas nav tas, kas šai funkcijai ir augšstāvā. Tas ir labi: viss, kas mums jādara, ir likt (3x ^ 2 ) uz augšu un visu integrālu reizināt ar ( dfrac <1> <3> ), lai mūsu jaunie papildinājumi viens otru atceltu. Ja neesat pārliecināts, kāpēc tas ir labi, skatiet integrācijas noteikumu raksta kārtulu "reizināt ar konstanti". Te nu mēs esam:

    Tagad mēs strādājam biznesā! Veiksim aizstāšanu:

    Tagad izmantojiet mūsu integrācijas noteikumus, lai integrētu:

    Visbeidzot, pievienojiet (u = x ^ 3 + 1 ) atpakaļ:

    Apskatīsim pēdējo piemēru. Sākumā nešķiet, ka aizvietošana darbosies šajā, bet tā būs.


    Integrējot ar aizstāšanu, ir grūti pārveidot sarežģītu integrālu par vieglāku integrālu, izmantojot aizstāšanu.

    Piemēram, pieņemsim, ka mēs integrējam sarežģītu integrālu, kas attiecas uz x. Mēs, iespējams, varēsim ļaut x = sin t, teiksim, lai atvieglotu integrālu. Kamēr mēs mainīsim "dx" uz "cos t dt" (jo, ja x = sin t, tad dx / dt = izmaksas), mēs tagad varam integrēties attiecībā pret t, un mēs saņemsim to pašu atbildi, it kā mēs būtu darījuši oriģinālu neatņemama sastāvdaļa.

    Izmantojot aizvietojumus, mēs varam parādīt, ka:

    Otrais ir īpaši svarīgs. Ja vēlaties integrēt daļu, kur augšdaļa ir apakšējās daļas starpība, atbilde ir vienkārši ln no apakšas plus konstante.

    Atrodiet neatņemamo:
    (a) -sin x cos²x
    b) 3x²
    x³ + 1

    (a) Izmantojot pirmo no abām iepriekšminētajām formulām, iedomājieties f (x) = cos x un n = 2. Tāpēc [f (x)] ² ​​= cos²x un f "(x) = -sin x. Tāpēc, tā kā n = 2, atbilde ir vienkārši (cos³x) / 3 + c

    (b) Tā kā augšdaļa ir apakšas starpība, mēs varam izmantot otro no divām iepriekšminētajām formulām, lai iegūtu atbildi ln (x³ + 1) + c.

    Aizstāšanas izmantošana

    Dažreiz jums tiks lūgts integrēt funkciju, izmantojot aizstājēju. Ja vien aizstāšana nav vienkārša, iespējams, jums pateiks, kādu aizstājēju izmantot eksāmenā.


    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi & # xa0

    5 x - 3 y - 8 = 0 & # xa0un 2x - 3 y - 5 & # xa0 = 0 & # xa0 & # xa0

    Izmantojot aizstāšanas metodi, atrisiniet šādus vienādojumus

    5x - 3y - 8 = 0 & # xa0 un & # xa0 2x - 3y - 5 & # xa0 = 0

    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi

    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi & # xa0

    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi & # xa0

    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi & # xa0

    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi & # xa0

    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi & # xa0

    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi & # xa0

    Atrisiniet šādus vienādojumus ar aizstāšanas metodi & # xa0

    Pēc tam, kad būsim iepazinušies ar iepriekš sniegtajām lietām, mēs ceram, ka studenti būtu sapratuši "S stādīšanas metodes 2. jautājumi". & # Xa0

    Papildus iepriekš sniegtajam, ja vēlaties uzzināt vairāk par "2. instances metodes jautājumiem", lūdzu, noklikšķiniet šeit

    Papildus šajā sadaļā sniegtajam materiālam, ja jums ir nepieciešami citi matemātikas materiāli, lūdzu, izmantojiet mūsu google pielāgoto meklēšanu šeit.

    Ja jums ir atsauksmes par mūsu matemātikas saturu, lūdzu, nosūtiet mums mums pa e-pastu: & # xa0

    Mēs vienmēr novērtējam jūsu atsauksmes. & # Xa0

    Varat arī apmeklēt šādas tīmekļa lapas ar dažādiem matemātikas jautājumiem. & # Xa0


    Lekcijas video un piezīmes

    Video fragmenti

    Šai funkcijai ir nepieciešams Flash un JavaScript.

    Šai funkcijai ir nepieciešams Flash un JavaScript.

    2. klips: Integrācija ar "Advanced Guessing"

    Šai funkcijai ir nepieciešams Flash un JavaScript.

    3. klips: vairāk integrācijas piemēru


    Matemātikas problēmu metožu risināšana

    SnapXam AI darbinātais matemātikas risinātājs ļauj atrisināt sarežģītas matemātikas problēmas, detalizēti detalizēti paskaidrojot detalizēti. Dažas matemātikas problēmas var atrisināt, izmantojot vairākas metodes (ieskaitot skolotāja metodi)).

    Šo problēmu gadījumā mēs ļaujam izvēlēties vēlamo risināšanas metodi. Mēs saprotam, ka matemātikas uzdevuma risināšana, izmantojot pareizo metodi, ir gandrīz tikpat svarīga kā pareizas atbildes iegūšana. Tas ir īpaši svarīgi, apgūstot jaunus jēdzienus, jo to pašu atbildi uz problēmu var iegūt, izmantojot dažādas metodes vai paņēmienus.

    Šajā rakstā mēs iepazīstinām ar dažādām risināšanas metodēm, kuras pašlaik atbalsta mūsu matemātikas risinātājs.