Raksti

7.1: Dimensiju analīze - matemātika


Domāšana skaļi

Mazā pica ir 8 "un lielā pica ir 16". Vai mēs saņemam tādu pašu picu daudzumu, ja pasūtām divas mazas picas, nevis vienu lielu?

Mēs visi esam saskārušies ar situāciju, kad jāspēj pāriet no vienas mērvienības uz citu mērvienību. Šajā sadaļā mēs apspriežam vienību pārveidošanas metodi, ko sauc par dimensiju analīzi.

Laiks

1 diena = 24 stundas,

1 stunda = 60 minūtes un
1 minūte = 60 sekundes.

Garums

Imperiālais mērījums

1 collu

1 pēda = 12 collas

1 pagalms = 3 pēdas = 36 collas

1 jūdze = 5289 pēdas

Metriskā

milimetrs (mm)

centimetrs (cm), 1 cm = 10 mm

metrs (m), 1m = 100 cm = 1000 mm

kilometrs (km). 1 km = 1000 m

Platība

Skaļums

Jauda

Svars

Definīcija

Vienības attiecība ir daļa, kuras vērtība ir 1, ja gan skaitītājs, gan saucējs ir izteikti vienādās vienībās.

Piemērs ( PageIndex {1} ):

Ja ātruma ierobežojums saka 90 kilometri stundā, kāds ir ātrums jūdzēs stundā?

Lai pārveidotu šo ātrumu jūdzēs stundā, mēs varam izmantot izmēru analīzi. Mēs varam arī izmantot pamatojumu, lai secinātu, ka mums 90 jāsadala ar 1,6.

Platība

Piemērs ( PageIndex {1} ):

Džons un Džeimss ir nolēmuši uzvilkt savu veco paklāju un nopirkt jaunu paklāju. Telpas izmēri ir 15 pēdas līdz 11 pēdas, tāpēc platība ir 165 kvadrātpēdas. Tomēr, dodoties uz paklāju veikalu, viņi konstatē, ka cenas ir kvadrātpēdās. Cik kvadrātmetru ir viņu stāvs?

Temperatūra

Temperatūra: 1714. gadā vācu instrumentu ražotājs Gabriels Fārenheits izgatavoja pirmo dzīvsudraba termometru. Zemāko temperatūru, kādu laboratorijā varēja radīt, viņš noteica kā 0 ° un ķermeņa normālo temperatūru - 98 °. Pēc viņa skalas ūdens sasalšanas temperatūra ir 32 ° un ūdens viršanas temperatūra ir 212 °.


Vienādojumu atvasināšana no sensora datiem, izmantojot izmēru funkciju sintēzi

Mēs iepazīstinām ar jaunu metodi tādu funkciju atvasināšanai, kuras modelē fizisko sistēmu attiecību starp vairākiem signāliem. Metode, kuru mēs saucam dimensiju funkciju sintēze, attiecas uz datu plūsmām, kurās ir zināmi signālu izmēri (piemēram, garums, masa utt.). Metode ietver divas fāzes: apkopošanas laika sintēzes fāzi un nākamo kalibrēšanu, izmantojot sensora datus. Mēs īstenojam dimensiju funkciju sintēzi un izmantojam ieviešanu, lai efektīvi parādītu multimodālo sensoru datu apkopošanu divām fiziskām sistēmām, izmantojot 90 laboratorijas eksperimentus un 10 000 sintētisku idealizētu mērījumu. Rezultāti rāda, ka mūsu paņēmiens modeļus var ģenerēt mazāk nekā 300 ms vidēji visās mūsu novērtētajās fiziskajās sistēmās. Tas ir ievērojams uzlabojums, salīdzinot ar vidēji 16 sekundēm neironu tīklu apmācībai ar salīdzināmu precizitāti vienā un tajā pašā skaitļošanas platformā. Pēc kalibrēšanas ar sensora datiem mūsu modeļi secināšanas precizitātē visos novērtētajos gadījumos pārspēj tradicionālos regresijas un neironu tīkla modeļus. Turklāt mūsu modeļi darbojas labāk treniņu latentumā (līdz pat 1096X uzlabojumam) un vajadzīgajām aritmētiskajām darbībām secinājumā (līdz 34X uzlabojumiem). Šie ievērojamie ieguvumi lielā mērā ir rezultāts informācijai par signālu fiziku, kas līdz šim tika ignorēta.

1. Ievads

Fiziskās sistēmas, kas aprīkotas ar sensoriem, var radīt lielu datu apjomu. Šie dati ir noderīgi, lai izprastu sistēmu, kas tos ģenerē, iepriekšējo uzvedību (piemēram, gaisa kuģu komponentu īpašību novērošana), kā arī lai prognozētu šo sistēmu turpmāko uzvedību (piemēram, paredzot sastāvdaļu kļūmes mašīnās). Atšķirībā no tādiem datu avotiem kā runa vai teksts, fizisko parādību sensoru datiem ir jāievēro fizikas likumi. Esošās metodes prediktīvu modeļu konstruēšanai no sensoru datiem tomēr pilnībā neizmanto iepriekšējās zināšanas par sensora datu fizisko interpretāciju. Šajā darbā mēs izmantojam informāciju par sensoru signālu fizikālajiem izmēriem, lai no sensora datiem sintezētu kompaktus prediktīvos modeļus. Saskaņā ar fizikas konvenciju mēs izmantojam šo terminu izmēri atsaukties uz tādiem daudzumiem kā garums vai laiks, un mēs izmantojam šo terminu vienības atsaukties uz vērtību standartizētā sistēmā, lai noteiktu noteiktas dimensijas vērtības, piemēram, centimetrus vai jūdzes garumam un paskalus vai mmHg spiedienam. Mūsdienu sasniegums, atvasinot modeļus no šādām datu plūsmām, ir izmantot kaut kādu mašīnmācīšanās veidu. 11, 19 Maigi apgūstot mašīnmācīšanos datiem no fiziskām sistēmām, tiek ignorētas svarīgas iepriekšējas zināšanas par signālu fiziskajām sekām.

1.1. Mūsdienu metodes ignorē fiziku

Neskatoties uz to, ka to programmēšanas valodās izmanto tādiem uzdevumiem kā tipa sistēmu paplašināšana ar mērvienībām, fiziskā informācija izmēru (piemēram, laika, temperatūras) veidā utt.) ir ierobežoti izmantots fizisko sistēmu modeļu veidošanā, izmantojot datus. Fiziskos ierobežojumus var uzskatīt par Bajesa prioru formu. 4 Kalmana filtri ietver informāciju par sistēmu fiziskajiem ierobežojumiem, bet galvenokārt izmanto šo informāciju, lai vadītu to stāvokļa atjaunināšanas vienādojumus. Mūsdienās nepastāv principiāli paņēmieni, kas mācītos modeļus no sensoru datiem, izmantojot sensoru izmēru konsistences prasības, lai uzzinātu kompaktākus modeļus.

1.2. Dimensiju funkciju sintēze

Dimensiju funkciju sintēze ir jauna metode, kā efektīvi iegūt funkcijas, kas saistītas ar vērtībām no vairākām datu plūsmām no fiziskām sistēmām ar zināmām fiziskām dimensijām. Metodes pamatā ir tas, ka jebkuram vienādojumam, kas attiecas uz fizikālajiem lielumiem, ir jāatbilst principam dimensiju viendabīgums no dimensiju analīzes 6: vienādojuma, saskaitījuma vai atņemšanas abām pusēm jābūt vienādām fiziskām dimensijām.

Pirmajā bezsaistes analīzes fāzē dimensiju funkciju sintēze veido fizikālo parametru monomālus, kuru dimensijas, apvienojot monomālā, atceļ. Pēc tam otrajā darbības laika posmā un izmantojot datus no attiecīgo fizisko parametru sensoriem, metode kalibrē ticami dimensiju vienādojumus, kas izveidoti no šiem monomāliem, lai iegūtu prediktīvu modeļu kopumu.

1. attēlā parādīts procesa shematisks skats. Dimensiju funkciju sintēzes ievadi ir signālu saraksts ar zināmiem izmēriem, kas attiecas uz pētāmo sistēmu, un datu vērtību kopums, kas atbilst šo signālu gadījumiem. Rezultāts ir modelis, kas savieno signālus un paredz paredzamo fiziskās sistēmas izvadi. Mēs izstrādājām dimensiju funkciju sintēzes metodi ar mērķi radīt secinājumu modeļus, kas var ietilpināt mazjaudas iegulto sistēmu atmiņā, aprēķinos un enerģijas ierobežojumos. Metodi var attiecināt arī uz skaitļošanas sistēmām, kuras neierobežo skaitļošanas resursi vai enerģija, bet kurām tomēr ir vajadzīgi vienkārši modeļi, kas definēti lielā parametru telpā.


1. attēls. Dimensiju funkciju sintēzē tiek izmantota informācija par fizikālajām dimensijām, lai izveidotu kandidātu vienādojumu saimi. Pēc tam tā izmanto sensoru mērījumus, lai kalibrētu kandidātu vienādojumu kopu.

2. Matemātiskais fonds

Dimensiju analīze inženierzinātņu programmās bieži tiek ieviesta kā vienkārša metode fizisko lielumu aprēķinu derīguma pārbaudei. To bieži izmanto inženierzinātnēs, šķidruma mehānikā un elektrodinamikā tādos gadījumos kā turbīnu lāpstiņu novirzīšana turbo mašīnu projektos. 20 Dimensiju analīzes pieeja, kas pazīstama lielākajai daļai pētnieku skaitļošanas sistēmās un datorzinātnēs, ietver fiziskā daudzuma (piemēram, paātrinājuma) ņemšanu un izteikšanu tādās pamata dimensijās kā garums (L) un laiku (T), lai iegūtu tā izmērus (LT -2 paātrinājumam). Dimensiju analīzei tomēr ir labi izstrādāta matemātiskā sistēma, kas apvieno dažus fizikas pamatprincipus ar analītisku formulējumu, kura pamatā ir lineārā algebra un grupu teorija. 6,9,16 Pārējā 2. iedaļas daļā sniegts īss pārskats par šo dimensiju analīzes matemātisko formalizēšanu.

2.1. Parametri fizikālajos vienādojumos un bezizmēra produktos

Ļaujiet i ir indekss fizisko vienādojumu simbolu kopai un ļaujiet Ji būt vienam no šiem simboliem vienādojumā, kas apraksta fizisko sistēmu. Parasti šie simboli atbildīs kāda fiziskā modeļa parametriem, un tāpēc mēs izmantosim šo terminu parametrs un simbols savstarpēji aizstājami. Ļaujiet D(& middot) ir funkcija no simboliem līdz kādam pamatdimensiju produktam. Jebkuram vienādojumam, kas apraksta fizisko sistēmu, mēs ieviešam kopu Ssimboli, kur

Sistēmas aprakstītajai Ssimboli lai būtu fiziski ticams, katrs dalībnieks Ji no Ssimboli var pārrakstīt pamata kopuma izteiksmē izmēri (piemēram, masa, garums, laiks) vai ir citādi bezizmēra. Par vienādojuma piemēru F = m & middot a, kas attiecas uz spēku F uzklāts uz masu m un no tā izrietošais paātrinājums, a, mums ir Ssimboli = <F, m, a>, Ji = F, J2 = m, un J3 = a. S locekļu izmērisimboli ir D (J1) = MLT -2, D (J2) = Mun D (J3) = LT -2. 1. tabulā parādīti papildu parametru un to izmēru piemēri datiem no fizisko sistēmu sensoriem, kurus var aprīkot ar sensoriem, lai uzraudzītu to uzvedību. Piemēram, fitnesa trekera altimetra apakšsistēma izmanto atmosfēras spiediena izmaiņas, lai novērtētu augstuma izmaiņas un tādējādi novērtētu uzkāpto kāpņu lidojumu skaitu.


1. tabula. Fizisko sistēmu un to S piemērisimboli

Dimensiju analīzes matemātiskā formulējuma galvenā ideja ir kopai Ssimboli piemēram, iepriekš minētajā piemērā, mēs bieži vien varam noorganizēt dalībniekus Ji no Ssimboli produktu grupās, kur simbolu izmēri produktā tiek atcelti, un tāpēc katrs monomāls ir bez dimensijām. 6,7

Kāpēc bezizmēra produktu atrašana ir noderīga: Dots parametru kopums Ssimboli fiziskai sistēmai katru no bezizmēra produktiem mēs varam veidot no S apakškopassimboli tieši dod mums izmēru ziņā vienādu vienādojumu starp šiem parametriem: mēs varam pielīdzināt bezizmēru produktu jebkuram bezizmēra lielumam, lai iegūtu pareizu vienādojumu, ja pēc tam mēs pārkārtojam šo vienādojumu, lai pārvietotu vienu no parametriem kā vienīgo terminu vienādojuma vienā pusē , mums ir šī parametra vienādojums pēc izmēra, ņemot vērā pārējos bezizmēra produkta parametrus.

1. definīcija. Ļaujiet man būt kopas indeksam Ssimboli simboli fiziskās sistēmas aprakstā, n būt skaitļa kardinalitāte Ssimboli, un lai m ir tāds indekss, ka m & le n. Ļaujiet ki ir vērtība, kas iegūta no racionālo skaitļu kopas Q. Bezizmēra produkts & Pi parametru Qi & isin Ssimboli ir monomāls parametriem, kas izvirzīti tādām pilnvarām, ka D (& Pi) = 1, tas ir,

Fiziskai sistēmai, ko nosaka parametru kopa Ssimboli, mēs varam definēt viena vai vairāku bezizmēra produktu grupas, pamatojoties uz 1. definīciju. (2) vienādojuma formas dēļ šīs bezizmēra produktu grupas bieži sauc par & Pi grupas. 6,7

Piemērs: un bezizmēra produktam

mēs varam pielīdzināt bezizmēra produktu iegūšanai ar konstanti

Pēc tam mēs varam iegūt izteicienu jebkuram no Ji & isin Ssimboli. Piemēram, par J1,

Šī vienkāršā ideja vispārina metodi, kā iegūt funkciju, kas saistīta ar visiem parametriem, Ji & isin Ssimboli, kas attiecas uz sistēmu, attiecībā uz vienu vai vairākiem bezizmēra produktiem, kurus mēs varam veidot no Ssimboli.

2.2. Bezizmēra produktu grupas un Bekingemas un Pī teorēma

Primārais ieskats, kas tiek izmantots daudzos mūsdienu izmēru analīzes 18, 21 pielietojumos, ir tas, ka jebkurai fiziskai sistēmai, ko pārstāv fizisko parametru kopa Ssimboli, bieži vien ir iespējams sistēmu pārparametrizēt ar mazāku parametru skaitu. Šo pamata novērojumu bieži izmanto mehānisko sistēmu projektēšanā un projektēšanā, lai samazinātu eksperimentos nepieciešamo parametru skaitu. Novērojuma princips ir tas, ko parasti sauc par Bekingemas un Pi teorēmu 6:

1. teorēma. Ļaujiet n būt parametru skaitam fiziskās sistēmas aprakstā, tas ir, n = | Ssimboli|. Ļaujiet r būt izmēru skaitam no dažām ortogonālām dimensiju bāzēm, kas ir pietiekami, lai izteiktu parametru izmērus Ssimboli. Tad n & ndash r bezizmēra produkti & Pii var veidot no parametriem.

The n & ndash r bezizmēra produkti un Pii ir kādas funkcijas & Phi saknes, tas ir,

Ļaujiet & Phi & # 39 būt funkcijai bez izmēra produktiem & Pii. Tas izriet no i-tais produkts, & Pii, tas,

kad n & ndash r ir vienāds ar 1, tas ir, ja & Pi grupās ir tikai viens & Pi produkts, tad

No tā izriet, ka pastāv kāda reāli novērtēta konstante C tāds, ka

Ir vairākas iespējamās & Pi grupas: tai pašai parametru kopai Ssimboli, kardinālitāte n, ir vairākas iespējamās bezizmēra produktu grupas (t.i., vairākas iespējamās & Pi grupas).

3. Dimensiju funkciju sintēze

No kopas Ssimboli parametru, kas nosaka fizisko sistēmu, mēs varam izveidot sistēmas matricas attēlojumu, kur kolonnas ir parametri, kas ir S locekļisimboli, rindas ir bāzes izmēri, piemēram, garums, masa vai laiks, ko atgriež funkcija D (2.1. sadaļa), un matricas elementi ir bāzes izmēru eksponenti.

Dimensiju funkciju sintēze sastāv no kompilēšanas laika soļa, kas automātiski aprēķina visi derīgie & Pi produkti visās iespējamās & Pi grupās. Pēc tam izpildes laika solis kalibrē funkcionālās attiecības starp atvasinātajiem & Pi produktiem. Līdzīgi kā citas ar datiem pamatotas metodes, tā kā sensora mērījumus izmanto sensoru mērījumus un izveido modeli, kas šos mērījumus kartē ar gaidāmo iznākumu. Tās priekšrocība ir izmēru informācijas izmantošana, lai uzzinātu vienkāršāku modeli, nekā tas būtu citādi iespējams. Izgatavotā modeļa mazā izmēra un mazā datu apjoma dēļ, kas nepieciešams tā kalibrēšanai, dimensiju funkciju sintēze ir labi piemērota izpildei iegultās sistēmās ar ierobežotiem resursiem. 2. attēlā parādīti soļi, izmantojot šajā sadaļā ieviesto terminoloģiju un fizisko sistēmu, kurā kā piemērs ir bez motora lidojošs objekts (planieris).


2. attēls. Masas planieris m palaists ar sākotnējo ātrumu v0 pārvietojas pa telpu ar ātrumu v gravitācijas paātrinājumā g. Dimensiju funkciju sintēze var iegūt kandidātu vienādojumu kopumu, kas attiecas uz tā augstumu h uz laiku t. Pēc tam, izmantojot sensora datus, tā var kalibrēt šo kandidātu vienādojumu kopu, lai iegūtu modeli augstumam kā laika un gravitācijas funkciju.

3.1. Dimensiju produktu grupu atvasināšana

Lai pamatu izmēru kopa būtu Spamatnes izmēri. Mēs pieņemam, nezaudējot vispārīgumu, ka Spamatnes izmēri = <Es, un Teta, T, L, M, J, N> atbilst elektriskās strāvas bāzes S.I. izmēriem, attiecīgi termodinamiskajai temperatūrai, laikam, garumam, masai, gaismas intensitātei un vielas daudzumam. Ļaujiet r būt S kardinālampamatnes izmēri, ļaujiet j būt indekss vairāk r, un ļaujiet qj & isin Spamatnes izmēri jābūt vienam no pamata izmēriem. Tāpat kā 2.1. Sadaļā un vienādojumā (1), ļaujiet i būt indekss fizisko sistēmu parametru kopai un ļaujiet Ji jābūt vienam no šādiem parametriem. Ļaujiet aij jābūt eksponentam vienam no Ji kā atgriež funkcija D no 2.1. Mēs varam izteikt jebkura izmērus Ji attiecībā uz pamatnes izmēriem qj:

Mēs varam pārstāvēt sistēmu n = | Ssimboli| vienādojumi, pa vienam katram 1 & lt i & le n (7) vienādojuma gadījumi ar matricu, ko sauc par dimensiju matrica. 7,9,13

2. definīcija. Ļaujiet n būt parametru skaitam Ssimboli un lai r ir to pamatdimensiju skaits, kas nepieciešams to izteikšanai. Ļaujiet man būt indeksam virs fizisko sistēmu n parametru kopas un lai j ir indekss virs r. Tad mēs definējam dimensiju matricu A,

Produkti & Pi no 1. definīcijas un 2. vienādojuma būs bez dimensijām (t.i., monomāla izmēri tiks atcelti) tikai un vienīgi tad, ja Ak = 0, kur matrica k satur pamatdimensiju eksponentus, kas nepieciešami, lai iegūtu bezizmēra produktu. Risinājums Ak = 0 ir tukša vieta N (A).

Fiziski ierobežojumi N (A): tāpēc, ka mūsu mērķis ir atrast fiziski ticamas bezizmēra grupas, kuras ir efektīvi aprēķināmas, nulles telpas aprēķinu risinājumus ierobežojam ar racionālām aji pretstatā patvaļīgu reāli vērtētu eksponentu atļaušanai. Šī ieskata rezultātā mēs aprēķinām racionāla nulles telpa gada A kas pēc definīcijas mums dos aji vērtības, kas ir veselu skaitļu attiecības. Lai aprēķinātu racionālo nulles atstarpi A, Vispirms mēs izmantojam Gausa-Džordana elimināciju, lai samazinātu matricas līdz to samazinātajai rindu ešelona formai (RREF), kur visi šarnīri ir vienādi, ar nullēm zem katra šarnīra. 22 Kad matrica ir RREF, mēs atrodam īpašos risinājumus Ak = 0. Ja par konkrētu A, vienīgais risinājums ir nulles vektors, tad mēs secinām, ka nav pieejama nedzīvā nulles telpa un rezultātā no parametru kopas S nevar izveidot bezdimensijas produktu ar racionāliem eksponentiem.simboli.

Dimensiju matricas lineāri neatkarīgu kolonnu skaits A ir vienāds ar rangu (A). Tādējādi, lai atrastu visus iespējamos risinājumus Ak = 0 un līdz ar to visas iespējamās bezizmēra produktu grupas, mēs varam to pārkārtot n kolonnas A dažādos nulles kosmosa risinājumos. 6,13 Mūsu galīgais bezizmēra produktu grupu kopums ir visu unikālo bezizmēra produktu grupu savienojums, kas izriet no nulles atstarpju aprēķināšanas.

3.2. Kalibrēšana: sensora datu izmantošana & Pi grupu pārveidošanai par vienādojuma modeļiem

Bezizmēra grupas, kas iegūtas, analizējot fiziskās sistēmas aprakstu S kopas formāsimboli dot proporcionalitātes attiecības starp parametriem Ssimboli. Parasti, ja vairāk nekā viens no bezizmēra produktiem nav nemainīgs, tad no (4) vienādojuma ir funkcija & Phi & # 39, kas viena & Pi produktu vērtības saista ar pārējiem. Mēs varam izmantot ar datiem pamatotu pieeju, lai atrastu & Phi & # 39 formu, un mēs to saucam par šo soli kalibrēšana. Šajā gadījumā mēs izmantojam radītos & Pi produktus, lai pārveidotu datus kalibrēšanas laikā un panāktu izmēru samazinājumu. Tas ļauj vienkāršākiem modeļiem darboties labāk, ļaujot apgūt mazākus modeļus ar mazāk datu konkrētai prognozēšanas veiktspējai.

Ja bezizmēra produktu grupā ir viens vienums, (6) vienādojums parādīja, ka mēs varam pielīdzināt bezizmēra produktu konstantam un iegūt proporcionalitātes attiecību starp bezizmēra produkta simboliem. Mums joprojām ir jānosaka proporcionalitātes konstantes vērtība, un mēs to varam izdarīt, ņemot vērā vienu vai vairākas parametru vērtības bezizmēra grupā. Ja bezizmēra produktu grupā ir vairāk nekā viens bezizmēra produkts, mēs joprojām varam izmantot šo metodi, ja varam noteikt, ka visi produkti, izņemot vienu, jebkurā no bezizmēra grupām ir faktiski nemainīgi interesējošo parametru vērtību diapazonā.

Tāpat kā jebkura modeļa konstruēšanas metode, dimensiju funkciju sintēze sniegs nepilnīgus rezultātus, ja metodes ievadā nav pilnībā aprakstīta modelējamā problēma: nepilnīga Ssimboli var radīt tukšu bezizmēra produktu komplektu.

3.3. Īstenošana, izmantojot Ņūtona valodu

Mēs realizējām dimensiju funkciju sintēzi, iegūstot kopu S simboli no fizisko sistēmu aprakstu starpposma attēlojuma, kas rakstīts Ņūtonā, 15 domēnam raksturīga valoda fizisko sistēmu aprakstīšanai. Mēs izmantojam Ņūtonu tikai kā ērtu veidu, kā iegūt kopu Ssimboli no cilvēka lasāma apraksta.

Svārsta piemērs: 3.a attēlā parādīts svārsts, kas aprīkots ar sensoru, kas mēra kustību. Mērot, piemēram, leņķisko kustību ar žiroskopu vai paātrinājumu ar akselerometru, mēs varam izmērīt svārstību periodu t aprēķinot sensora laika rindu datu Furjē transformāciju. Mūsu mērķis ir iegūt modeli, kas attiecas uz t, stieņa garums l, un komponents g paātrinājuma svārstības rotācijas plaknes smaguma dēļ. Šī piemēra ieskats ir piemērojams daudzām ar sensoru aprīkotām mehāniskām sistēmām, piemēram, tām, kurās svārstību periodu var ietekmēt, kad sistēmas daļu garumi paplašinās vai samazinās ar temperatūru, vai kad gravitācijas paātrinājuma sastāvdaļa, kas ietekmē sistēmu, mainās sistēma ir noliekta leņķī. 3.b attēlā parādīts ideālā svārsta fiziskais apraksts, kas rakstīts Ņūtonā. Dimensiju funkciju sintēze, kas ieviesta kā jauna Ņūtona kompilatora aizmugure, ņem šo aprakstu kā ievadi un veic šādas darbības.


3. attēls. A) Vienkārša svārsta ar masu m, garuma stienis l, šūpoles periods tun ar paātrinājuma komponentu gravitācijas dēļ tā kustības plaknē g. b) Ņūtonā rakstīts ideālā svārsta fiziskais apraksts.

1. solis: dimensiju matricas uzbūve. Sistēmai, kas parādīta 3.a attēlā, parametru kopa ir Ssimboli = <l, g, m, t>. 2. tabulas pēdējā rindā parādīti parametru kopas S dalībnieku izmērisimboli kopā ar bezizmēra grupu, kas aprēķināta ar metodi, kas aprakstīta iepriekš 3.1. Pēc formulējuma 3.1. Iedaļā dimensiju matrica A svārsta un # 39. parametru kopai Ssimboli ir


2. tabula. Fizisko sistēmu aprakstu piemēri (Ssimboli) un bezizmēra grupas, kuras viņiem rada mūsu tehnika. Mūsu ieviešana rada LATEX vienādojumiem, kas parādīti pēdējā kolonnā.

2. solis: dimensiju matricas kolonnu permutācija un & Pi grupas aprēķins. Kopējais parametru skaits ir n = | Ssimboli| = 4. No 1. definīcijas (2.2. Sadaļa) svārsta sistēmai ir n = 4 fiziskie lielumi un r = 3 pamatnes izmēri. Sekojoši, n & ndash r = 1, un ir viens unikāls & Pi produkts:

No (6) vienādojuma (2.2. Sadaļa) izriet, ka mēs varam pielīdzināt atbilstošo monomālu kādai konstantei C:

Doti sensoru mērījumi dažādām l, g, un t, mēs varam noteikt konstantes vērtību C.

4. Modeļa novērtēšana

Lai parādītu dimensiju funkciju sintēzes potenciālu, mēs salīdzinām to ar melnās kastes datiem balstītām pieejām fiziskās sistēmas raksturošanai. Pamatideja ir tāda, ka zinātnieks ir samontējis fizisko sistēmu un spēj izmērīt tās parametru apakškopu vai nu pārbaudot (piemēram, mērot komponenta garumu), vai izmantojot sensorus (piemēram, akselerometrus, tahometrus utt.). Ņemot vērā, ka sarežģītai fiziskai sistēmai ir vajadzīgas pūles un zināšanas, lai to varētu analītiski definēt, tās uz datiem balstīta raksturošana ir daudzsološa ideja. Dizainers var savākt lielu fiziskās sistēmas novērojumu datu kopu un pēc tam izmantot regresiju un mašīnmācīšanos, lai iegūtu modeli, kas izmērītos parametrus piesaista gaidāmajam iznākumam.

Tomēr, lai iegūtu efektīvu ar datiem pamatotu modeli, ir nepieciešama laba fiziskās sistēmas parametru atlase un plaša pieejamo datu montāžas modeļu dizaina telpas izpēte. Praksē abas šīs prasības ir grūti vai neiespējami izpildīt, īpaši sarežģītu, daudzparametru sistēmu gadījumā. Gluži pretēji, izmēru funkciju sintēzes rezultāts var vai nu pilnībā raksturo sistēmu vai darbojas kā sākumpunkts mērķtiecīgai uz datiem balstītai analīzei. Turklāt vienkāršām dimensiju funkcijām ir ievērojami mazākas skaitļošanas prasības, salīdzinot ar lielāko daļu ar datiem pamatotu raksturošanas paņēmienu.

4.1. Sintētisko datu novērtēšana

Vispirms mēs salīdzinām dimensiju funkciju sintēzi ar regresijas un neironu tīkliem, izmantojot sintētiskus idealizētus datus. Mēs pārbaudām vairākas neironu tīkla topoloģijas no FitNet līknei piemērotu neironu tīkla arhitektūru saimes, kas ir optimizētas vienādojuma uzstādīšanai. Mēs ar sākotnējo ātrumu mērķējam uz lidojošu transportlīdzekli (planieri) v0, masa m, paātrinājums gravitācijas dēļ g, un, trajektorijas augstums h laikā t, līdzīgi kā parādīts 2. attēlā. Mēs pārbaudām savas metodes spēju atrast sakarību starp trajektorijas augstumu un pārējiem planiera fiziskajiem parametriem. Paraplāna aprakstīšanai izmantotie parametri rada vairākas & Pi grupas, no kurām katra ietver vairākus & Pi produktus. Šajā gadījumā funkcijas & Phi & # 39 forma & Pi produktu apvienošanai vienādojuma modelī nav zināma, un mums ir jāizmanto ar datiem pamatota pieeja, lai atrastu tās formu. Dimensiju funkciju sintēze nodrošina divas iespējas kalibrēšanas fāzei: (1) veikt kalibrēšanu mērķa iegultā sistēmā un (2) veikt kalibrēšanu bezsaistē skaitļošanas sistēmā, kuru neierobežo resursi. Abos gadījumos kalibrētie modeļi ir vērsti uz iegulto platformu, tāpēc galvenā modeļa sarežģītība joprojām ir galvenais ierobežojums.

Atšķirībā no & Phi un & Phi & # 39, kas ir bezizmēra produktu funkcijas, ļaujiet & psi būt funkcijai, kas tieši attiecas uz sistēmas parametriem. Par planiera piemēru mēs salīdzinām mūsu pieeju ar datiem pamatotu pieeju, lai pielāgotu iezīmju vektoru & ltv0, m, g, t& gt līdz paredzētajam augstumam h izmantojot funkciju & psi:

Planiera ideālais trajektorijas vienādojums ir h = v0 & middot t & ndash 0.5 & middot (t 2 & middot g). Izmantojot ideālo trajektorijas vienādojumu, mēs sintezējam datu kopu, vienmērīgi atlasot planiera sākotnējo ātrumu (v0) diapazonā no 1 jaunkundze līdz 10 jaunkundze, ar pakāpiena izmēru 0,5 jaunkundze. Mēs apsvērām paātrinājumu smaguma dēļ (g) no 6.0 jaunkundze 2 līdz 9.5 jaunkundze 2, ar 0,5 jaunkundze 2 pakāpienu lielums un laika logs planēšanai (t), kas svārstās no 0,1 līdz 100 s, ar soli 0,1 s.

Izmantojot dimensiju funkciju sintēzi, izvēlētais sistēmas apraksts noved pie trim & Pi grupām, katrā no tām ir divi & Pi produkti, tas ir, & Pi 0 grupa = <& Pi1 = t & middot g / v0, & Pi2 = h / t & middot v0>,, & Pi2. grupa = <& Pi1 = t 2 & middot g / h, & Pi2 = h / t & middot v0>. & Pi grupā 0, h parādās tikai & Pi2, tādējādi saskaņā ar (4) vienādojumu mēs varam izteikt h kā funkcija & Pi & Phi & # 391:

Atšķirībā no tradicionālajām metodēm, kurām funkcija jāapgūst četrdimensiju telpā (v0, m, g, t), dimensiju funkciju sintēzei ir jāizmanto tikai dati, lai uzzinātu vienādotā (11) vienādojuma mainīgo funkciju & Phi & # 39. Šī vienkāršākā forma ir īpaši vērtīga, ja mūsu mērķis ir veikt galīgo kalibrēšanu iegultā, resursu ierobežotā sistēmā. 4. attēlā parādīta lineārās regresijas salīdzinošā veiktspēja, lai atrastu izmēros samazinātu & Phi & # 39, pret lineāro, kvadrātisko un neironu tīklā balstīto regresiju, lai atrastu & Psi. Lineārā regresija & Phi & # 39 pārspēj to pašu tehniku ​​& Psi par vairāk nekā 12%, lai gan tām ir līdzīgas skaitļošanas prasības. Neironu tīkli spēj samazināt prognozēšanas kļūdu uz vairāk nekā 80 reizes lielākas nepieciešamās aprēķina rēķina. Katra tīkla skaitļošanas prasības mēs kvantificējam kā kopējo peldošā komata operāciju (papildinājumu, reizinājumu) skaitu, kas tam nepieciešams katram secinājuma gadījumam. Kopumā neironu tīkla modeļiem ir nepieciešama apmācība no 0,3 līdz 50 sekundēm vienam modelim, lai veiktu 5-kārtīgu savstarpēju validāciju, vidēji ar 16 s. Kopējais apmācības latentums bija aptuveni 240 minūtes Intel Core i7-7820X procesorā ar ātrumu 3,60 GHz ar 32 GB RAM. Tas ir 1096x lēnāk nekā mūsu pieeja, kurai pārbaudītajai fiziskajai sistēmai, kas darbojas vienā un tajā pašā darbstacijā, vidēji nepieciešami 1,5 ms. Mēs esam pārbaudījuši kopumā 16 fiziskas sistēmas ar arvien lielāku sarežģītību, un mūsu metodei, lai ģenerētu dimensiju funkcijas, vidēji ir nepieciešamas mazāk nekā 300 ms, ar maksimumu 3428,7 ms.


4. attēls. Prognozēšanas kļūda pret skaitļošanas prasībām planiera trajektorijas prognozēšanai. Mūsu modelis izmanto lineāro regresiju, lai uzstādītu funkciju (11) vienādojumu Psi & # 39 (apakšējā kreisajā stūrī apzīmēts kā & quotour modelis & quot). Pareto dominē visos neironu tīkla variantos (891 dažādas tīkla topoloģijas), kurus izmanto funkciju un Psi vienādojuma (10) uzstādīšanai.

5. attēlā parādīta modeļa aproksimācija, ko veic neironu tīkli, kas apmācīti pret 20 datu punktiem, ar (5.b attēls) un bez (5.a attēls) dimensiju samazinot ievades parametru skaitu, izmantojot izmēru funkciju sintēzi. Visprecīzākais neironu tīkls funkcijas & Phi & # 39 uzstādīšanai četrdimensiju telpā (v0, m, g, t) prognozēšanas kļūda ir 0,17%. Tas sastāv no diviem slāņiem ar 2 un 5 neironiem, turpretī visprecīzākais funkciju un Psi uzstādīšanai sastāv no diviem 6 neironu slāņiem. Tas izceļ dimensiju funkciju sintēzi kā instrumentu modeļu apmācībai situācijās, kad nav pietiekami daudz datu, lai apmācītu sarežģītākus modeļus.


5. attēls. Prognozēšanas kļūda pret skaitļošanas prasībām planiera trajektorijas prognozēšanai. Apakšfigurācija (a) atbilst neironu tīklu tiešai pielietošanai (10) vienādojuma funkcijas un Psi uzstādīšanai. (B) apakšfigūra atbilst mūsu pieejai, izmantojot neironu tīklu, lai uzstādītu funkciju (11.) vienādojumu Phi & # 39. Mēs apmācām visus modeļus pret 20 ievades datu punktu kopumu. Ar mūsu metodi prognozēšanas kļūda sasniedz 0,17%, izmantojot aptuveni 2,5 reizes mazāku skaitļošanas prasību modeli.

Vienkāršāki modeļi un augstāka izmēru funkciju sintēzes prognozēšanas precizitāte ir rezultāts tās spējai izmantot pieejamo fizisko informāciju. Tas ļauj labāk apmācīt vienkāršākus modeļus ar mazāk datu. Vissvarīgākais ir tas, ka šie samazinājumi nav balstīti uz ad-hoc pieņēmumiem vai tuvinājumiem, bet tos nosaka fiziskie likumi. Dimensiju funkciju sintēzes modeļi ir efektīvāki iegulto resursu ierobežotām sistēmām, jo ​​to secināšanai ir nepieciešams mazāk aprēķinu un mazāk apmācības datu.

4.2. Novērtējums uz fiziskās svārsta

Mēs novērtējam savu metodi nesintētisku datu klātbūtnē, kur pamatsakarība ir sarežģītāka nekā vienkāršs slēgtas formas vienādojums. Mēs savā laboratorijā veicam virkni eksperimentu, izmantojot aparātu, kas pazīstams kā a mainīgs-g svārsts (6.a attēls). Šajā aparātā tiek izmantota masa uz stingra stieņa, kas šūpojas ap šarnīru, kas atrodas leņķī, kas nav perpendikulārs horizonts. Šo aparātu mēs mērām ar bezvadu sensoru, kurā svārsta galā atrodas 3 asu akselerometrs, lai nodrošinātu datu plūsmu, no kuras mēs automātiski automatizējam svārstību perioda mērīšanu, t. Mēs veicam 90 fiziskus eksperimentus ar šo aparātu dažādām svārsta stieņa garuma vērtībām l diapazonā no 3 & ndash33 cm 3 cm pakāpēs un efektīvas gravitācijas paātrinājuma diapazonā g izriet no svārsta pagrieziena leņķiem 0 & deg & ndash80 & deg, 10 & deg soli.


6. attēls. (A) Mūsu eksperimentālā iestatīšana mainīgajamg svārsts. b) dati, kas laika gaitā savākti no 3 asu akselerometra, izmantojot svārsta bezvadu sensoru. Lielākā svārstību sastāvdaļa ir svārsta kustības dēļ. (c) Diskrētā Furjē transformācija (DFT) 10 s logos, kas ņemti no parauga paātrinājuma datiem. Neskatoties uz signāla īpašību izmaiņām laika gaitā, dominējošā frekvence saglabājas ap 2 Hz. d) svārsta laika periods, kas aprēķināts saskaņā ar dominējošo frekvenci katrā DFT laika logā, uzrāda nelielas aptuveni 20 ms variācijas 1 minūtes intervālā.

6.b attēlā parādīts sensora datu piemērs svārsta svārstību 1 minūtes laikā. Katram no 90 mūsu veiktajiem eksperimentiem mēs ierakstījām svārsta svārstību datu laika rindu, piemēram, 6.b attēlā. Pēc tam mēs izmantojām šos laika rindu datus, lai aprēķinātu svārstību periodu, izmantojot tā diskrēto Furjē transformāciju (DFT). 6.c attēlā parādīta iegūtā DFT izeja vienam eksperimentam četriem dažādiem reģistrēto datu apstrādes logiem. 6.d attēlā parādīts svārstību periods viena minūšu eksperimenta laikā, kas aplēsts, izmantojot DFT.

7. attēlā parādīta mūsu metodes spēja ģenerēt modeli, kas precīzi paredz mainīgā lieluma svārstību periodu.g svārsts. Mūsu metodes kalibrēšanas solī par ievadi tiek ņemti periodi, kas aprēķināti no faktiskā eksperimenta. Mūsu metode prasa minimālus kalibrēšanas datus. Svārsta garumam, kas lielāks par 20 cm, prognozēšanas kļūda vienmēr ir mazāka par 15%, pat ja katrai prognozei nepieciešamas tikai četras peldošā komata darbības.


7. attēls. Mainīgā lieluma prognozētā perioda procentuālā kļūdag svārsts, t noteiktā garumā l un gravitācijas paātrinājums, g. Apakšgrupa (a) ietver visus eksperimentālos gadījumus, kuru apakškopā tiek pārkāpti ideālā svārsta modeļa pieņēmumi, kas noved pie lielām novirzēm. (B) apakšfigūra tuvina reģionu, kur sintezēto dimensiju funkciju kļūda tiek samazināta līdz minimumam.

Svārsta garumam, kas mazāks par 20 cm, modeļa kļūda palielinās tādu nedealitāšu dēļ kā berze, kuras nav notverta ar mūsu tehnikas radīto proporcionalitātes attiecību formu. Sintezētās dimensiju funkcijas precizitāti ierobežo izmantoto parametru skaits, kas raksturo fizisko sistēmu. Bagātīgāka parametru kopas izvēle (piemēram, piemēram, šarnīra un stieņa berze) ir iespējams risinājums precīzāku izmēru funkciju iegūšanai.

Mēs arī pielietojām melnās kastes ar datiem pamatotās metodes svārsta eksperimenta apkopotajiem datiem. No šīs datu kopas 75% izlases veidā tika atlasīti, lai darbotos kā apmācības dati, bet pārējie tika izmantoti kā pārbaudes paraugi. Lai apmācītu modeļus, mēs izmantojām 5-kārtīgu savstarpējās validācijas politiku. 8. attēlā apkopota svārsta svārstību perioda prognozēšanas kļūda, vidēji aprēķināta visiem modeļiem testa datu kopas gadījumā. Regresijas modeļiem ir prognozēšanas kļūda, kas ir salīdzināma ar mūsu metodi, bet mūsu metode pārspēj regresijas modeļus 7.b attēla tuvinātajā apgabalā. Neironu tīklos ir plašs prognozēšanas kļūdu sadalījums, bet vienkāršie tīkli spēj sasniegt ļoti augstu precizitāti tādā pašā diapazonā kā mūsu piedāvātais modelis. Tā kā mēs apmācām melnās kastes modeļus pret datu punktiem, kas iegūti no visa svārsta eksperimentu diapazona, tie var efektīvi uztvert svārstību nonideālās īpašības, tādējādi panākot augstu precizitāti.


8. attēls. Mainīgā lieluma prognozētā perioda procentuālā kļūdag svārsts, t noteiktā garumā lun gravitācijas paātrinājums, g. Mēs prognozējam, izmantojot neironu tīklus un regresijas modeļus.

5. Darbības joma, ierobežojumi un paplašinājumi

Dimensiju funkciju sintēzē tiek izmantota informācija par fiziskai sistēmai atbilstošo signālu fiziskajiem izmēriem un mērvienībām, lai iegūtu kandidātu vienādojumu kopumu, kas attiecas uz šiem signāliem. Piemēram, daudzas esošās pieejas modeļu konstruēšanai, pamatojoties uz cilvēka izvēlētiem parametriem, tas ir atkarīgs no derīgas parametru kopas Ssimboli (ieviests 2.1. sadaļā) modelējamās sistēmas aprakstam. Ja tā tiek nodrošināta ar parametru kopumu, kas nav pietiekams, lai ģenerētu modeli, kas atspoguļo sistēmas uzvedību, metode nepārsteidzoši ģenerēs modeli, kas labākajā gadījumā ir tikai aptuvenais faktiskās uzvedības raksturojums. Aizraujošās turpmākās attīstības jomas ietver parametru identificēšanas procesa S automatizēšanusimboli nevis izvilkt tos no cilvēka rakstīta apraksta un iekļaut integrālus un atvasinājumus & Phi funkciju formulējumos.

Attiecībā uz fiziskiem parametriem, kurus nevar tieši izmērīt, dimensiju funkciju sintēze saskaras ar tām pašām problēmām, ar kurām saskaras tradicionālās modelēšanas pieejas. Praksē parametriem, kurus nevar izmērīt, dizaineri mēra aizstājējus, kas korelē ar trūkstošajiem parametriem, piemēram, ātruma vietā mēra paātrinājumu un pagājušo laiku. Šajā gadījumā dimensiju funkciju sintēzei ir neto ietekme, izmantojot informāciju par attiecīgo parametru fizikālajām vienībām, turpretī tradicionālajām modelēšanas metodēm nav citas izvēles, kā mēģināt pielāgot datus arvien sarežģītākiem nelineāriem modeļiem.Dimensiju funkciju sintēze ļauj kombinēt abas pieejas vairāku n grupu gadījumā, kā pārbaudīts 4.1. Sadaļā.

5.1. Dimensiju ķēdes sintēze

Dimensiju ķēžu sintēze ir dimensiju funkciju sintēzes paplašinājums, kas nodrošina sastādīšanas laika metodi digitālo loģisko shēmu ģenerēšanai & Pi grupu aprēķināšanai. Ņūtonā esam ieviesuši Verilog reģistra pārsūtīšanas līmeņa (RTL) sintēzes aizmuguri, kas izmanto aprēķināto & Pi izmēru funkciju sintēzes grupu informāciju un ģenerē aparatūras moduļu RTL aprakstu, no kuriem katrs aprēķina & Pi monomālu (2. vienādojums) ) no izvēlētās & Pi grupas. Aparatūras moduļi uztver sensora signālus kā ievadi un veic kalibrētā prediktīvā moduļa iepriekšēju secinājumu apstrādi, ko mēs iegūstam no dimensiju funkciju sintēzes. Ierīces (sensora iekšienē) secināšanas dzinējs integrēs sintezētās dimensiju shēmas ar moduli, kas izpilda kalibrēto paredzamo modeli, izmantojot, piemēram, neironu tīklu. Šis secinājuma modulis var būt vai nu pielāgots RTL komponents, vai programmējams kodols. 9. attēlā parādīta sensora secinājuma aparatūras sistēma, kas izveidota, izmantojot dimensiju funkciju sintēzi un dimensiju ķēžu sintēzi.


9. attēls. Aparatūra, ko rada dimensiju ķēdes sintēzes pirmapstrāde k sensora signāli, lai aprēķinātu N & lt k bezizmēra produkti & Pi1& hellip & PiN. Prognozējamais modelis ņem aprēķinātās produkta vērtības kā ievadi un ģenerē secinājuma rezultātu.

Mēs novērtējām aparatūru, ko ģenerēja izmēru ķēdes sintēzes aizmugure, izmantojot režģa pusvadītāju iCE40 FPGA. ICE40 ir mazjaudas miniatūra FPGA vafeles mēroga WLCSP paketē, kuras lielums ir 2,15 un reizes 2,50 mm, un kura mērķis ir sensoru saskarnēšanas uzdevumi un mašīnmācīšanās ierīcē. Mēs izmantojām pilnībā atvērtā koda FPGA dizaina plūsmu, kas sastāv no YoSys sintēzes rīka ( versija 0.8 + 456 ) sintēzei un NextPNR ( versija git SHA1 5344bc3 ) izvietošanas, maršrutēšanas un laika analīzes veikšanai.

Mēs veicām mērījumus uz iCE40 mobilās izstrādes komplekta (MDK), kas sērijveidā satur 1 un Omega strāvas sensoru pretestību ar katru no FPGA padeves sliedēm (kodols, PLL, I / O bankas). Mēs izmērām FPGA kodola piesaistīto strāvu, izmērot sprieguma kritumu FPGA serdes barošanas sliedes (1,2 V) rezistorā, izmantojot Keithley DM7510, laboratorijas kvalitātes 7 1/2 digitālo multimetru, kas var izmērīt spriegumu līdz 10 nV. Izmantojot šos sprieguma krituma mērījumus, mēs aprēķinājām FPGA kodola izkliedēto jaudu katram konfigurētajam RTL dizainam. Mēs izmantojām pseidorandomu skaitļu ģeneratoru, lai novērtētos & Pi monomālu skaitļošanas ķēdes moduļus barotu ar nejaušiem ievades datiem.

Mēs novērtējām izmēru ķēdes sintēzi septiņās dažādās fiziskajās sistēmās, kas aprakstītas Ņūtonā. 3. tabulā parādīts visu ģenerēto & Pi produktu aprēķināšanas moduļu kopējais FPGA resursu izmantojums, izteikts kā četru ievades uzmeklēšanas tabulu (LUT4 šūnu) skaits, kas nepieciešams to sintēzei. Šīs resursu izmantošanas vērtības ietver arī nepieciešamos resursus fiksēto punktu aritmētisko moduļu sintēzei, kurus mēs integrējām katra & Pi produkta aprēķina modulī.


3. tabula. Eksperimentāls izmēru ķēžu moduļu iCE40 FPGA novērtējums, kas iegūts no fizisko sistēmu aprakstiem.

Izpildes latentuma kolonnā ir uzskaitīti nepieciešamie cikli katra izveidotā RTL moduļa kritiskā ceļa aprēķinu pabeigšanai. Ciklu skaitu ieguvām, simulējot RTL moduļu izpildi pseidorandom ieejām, ko ģenerē lineārās atgriezeniskās saites nobīdes reģistri (LFSR). Katrā RTL modulī mēs paralēli veicam dažādu & Pi produktu aprēķināšanu, bet nepieciešamās darbības katram & Pi produktam veic sērijveidā.

3. tabulas pēdējā slejā parādīta izmērītā enerģijas izkliede katram projektam, kas konfigurēts iCE40 FPGA. Visos gadījumos jaudas izkliede ir mazāka par 6 mW un tik zema kā 1 mW, parādot mūsu metodes piemērotību maza izmēra faktoru, ar akumulatoru darbināmām ierīces secinājumiem malā.

6. Secinājums

Esošās metodes retrospektīvo vai prognozējošo modeļu izveidošanai fizisko sistēmu datiem pilnībā neizmanto informāciju par attiecīgo sistēmu fiziku. Šajā darbā mēs piedāvājam automatizētu funkciju saimes ģenerēšanu, no kuras mācīties modeli, pamatojoties uz informāciju par sistēmas signālu fizikālajiem izmēriem. Metode, kuru mēs saucam dimensiju funkciju sintēze, attiecas uz datu plūsmām, kurās ir zināmi signālu izmēri.

Mēs realizējam dimensiju funkciju sintēzi un novērtējam mūsu metodes ģenerēto modeļu izpildes izmaksas un precizitāti salīdzinājumā ar regresijas modeļiem un neironu tīkliem. Pēc kalibrēšanas ar sensora datiem mūsu modeļi secināšanas precizitātē visos novērtētajos gadījumos pārspēj tradicionālos regresijas un neironu tīkla modeļus. Turklāt mūsu modeļi darbojas labāk treniņu latentumā (līdz pat 1096X uzlabojumam) un vajadzīgajām aritmētiskajām darbībām secinājumā (līdz 34X uzlabojumiem). Šie ievērojamie ieguvumi lielā mērā ir rezultāts informācijai par signālu fiziku, kas līdz šim tika ignorēta.

Pateicības

Šo pētījumu atbalsta Alana Turinga institūta balva TU / B / 000096 saskaņā ar EPSRC grantu EP / N510129 / 1, Karaliskās biedrības dotācija RG170136 un EPSRC dotācija EP / V004654 / 1. Youchao Wang, Vlad-Mihai Mandric un James Rhodes veicināja lineāru-algebrisko metožu ieviešanu Ņūtona sastādītājā.

Atsauces

1. Allens, E., Chase, D., Luchangco, V., Maessen, J.-W., Steele, G.L., Jr. Objektorientētās mērvienības. In 19. ikgadējās ACM SIGPLAN konferences raksti par objektorientētu programmēšanu, sistēmām, valodām un lietojumprogrammām, OOPSLA & # 3904 (2004), ACM, Ņujorka, NY, ASV, 384 un ndash403.

2. Antoniu, T., Steckler, P. A., Krishnamurthi, S., Neuwirth, E., Felleisen, M. Izklājlapu programmu vienības pareizības pārbaude. In 26. starptautiskās programmatūras inženierijas konferences rakstu krājums, ICSE & # 3904 (2004), IEEE Computer Society, Vašingtona, DC, ASV, 439 & ndash448.

3. Babout, M., Sidhoum, H., Frecon, L. Ampere: Programmēšanas valoda fizikai. Eiropietis J. Phys. 11, 3 (1990):163.

4. Bārddziņš, D. Bajesa pamatojums un mašīnmācīšanās. Kembridžas Universitātes izdevniecība, Kembridža, 2012.

5. Biggs, G., Makdonalds, B.A. Pragmatiska pieeja mobilo robotu programmēšanas izmēru analīzei. Auton. Roboti 25, 4 (2008. gada novembris), 405 un ndash419.

6. Buckingham, E. Par fiziski līdzīgām sistēmām Dimensiju vienādojumu izmantošanas ilustrācijas. Fiz. Atkl. 4, 4 (1914), 345 un ndash376.

7. Karlsons, D.E. Fizisko vienību, dimensiju un mērījumu matemātiskā teorija. Arch. Racionālā mehānika Anal. 70, 4 (1979), 289. & ndash305.

8. Celikiks, R. F., Gehani, N. H. izmēru analīze ar C ++. IEEE programmatūra. 5, 3 (1988), 21 & ndash27.

9. Karlsons, D.E. Par dažiem jauniem izmēru analīzes rezultātiem. Arch. Devas. Meh. Anal. 68, 3 (1978), Springer 191 & ndash210.

10. Hilfingers, P.N. Ada pakete izmēru analīzei. ACM Trans. Programma. Lang. Syst. 10, 2 (1988. gada apr.), 189. & ndash203.

11. Hills, D.J.A., Gr & uumltter, A.M., Hadsons, Dž. Algoritms, lai automātiski atklātu Lagrangians no datiem. Peer J Comput. Sci. 1, (2015. gada novembris), e31.

12. Hills, M., Chen, F., Rou, F. Pārrakstīšanas loģiskā pieeja mērvienību statiskai pārbaudei C. Elektrons. Piezīmes teorija. Aprēķināt. Sci. 290, (2012. gada decembris), 51 & ndash67.

13. Jonssons, D. Dimensiju analīze: simtgades atjauninājums. arXiv priekšdruka arXiv: 1411.2798 (2014).

14. Kenedijs, A. Dimensiju veidi. In 5. Eiropas simpozija par programmēšanu: valodu un sistēmu programmēšana, ESOP & # 3994 (1994), Springer-Verlag, Londona, Lielbritānija, 348 & ndash362.

15. Lim, J., Stanley-Marbell, P. Newton: Valoda fizikas aprakstīšanai. RK, abs / 1811.04626 (2018).

16. Rayleigh, L. Līdzības princips. Daba 95 (1915. g. Dec.), 66. un 68. lpp.

17. Rittri, M. Izmēra secinājums polimorfā rekursijā. In Septītās starptautiskās konferences par funkcionālajām programmēšanas valodām un datoru arhitektūru rakstu krājums, FPCA & # 3995 (1995), ACM, Ņujorka, NY, ASV, 147 un ndash159.

18. Rūdijs, S. H., Bruntons, S. L., Proktors, J. L., Kutcs, Dž. Daļēji diferenciālvienādojumu atklāšana ar datiem. Sci. Adv. 3, 4 (2017), e1602614.

19. Šmits, M., Lipsons, H. Brīvas formas dabisko likumu destilēšana no eksperimentālajiem datiem. Zinātne 324, 5923 (2009), 81. un ndash85.

20. Saimons, V., Veigands, B., Goma, H. Dimensiju analīze inženieriem. Springer, Gewerbestrasse, Cham, Šveice, 2017. gads.

21. Sonins, A.A. Programmas vispārinājums & Pi-teorēma un izmēru analīze. Proc. Natl. Akad. Sci. 101, 23 (2004), 8525 un ndash8526.

22. Dīvaini, G. Ievads lineārajā algebrā, 5. izdevums Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, MA, 2016.

23. Umrigar, Z.D. Pilnīgi statiska izmēru analīze ar C ++. SIGPLAN Nav. 29, 9 (1994. gada septembris), 135. un 139. lpp.

Autori

Vasileios Tsoutsouras ([email protected]), Kembridžas Universitāte, Kembridža, Lielbritānija

Sems Viliss ([email protected]), Kembridžas Universitāte, Kembridža, Lielbritānija

Filips Stenlijs-Marbels ([email protected]), Kembridžas Universitāte, Kembridža, Lielbritānija

Zemsvītras piezīmes

Šī dokumenta sākotnējā versija tika publicēta ACM darījumi ar iegultām skaitļošanas sistēmām, 2019. gada oktobris.

Digitālo bibliotēku izdod Computing Machinery asociācija. Autortiesības un kopija 2021. gada ACM, Inc.


MATH 3001-200, analīze I

The vidēja termiņa notiks plānotajā klases laikā Piektdiena, 24. jūlijs. The gala eksāmens notiks plānotajā klases laikā Piektdiena, 2020. gada 7. augusts. Mājas darbi tiks savākti mūsu grafika noteiktajos datumos: jūs tos iesniegsiet uz audekla. Viktorīnas tiks administrētas stundu laikā paredzētajās viktorīnas dienās, un tās tiks iesniegtas uz audekla.

Nav grima eksāmenu un nav aplauzuma viktorīnu būs atļauts, bez pienācīgas dokumentācijas. Liksim šai klasei darboties nevainojami, jo daudz kas jāaptver, un savlaicīgums ir būtisks! Oficiālā politika ir šāda: Ja jūs zināt, ka nokavēsiet eksāmenu vai nevarat kārtot pēdējo eksāmenu paredzētajā laikā, lūdzu, informējiet par to instruktoru vismaz divas stundas iepriekš. Ja jūs nokavējat starpposma eksāmenu kāda pieņemama iemesla dēļ (piemēram, reliģiskas saistības, dokumentētas slimības), šis starpposma eksāmena rezultāts tiks aizstāts ar aprēķināto punktu skaitu, pamatojoties uz jūsu sniegumu otrajā starpposmā. Ja pieņemamu iemeslu dēļ nokavējat abus eksāmenus, vidējā termiņa rezultāti tiks aizstāti ar aptuveniem rezultātiem, pamatojoties uz jūsu sniegumu finālā. Ja nokavējat pēdējo eksāmenu un neesat to iepriekš pārplānojis, atkarībā no apstākļiem finālā iegūsiet nulli vai saņemsiet nepilnīgu kursu. Pēc eksāmena sākuma jūs nevarat pārcelt gala eksāmenu. Lai jūs varētu atbrīvot no eksāmena medicīnisku iemeslu dēļ, jums vai nu jāuzrāda ārsta piezīme, vai arī jums jāsaņem iepriekšēja instruktora atļauja nokavēt eksāmenu. Pašdiagnostika un pašterapija šim nolūkam nav pieņemama.

Mājasdarbs: Sarkanās mājas darba problēmas tiks klasificētas (skatiet cilni Mājas darbs). Pārējās mājasdarbu problēmas nav jāpievieno, bet gan visas uzdotās problēmas tiek uzskatītas par godīgu spēli viktorīnās un eksāmenos. Šis kurss pilnībā tiks balstīts uz mūsu kursa mācību grāmatu, kas galvenokārt ir problēmas. Liela daļa teorijas paliek kā problēmas. Es pats strādāšu ar daudzām problēmām gan lekcijās, gan “problēmu sesijās”, kas notiek ZOOM stundas laikā. Tur ir veidā pārāk daudz problēmu mūsu īsajā piecu nedēļu termiņā. Tāpēc aplūkosim šos mājas darbus kā pamats šajā kursā. Novērtētās problēmas ir tikai aisberga virsotne. Būs nepieciešams pilns priekšmeta apjoms daudz vairāk darbs un uzticība. The ideāls mums ir jāstrādā pēc iespējas vairāk problēmu, jo ar katru nostrādāto problēmu mēs virzāmies jūdzi uz konceptuālo teritoriju, kuru mums vajadzētu vēlēties iezīmēt.

Pēc savas pieredzes pagājušajā pavasarī, es domāju, ka labākais risinājums ir skenēšanas lietotnes izmantošana tālrunī, nevis jpeg pārveidošana. Skenēšanas lietotnes automātiski ģenerē pdf un veidā tas rada tā ir daudz labāk drukāšanas nolūkos: daudz mazāks izmērs, vienkārša melnbalta krāsa, toneris netiek apēsts un printera spolei ir nepieciešamas 5 minūtes. Lūdzu, izmantojiet skenēšanas lietotni (vai līdzvērtīgu), lai skenētu visus iesniegtos uzdevumus.

Mājasdarbu problēmas būtu jākoriģē! Ja jūs zināt LaTeX, jums vajadzētu iestatīt savus mājas ierakstus. Jebkurā gadījumā es vēlos PDF failu, pat ja tas nozīmē fotografēt un pārveidot to par pdf. Tas ir svarīgi vērtēšanas nolūkos, jo es vēlos izteikt komentārus un piezīmes par pdf failiem, kurus es jums viegli atgriezīšu.

Jums ir atļauts izmantot internetu un citus resursus (piemēram, ieteiktās papildu grāmatas). Tomēr! Pirmkārt, jūs jānorāda jūsu avoti kad tos izmantojat. Ja jūs tieši kopējat pierādījumu, jūs esat nepieciešama atzīties faktā, un tas tev izmaksās punktu (atliek precīzi noteikt, kā es vērtēšu mājas darbus, bet pietiek ar to, ka teikšu, ka es jums došu aptuveni 20% atlaidi). Es aicinu jūs visus kopā strādāt pie mājas darbiem, varbūt pat sadalīt problēmas mazākās grupās un pēc tam sanākt kopā, lai dalītos risinājumos. Klasē mēs apspriedīsim stratēģijas.

Netiks pieņemti vēlu mājas darbi, lai palīdzētu attīstīt paradumu likumsakarību, kā arī padarīt visu cilvēku dzīvi vieglāku - mēs esam saskaņā ar stingru piecu nedēļu grafiku! Es atmetīšu jūsu zemāko mājasdarba rezultātu, lai līdzsvarotu, un darīšu to pašu arī ar viktorīnām.

Studenti ar invaliditāti: Ja jūs kvalificējaties izmitināšanai invaliditātes dēļ, lūdzu, savlaicīgi (vismaz nedēļu pirms eksāmena) iesniedziet mācībspēkam savu Invaliditātes dienestu izmitināšanas vēstuli, lai varētu apmierināt jūsu vajadzības. Invaliditātes dienesti nosaka izmitināšanu, pamatojoties uz dokumentētu invaliditāti akadēmiskajā vidē. Informācija par naktsmītņu pieprasīšanu atrodas Invalīdu pakalpojumu vietnē www.colorado.edu/disabilityservices/students. Sazinieties ar Invaliditātes dienestiem pa tālruni 303-492-8671 vai [email protected], lai saņemtu papildu palīdzību. Ja jums ir īslaicīgs veselības stāvoklis vai traumas, skatiet sadaļu Pagaidu medicīniskie apstākļi sadaļā Invaliditātes dienestu cilnes Studenti un apspriediet savas vajadzības ar savu profesoru.

Studentu klasē un ar kursiem saistīta uzvedība: Katrs students un mācībspēks ir atbildīgs par atbilstošas ​​mācību vides uzturēšanu. Tie, kas neievēro šādus uzvedības standartus, var tikt pakļauti disciplīnai. Profesionāla pieklājība un jutīgums ir īpaši svarīgi attiecībā uz indivīdiem un tēmām, kas attiecas uz rasi, krāsu, nacionālo izcelsmi, dzimumu, grūtniecību, vecumu, invaliditāti, ticības apliecību, reliģiju, seksuālo orientāciju, dzimuma identitāti, dzimuma izpausmi, veterāna statusu, politisko piederību vai politisko piederību. filozofija. Nodarbību žurnāli tiek pasniegti instruktoram ar studenta juridisko vārdu. Es ar prieku izpildīšu jūsu lūgumu uzrunāt jūs ar citu vārdu vai dzimuma vietniekvārdu. Lūdzu, iesakiet man par šo izvēli semestra sākumā, lai es varētu veikt attiecīgas izmaiņas savos ierakstos. Lai iegūtu vairāk informācijas, skatiet politiku par uzvedību klasē un studentu rīcības kodeksu.

Paziņojums par diskrimināciju un uzmākšanos: Kolorādo Boulder universitāte (CU Boulder) ir apņēmusies veicināt pozitīvu un viesmīlīgu mācību, darba un dzīves vidi. CU Boulder nepieļaus seksuālas darbības, kas saistītas ar intīmo partneru ļaunprātīgu izmantošanu (ieskaitot iepazīšanos vai vardarbību ģimenē), vajāšanu, aizsargātas klases diskrimināciju vai uzmākšanos mūsu kopienas locekļiem. Personām, kuras uzskata, ka, ziņojot par bažām, viņiem ir izdarīti pārkāpumi vai atbildes pasākumi, ir jāsazinās ar Institucionālās vienlīdzības un atbilstības biroju (OIEC) pa tālruni 303-492-2127 vai [email protected] Informācija par OIEC, universitātes politiku, anonīmu ziņojumu sniegšanu un universitātes pilsētiņas resursus atrodama OIEC vietnē.

Goda kods: Visi studenti, kas uzņemti Kolorādo Universitātes Boulder universitātē, ir atbildīgi par akadēmiskās integritātes politikas pārzināšanu un ievērošanu. Politikas pārkāpumi var būt: plaģiāts, krāpšanās, izgatavošana, melošana, kukuļošana, draudi, neatļauta piekļuve akadēmiskajam materiālam, krāpšana ar klikšķiem, tāda paša vai līdzīga darba iesniegšana vairākos kursos bez visu iesaistīto kursu pasniedzēju atļaujas un palīdzība akadēmiskajam negodīgums. Par akadēmisku pārkāpumu gadījumiem var ziņot Goda koda padomei ([email protected] 303-735-2273). Studentiem, kuri ir atzīti par atbildīgiem par akadēmiskās integritātes politikas pārkāpšanu, tiks piemērotas Goda kodeksa padomes sankcijas, kas nav akadēmiskas, kā arī mācībspēka akadēmiskās sankcijas. Papildu informāciju par akadēmiskās integritātes politiku var atrast Goda koda biroja vietnē.

Paskāls, viņa sākuma rindās No ģeometriskā gara (c. 1657. gads) saka: "Patiesības izpētē mums var būt trīs galvenie mērķi: viens to atklāt, kad tiek meklēts cits, lai parādītu, kad tā ir apsēdusies, un trešais, lai to atšķirtu no nepatiesā, kad to pārbauda. Es nerunāju par pirmo [tas ir spekulācija vai ieskats un ietver izdomu un radošumu - tie nav vienmērīgi sadalīti starp cilvēkiem un tāpēc darīt veido metodi] Es īpaši izturos pret otro, un tas ietver trešo. Jo, ja mēs zinām patiesības pierādīšanas metodi, mums vienlaikus būs arī tās diskriminācija, jo, pārbaudot, vai sniegtais pierādījums par to atbilst saprotamajiem noteikumiem, mēs zināsim vai tas ir precīzi pierādīts. "

Pēc tam viņš turpina izskaidrot pierādīšanas metode. Pirmais solis ir izveidojot skaidrs definīcijas, otrais solis ir pierādījumi, nekad neizvirzot nevienu priekšlikumu, ko nevarētu pierādīt ar jau zināmām patiesībām, neatkarīgi no tā, vai tās ir iepriekš pārbaudīti priekšlikumi, mūsu izveidota definīcijas vai pieņemtais aksiomas priekšmeta.

Pascal detalizētāk izskaidro pareizas pierādīšanas metodes citā esejā, Pārliecināšanas māksla : "Šī māksla, kuru es saucu pārliecināšanas māksla, un kas, pareizi runājot, ir vienkārši pilnīgu metodisko pierādījumu process, sastāv no trim būtiskām daļām: to nosacījumu definēšana, kurus mums vajadzētu izmantot, skaidri definējot principu ierosināšanu vai acīmredzamas aksiomas, lai pierādītu attiecīgo lietu, un vienmēr demonstrācijās garīgi aizstājot definīciju definētās lietas vietā. ”

"Šīs metodes iemesls ir acīmredzams," saka Paskāls, "jo būtu bezjēdzīgi ierosināt to, ko tā vēlas pierādīt, un to demonstrēt, ja visi termini, kas nav saprotami, vispirms nav skaidri definēti un tā kā tādā pašā veidā ir nepieciešams, lai pirms demonstrācijas būtu prasība pēc acīmredzamiem principiem, kas tai ir nepieciešami, jo, ja mēs nenodrošinām pamatu, mēs nevaram nodrošināt celtni un, tā kā labi, tas ir nepieciešams garīgi demonstrējot, definīciju aizvietošana definēto lietu vietā, jo pretējā gadījumā varētu tikt ļaunprātīgi izmantotas dažādās jēdzienos lietotās nozīmes. Ir viegli redzēt, ka, ievērojot šo metodi, mēs esam pārliecināti, ka pārliecinām, jo ​​visi termini ir saprotami un pilnīgi atbrīvoti no neskaidrības ar definīcijām un piešķirtajiem principiem, ja demonstrācijā mēs vienmēr garīgi aizstājam definīcijas attiecībā uz definētajām lietām secinājumu neuzvaramais spēks nevar neizdoties, lai tas pilnībā iedarbotos. ”

    Kas attiecas definīcijas , viņš izšķir visu svarīgo primitīvas definīcijas un sarežģītas definīcijas , kas atspoguļo atšķirību starp acīmredzams un nav acīmredzamsnoteikumiem.

    Primitīvas definīcijas ir tās lietas, kuras mēs tieši uztvert (bet vēl nejūt saprast) - viņa piemēri ir kustība (subjekta primitīvs termins mehānika), numuru, vienlīdzība, lielāks nekā, mazāk nekā (primitīvi priekšmeti aritmētika), telpa (primitīvs termins ģeometrija), un laiks (gan mehānikas, gan ģeometrijas primitīvs mūsdienās). Mēs šos terminus nedefinējam, jo mēs visi saprotam, ko ar tiem domājam, pat ja mēs darām zināt viņu slēpto dabu un dziļāku nozīmi (kas galu galā ir katra priekšmeta turpmākās teorētiskās attīstības mērķis).

    Pirmkārt, tēma bezgalība . Patiesībā bezgalībai ir divas puses, bezgalīgi liels un bezgalīgi mazs vai bezgalīgi mazs . Pascal, protams, dzīvoja apmēram paaudzi pirms Ņūtona un Leibnica izgudrojuma, tāpēc nav pārsteidzoši redzēt šeit vienu no būtiskākajiem analīzes jautājumiem. Diskarts, Pascal tiešais priekštecis, skaitļus un mērījumus apvienoja vienā ietvarā, un uz visām lietām, uz kurām attiecas mērīšana, attiecas šeit iesaistītie jautājumi: laiks, telpa, kustība.

"Tas ir, vārdu sakot, jebkura kustība, kāds skaitlis, kāda telpa, kāds laiks var būt, vienmēr ir lielāks un mazāks par šiem: lai viņi visi stāvētu starp neko un bezgalīgo, vienmēr bezgalīgi tālu no šīs galējības. Visas šīs patiesības nevar pierādīt, tomēr tās ir ģeometrijas pamati un principi. Bet, tā kā cēlonis, kas padara viņus par nespējīgiem demonstrēt, nav viņu tumsonība, bet, gluži pretēji, viņu ārkārtējā acīmredzamība, šis pierādījumu trūkums nav trūkums, bet gan pilnība. No tā mēs redzam, ka ģeometrija nevar nedz definēt objektus, nedz pierādīt principus, bet šī vienīgā un izdevīgā iemesla dēļ, ka abi ir ārkārtīgi dabiski skaidrībā, kas pārliecina saprātu daudz spēcīgāk nekā diskurss. Jo kas ir acīmredzamāks par šo patiesību, ka skaitli neatkarīgi no tā, kāds tas var būt, var palielināt, dubultot? Vai atkal kustības ātrumu nedrīkst dubultot un vai atstarpi nevar dubultot tādā pašā veidā? "

Ir izveidots posms kalkulācijas attīstībai, kuras pilnīga loģiskā artikulācija ir analīze.

  • reālo skaitļu topoloģija (robežas, nepārtrauktība, kompaktums, savienojamība, secības un sērijas)
  • atšķirīgums, vietējā linearizācija, un augstākas pakāpes polinomu tuvināšana (Teilora polinomi)
  • integrācija un anti-diferenciācija
  • funkciju sērija (īpaši jaudas sērija un Teilora sērija)
  • The Heina-Borela teorēma raksturo kompaktas apakškopas īstās līnijas (tās, kurām jebkuru atvērtu vāku var samazināt līdz galīgam apakškārtam): tās ir tieši slēgtas un ierobežotas apakškopas (piemēram, slēgtie intervāli), un vienlaikus tie ir secīgi kompaktas apakškopas (tie, kas satur to konverģējošo secību robežas). Tādējādi "slēgums" + "ierobežojums" = "kompaktums", un mēs tikko ieguvām bagātīgāku pasvītrojumu: neatkarīgi no tā, vai mēs skatāmies uz robežpunktiem, secību robežām vai atvērtu vāku galīgu samazināmību, mēs apspriežam to pašu jēdzienu - kompaktums.
  • Kantora teorēma saka, ka reālie skaitļi nav saskaitāmi. Turklāt jebkuram atvērtajam intervālam ir tāda pati kardinalitāte kā visai reālajai līnijai. Tas dod jums zināmu priekšstatu par reālo skaitļu "lielumu" - "izmērs", tagad saprotams funkcionālos izteiksmē - reālie skaitļi (un līdz ar to visi atvērtie intervāli) ir tik milzīgi, cik daudz punktu tie ir satur, ka tos pat nevar uzskaitīt ad infinitum.
  • Baira teorēma saka, ka reālos skaitļus nevar rakstīt kā nekur blīvu kopu saskaitāmo savienojumu. Aizmirstiet par galīgo punktu kopu apvienošanu, lai izveidotu nepārtrauktu līniju. Jūs to nevarat izdarīt pat ar saskaitāmi daudzi - tā bija Kantora teorēma. Bet patiesībā to pat nevar izdarīt ar daudziem saskaitāmi niecīgi komplekti (“niecīgs” apakškopa šeit nozīmē, ka nav interjera, piemēram, var būt intervāls, piemēram, vienam punktam nav interjera). Tas ir tas, cik lieli ir reālie skaitļi - aizraujoša konceptuāla atklāsme.
  • The Galējās vērtības teorēma un Starpposma vērtības teorēma kopā saka, ka nepārtrauktas funkcijas aizver slēgtus intervālus līdz slēgtiem intervāliem. EVT garantē galapunkti ir funkcijas attēlā, un IVT garantē interjera punkti ir attēlā. Tam ir praktiska vērtība skaitliskajiem tuvinājumiem, kurus mēs apspriedīsim. Ir vienojošs jēdziens, kas savieno šīs teorēmas: savienojums. Ar nepārtrauktām funkcijām savienotās apakškopas tiek pārnestas uz savienotajām apakškopām.
  • The Vidējās vērtības teorēma ir kalkulācijas darba zirgs. Atvasinājums diktēvai nosaka, diferencējamas funkcijas y vērtības uz atvērta intervāla. Šī teorēma ir nenovērtējama, jo tā dod jums nozīme aprēķins: atvasinājums, kas mēra funkcijas lokālo, momentāno augšanas ātrumu, diskus funkcijas kopējais pieauguma temps. Tas ir aprēķina iemesls: kāpēc mums ir nepieciešams atvasinājums? Jo tas ļauj mums saprast diferencējamo funkciju kvalitatīvo uzvedību. Seko vairāki tūlītēji rezultāti, tostarp optimizācija un L'Hospital likums, bet arī vēlāk Rēķina pamata teorēma.
  • Ņemot motivētu atšķirīgumu, ir pienācis laiks saprast kas darbojas piemīt šī vēlamā īpašība. Sadalot šo funkciju klasi, mēs rūpīgi salīdzināsim to un vairākas citas klases: nepārtrauktas funkcijas, k reizes nepārtraukti diferencējamas funkcijas, vienmērīgas funkcijas, analītiskās funkcijas (tie, kurus reprezentē viņu Teilora sērija), un polinomi. Kulminācija ir Veierstrasas tuvināšanas teorēma, kurā teikts, ka slēgtos intervālos (t.i., kompaktās kopās) pat nepārtrauktas funkcijas var tuvināt ar polinomiem. Teilora teorēmu tādējādi pārspēj vispārīgums, ja ne skaitļošanas efektivitāte. Neskatoties uz to, ir daudz skaitlisku rezultāta pielietojumu, kurus mēs apspriedīsim.
  • Attiecībā uz iepriekš minēto funkciju klašu sarakstu mums tālāk jājautā kā katra klase izturas pret konverģenci (sekvences un funkciju sērijas!). Pieņemot konverģenci, vai mēs varam diferencēt vai integrēt terminu pa vienam? Citiem vārdiem sakot, kas ir topoloģija no šīm funkciju klasēm? Dariet funkciju secību robežas katras klases paliek klasē (ir klases slēgts)? Kas vēl var būt vajadzīgs, lai to nodrošinātu?

Nedēļa diena M Tu W Th F
1 - 7/6 -

1. mājas darbs (paredzēts piektdien, plkst. 10/10):
(Novērtētas problēmas sarkanā krāsā.)
1.2.4., 1.2.6. B), d), 1.3.2. C), 1.3.3. A), 1.4.3., 1.5.4. A) - c), 1.5.9. A) - c)
1.2.2, 1.2.3, 1.2.5 (c), 1.2.7, 1.2.8, 1.2.9, 1.2.13, 1.3.3 (b), 1.3.6, 1.4.1, 1.4.4, 1.4.7., 1.4.8., 1.5.11

Mājas darbs 2 (paredzēts trešdien, 15. septembrī):
(Novērtētas problēmas sarkanā krāsā.)
2.2.2 (b), 2.2.6, 2.3.1 (b), 2.3.7 (a), (b), 2.3.8 (a), (b), 2.3.10 (a) - (d) , 2.4.3 (a), 2.4.5 (a), 2.5.4, 2.5.5, 2.6.2.
2.2.2. A), 2.2.4. A), b), 2.3.3., 2.3.7. C) - e), 2.3.13. A) - e), 2.4.8. A) - (c), 2.5.1 (a) - (c), 2.5.2 (a) - (c), 2.5.6, 2.5.7, 2.6.2 (a) - (d), 2.6.7.

Mājas darbs 3 (termiņš Tu 7/21):
(Novērtētas problēmas sarkanā krāsā.)
2.7.2. A) - c), 2.7.4. A), c), d), 2.7.5., 2.7.7. A), 2.7.9.
2.7.1, 2.7.3, 2.7.13, 2.7.14

4. mājas darbs (paredzēts ceturtdien, 30. septembrī):
(Novērtētas problēmas sarkanā krāsā.)
10. lekcijas 3.2.1. Punkta b) apakšpunkts, 3.2.3. Punkta a), b), 3.2.4. A), b), 3.2.8., 3.2.14. A), b), 12. piezīmes
3.2.6 (a), (b), 3.2.7 (a), (b), 3.2.9 (b), 3.2.10, 3.2.11 (a), (b), 3.2.13., No lekcijas 10 piezīmes: (1) - (11), (20) - (24)

Mājas darbs 5 (paredzēts ceturtdien, plkst. 8/5):
3.3.1., 3.3.2. A) –d), 3.3.8., 3.3.12., 3.4.1., 3.4.5., 3.4.7., 3.4.9., 4.2.5., 4.2.7., 4.3.1. b), 4.3.9., 4.3.11
3.3.3., 3.3.9., 3.3.11., 3.4.2., 3.4.8., 3.5.4., 3.5.5., 3.5.8., 10., 4.2.6., 4.2.9., 11., 4.3.3. A) , 4.3.4., 4.3.10., 4.4.2.a),

Mājas darbs 6 (nav paredzēts):
4.4.1 (a) - (b), 4.4.11, 4.5.6 (a) - (b), 4.5.8, 5.2.6 (a) - (b), 5.2.6 (a) - (b) ), 5.3.1. A), 5.3.2
4.4.4. A) - c), 4.4.7., 4.4.9. A) - b), 4.5.5., 4.5.7., 5.2.1., 5.2.11. A) - b), 5.3. .5


7.1: Dimensiju analīze - matemātika

Visi MDPI publicētie raksti ir nekavējoties pieejami visā pasaulē ar atvērtas piekļuves licenci. Lai atkārtoti izmantotu visu MDPI publicēto rakstu vai tā daļu, ieskaitot attēlus un tabulas, nav nepieciešama īpaša atļauja. Rakstiem, kas publicēti ar brīvpiekļuves Creative Common CC BY licenci, jebkuru raksta daļu var atkārtoti izmantot bez atļaujas, ja ir skaidri norādīts oriģināls.

Feature Papers ir vismodernākais pētījums ar ievērojamu potenciālu, lai šajā jomā būtu liela ietekme. Rakstus par zinātniskajiem redaktoriem iesniedz pēc individuāla uzaicinājuma vai ieteikuma, un pirms publicēšanas tie tiek salīdzināti.

Feature Paper var būt vai nu oriģināls pētniecības raksts, nozīmīgs jauns pētījums, kas bieži ietver vairākas metodes vai pieejas, vai arī visaptverošs pārskata dokuments ar kodolīgiem un precīziem atjauninājumiem par jaunākajiem sasniegumiem šajā jomā, kas sistemātiski pārskata aizraujošākos sasniegumus zinātnes jomā. literatūra. Šāda veida papīrs sniedz nākotnes pētījumu virzienus vai iespējamos pielietojumus.

Redaktora Choice rakstu pamatā ir MDPI žurnālu zinātnisko redaktoru ieteikumi no visas pasaules. Redaktori izvēlas nelielu skaitu nesen žurnālā publicētu rakstu, kuri, viņuprāt, būs īpaši interesanti autoriem vai svarīgi šajā jomā. Mērķis ir sniegt momentuzņēmumu par dažiem aizraujošākajiem darbiem, kas publicēti dažādās žurnāla pētniecības jomās.


Teritoriju minimizējošu virsmu regulētība

10.4. Maksimālais princips

Par n ≥ 2, ļaujiet S1 un S2 būt (n − 1)-izmēru, platību samazinošas, koriģējamas strāvas iekšā R n , un ļaujiet Mi = spt Si. Pieņemsim, ka M1 un M2 krustojas punktā a, kas kādā a apkaimē atrodas M1 un M2 ir gludi submanifoldi un ka M2 atrodas vienā pusē no M1. Tad kādā a apkārtnē M1 un M2 sakrīt.

Piezīme. Maksimālais princips attiecas uz atsevišķu laukumu samazinošām virsmām un vispārīgāk. Patiešām, Ilmanens to vispārina ar minimālām virsmām (stacionāri neatņemami daudzveidīgie, ne vienmēr minimizējot laukumu), kuru vienskaitļa kopas ir (n - 3) dimensiju Hausdorfa mērs 0. Zālamans un Vaits stacionāras hipersegas apstrādā gludiem, vienmērīgiem eliptiskiem integrandiem, no kuriem vismaz viens ir gluds.

Pierādījums. Plkst a, M1 un M2 var lokāli apskatīt kā funkciju grafikus u1 un u2, kas atbilst minimālajam virsmas vienādojumam (6.2 (1)). Pēc standarta maksimālā principa, galvenokārt Hopf [Satz 1 ′] dēļ, funkcijas u1 un u2 sakrīt.

Nākamā Simona lemma nodrošināja likumsakarības teorēmas galīgo sastāvdaļu. Piezīmē, kas seko teorēmas pierādījumam, mēs apspriežam tās neizdošanos n ≥ 8. Šī lemma apzīmē diferenciālās ģeometrijas solo izskatu bez mēru teorijas.


7.4 Šūnu veida dekonvolūcija

Ir vēl viens aspekts tam, kā telpiskie un scRNA-seq dati papildina viens otru. Masīvos balstītās tehnikās, kurām nav vienas šūnas izšķirtspējas, katras vietas šūnu tipa sastāvu var novērtēt ar scRNS-seq datiem. Varbūt ST un Visium pieaugošās popularitātes dēļ pagājušajā gadā ir izstrādātas vairākas šūnu tipa dekonvolūcijas metodes, kas iedalītas trīs kategorijās: daļa citu paku, NMF un statistiskā modelēšana. Lai gan var izmantot jebkuru rīku, kas paredzēts RNS-seq masveida datu šūnu veida dekonvolācijai, šī sadaļa īpaši koncentrējas uz šūnu tipa dekonvolūcijas rīkiem, kas izstrādāti, domājot par telpiskajiem datiem.

7.4. Tabula: Šūnu tipa dekonvolūcijai pieminētie iepakojumi
Nosaukums Valoda Nosaukums Publicēšanas datums
NMFreg Python MATLAB Slide-seq: Mērogojama tehnoloģija visā genoma ekspresijas mērīšanai ar lielu telpisko izšķirtspēju 2019-03-29
Seurat3 R Visaptveroša vienšūnas datu integrācija 2019-06-13
Tangram Python Dziļa mācīšanās un peles smadzenēs telpiski atrisinātu veselu atsevišķu šūnu transkripciju saskaņošana ar Tangram 2020-08-30
stereoskopu Python Vienšūnu un telpiskā transkriptomika ļauj ticami secināt šūnu tipa topogrāfiju 2020-10-09
DSTG Python DSTG: Telpisko transkripptikas datu atšķaidīšana, izmantojot grafikā balstītu mākslīgo intelektu 2021-01-22
SPOTlight R SPOTlight: izsēta NMF regresija, lai dekonvolētu telpiskās transkriptikas vietas ar vienas šūnas transkriptomiem 2021-02-05
RCTD R Šūnu tipa maisījumu spēcīga sadalīšanās telpiskajā transkriptikumā 2021-02-18
Džoto R Džoto, cauruļvads vienšūnu telpisko transkripptisko datu integratīvai analīzei un vizualizēšanai 2021-03-08

Dažām paketēm, kas jau minētas iepriekšējās sadaļās, ir arī šūnu veida dekonvolūcijas funkcijas. Piemēram, Seurat datu pārsūtīšanu, pamatojoties uz enkuriem starp datu kopām, var izmantot arī šūnu tipa anotāciju pārsūtīšanai, un ad hoc Pārsūtīto šūnu tipu rādītājs ir izmantots kā šūnu tipa sastāva kvalitatīvs rādītājs Visium plankumos (Mantri et al. 2020). Džoto īsteno 3 kvalitatīvas šūnu tipa dekonvolūcijas metodes: Pirmkārt, rezultāts, kas balstīts uz marķiera gēnu ekspresijas reizes izmaiņām plankumā, salīdzinot ar vidējo rādītāju plankumos. Otrkārt, vēl viens vērtēšanas gēns, kas vērtē specifiskumu gan scRNA-seq šūnu tipos, gan ST vai Visium plankumos, un 100 labāko gēnu punktu summa ir šūnu tipa bagātināšanas rādītājs katrai vietai. Šīm divām metodēm p vērtības aprēķina pēc permutācijas testēšanas. Treškārt, ņemot vērā fiksētu šūnu tipa marķieru gēnu kopumu, hipergeometrisko testu izmanto, lai pārbaudītu marķiera gēnu bagātināšanu starp 5% izteiktākajiem plankuma gēniem. Lietā Tangram var secināt šūnu kartēšanas matricu no scRNS-seq līdz ST vai Visium, jo ​​pamatnes patiesības šūnu blīvumu vienā vietā var izmērīt no H & ampE krāsošanas. Kad šūnas no scRNS-seq tiek kartētas ar punktiem ST un Visium, tiek kartētas arī šūnu tipa anotācijas.

Gan pirmskolas, gan pašreizējā laikmetā NMF ir diezgan populāra starp datu analīzes metodēm, jo ​​faktoriem (šūnu iegulumiem) un gēnu ielādēm parasti ir blokveida struktūras, un bāzes un slodzes vērtības tiek izpildītas kā negatīvas, kas atbilst gēnu ekspresijas datu negatīvajam raksturam un padara rezultātus skaidrāk interpretējamus. Faktoru bloki var atspoguļot šūnu tipus vai kopas, un bloki gēnu ielādē var atspoguļot šūnu tipa marķiera gēnus. NMF ir izmantots arī šūnu tipa dekonvolūcijai. Lai novērstu slaidu seku (1. versija) trūkumu vienas šūnas izšķirtspējā un sliktu efektivitāti, NMFreg tika izstrādāts, lai rekonstruētu katras vietas ekspresijas profilu kā svērto šūnu tipa parakstu summu no scRNA-seq (Rodriques et al. 2019) . Pirmkārt, scRNS-seq gēnu skaitīšanas matrica ar interesējošiem šūnu tipiem un šūnu tipa anotācijām tiek sadalīta ar NMF, un katrs faktors tiek piešķirts šūnu tipam, un vienam šūnu tipam var būt vairāki faktori. Tad, lai aprēķinātu faktoru svērtās summas svarus katram punktam, tiek izmantoti negatīvie mazākie kvadrāti. Tā kā šādi svari parasti nepiešķir plankumus šūnu tipiem, iespējams, pateicoties scRNS-seq un slide-seq datu retumam, tad svari tiek sliekšņi. Slieksnis ir maksimālā šūnu ielāde šūnās, kuras šī šūnu veida faktoros nav piešķirtas interesējošajam šūnu tipam. Šim šūnu tipam svari tiek turēti tikai tad, ja šo faktoru svara vektora (l_2 ) norma pārsniedz slieksni. Citā uz NMF balstītā metodē SPOTlight (Elosua et al. 2020) tiek izmantots ļoti līdzīgs princips.

Šūnu veida dekonvolūciju var veikt arī, skaidri modelējot plankuma līmeņa gēnu ekspresiju atsevišķu šūnu tipu izteiksmē. Stereoskopā (Andersson et al. 2019) negatīvs binomiālais sadalījums ir piemērots katra gēna ekspresijai katrā šūnu tipā scRNS-seq datos. Pēc tam katrā vietā gēnu ekspresija tiek modelēta kā katra šūnu veida negatīvo binomiālo sadalījumu svērtā summa, un svarus novērtē pēc maksimālās varbūtības novērtēšanas (MLE). Programmā Robust Cell Type Decomposition (RCTD) (Cable et al. 2020) gēnu ekspresija katrā vietā tiek modelēta kā Puasona sadalījums, kura vidējais lielums ir paredzamais ātrums, kas mērogots pēc kopējās atšifrējumu skaita vietā. Log rate ir katra šūnas tipa vidējās gēnu ekspresijas vidējās svērtās summas žurnāla summa no skRNS-seq atsauces, fiksēta vietas specifiska efekta termiņa, gēnu specifiskas platformas nejaušas ietekmes un cita gēnu specifiska nejaušas iedarbības termiņa pārmērīgai izkliedēšanai. . Pēc tam parametrus, ieskaitot šūnu veida svaru, novērtē ar MLE.

Pavisam nesen grafu konvolucionālais neironu tīkls (GCN) tika piemērots šūnu tipa dekonvolūcijai DSTG (Su un Song 2020). Pirmkārt, scRNA-seq šūnas tiek nejauši iedalītas 2 līdz 8 šūnu “plankumos”, veidojot pseido-ST datu kopu.Tad pseido-ST un reālie ST dati tiek projicēti uz CCA telpu, un šajā telpā tiek uzbūvēts savstarpējs (k ) tuvākā kaimiņa grafiks. Pēc tam gan pseido, gan reālie ST dati un grafiks tiek ievadīti GCN, apmācīti, lai samazinātu šķērsojošo entropiju starp aprēķināto šūnu sastāvu un faktisko šūnu sastāvu pseido-ST plankumos. Visbeidzot, apmācīto modeli izmanto, lai prognozētu šūnu sastāvu reālos ST datos.


Burcu Gürbüz

(2019) J. Pezs Čavess, B. Girbibs, C.M. A. Pinto, Agresīvās ķīmijterapijas ietekme HIV / AIDS vēža dinamikas modelī, Commun Nonlinear Sci Numer Simul, (75) 109–120, DOI: 10.1016 / j.cnsns.2019.03.021.

(2018) M. Çetin, B. Gürbüz, M. Sezer, Lucas kolokācijas metode augstas kārtas lineāro funkcionālo diferenciālo vienādojumu sistēmai, J Sci Arts, 4 (45) 891–910.

(2018) E. Gökmen, B. Gürbüz, M. Sezer, Skaitliskā tehnika funkcionālu integro-diferenciālu vienādojumu ar mainīgām robežām atrisināšanai, Comput Appl Math, 1–15, DOI: 10.1007 / s40314-018-0653-z.

(2018) B. Gürbüz, M. Sezer, Modificēta Laguerre kolokācijas metode 1-dimensiju paraboliskas konvekcijas-difūzijas problēmu risināšanai, Math Meth Appl Sci, 41, 8481–8487, DOI: 10,1002 / mma 4721.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Jauna skaitļošanas metode, kuras pamatā ir Laguerre polinomi noteiktu nelineāru daļēju integro diferenciālo vienādojumu risināšanai, Acta Phys Pol A, 132 (3) 561–563, DOI: 10.12693 / APhysPolA.132.561.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Laguerre kavēšanās daļēju funkcionālo diferenciālo vienādojumu klases polinomi, Acta Phys Pol A, 132 (3) 558-560, DOI: 10.12693 / APhysPolA.132.558.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Laguerre polinoma pieeja nelineāru Kleina-Gordona vienādojumu risināšanai, Malaizijas J Math Sci, 11 (2) 191–203.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Viendimensiju paraboliskās konvekcijas-difūzijas problēmu skaitliskie risinājumi, kas rodas bioloģijā, izmantojot Laguerre kolokācijas metodi, BIOMATH, 6 (1) 1–5 1706047, DOI: 10.11145 / j.biomath .2017.06.047.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Paraboliska tipa Volterra daļēju integro-diferenciālo vienādojumu skaitliskais risinājums ar Lagerras kolokācijas metodi, Int J Appl Phys Math, 7 (1) 49–58, DOI: 10.17706 / ijapm. 2017.7.1.49-58.

(2016) B. Gürbüz, M. Sezer, hibrīds skaitlisks algoritms ar kļūdu novērtējumu funkcionālo integro-diferenciālvienādojumu klasei, Gazi Uni J Sci, 29 (2) 419-434.

(2016) B. Gürbüz, M. Sezer, Laguerre polinomiskie risinājumi sākotnējo un robežvērtību problēmu klasei, kas rodas zinātnes un inženierzinātņu jomā, Acta Phys Pol A, 129 (1) 194–1977, DOI: 10.12693 / APhysPolA. 130.194.

(2016) B. Türkyılmaz, B. Gürbüz, M. Sezer, Morgan-Voyce polinoma pieeja augstas pakāpes lineāru diferenciālo atšķirību vienādojumu risināšanai ar atlikušo kļūdu novērtējumu, Düzce Uni J Sci Tech, 4 252–263.

(2015) B. Aslan Bülbül, B. Gürbüz, M. Sezer, Teilora matricas-kolokācijas metode, kas balstīta uz atlikušo kļūdu Lane-Emden tipa diferenciālvienādojumu risināšanā, New Trends Math Sci, 3 (2) 219–224.

(2015) B. Aslan Bülbül, B. Gürbüz, M. Sezer, Jauna kolokācijas metode jauktu lineāru Integro-diferenciālo atšķirību vienādojumu risināšanai, New Trends Math Sci, 3 (2) 133-146.

(2014) B. Gürbüz, M. Sezer, C. Güler, Laguerre kolokācijas metode Fredholmas integro-diferenciālvienādojumu risināšanai ar funkcionāliem argumentiem, J Appl Math, 2014, DOI: 10.1155 / 2014/682398.

(2014) B. Gürbüz, M. Sezer, Laguerre polinoma pieeja Lane-Emden tipa funkcionālo diferenciālo vienādojumu risināšanai, Appl Math Comput, 242, 255–264, DOI: 10.1016 / j.amc.2014.05.058.

(2011) B. Gürbüz, M. Gülsu, M. Sezer, Augstas kārtas lineāro kavēšanās starpības vienādojumu ar mainīgiem koeficientiem skaitliskā pieeja Laguerre polinomu izteiksmē, Math Comput Appl, 16 (1) 267–278.

(2011) M. Gülsu, B. Gürbüz, Y. Öztürk, M. Sezer, Laguerre polinoma pieeja lineāru kavēšanās starpības vienādojumu risināšanai, Appl Math Comput, 217, 676–6776, DOI: 10.1016 / j.amc.2011.01. 112.

(2011) B. Gürbüz, M. Gülsu, M. Sezer, Diferansiyel fark denklemlerinin Laguerre sıralama yöntemi ile nümerik çözümleri, Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 27 (1) 75–87.


Dimensiju analīze. Vai arī: kāpēc debesis ir zilas?

"Kāpēc debesis ir zilas?" ir viens no šiem kanoniskajiem mazo bērnu jautājumiem, kas ir stenogramma par "zinātkāru, sīku cilvēku, kas sajauc savus pieaugušos". Kaut arī jūsu vidējais pieaugušais cilvēks, iespējams, nezina, kāpēc debesis ir zilas pie viņu galvas, šī ir nākotne, un internetā ir daudz un daudz noderīgu paskaidrojumu par ļoti interesantajiem iemesliem.

Viena lieta, kas mani vienmēr satrauc skaidrojumi, tomēr ir tā, ka viņiem ir jāpiekrīt vienam no vissvarīgākajiem gabaliem (proti, kāpēc augstfrekvences gaisma izkliedē vairāk nekā īsfrekvences gaisma. Ja jums tas nav jēgas, nedariet nesatraucies, es to īsi apskatīšu). Izlaišana, kāpēc tas notiek, nozīmē, ka atbilde uz "kāpēc debesis ir zilas?" tikai izraisīs citu Kāpēc? jautājums. Protams, esmu ticami informēts, ka bērni Kāpēc-Ness jautājumu dziļumos to tik un tā turpinās darīt, taču daži no mums nekad no tā nav izauguši un kļuvuši par zinātniekiem.

Jebkurā gadījumā es domāju, ka būtu interesanti izpētīt Kāpēc? ko paceļ zilās debesis, it īpaši tāpēc, ka viens no veidiem, kā aplūkot atbildi, nonāk pie teorētiķa rīkkopas ļoti svarīga rīka: dimensiju analīzes. Runājot par to, noteikti pieaugs daudz vairāk Kāpēc ?, bet tas ir lielākais fizikas prieks: vienmēr ir cits iemesls.

Labi, vispirms apskatīsim atbildi uz jautājumu "Kāpēc debesis ir zilas?" ko atradīsit, ja ierakstīsit to visu zinošajā google. Es norādīšu mazliet, kas man prasa sīkāku skaidrojumu.

Dienas laikā debesis (bez mākoņiem) ir zilas. Kā tas var būt? Galu galā, ja jūs neskatāties uz Sauli un nededzināt tīklenes, skatoties debesīs, jūs neredzat neko citu kā tukšu gaisu. Tur augšā nav nekas, kas atstaro vai izstaro gaismu: skatoties tukšās debesīs, nav neviena fotona avota, kas varētu skart acis.

Pierādījums tam ir vienkāršs. Ej, skaties debesīs naktī, un, jā, tur augšā nekas cits kā pavadoņi, planētas un zvaigznes, no kuriem neviens nav tik spožs, lai kaut kādā nozīmīgā veidā apgaismotu debesis.

Labi, bet mēs noteikti kaut ko redzam, kad skatāmies tukšā telpā: mēs redzam zilu gaismu. No kurienes tas nāk? Vienīgais pietiekami spožais avots ir Saule, un mēs zinām, ka, kad Saule noriet, līdz ar to iet arī apgaismojums no zilajām debesīm. Tātad gaisma, ko mēs redzam no zilajām debesīm, nāk no Saules, un tā kaut kā tiek novirzīta, lai sasniegtu mūsu acis.

Tātad tam, kas notiek, ir tas, ka gaisma no Saules iet caur atmosfēru, gaisma, kas iet nepareizā virzienā, lai sasniegtu jūsu acis, tiek izkaisīti pa gaisu. Šī izkliedētā gaisma iziet visos virzienos, un daži no tiem nokļūst acīs, ļaujot jums redzēt gaismu, kas šķietami nāk no "gaisa vidus" - vietas, kurai nav būtiska fotonu avota.

Redzamās gaismas spektrs, kas uztverto krāsu saista ar viļņa garumu nanometros. (Attēls no Vikipēdijas)

Lūk, šeit parasti ienāk puntis. Lai debesis šķistu zilas, jums jāpieņem šāds fakts: augstākas frekvences (mazāka viļņa garuma) gaisma atmosfērā izkliedē vairāk nekā zemas frekvences (liela viļņa garuma) gaisma.

Šeit esmu iekļāvis redzamā spektra attēlu. Gara viļņa gaisma - gaisma, kur attālums starp elektromagnētiskā viļņa "virsotnēm" ir salīdzinoši liels - atbilst zemai frekvencei un zemākai enerģijai, un mūsu acis to uztver kā sarkanākas krāsas. Sarkanā enerģija ir aptuveni 650 nm (650 miljardās metra daļas) vai aptuveni 2 "elektronvolti" (eV). Īsi viļņu garumi ir lielāka enerģija un ir zilākas krāsas. Violeta pie 400 nm viļņa garuma ir aptuveni 3 eV. Konversijas koeficients ir $ E_ gamma = frac < lambda> = frac <1240

mbox> < lambda>, $ kur $ h $ ir Planka konstante, $ c $ ir gaismas ātrums un $ lambda $ ir gaismas viļņa garums.

Tātad, zilā gaisma izkliedē gaisā vairāk nekā sarkanā gaisma. Ja jūs to pieņemat, tad zilajām debesīm ir jēga. Pati Saule ir diezgan daudz balta gaisma: aptuveni vienmērīgs visu viļņu garumu sajaukums. Ņemot vērā to, ka zilā gaisma izkliedē vairāk nekā sarkanā gaisma, kad Saule atrodas augstu debesīs un jūs skatāties kādu nejaušu punktu debesīs (nevis tieši uz Sauli), tad gaismā, kas skar jūsu aci, ir vairāk zilo fotonu nekā sarkanie fotoni, jo vairāk zilās gaismas novirza gaiss.

Kad Saule riet vai lec, un jūs skatāties Saules virzienā, debesis ir sarkanas. Tas ir tāpēc, ka jūs redzat, kā gaisma ir pārvietojusies vairāk gaisa (tai ir ne tikai jāpārvieto no kosmosa uz leju, bet arī uz horizonta). Vairāk zilo fotonu ir izkaisīti prom, jo ​​ilgāks ceļojuma laiks, ko cilvēki ap horizontu lūkojas debesīs, redz jūsu trūkstošo zilo, atstājot tikai tos skaistos sarkanos, apelsīnus un dzeltenumus.

Malā, pati Saule ir gandrīz balta, pateicoties Saules virsmas temperatūrai. Kāpēc mēs to patiesībā redzam kā dzeltenu, man nav skaidrs. Varbūt tāpēc, ka mēs nevaram skatīties tieši uz Sauli, kad tā atrodas augstu debesīs (kad tiešie saules stari ir mazāk izkliedēti), un tikai tad, kad tā atrodas zemu debesīs (kad izkaisīta vairāk zilas krāsas, atstājot dzeltenus, apelsīnus un sarkanie). Varbūt tas ir garīgās apstrādes jautājums, kur balts uz zila tiek uzskatīts par dzeltenīgu. Varbūt pietiekoši zilā krāsa ir izkaisīta, lai pārējo mēs redzētu kā dzeltenu / sarkanu. Tas rada interesantu (un pilnīgi atsevišķa emuāra ieraksta cienīgu) jautājumu par to, kā mēs uztveram krāsu. Īsāk sakot, ir raksturīga gaismas krāsa: viļņa garums. Tad ir veids, kā šīs dažādās enerģijas paketes mijiedarbojas ar sarežģīto ķīmisko sistēmu mūsu acīs, lai nosūtītu signālus mūsu smadzenēm. Tad ir tas, kā mūsu smadzenes apstrādā šos signālus, lai redzētu "krāsu". Šajā amatā es runāju tikai par pirmā veida krāsu, kas patiesībā ir tikai viļņa garums vai sarkanā enerģija ir tikai gaisma pie aptuveni 600 nm, kas ir tikai pirmā daļa no ilga procesa, kas mums norāda, vai mēs redzam šo gaismu kā "sarkans."

Zaļā zibspuldze saulrietā. Brocken Inaglory attēls, izmantojot wikipedia.

Kā citu malā, kā ir ar Saules zaļo gaismu? Dienas debesis ir zilas, rītausma un krēsla no dzeltenas līdz oranžai. Kur ir mūsu zaļais? Nu, acīmredzot šo sarežģīto ķīmiskās un neiroloģiskās apstrādes problēmu dēļ objektus, kas spīd temperatūras dēļ, nav iespējams redzēt kā "zaļus". Tātad, pat ja mēs atrastos ap vēsāku zvaigzni nekā mūsu Saule, zvaigzne, kas galvenokārt izstaro gaismu zaļajos viļņu garumos, mūsu acis to neuzskatītu par zaļu, ķīmiskie procesi mūsu stieņos un konusos uzņemtu pārāk daudz pārējo viļņu garumu. un mums tas nešķistu zaļš. Tas ir kaut kas dīvaini, jo, dzīvniekiem attīstoties uz planētas, kas pilna ar zaļām lapotnēm, mēs patiešām esam neticami labi, izvēloties dažādus zaļās krāsas toņus, taču tur tā ir. Zaļo zvaigžņu nav, pateicoties tam, kā darbojas mūsu acs un kā darbojas lietas, kas mirdz no viņu pašu siltuma.

Tomēr, ja atmosfēras apstākļi ir piemēroti, saulrietā ik pa laikam var redzēt "zaļo zibspuldzi", īsu brīdi, kad visas pārējās Saules krāsas var izkliedēties vai lauzt, un jūs redzat tikai zaļo. Tas prasa, lai gaisa temperatūra un kvalitāte būtu pareiza, un tā ir ļoti reta. Es nekad to neesmu redzējis.

Tātad šim stāstam ir pilnīga jēga, vai ne? Debesis ir zilas viena vienkārša fakta dēļ: zila gaisma izkliedē vairāk nekā sarkana. Vienīgais, ko varat redzēt, dienas laikā skatoties augšup, ir izkliedēta gaisma, tāpēc redzat vairāk zilu nekā sarkanu. Tādējādi debesis ir zilas.

Bet pagaidiet, kāpēc? Kāpēc zils ir izkaisīts vairāk nekā sarkans? Kāpēc ne otrādi? Vai kāpēc viens viļņa garums izkliedējas vairāk nekā otrs, vai visi nevar vienmērīgi izkliedēt? Viss, ko esmu darījis, ir aizstājusi vienu problēmu ar citu.

Uz ko es saku, laipni lūdzam zinātnē.

Tāpēc tagad es gribu mēģināt mazliet paskaidrot, kāpēc gaisa molekulas izkliedēs vairāk zilas gaismas nekā sarkanas. Daži no šiem jēdzieniem ir sarežģīti, un izrādās, ka tie aptver daudz dažādu daļiņu fizikas jomu, un izskaidrojums, visticamāk, nav tāds, kas būtu ļoti jēgpilns zinātkārajam mazulim, kurš jautā: "Kāpēc?" Tomēr tas ir jauks piemērs tam, kā domāt par daļiņu fiziku, tāpēc varbūt kādam sīkam interneta stūrītim tas šķitīs interesants un noderīgs.

Pirmkārt, ļaujiet man atgriezties pie kaut kā, ko iepriekš izmetu bez īpašiem komentāriem: fakts, ka augstas enerģijas atbilst nelieliem attālumiem un otrādi. To, ka es varu brīvi pārveidoties starp garumu un (apgriezto) enerģiju, padara iespējamas Dabas konstantes, jo īpaši Plankas konstante un gaismas ātrums. Tas var šķist patiešām patvaļīga lieta, galu galā mūsu makroskopiskajā pasaulē lietas ar lielu enerģiju mēdz būt lielas. Bet daļiņu līmenī, jo vairāk enerģijas iesaiņo daļiņā, tas ir mazāks mēs varam domāt, ka šī daļiņa ir. Tāpēc mēs lielo hadronu paātrinātāju dažkārt saucam par "labāko pasaules mikroskopu". Tas iesaiņo daudz enerģijas daļiņās, tāpēc "redz" ļoti mazus attālumus.

Šī saikne starp enerģiju un attālumu ir neticami svarīga fizikā. Tas, iespējams, ir vissvarīgākais, kas jāsaprot šajā visā ierakstā, tāpēc es to pat uzsvēršu jums: daļiņu fizikā augstas enerģijas atbilst nelieliem attālumiem un īsiem laikiem un otrādi. Kad jūs kādu laiku esat nodarbojies ar teorētisko fiziku, patiesībā jūs sāksit domāt par visiem dimensiju lielumiem enerģijas vienībās un pārtrauksit domāt par ilgumu vai laiku. Man enerģijai ir 1. dimensija (šī dimensija: enerģija, parasti "giga-elektronvoltu" vai GeV vienībās, jo es daudz strādāju pie LHC fizikas). Attālums ir garums, tāpat arī dimensija -1 (apgrieztā enerģija). Temperatūra ir enerģija, dimensija 1. Laika intervāls ir tieši tāds pats kā garums (es pārrēķinu starp abiem, vaicājot "kāds attālums šajā laikā būtu gaismas ceļojums", par kuru visi vienojas relativitātes dēļ. Paldies Einšteinam), tāpēc laiks ir dimensija -1. Un tā tālāk.

Labi, tāpēc augstākas enerģijas gaisma atbilst mazākiem attālumiem. Kas no tā?

Nu, tagad pajautājiet, kā gaisma mijiedarbojas ar objektiem apkārtējā pasaulē. Gaisma ir elektromagnētiskā starojuma vilnis. Ja jūs izliekat elektrisko lādiņu, tas traucē elektrisko un magnētisko lauku netālu no lādiņa. Šis traucējums ir pašpietiekams un izplatās telpā, tāpat kā tad, ja jūs traucējat ūdens virsmu. Tā tas ir, elektriskā lādiņa vicināšana dod jums elektromagnētisko vilni, ko mēs saucam par gaismu.

Kad šī gaisma ietriecas citā elektriskā lādiņā, tā lādiņam līkumojas, kas var ļaut gaismu absorbēt un atkārtoti izstarot. Tas izraisa gaismas izkliedi vai atstarošanu ar materiāliem: lādēto elektronu vijoles atomos.

Bet gaisa molekulas, tāpat kā lielākā daļa apkārtējo materiālu, ir elektriski neitrālas. Tātad, lai gaisma izkliedētos gaisā, elektromagnētiskajam vilnim ir "jāredz", ka nav neitrāla skābekļa vai slāpekļa atoma, bet ka no uzlādētā kodola patiešām ir atdalīts lādētu elektronu kopums. Tas ir, gaismai jāspēj atrisināt nelieli attālumi. Un tas, jūs uzminējāt, prasa lielas enerģijas (kur "augsts" šeit nozīmē pietiekami daudz enerģijas, ka gaismas viļņa garums ir vismaz neskaidri salīdzināms ar attālumiem molekulu un atomu iekšienē).

Tas dod mums priekšstatu: augstākas enerģijas fotoni (zilāka gaisma) ir mazāka viļņa garuma, tāpēc viņi var labāk "redzēt", ka gaisa atomi, kuriem tie iet cauri, patiešām ir ķekars sīku atdalītu lādiņu, salīdzinot ar "redzamajiem atomiem". "ar zemu enerģiju, garu viļņu garumu, sarkanu gaismu. Un tas ir vēl loģiskāk, domājot par patiešām gara viļņa garuma gaismu, piemēram, radioviļņiem, kuru viļņu garums ir metrs vai vairāk. Jūs varat iegūt radioviļņus savā mājā, izejot taisni caur sienu, kuras redzamā gaisma nevar, jo radioviļņi ir pārāk lieli un pārāk maz enerģijas, lai redzētu niecīgo atdalījumu starp lādiņiem sienas atomos, ko redzamā gaisma var.

Tagad ļaujiet mazliet dziļāk. Iepriekšējā ierakstā minēju, ka fiziķiem patīk domāt par objektu izmēriem "šķērsgriezumu" izteiksmē. Tāpēc mēs varam mēģināt domāt par redzamās gaismas redzamo gaisa molekulu "lielumu" attiecībā uz "laukumu" (šķērsgriezumu jeb $ sigma $, kas katrai gaisa molekulai ir attiecībā pret gaismu. Lielāks $ sigma $ nozīmē ka gaiss ir "vieglāk" gaismai mijiedarboties, tāpēc gaisma izkliedētu vairāk.

Tagad šķērsgriezums ir apgabals. Platība ir kvadrāta garums. Tāpēc pēc maniem noteikumiem par garumu un enerģiju tas nozīmē, ka $ sigma $ ir dimensija -2: tam jābūt atkarīgam no $ 1 / mbox^ 2 $ par kādu enerģiju. Šāda veida domāšanas procesu, starp citu, sauc par "dimensiju analīzi". Ir patiešām noderīgi iegūt priekšstatu par to, kas varētu būt svarīgs fizikas problēmās.

Tātad, lai iegūtu šķērsgriezumu, man vajag nedaudz enerģijas. Kāda enerģija? Nu, mans pirmais minējums varētu būt fotona enerģija. Galu galā man ir tikai gaisa molekula un fotons, kas to trāpa. Nav daudz lietu, no kurām izvēlēties. Tāpēc mans pirmais minējums par molekulas lieluma mijiedarbību ar gaismu varētu būt:

Bet padomāsim par to mazliet vairāk. Šis minējums teiktu, ka manai fotonu enerģijai kļūstot mazākai, šķērsgriezumam vajadzētu kļūt lielākam un lielākam. Bet tas netiek izsekots ar to, ko mums saka mūsu fizikas intuīcija, tas ir, ka patiešām zemas enerģijas fotoni nespēj redzēt "iekšējos" atomus, lai grozītu lādiņus apkārt. Tātad $ sigma $ vajadzētu būt atkarīgam no $ E _ < rm photon> $ pozitīvajām, nevis negatīvajām.

Tāpēc mēģināsim vēlreiz. Bez enerģijas, kas ir atoma vai molekulas lielums, problēmā ir vēl viena skala. Es to varētu raksturot kā garumu, bet ļaujiet man to saukt par enerģiju: elektronam raksturīgo enerģiju gaisa molekulas iekšienē. Es to saucu par $ Lambda $. Man nav ne mazākās nojausmas, kas pašlaik ir $ Lambda $, izmēru analīze mums to informāciju nepateiks, taču tā ļauj mums virzīties uz priekšu.

Līdz ar to varētu būt otrs minējums par gaisa lielumu, ko redz gaisma

bet mēs zinām, ka tas nav pareizi, jo tas paredz, ka katrs fotons redz vienāda izmēra gaisu, un mēs zinām, ka tiešām zemas enerģijas fotoniem vispār nevajadzētu mijiedarboties. Tātad, apvienojot mūsu dimensiju analīzi ar jauno izpratni par attiecību starp enerģiju un lielumu, mēs to varam teikt

Mūsu dimensiju analīze tikai no šī apsvēruma līmeņa nenorādīs, kādai jābūt šai $ n $ vērtībai.

Izrādās, ka pareizā atbilde ir

Kāpēc tas ir ceturtais enerģijas spēks, ir vēl viena trušu caurums, kuru es ceru samazināt vēlāk (tur ir jauks skaidrojums par efektīvajiem operatoriem, kurus esmu redzējis Iain Stewart). Tomēr visas galvenās idejas ir šeit: mums ir fizikas jautājums. Tas var būt atkarīgs tikai no dažiem galvenajiem parametriem (atoma vai molekulas lielums, fotona enerģija). Lietai, kuru es vēlos aprēķināt, ir īpašs izmērs, šajā gadījumā tas ir apgabals, tātad -2 enerģijas vienības. Apvienojot to ar zināmu intuīciju par to, kādai atbildei jābūt konkrētās fotonu enerģijas robežās, mēs iegūstam vispārēju priekšstatu par to, kā atbildes atkarībai jābūt atkarīgai no esošajiem lielumiem. Viss pārējais detalizētais aprēķins "tikai" mums sniegs proporcionalitātes konstantes, lai pārvērstu starp kaut ko, kas "atkarīgs" no daudzumiem (ko apzīmē simbols $ propto $) uz kaut ko tādu, kas ir vienāds ar ($ = $) daudzumu daudzumu un Dabas konstantes. Tas ir liels darbs, ko tas "tikai" paveicis tur, un var šķist, ka es turpinu grandiozo tradīciju grūto problēmu puntēšanai pa ceļu un savā ziņā arī esmu.

Bet šī dimensiju analīzes ideja ir patiešām noderīga, un, cerams, es esmu sniedzis interesantu demonstrāciju, kāpēc.


Ģeometriskie objekti¶

Ģeometriskie objekti tiek veidoti tipiskā Python veidā, izmantojot pašas klases kā instanču rūpnīcas. Dažas to raksturīgās īpašības tiks aplūkotas šajā sadaļā, citas - nākamajās sadaļās par darbībām un sērijveidošanu.

Punktu, LineString un LinearRing gadījumiem vissvarīgākais atribūts ir ierobežota koordinātu secība, kas nosaka to iekšējo, robežu un ārējo punktu kopas. Līnijas virkni var noteikt pēc 2 punktiem, taču tajā ir bezgalīgs punktu skaits. Koordinātu secības nav maināmas. Trešo z koordinātu vērtību var izmantot, veidojot gadījumus, taču tā neietekmē ģeometrisko analīzi. Visas darbības tiek veiktas x-y plaknē.

Visos konstruktoros skaitliskās vērtības tiek pārveidotas par pludiņa tipu. Citiem vārdiem sakot, punkts (0, 0) un punkts (0,0, 0,0) rada ģeometriski līdzvērtīgus gadījumus. Shapely nepārbauda topoloģisko vienkāršību vai derīgumu gadījumiem, kad tie tiek veidoti, jo izmaksas vairumā gadījumu nav pamatotas. Apstiprinošās rūpnīcas var viegli ieviest, izmantojot: attr: is_valid predikātu lietotājiem, kuriem tās nepieciešamas.

Shapely ir plakanas ģeometrijas bibliotēka, un z, augstumu virs vai zem plaknes, ģeometriskajā analīzē neņem vērā. Lietotājiem šeit ir iespējama kļūda: koordinātu kopas, kas atšķiras tikai ar z, netiek atšķirtas viena no otras, un to pielietošana var radīt pārsteidzoši nederīgus ģeometrijas objektus. Piemēram, LineString ([(0, 0, 0), (0, 0, 1)]) neatgriež vertikālu vienības garuma līniju, bet nederīgu līniju plaknē ar nulles garumu. Tāpat daudzstūris ([(0, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)]) nav ierobežots ar slēgtu gredzenu un ir nederīgs.

Vispārējie atribūti un metodes¶

Atgriež objekta laukumu (pludiņu).

Atgriež (minx, miny, maxx, maxy) dubulto (peldošās vērtības), kas ierobežo objektu.

Atgriež objekta garumu (pludiņu).

Atgriež mazāko attālumu, par kuru mezglu varēja pārvietot, lai izveidotu nederīgu ģeometriju.

To var uzskatīt par ģeometrijas noturības mēru, kur lielākas minimālās atstarpes vērtības norāda uz stingrāku ģeometriju. Ja ģeometrijai, piemēram, punktam, nav minimālās atstarpes, tas atgriezīs math.infinity.

Nepieciešama GEOS 3.6 vai jaunāka versija.

Atgriež virkni, kas norāda objekta ģeometrijas tipu saskaņā ar 1. punktu.

Atgriež minimālo attālumu (pludiņu) līdz otram ģeometriskajam objektam.

Atgriež Hausdorfa attālumu (pludiņu) līdz otram ģeometriskajam objektam. Hausdorfa attālums starp divām ģeometrijām ir vistālākais attālums, kāds var būt kādā no abām ģeometrijām no tuvākā punkta otrai ģeometrijai.

Atgriež lēti aprēķinātu punktu, kas garantēti atrodas ģeometriskajā objektā.

Tas kopumā nav tas pats, kas centroid.

Punkti¶

Punktu konstruktors ņem pozīcijas koordinātu vērtības vai punktu kopēšanas parametrus.

Punktam ir nulle laukuma un nulle garuma.

Tās x-y ierobežojošais lodziņš ir (minx, miny, maxx, maxy) korpuss.

Koordinātu vērtībām var piekļūt, izmantojot koordinātas, x, y un z īpašības.

Koordinātas var arī sagriezt šķēlēs. Jauns versijā 1.2.14.

Punkta konstruktors pieņem arī citu punkta eksemplāru, tādējādi izveidojot kopiju.

LineStrings¶

LineString konstruktors ņem sakārtotu 2 vai vairāk (x, y [, z]) punktu kopu secību.

Uzbūvētais LineString objekts attēlo vienu vai vairākus savienotus lineārus splainus starp punktiem. Atkārtoti punkti sakārtotajā secībā ir atļauti, taču par tiem var tikt sodīti par sniegumu, un no tiem vajadzētu izvairīties. LineString var šķērsot sevi (i. jābūt sarežģītam un nevis vienkāršam).

1. attēls. Vienkārša LineString kreisajā pusē, sarežģīta LineString labajā pusē. Katra (MultiPoint) robeža ir parādīta melnā krāsā, pārējie punkti, kas apraksta līnijas, ir parādīti pelēkā krāsā.

LineString laukumam ir nulle un garums nav nulle.

Tās x-y ierobežojošais lodziņš ir (minx, miny, maxx, maxy) korpuss.

Definējošajām koordinātu vērtībām var piekļūt, izmantojot rekvizītu coords.

Koordinātas var arī sagriezt šķēlēs. Jauns versijā 1.2.14.

Konstruktors pieņem arī citu LineString instanci, tādējādi izveidojot kopiju.

LineString var izveidot arī, izmantojot jauktu punktu gadījumu vai koordinātu kopu secību. Atsevišķās koordinātas tiek kopētas jaunajā objektā.

Lineārie gredzeni¶

LinearRing konstruktors ņem sakārtotu (x, y [, z]) punktu virkņu secību.

Secību var skaidri noslēgt, nododot identiskas vērtības pirmajā un pēdējā indeksā. Pretējā gadījumā secība netieši tiks slēgta, kopējot pirmo kopu uz pēdējo indeksu. Tāpat kā ar LineString, atkārtoti punkti sakārtotā secībā ir atļauti, taču par tiem var tikt sodīti par izpildi, un no tiem vajadzētu izvairīties. LinearRing nedrīkst šķērsot pats sevi un nepieskarties sev vienā punktā.

2. attēls. Derīgs LinearRing kreisajā pusē, nederīgs pašpieskarošais LinearRing labajā pusē. Punkti, kas raksturo gredzenus, ir parādīti pelēkā krāsā. Gredzena robeža ir tukša.

Shapely netraucēs izveidot šādus gredzenus, taču, tos darbinot, tiks radīti izņēmumi.

LinearRing laukumam ir nulle un garums nav nulle.

Tās x-y ierobežojošais lodziņš ir (minx, miny, maxx, maxy) korpuss.

Definēšanas koordinātu vērtībām var piekļūt, izmantojot rekvizītu coords.

Konstruktors LinearRing pieņem arī citu LineString vai LinearRing gadījumu, tādējādi izveidojot kopiju.

Tāpat kā ar LineString, arī Point gadījumu secība nav derīgs konstruktora parametrs.

Daudzstūri¶

Daudzstūra konstruktors ņem divus pozīcijas parametrus. Pirmais ir sakārtota (x, y [, z]) punktu virkņu secība un tiek apstrādāta tieši tāpat kā LinearRing gadījumā. Otrais ir pēc izvēles nesakārtota gredzenveida secību secība, kas norāda objekta iekšējās robežas vai “caurumus”.

Derīga daudzstūra gredzeni nedrīkst šķērsot viens otru, bet var pieskarties tikai vienam punktam. Atkal Shapely neliedz izveidot nederīgas funkcijas, taču, tos darbinot, tiks radīti izņēmumi.

3. attēls. Kreisajā pusē derīgs daudzstūris ar vienu iekšējo gredzenu, kas vienā punktā pieskaras ārējam gredzenam, un labajā pusē - daudzstūris, kas nav derīgs, jo tā iekšējais gredzens pieskaras ārējam gredzenam vairāk nekā vienā punktā. Punkti, kas raksturo gredzenus, ir parādīti pelēkā krāsā.

4. attēls. Kreisajā pusē ir daudzstūris, kas nav derīgs, jo tā ārējie un iekšējie gredzeni saskaras pa līniju, un labajā pusē - daudzstūris, kas nav derīgs, jo tā iekšējie gredzeni saskaras pa līniju.

Daudzstūra platībai nav nulles un garumam nav nulles.

Tās x-y ierobežojošais lodziņš ir (minx, miny, maxx, maxy) korpuss.

Komponentu gredzeniem var piekļūt, izmantojot ārējās un iekšējās īpašības.

Daudzstūra konstruktors pieņem arī LineString un LinearRing gadījumus.

Taisnstūra daudzstūri notiek bieži, un tos var ērti izveidot, izmantojot funkciju shapely.geometry.box ().

formas.geometrija. lodziņš ( minx , miny , maxx , maxy , ccw = taisnība ) ¶

Izgatavo taisnstūra daudzstūri no norādītajām ierobežojošās lodziņa vērtībām, pēc noklusējuma rīkojot pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Šī ir pirmā izteiktā daudzstūra izpausme Shapely.

Lai iegūtu daudzstūri ar zināmu orientāciju, izmantojiet shapely.geometry.polygon.orient ():

formas.geometrija.poligons. orientēties ( daudzstūris , zīme = 1,0 ) ¶

Atgriež pareizi orientētu dotā daudzstūra kopiju. Parakstītajam rezultāta laukumam būs dotā zīme. 1.0 zīme nozīmē, ka produkta ārējā gredzena koordinātas tiks orientētas pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam.

Kolekcijas¶

Dažu Shapely darbību rezultātā var veidoties neviendabīgas ģeometrisko objektu kolekcijas. Piemēram, divas LineStrings var krustoties pa līniju un vienā punktā. Lai attēlotu šāda veida rezultātus, Shapely nodrošina frozenset līdzīgas, nemainīgas ģeometrisko objektu kolekcijas. Kolekcijas var būt viendabīgas (MultiPoint uc) vai neviendabīgas.

5. attēls. A) zaļa un dzeltena līnija, kas krustojas gar līniju un vienā punktā b) krustošanās vieta (zilā krāsā) ir kolekcija, kas satur vienu LineString un vienu punktu.

GeometryCollection dalībniekiem var piekļūt, izmantojot rekvizītu geoms vai protokolu iterator, izmantojot in vai list ().

Kolekcijas var arī sagriezt šķēlēs.

Ja iespējams, labāk ir izmantot kādu no turpmāk aprakstītajiem viendabīgajiem kolekcijas veidiem.

Punktu kolekcijas¶

MultiPoint konstruktors ņem punktu (x, y [, z]) punktu virkņu secību.

MultiPoint ir nulle laukuma un nulle garuma.

Tās x-y ierobežojošais lodziņš ir (minx, miny, maxx, maxy) korpuss.

Daudzpunktu kolekcijas dalībniekiem var piekļūt, izmantojot geoms īpašumu vai izmantojot iterator protokolu, izmantojot in vai list ().

Konstruktors pieņem arī citu MultiPoint instanci vai nepārkārtotu punktu eksemplāru secību, tādējādi veidojot kopijas.

Līniju kolekcijas¶

MultiLineString konstruktors ņem līnijai līdzīgu secību vai objektu secību.

6. attēls. Kreisajā pusē vienkārša, atvienota MultiLineString, un labajā pusē - vienkārša MultiLineString. Punkti, kas nosaka objektus, ir parādīti pelēkā krāsā, objektu robežas - melnā krāsā.

MultiLineString laukumam ir nulle un garums nav nulle.

Tās x-y ierobežojošais lodziņš ir (minx, miny, maxx, maxy) korpuss.

Tās dalībnieki ir LineString gadījumi, un tiem var piekļūt, izmantojot geoms īpašumu vai izmantojot iterator protokolu, izmantojot in vai list ().

Konstruktors pieņem arī citu MultiLineString gadījumu vai LineString gadījumu nesakārtotu secību, tādējādi veidojot kopijas.

Daudzstūru kolekcijas¶

MultiPolygon konstruktors ņem ārējo gredzenu un caurumu saraksta virkņu secību: [((a1,…, aM), [(b1,…, bN),…]),…].

Konkrētāk, konstruktors pieņem arī daudzstūra gadījumu nesakārtotu secību, tādējādi veidojot kopijas.

7. attēls. Kreisajā pusē derīgs MultiPolygon ar 2 dalībniekiem un labajā pusē - MultiPolygon, kas nav derīgs, jo tā dalībnieki pieskaras bezgalīgam punktu skaitam (gar līniju).

Tās x-y ierobežojošais lodziņš ir (minx, miny, maxx, maxy) korpuss.

Tās dalībnieki ir daudzstūra gadījumi, un tiem var piekļūt, izmantojot rekvizītu geoms vai izmantojot iteratora protokolu, izmantojot in vai list ().

Tukšas funkcijas¶

Funkcija “tukša” ir tāda, kuras punktu kopa sakrīt ar tukšo kopu nevis Nav, bet tāpat kā kopa ([]). Tukšas funkcijas var izveidot, izsaucot dažādus konstruktorus bez argumentiem. Gandrīz nevienu darbību neatbalsta tukšas funkcijas.

Var iestatīt tukšas pazīmes koordinātas, pēc kurām ģeometrija vairs nav tukša.

Koordinātu secības¶

Koordinātu saraksts, kas apraksta ģeometriju, tiek attēlots kā CoordinateSequence objekts. Šīs secības nedrīkst tieši inicializēt, bet tām var piekļūt no esošās ģeometrijas kā rekvizīta Geometry.coords.

Koordinātu secības var indeksēt, sagriezt un atkārtot, it kā tās būtu koordinātu kopu saraksts.

Daudzstūriem ir koordinātu secība to ārpusei un katram iekšējam gredzenam.

Daudzdaļīgām ģeometrijām nav koordinātu secības. Tā vietā koordinātu sekvences tiek saglabātas to sastāvdaļu ģeometrijās.

Lineārās atsauces metodes¶

Var būt noderīgi norādīt pozīciju pēc lineārām pazīmēm, piemēram, LineStrings un MultiLineStrings ar 1 dimensiju atsauču sistēmu. Shapely atbalsta lineāras atsauces, pamatojoties uz garumu vai attālumu, novērtējot attālumu pa ģeometrisku objektu līdz noteiktā punkta projekcijai vai punktu noteiktā attālumā gar objektu.

Lineārajām atsauču metodēm nepieciešama GEOS 3.2.0 vai jaunāka versija.

Atgrieziet punktu norādītajā attālumā pa lineāru ģeometrisku objektu.

Ja normalizētais arg ir True, attālums tiks interpretēts kā ģeometriskā objekta garuma daļa.

Atgriež attālumu pa šo ģeometrisko objektu līdz punktam, kas atrodas vistuvāk otram objektam.

Ja normalizētais arg ir True, atgrieziet normalizēto attālumu līdz objekta garumam. Metode project () ir interpolāta () apgrieztā vērtība.

Piemēram, līniju griešanai noteiktā attālumā var izmantot lineārās atsauces metodes.


Burcu Gürbüz

(2019) J. Pezs Čavess, B. Girbibs, C.M. A. Pinto, Agresīvas ķīmijterapijas ietekme HIV / AIDS-vēža dinamikas modelī, Commun Nonlineear Sci Numer Simul, (75) 109–120, DOI: 10.1016 / j.cnsns.2019.03.021.

(2018) M. Çetin, B. Gürbüz, M. Sezer, Lucas kolokācijas metode augstas kārtas lineāro funkcionālo diferenciālo vienādojumu sistēmai, J Sci Arts, 4 (45) 891–910.

(2018) E. Gökmen, B. Gürbüz, M. Sezer, Skaitliskā tehnika funkcionālu integro-diferenciālu vienādojumu ar mainīgām robežām atrisināšanai, Comput Appl Math, 1–15, DOI: 10.1007 / s40314-018-0653-z.

(2018) B. Gürbüz, M. Sezer, Modificēta Laguerre kolokācijas metode 1-dimensiju paraboliskas konvekcijas-difūzijas problēmu risināšanai, Math Meth Appl Sci, 41, 8481–8487, DOI: 10,1002 / mma 4721.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Jauna skaitļošanas metode, kuras pamatā ir Laguerre polinomi noteiktu nelineāru daļēju integro diferenciālo vienādojumu risināšanai, Acta Phys Pol A, 132 (3) 561–563, DOI: 10.12693 / APhysPolA.132.561.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Laguerre kavēšanās daļēju funkcionālo diferenciālvienādojumu klases polinomi, Acta Phys Pol A, 132 (3) 558–560, DOI: 10.12693 / APhysPolA.132.558.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Laguerre polinoma pieeja nelineāru Kleina-Gordona vienādojumu risināšanai, Malaizijas J Math Sci, 11 (2) 191–203.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Viendimensiju paraboliskas konvekcijas-difūzijas problēmu skaitliski risinājumi, kas rodas bioloģijā ar Laguerre kolokācijas metodi, BIOMATH, 6 (1) 1–5 1706047, DOI: 10.11145 / j.biomath .2017.06.047.

(2017) B. Gürbüz, M. Sezer, Paraboliska tipa Volterra daļēju integro-diferenciālo vienādojumu skaitliskais risinājums ar Lagerras kolokācijas metodi, Int J Appl Phys Math, 7 (1) 49–58, DOI: 10.17706 / ijapm. 2017.7.1.49-58.

(2016) B. Gürbüz, M. Sezer, hibrīds skaitlisks algoritms ar kļūdu novērtējumu funkcionālo integro-diferenciālo vienādojumu klasei, Gazi Uni J Sci, 29 (2) 419-434.

(2016) B. Gürbüz, M. Sezer, Laguerre polinomiskie risinājumi sākotnējo un robežvērtību problēmu klasei, kas rodas zinātnes un inženierzinātņu jomā, Acta Phys Pol A, 129 (1) 194–1977, DOI: 10.12693 / APhysPolA. 130.194.

(2016) B. Türkyılmaz, B. Gürbüz, M. Sezer, Morgan-Voyce polinoma pieeja augstas kārtas lineāru diferenciālo atšķirību vienādojumu risināšanai ar atlikušo kļūdu novērtējumu, Düzce Uni J Sci Tech, 4 252–263.

(2015) B. Aslan Bülbül, B. Gürbüz, M. Sezer, Teilora matricas-kolokācijas metode, kas balstīta uz atlikušo kļūdu Lane-Emden tipa diferenciālvienādojumu risināšanā, New Trends Math Sci, 3 (2) 219–224.

(2015) B. Aslan Bülbül, B. Gürbüz, M. Sezer, Jauna kolokācijas metode jauktu lineāru Integro-diferenciālo atšķirību vienādojumu risināšanai, New Trends Math Sci, 3 (2) 133-146.

(2014) B. Gürbüz, M. Sezer, C. Güler, Laguerre kolokācijas metode Fredholmas integro-diferenciālvienādojumu risināšanai ar funkcionāliem argumentiem, J Appl Math, 2014, DOI: 10.1155 / 2014/682398

(2014) B. Gürbüz, M. Sezer, Laguerre polinoma pieeja Lane-Emden tipa funkcionālo diferenciālo vienādojumu risināšanai, Appl Math Comput, 242, 255–264, DOI: 10.1016 / j.amc.2014.05.058.

(2011) B. Gürbüz, M. Gülsu, M. Sezer, Augstas kārtas lineāro kavēšanās starpības vienādojumu ar mainīgiem koeficientiem skaitliskā pieeja Laguerre polinomu izteiksmē, Math Comput Appl, 16 (1) 267–278.

(2011) M. Gülsu, B. Gürbüz, Y. Öztürk, M. Sezer, Laguerre polinoma pieeja lineāru kavēšanās starpības vienādojumu risināšanai, Appl Math Comput, 217, 676–6776, DOI: 10.1016 / j.amc.2011.01. 112.

(2011) B. Gürbüz, M. Gülsu, M. Sezer, Diferansiyel fark denklemlerinin Laguerre sıralama yöntemi ile nümerik çözümleri, Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 27 (1) 75–87.


Skatīties video: Matemātika mums apkārt (Oktobris 2021).