Raksti

13.9: Apspriediet: Loģikas pielietojums - matemātika


Izvēlieties reālu problēmu un mēģiniet to atrisināt, izmantojot to, ko uzzinājāt par loģiku šajā modulī. Iepazīstiniet problēmu un risinājumu pārējai klasei. Skatiet klasesbiedru publicētās problēmas un atbildiet uz vismaz divām. Lai iegūtu detalizētus norādījumus, izlasiet loģikas lietojuma norādījumus.

Izveidojiet jaunu pavedienu Loģikas lietojumprogramma forums Diskusiju padome lai veiktu šo uzdevumu.

Šis uzdevums ir obligāts, un tā vērtība ir līdz 20 punktiem.

Novērtēšanas kritērijiIespējami punkti
Problēma:
  • Vai tā ir reālās dzīves problēma?
  • Vai tas ir izaicinoši, nevis mazsvarīgi?
  • Vai tā ir unikāla problēma, nevis klasesbiedra norīkojuma kopija?
5
Stratēģijas:
  • Vai tiek izmantota viena vai vairākas vispārīgas problēmu risināšanas stratēģijas?
  • Vai stratēģijas ir pareizi noteiktas?
5
Prezentācija:
  • Vai problēma ir labi izskaidrota?
  • Vai problēmu risināšanas stratēģijas ir labi izskaidrotas?
  • Vai tiek izmantoti atbilstošie termini?
4
Jūsu atbildes:
  • Vai jūs ievietojāt vismaz divas atbildes?
  • Vai jūs paskaidrojāt, kā piemēri palīdzēja labāk izprast šī moduļa matemātiku?
  • Vai jūs uzdevāt jautājumus, lai saņemtu skaidrību, vai izteicāt ieteikumus, kā mainīt vai uzlabot sākotnējo pieteikuma sūtījumu vai citus pēcpārbaudes sūtījumus?
6

CC licencēts saturs, oriģināls

  • Matemātika liberālajai mākslai I.

    Loģika un kā tai vajadzētu ietekmēt mūsu mācību

    Pavadošā rakstā Logic mēs loģikas definīciju norādām kā pamatojuma, pierādīšanas, domāšanas vai secināšanas zinātni (saskaņā ar Oxford Compact English Dictionary). Loģiskās domāšanas centrā ir spēja spriest. Daudziem no mums šīs argumentēšanas prasmes bieži tiek pārbaudītas strīdu laikā. Spēja spriest ir viennozīmīgi vērtīga prasme! Bet vai tas ir kaut kas, ko mums vajadzētu "mācīt"? Vai bērni iemācās veidot loģiskus argumentus mājās?

    Clotilde Pontecorvo un Laura Sterponi veica pētījumus, lai izpētītu, "kā mazie itāļu bērni tiek socializēti līdz argumentētam diskursam", kurus viņi apkopo grāmatā "Mācīšanās dzīvei 21. gadsimtā". Viņi tuvojās argumentētai diskusijai kā argumentācijas veidam, kas tiek izmantots dažādu runas darbību laikā dažādos kontekstos. Abi konteksti, kurus viņi izvēlējās, bija stāstoša darbība pirmsskolā (bērni bija visi vecumā no 3 līdz 5 gadiem) un ģimenes vakariņu sarunas.

    Skolas vidē stāstījums vienmēr tika veidots kopīgi, lai bērni nepieņemtu viens otram pretējus uzskatus, bet izmantotu tos ideju pārformulēšanai. Diskusijā sekoja sarežģīti modeļi, kas saistīti ar hipotētisku apgalvojumu izmantošanu ar iespējamām negatīvām vai pretfaktiskām sekām. Piemēram, bērnu lasītajā stāstā meitene bija aizbēgusi. Notika diskusija par viņas vecumu. Viens zēns ieteica, ka viņa nevarētu būt pārāk jauna (hipotētisks apgalvojums ), jo tad viņa nebūtu bijusi pietiekami gudra, lai aizbēgtu (pretfaktiskas sekas ).

    Pie pusdienu galda bērns atkal sadarbojas, lai radītu stāstījumu. Tomēr šajā situācijā dalībnieku lomas mainās, un tas prasa sarežģītāku kognitīvo procesu izmantošanu. Tas ir saistīts ar attiecību raksturu ģimenē. Jo pazīstamāki apkārtējie cilvēki, jo vairāk risku esat gatavs uzņemties, paužot viedokli. Bieži mājās argumentēts diskurss ir saistīts ar noteikumu pārkāpšanu. Tas rada nosacītu paziņojumu modeli ar negatīvām sekām, ar kurām bērni iepazīstas. Piemēram, pētījumā māte brīdina savu 3 gadus veco meitu, ka viņai nevajadzētu aizmigt vēlu (nosacīts paziņojums ), jo, kad viņa to darīja iepriekšējā reizē, viņai tas bija licis slikti (negatīvās sekas ).

    Pontecorvo un Sterponi norāda, ka šīs divas diskusiju struktūras (viena notiek mājās, otra skolā) patiesībā ir ļoti līdzīgas. Tādējādi, pirms viņi apmeklē skolu, bērni jau būs pieredzējuši sarežģītus spriešanas modeļus.

    Tātad, kā tas mūs ietekmē kā skolotājus? Kad bērni iesaistās stāstījumā kā daļa no grupas, viņu atšķirīgie uzskati noved pie augsta līmeņa pārskatīšanas un uzlabošanas, un ar šo procesu viņi vairāk apzinās "domāšanu". Nodrošināt iespējas šāda veida stāstījumam mūsu klasēs ir vitāli svarīgi, bet tikpat svarīgi ir arī veids, kā mēs ar tiem rīkojamies. Skolotājam jācenšas reaģēt uz bērnu ieguldījumu, iespējams, tos atspoguļojot, vienlaikus veicinot "daudzbalsīgumu". Ja mēs varam veidot attiecības ar bērniem, kas veicina iepazīšanos un vieglumu, vienlaikus veicinot šāda veida mijiedarbību pašu skolēnu starpā, pamatojuma kvalitāte tiks uzlabota.

    Loģiskā domāšana matemātikas stundā

    Nav šaubu, ka spēja domāt loģiski ir matemātikas stūrakmens. Vai mēs varam kaut ko darīt, lai veicinātu un attīstītu šo prasmi matemātiskā kontekstā?

    Anne Watson un John Mason raksturo savu viedokli par matemātiku kā tādu, kas balstās uz tīras matemātikas un matemātiskās domāšanas struktūrām. Jebkurā matemātikas tēmā var izdarīt daudz dažādu apgalvojumu. Paziņojumus, kas attiecas uz konkrētu tēmu, varētu nosaukt par tā struktūru.


    Matemātikas pamati

    Matemātika ir kvantitātes zinātne. Tradicionāli bija divas matemātikas nozares, aritmētika un ģeometrija, kas nodarbojās ar divu veidu lielumiem: skaitļiem un formām. Mūsdienu matemātika ir bagātāka un nodarbojas ar plašāku objektu daudzveidību, taču aritmētikai un ģeometrijai joprojām ir galvenā nozīme.

    Matemātikas pamati ir matemātikas pamatjēdzienu un loģiskās struktūras izpēte, ņemot vērā cilvēku zināšanu vienotību. Starp elementārākajiem matemātiskajiem jēdzieniem ir: skaitlis, forma, kopa, funkcija, algoritms, matemātiskā aksioma, matemātiskā definīcija, matemātiskais pierādījums.

    Lasītājs var pamatoti jautāt, kāpēc matemātika vispār parādās šajā sējumā. Vai matemātika nav pārāk šaurs priekšmets? Vai matemātikas filozofija nav īpaši specializēta, vēl jo vairāk salīdzinājumā ar filozofijas plašajiem humānistiskajiem jautājumiem, piemēram, labo, patieso un skaisto?

    Matemātikas apspriešanai sējumā par vispārējo filozofiju ir trīs iemesli:

    1. Matemātikai vienmēr ir bijusi īpaša loma zinātniskajā domā. Matemātisko objektu abstraktais raksturs rada neparastas un unikālas filozofiskas problēmas.
    2. Matemātikas pamati ir priekšmets, kas vienmēr ir parādījis neparasti augstu tehnisko izsmalcinātību. Šī iemesla dēļ daudzi domātāji ir minējuši, ka matemātikas pamati var kalpot par paraugu vai modeli citu zinātņu pamatiem.
    3. Matemātikas filozofija ir kalpojusi kā ļoti precīzi formulēta pārbaudes vieta, kur matemātiķi un filozofi var izpētīt, kā dažādas vispārējās filozofiskās doktrīnas spēlē 13 noteiktā zinātniskā kontekstā.

    Šīs sadaļas mērķis ir norādīt loģikas lomu matemātikas pamatos. Mēs sākam ar dažām piezīmēm par Eiklida ģeometriju. Pēc tam mēs aprakstām dažas mūsdienu formālās matemātikas teorijas.

    Eiklida ģeometrija

    Virs vārtiem uz Platona akadēmiju parādījās slavens uzraksts:

    Pārskata analīzē [13] Aristotelis izklāstīja zinātniskās metodes pamatus. 14 Metodes būtība ir loģiski organizēt zināšanu lauku, izmantojot primitīvus jēdzienus, aksiomas, postulātus, definīcijas un teorēmas. Lielākā daļa šīs metodes Aristoteļa piemēru ir balstīti uz aritmētiku un ģeometriju [1,7,9].

    Aristoteļa metodoloģiskās idejas izšķiroši ietekmēja Eiklida monumentālā ģeometrijas traktāta “Elementi” struktūru un organizāciju [8]. Eiklīds sākas ar 21 definīciju, pieciem postulātiem un pieciem izplatītiem jēdzieniem. Pēc tam pārējie Elementi ir sarežģīta deduktīva struktūra, kas sastāv no simtiem priekšlikumu. Katru priekšlikumu pamato pats savs demonstrējums. Demonstrācijas notiek siloģisma ķēžu veidā. Katrā siloģismā telpas tiek noteiktas kā tādas, kas nāk no definīciju, postulātu, vispārpieņemto jēdzienu un iepriekš demonstrēto priekšlikumu vidus. Piemēram, Elementu I grāmatā 16. priekšlikuma demonstrācija ("jebkurā trijstūrī, ja tiek izgatavota viena no malām, ārējais leņķis ir lielāks nekā jebkurš no iekšējiem un pretējiem leņķiem") ir siloģijas ar 2. postulātu, 5. vispārīgo jēdzienu un 3., 4. un 15. ierosinājumu (“ja divas taisnas līnijas viena otru sagriež, vertikālie leņķi padara vienādus”), kas notiek kā telpas. Ir taisnība, ka Eiklida siloģisms ne vienmēr stingri atbilst Aristoteles veidnēm. Tomēr stingrības standarti ir ļoti augsti, un Aristoteļa ietekme ir skaidri redzama.

    Aristoteļa loģika un Eiklida ģeometrija ir vispāratzīta par senās Grieķijas augstajiem zinātniskajiem sasniegumiem.

    Oficiālās matemātikas teorijas

    Oficiāla ģeometrijas teorija

    Līdz ar kalkulācijas parādīšanos 17. un 18. gadsimtā matemātika attīstījās ļoti strauji un maz uzmanības tika veltīta loģiskajiem pamatiem. Eiklida ģeometrija joprojām tika uzskatīta par loģiskās stingrības modeli, spilgtu piemēru tam, kādam ideāli būtu jāizskatās labi organizētai zinātniskai disciplīnai. Bet raženie Apgaismības matemātiķi, piemēram, Leonhards Eulers, gandrīz neinteresējās mēģināt likt kalkulāciju uz tikpat stingra pamata. Tikai 19. gadsimta pēdējā pusē zinātnieki sāka nopietni risināt šo pamatproblēmu. Rezultātā krīzei bija tālejošas sekas. Pat pati Eiklida ģeometrija nonāca kritiskās uzmanības lokā. Ģeometri, piemēram, Morics Pasčs, atklāja to, ko viņi uzskatīja par elementu nepilnībām vai neprecizitātēm. Lieliski matemātiķi, piemēram, Deivids Hilberts, iesaistījās cīņā.

    Šīs visas pamatdarbības rezultāts bija rūpīga ģeometrijas pārstrāde, šoreiz kā formālu teoriju apkopojums predikāta aprēķinā. Izšķirošās atziņas guva Alfrēds Tarskis. Mēs ieskicēsim Tarski formālo teoriju Eiklida 15 plaknes ģeometrijai. 16

    Kad viņa primitīvie predikāti ir, Tarskis ņem ("punktu"), ("starp"), ("attālumu"), ("identitāti"). Atomu formulas,, un nozīmē "ir punkts", "atrodas starp un", "attālums no līdz ir vienāds ar attālumu no līdz" un "attiecīgi ir identisks" . Ģeometriskos objektus, izņemot punktus, piemēram, līniju segmentus, leņķus, trijstūrus, apļus utt., Apstrādā ar primitīviem. Piemēram, aplis ar centru un rādiusu sastāv no visiem punktiem, kas tur.

    Ģeometrijā divi punkti un tiek uzskatīti par identiskiem, ja attālums starp tiem ir nulle. Tarskis to izsaka ar aksiomas palīdzību

    Kopumā Tarskis uzrāda divpadsmit aksiomas, kā arī papildu aksiomu kolekciju, kas pauž domu, ka līnija ir nepārtraukta. Pilns Tarska aksiomu izklāsts Eiklida plaknes ģeometrijai ir sniegts [10, 19.-20. Lpp.]. Ļaujiet būt formāla teorija, kuras pamatā ir Tarska aksiomas.

    Zīmīgi, ka Tarskis ir pierādījis, ka tas ir pilnīgs. Tas nozīmē, ka jebkuram tīri ģeometriskam 17 apgalvojumam vai ir vai ir teorēma. Tādējādi mēs redzam, ka pietiek ar aksiomām, lai atbildētu uz visiem jā / nē eiklida plaknes ģeometrijas jautājumiem. Apvienojot to ar G & # 246del pilnības teorēmu, mēs uzskatām, ka tas ir izlemjams: ir algoritms 18, kas kā ieeju pieņem patvaļīgu plaknes Eiklida ģeometrijas paziņojumu un izdod “true”, ja apgalvojums ir patiess, un “ nepatiesa '', ja tā ir nepatiesa. Tas ir mūsdienu fundamentālo pētījumu triumfs.

    Formāla aritmētikas teorija

    Aritmētikā mēs domājam pamatskolas aritmētiku, t.i., pozitīvo veselo skaitļu izpēti,,,. kopā ar pazīstamajām saskaitīšanas () un reizināšanas () operācijām. Šī matemātikas daļa acīmredzami ir fundamentāla, tomēr izrādās pārsteidzoši sarežģīta. Zemāk mēs pierakstām dažas aksiomas, kas nonāk formālā aritmētikas teorijā. 19

    Mūsu primitīvie aritmētikas predikāti ir ("skaitlis"), ("papildinājums"), ("reizinājums"), ("identitāte"). Atomu formulas,, nozīmē attiecīgi "ir skaitlis", "", "", "". Mūsu aksiomas izmantos predikātus,,, lai apgalvotu, ka attiecībā uz visiem dotajiem skaitļiem un skaitļiem vienmēr pastāv un ir unikāli. Mums būs arī aksiomas, kas izsaka dažus labi zināmus aritmētiskos likumus:


    aizstāšanas likumi: ja un ir skaitlis, tad ir skaitlis utt.
    komutatīvie likumi: un .
    asociatīvie likumi: un .
    izplatīšanas likums: .
    salīdzināšanas likums: tikai tad, ja kādam vai.
    vienības likums: .
    Ļaujiet būt formāla teorija, ko nosaka iepriekš minētie primitīvi un aksiomas.

    Ir zināms, ka ar to pietiek, lai iegūtu daudz pazīstamu aritmētisko faktu. Piemēram, var izteikt neērti 20, lai pārliecinātos, kā vai

    No otras puses, aksiomas nebūt nav pilnīgas. Tos var papildināt ar citām aksiomām, kas izsaka tā saukto matemātiskās indukcijas vai mazākā skaitļa principu: ja pastāv skaitlis, kuram ir kāda precīzi definēta īpašība, tad starp visiem skaitļiem, kuriem ir īpašība, ir mazākais. Rezultātā iegūtā formālā teorija ir ārkārtīgi spēcīga tādā ziņā, ka tās teorēmas ietver praktiski visus zināmos aritmētiskos faktus. Bet tas nav tik spēcīgs, kā varētu vēlēties. Patiešām, jebkura formālā teorija, kas ietver, obligāti ir vai nu nekonsekventa 22, vai arī nepilnīga. Tādējādi nav cerību pierakstīt pietiekami daudz aksiomu vai izstrādāt algoritmu, lai izlemtu visus aritmētiskos faktus. Šis ir slavenās 1931. gada nepilnības teorijas G & # 246del [5,22] variants. Nepilnības parādības pārvarēšanai ir vairākas metodes, un tā pašlaik ir aktīva matemātikas pamatu izpētes joma.

    Kontrasts starp formālās ģeometrijas pilnību un formālās aritmētikas nepilnīgumu ir pārsteidzošs. Abām šīs divdabības pusēm ir acīmredzama filozofiska interese.

    Formāla kopu teorija

    Viens no mūsdienu loģisko pētījumu mērķiem ir izstrādāt vienotu formālu teoriju, kas apvienos visu matemātiku. Šāda teorija noteikti būs pakļauta G & # 246del nepilnīguma parādībai, jo tajā būs iekļauts ne tikai, bet arī.

    Viena pieeja vienotai matemātikai ir aritmētikas tieša iestrādāšana ģeometrijā, identificējot veselus skaitļus ar vienmērīgi izvietotiem līnijas punktiem. Šī ideja bija pazīstama senajiem grieķiem. Vēl viena pieeja ir izskaidrot ģeometriju aritmētikas un algebras izteiksmē, izmantojot koordinātu sistēmas, piemēram, platumu un garumu kartē. Šī ideja ir saistīta ar 17. gadsimta matemātiķi un filozofu Renu un # 233 Dekartu un 19. gadsimta matemātiķi Karlu Veierstrasu. Abas pieejas rada būtībā to pašu formālo teoriju, kas pazīstama kā otrās pakāpes aritmētika. 23 Šī teorija ietver abus un ir piemērota lielākajai daļai mūsdienu matemātikas. Tādējādi lēmums par to, vai padarīt ģeometriju par fundamentālāku nekā aritmētiku vai otrādi, šķiet, galvenokārt ir gaumes jautājums.

    Ļoti atšķirīga pieeja vienotai matemātikai ir kopu teorija. Šī ir savdabīga 20. gadsimta pieeja. Tas ir balstīts uz vienu ļoti vienkārša izskata koncepciju: komplekti. Zīmīgi, ka šis viens jēdziens tieši noved pie plašas struktūras, kas aptver visu mūsdienu matemātiku.

    Kopa ir objektu kolekcija, ko sauc par kopas elementiem. Dažreiz mēs izmantojam neoficiālus apzīmējumus, piemēram, lai norādītu, ka tas ir kopums, kas sastāv no elementiem,,. Elementu skaits komplektā var būt patvaļīgi liels vai pat bezgalīgs. Kopu teorijas pamatprincips ir tāds, ka kopu nosaka tās elementi. Tādējādi divas kopas ir identiskas tikai tad, ja tām ir vienādi elementi. Šis princips ir pazīstams kā ekstensivitāte. Piemēram, kopa tiek uzskatīta par tādu pašu kopu kā tāpēc, ka elementi ir vienādi, kaut arī tie ir rakstīti citā secībā.

    Liela daļa kopu teorijas sarežģītības izriet no fakta, ka kopas var būt citu kopu elementi. Piemēram, kopa ir kopas elements, un tas atšķiras no kopas.

    Oficiālai kopu teorijai mēs izmantojam trīs primitīvus: ("kopa"), ("identitāte"), ("elements"). Atomu formulas, kas nozīmē "ir kopa", "ir identisks", "ir attiecīgi elements". Viens no kopu teorijas pamatnoteikumiem ir tāds, ka tikai kopām var būt elementi. To izsaka kā aksiomu. Turklāt pastāv ekstensivitātes aksioma

    Kopu teorijas pieeja aritmētikai attiecas uz nenegatīviem veseliem skaitļiem,,,,. Šie skaitļi tiek identificēti ar īpašām kopām. Proti, mēs identificējamies ar tukšo kopu, ar, ar, ar utt. Kopumā numuru mēs identificējam ar mazāku skaitļu kopu. Starp aksiomām ir bezgalības aksioma, kas apgalvo bezgalīgā kopuma esamību. Var izmantot kopu, lai parādītu, ka tajā ietilpst teorija, kas ir ekvivalenta. Pēc tam var sekot Dekarta un Veierstrasa idejām, lai redzētu, ka tajā ietilpst arī teorija, kas ir līdzvērtīga teorijai. Izrādās, ka arī pārējo mūsdienu matemātiku var atdarināt. Tajā ietilpst sarežģīta bezgalīgu kopu teorija, kas ir daudz lielāka par.

    Noteiktā teorētiskā pieeja aritmētikai un ģeometrijai, protams, ir nedaudz mākslīga. Tomēr ideja visu matemātiku balstīt uz vienu vienkāršu jēdzienu, kopu, ir izraisījusi spēcīgu pievilcību. 24 Šīs idejas sekas vēl nav pilnībā izprastas, un tās ir pašreizējo pētījumu tēma.


    13.9: Apspriediet: Loģikas pielietojums - matemātika

    Matemātika kopš daudzu studentu pirmsākumiem ir bijis daudzu studentu (arī manējo) dzīves traucējums. No otras puses, Datorzinātne ir diezgan interesants, un studenti to studē, cerot kļūt par nākamo programmēšanas zizli. Bet turieties & # 8230, tas tiešām ir tik vienkārši. Nē, mani draugi, tas nav & # 8217t ... Datorzinātne patiesībā ir diezgan cieši saistīta ar matemātiku.

    Daudzus gadus ir daudz diskusiju par matemātikas nozīmi datorzinātnēs. Daži uzskata, ka tas dod tikai nelielu vērtību datorzinātnēs, savukārt citi (galvenokārt vairākumā!) Domā, ka tas ir pamats, uz kura tiek veidota datorzinātne. Saskaņā ar Oksfordas universitāti:

    Matemātika ir fundamentāls intelektuāls rīks skaitļošanā, bet skaitļošanu arvien vairāk izmanto arī kā galveno sastāvdaļu matemātiskā problēmu risināšanā.

    Pat ja matemātikai ir tāda vērtība & # 8230 jautājums joprojām pastāv & # 8220Kāpēc matemātika ir tik svarīga datorzinātnēs?& # 8221 Tāpēc pievērsīsimies tam tagad.

    Kāpēc matemātika ir tik svarīga datorzinātnēs?

    Iedomājieties Burj Khalifa (Augstākā ēka pasaulē). Kas tagad ir vissvarīgākā šīs ēkas daļa? Nē, ne tas ir augstums (labi, tas arī!), Bet galvenokārt tā pamats. Ja Burj Khalifa nebūtu stingra pamata, tas būtu bijis diezgan ļodzīgs un daudz vairāk kritis nekā stāvējis !!

    Tagad, ja jūs domājat par šo tematu ārpus temata, matemātika ir pamats, uz kura tiek veidota datorzinātne (Burj Khalifa & # 8230 get it ?!). Patiesībā pat var teikt, ka datorzinātne ir matemātikas zinātņu apakškopa kopumā. Kā tā? Daži punkti, kas to pierāda, ir sniegti zemāk:

    1. Diskrētā matemātika ir datorzinātņu pamats

    Vai esat kādreiz dzirdējuši par loģikas apzīmējumiem, kopu teoriju, kombinatoriku, grafiku teoriju, varbūtību, skaitļu teoriju, algebru utt.? Nepārvariet, jo tas viss ir daļa no diskrētās matemātikas un arī pamats programmēšanai un datorzinātnei (un tas nozīmē, ka jums tas ir jāpēta datorzinātnēs.).

    Spilgts piemērs tam ir Algebra. Kamēr loģiskajos vārtos tiek izmantota Būla algebra, datu bāzēs tiek izmantota relāciju algebra. Ja jums ir nepieciešams cits piemērs, skaitļu teorijai ir vairākas lietojumprogrammas kriptogrāfijā un kriptanalīzē. (Skatiet vēl svarīgumu ?!)

    2. Matemātika māca izmantot algoritmus

    Algoritmi ir būtiska datorzinātnes sastāvdaļa, un jums visiem ir jābūt dzirdētiem par tiem tādā vai citādā veidā (ja nē & # 8230Jums ir jāmācās vēlreiz.). Būtībā tie ir instrukciju kopums, kas parāda programmas vai lietojumprogrammas ieviešanu.

    Kur jūs vispirms izmantojāt algoritmu? Tā nebija Datorzinību, bet patiesībā Matemātikas klase! Neticiet man. Nu, & # 82202 + 3 = 5 & # 8221 ir matemātikas stundā iemācīts pamatalgoritms, kas parāda 2 un 3 summu. Matemātika patiesībā ir ļoti svarīga, apgūstot tādu algoritmu pamatlietojumu, kuri datorā tiek izmantoti uzlabotā formā. Zinātne.

    3. Matemātika nodrošina datorzinātnēs nepieciešamās analītiskās prasmes

    Analītiskās prasmes ir nepieciešamas problēmu risināšanai un datu analīzei. Un uzminiet, kur jūs vispirms izmantojat šīs prasmes? Matemātika. Jā, matemātika vienmēr liek analizēt savus vienādojumus un saprast atvasinājumu plūsmu, ja tiek pieļauta kļūda. Šī kļūda ir jānovērš, lai iegūtu galīgo risinājumu.

    Tas nodrošina daudz analītisko prasmju, kuras vēlāk var izmantot kļūdu atrašanā un novēršanā. Lai arī ir mūsdienīgi rīki, kas šo darbu var paveikt automātiski, pieredze un zināšanas, kas iegūtas par programmas plūsmu un atkļūdošanu, ir nenovērtējama.

    4. Daudzās datorzinātņu disciplīnās ir nepieciešami matemātiskie jēdzieni

    Datorzinātne ir jumta termins, kas satur daudzas disciplīnas, piemēram, operētājsistēmas, datu bāzes, tīklošana, mākslīgais intelekts, iegultās sistēmas, datu analīze .... Un, lai gan ir dažas disciplīnas, ar kurām var nodarboties ar minimālām matemātikas zināšanām, lielākajai daļai no tām ir nepieciešama vismaz zināma kompetence.

    Piemēram, tādās jomās kā Mākslīgais intelekts un Mašīnmācīšanās ir nepieciešamas pamatīgas zināšanas par matemātiskajiem jēdzieniem, piemēram, Lineārā algebra, Daudzveidīgo mainīgais aprēķins, Varbūtības teorija utt. (Un tas matemātiku padara diezgan svarīgu.)

    Tātad, kāds ir secinājums?

    Vai matemātika tiešām ir nepieciešama datorzinātne? Nu, daži teiktu, ka tas ir atkarīgs no darba. Piemēram: Lai izveidotu emuāru par pārtiku, nav obligāti vajadzīgas zināšanas matemātikā. Bet veiksmīga emuāra izveidošana ir pavisam cita lieta. Tam ir jākoncentrējas uz auditorijas preferencēm, tēmas popularitāti, rakstu vērtējumiem utt. Un uzminiet, kas šim visam ir vajadzīgs.

    Tātad jā & # 8230Matemātika ir klāt datorzinātņu pamatos. Un, ja vēlaties gūt panākumus kādā no datorzinātņu disciplīnām, daudz labāk ir ieaudzināt mīlestību pret matemātiku, jo tas jums ārkārtīgi palīdzēs.


    Loģisko vārtu pielietojums

    Logic Gates lietojumprogrammas ir:

    • NAND Gates tiek izmantoti ielaušanās signalizācijās un signālos.
    • Tos galvenokārt izmanto ķēdēs, kas saistītas ar skaitļošanu un apstrādi.
    • Tos izmanto arī spiedpogu slēdžos. Piem., Durvju zvans.
    • Tos izmanto ielu apgaismojuma darbībā.
    • AND Gates tiek izmantoti, lai iespējotu / kavētu datu pārsūtīšanas funkciju.
    • Tos izmanto arī TTL (Transistor Transistor Logic) un CMOS shēmās.

    Kopīgi vajāšanas un frāzes

    Cilvēki ar spēcīgu loģisko stilu, visticamāk, sekos tādām nodarbēm kā zinātnes, matemātika, grāmatvedība, detektīvdarbs, tiesības un datorprogrammēšana.

    Jūs, visticamāk, izmantojat tādas frāzes, kas atspoguļo jūsu dominējošāko stilu no vizuālajiem, fonētiskajiem vai fiziskajiem stiliem, tomēr varat izmantot arī šādas frāzes:

    • Tas ir loģiski.
    • Izpildiet procesu, procedūru vai noteikumus.
    • Tam nav parauga.
    • Ļaujiet izveidot sarakstu.
    • Mēs to varam atrisināt.
    • To izsaka skaitļos vai pierāda!

    13.9: Apspriediet: Loģikas pielietojums - matemātika

    Šīs lapas tulkojums zviedru valodā ir pieejams vietnē Science Blog: https://www.expertoautorecambios.es/science/?p=998 .

    Šīs lapas tulkojums igauņu valodā ir pieejams vietnē:

    Šīs lapas tulkojums portugāļu valodā ir pieejams vietnē:

    Loģika ir saistīta ar spriešanas formām. Tā kā spriešana ir saistīta ar lielāko daļu intelektuālo darbību, loģika ir saistīta ar plašu darbību klāstu. Loģikas izpēte ir būtiska datorzinātņu studentiem. Tas ir ļoti vērtīgs arī matemātikas studentiem un citiem, kas izmanto matemātiskos pierādījumus, piemēram, valodniecības studentiem. Spriešanas procesā var izdarīt secinājumus. Secinājumā tiek izmantots paziņojumu krājums, telpas, lai pamatotu citu apgalvojumu, secinājumu. Visuzticamākie secinājumu veidi ir deduktīvie secinājumi, kuros secinājumam jābūt patiesam, ja telpas ir. Atsaukt elementāro ģeometriju: pieņemot, ka postulāti ir patiesi, mēs pierādām, ka arī citiem apgalvojumiem, piemēram, Pitagora teorēmai, jābūt patiesām. Ģeometriskajos pierādījumos un citos matemātiskos pierādījumos parasti tiek izmantoti daudzi deduktīvi secinājumi.

    Lielākā daļa mūsu loģikas kursu ietver precīzu deduktīvā secinājuma raksturojumu analīzi. Šie kursi ievieš dažus īpašus simbolus tā sauktajās “formālajās valodās”, taču loģika nav simbolu manipulācija. Kursi māca vispārīgas koncepcijas un metodes, kas ir noderīgas neatkarīgi no oficiālajām valodām. Studenti mācās konstruēt pierādījumus angļu valodā, kā arī oficiālā valodā, tāpēc iemācītos jēdzienus un metodes var izmantot dažādos kontekstos. Cilvēks pat iemācās pierādīt teorēmas par oficiālajām valodām. Tas ir īpaši svarīgi datorzinātnēs, valodniecībā un dažās matemātikas nozarēs.

    Ideja par vispārējas nozīmes datoru - Turingas mašīnu - tika izgudrota loģikas pētījumu gaitā. Datorprogrammas tiek rakstītas īpašās, simboliskās valodās, piemēram, Fortran, C ++, Lisp, Prolog. Šajās valodās ir loģiskās simbolikas iezīmes, un Lisp un Prolog ir atvasināti no oficiālajām valodām loģikai. Izmantojot šādus savienojumus, loģikas izpēte var palīdzēt programmu veidošanā. Citas matemātiskās metodes, uz kurām attiecas PHL 313K, piemēram, rekursīvās definīcijas, tiek plaši izmantotas programmās. Kopu teorija, kas ietverta PHL 313K, tiek izmantota mūsdienu datu bāzu dizainos. Bet datorzinātne nav tikai programmēšana. Tas ietver programmu loģisko un matemātisko analīzi. Izmantojot šādas analīzes, var pierādīt procedūru pareizību un novērtēt nepieciešamo darbību skaitu, lai izpildītu noteiktu programmu. Šādā darbā tiek izmantota moderna loģika, un tā tiek iekļauta programmās, kas palīdz veidot šādu rezultātu pierādījumus. Loģikai ir nozīme arī jaunu programmēšanas valodu izstrādē, un tā ir nepieciešama darbam mākslīgā intelekta un kognitīvās zinātnes jomā. Dažas loģikas daļas inženieri izmanto ķēžu projektēšanā.

    Lai veiksmīgi darbotos informātikas specialitātē, ir nepieciešama izpratne par PHL 313K pasniegtajiem priekšmetiem: 1. Tāpat kā inženierzinātņu kursos tiek izmantots aprēķins, daudzos datorzinātņu kursos tiek izmantota loģika un kopu teorija. 2. Augstākās nodaļas CS kursi nav programmēšanas mācības. Šie kursi aptver vispārējos principus un prasa matemātiskus pierādījumus par šiem principiem. PHL 313K māca pamatprincipus un metodes pierādījumu izveidošanai un novērtēšanai.

    Matemātiķi domā par abstraktiem jēdzieniem, piemēram, nepārtrauktām funkcijām, algebriskām sistēmām, piemēram, “gredzeniem” un topoloģiskām telpām. Lielākā daļa matemātikas studentu mācās rakstīt pierādījumus par šādām lietām, sekojot piemēriem savās klasēs. Tā ir matemātikas mācīšanās sastāvdaļa, taču tā notiek lēni un bieži rada neskaidrības. Matemātikas specialitātes, kas studē loģiku, uzskata, ka tā palīdz viņiem matemātiskā domāšanā. Tas ir noderīgi, lai izvairītos no neskaidrībām, un palīdz izveidot skaidrus, pārliecinošus pierādījumus. Loģikas izpēte ir būtiska darbam matemātikas pamatos, kas galvenokārt attiecas uz matemātiskās patiesības būtību un pamatojošiem pierādījumiem par matemātiskiem objektiem, piemēram, veseliem skaitļiem, kompleksiem skaitļiem un bezgalīgām kopām. Matemātikas maģistrantiem UT nav jāpiedalās loģikas kursos, bet tie, kas to dara, gandrīz vienmēr ziņo, ka tas ir interesants un noderīgs.

    PHL 313K ir ievads loģikā, elementāru kopu teorijā, skaitļu teorijas pamatos, kā arī indukcijas un rekursijas izmantošanā. Tas prasa nopietnu izpēti, bet tajā ir iekļauti interesanti un noderīgi materiāli. Labi papildu kursi studentiem, kurus interesē uzlabota loģika, ir PHL 344K (= M 344K) un PHL 358.


    13.9: Apspriediet: Loģikas pielietojums - matemātika

    Reprezentatīvās literatūras analīze par amerikāņu bērnu plaši atzīto neefektīvo “vietas vērtības” apguvi neapšaubāmi parāda arī plašu vietējās vērtības jēdziena izpratnes trūkumu starp pamatskolas aritmētikas skolotājiem un pašu pētnieku starpā. Tikai spēja izmantot vietas vērtību, lai rakstītu skaitļus un veiktu aprēķinus, kā arī aprakstīt procesu, nav pietiekama izpratne, lai to varētu mācīt bērniem vispilnīgākajā un efektīvākajā veidā.

    Konceptuāla "vietas vērtības" jēdziena analīze un skaidrojums norāda uz efektīvāku tās mācīšanas metodi. Tomēr, lai efektīvi mācītu "vietas vērtību" (vai jebkuru konceptuālu vai loģisku priekšmetu), ir nepieciešams vairāk nekā citas metodes, cita satura mehāniska piemērošana vai cita veida "manipulācijas" ieviešana. Pirmkārt, ir jānošķir matemātiskās 1) konvencijas, 2) algoritmiskās manipulācijas un 3) loģiskās / konceptuālās attiecības, un tad jāsaprot, ka katram no tiem ir nepieciešamas dažādas metodes efektīvai mācīšanai. Un ir jāsaprot šīs dažādās metodes. Vietējā vērtība ietver visus trīs matemātiskos elementus.

    Prakse pret sapratni

    Gandrīz visiem, kam ir bijušas grūtības ar ievada algebru, algebras skolotājs viņiem ir teicis: "Vienkārši strādājiet vairāk problēmu, un tas jums kļūs skaidrs. Jūs vienkārši nestrādāt pietiekami daudz problēmu." Un, protams, kad jūs nevarat strādāt ar kādām problēmām, ir grūti strādāt ar daudziem no tiem. Apmierināt sūdzību “Es nevaru izdarīt nevienu no šiem” ar atbildi “Tad dari visus” šķiet absurdi, kad runa ir par konceptuālu izpratni. Tas nav absurds, ja runa ir tikai par to, kā praktizēt kaut ko, ko var izdarīt pareizi, bet tikai ne tik izveicīgi, gludi, ātri vai automātiski, kā to atļautu lielāka prakse. Tādējādi sportisti praktizē dažādas prasmes, lai padarītu viņus automātiskākus, un refleksīvi studenti praktizē dzejoļa deklamēšanu, līdz viņi to var izdarīt vienmērīgi, un mūziķi praktizē skaņdarbu, līdz viņi to var spēlēt ar nelielu piepūli vai kļūdu. Un praktizēt kaut ko tādu, ko nevar izdarīt ļoti labi, nav absurda, ja prakse ļaus veikt sevis labošanu. Tādējādi tenisists, iespējams, pats var izstrādāt kļūdainu insultu, analizējot savu formu, lai atrastu kļūdainu tehniku, vai izmēģinot dažādas lietas, līdz viņš nonāk pie kaut kā šķietami pareiza, ko viņš pēc tam praktizē. Bet praktizējot kaut ko tādu, ko nevar pat sākt darīt vai saprast, un ka izmēģinājumi un kļūdas neuzlabojas, tas nenovedīs līdz pilnībai vai - kā tas ir atsevišķu algebras konceptuālo aspektu gadījumā - vispār nekādas saprašanas.

    Nepieciešams, lai palīdzētu studentam iemācīties dažādus algebras konceptuālos aspektus, ir precīzi noskaidrot to, ko viņš konceptuāli vai loģiski nesaprot par to, kas viņam tiek pasniegts. Ir vairāki iemesli, kāpēc students var nespēt risināt problēmu, un, atkārtojot viņam lietas, ko viņš saprot, vai tikai atkārtojot (1) lietas, kuras viņš dzirdēja pirmo reizi, bet nesaprot, tas parasti viņam nepalīdzēs . Kamēr jūs neuzzināsiet konkrēto klupšanas akmeni, jūs, visticamāk, nepielāgosiet atbildi, kas atbilst viņa vajadzībām, it īpaši, ja jūsu vispārīgais skaidrojums ar viņu nedarbojās pirmo reizi vai divas vai trīs, un nekas nav noticis, lai šo paskaidrojumu padarītu vēl vairāk pa to laiku viņam saprotams vai nozīmīgs.

    Matemātikas apmācībā ir vairākas vietas, kur skolēni sastopas ar konceptuālām vai loģiskām grūtībām, kurām nepieciešama ne tikai prakse. Algebra ietver dažus no tiem, bet es vēlētos pievērsties vienai no tām, kas notiek agrāk - vietas vērtībai. Izlasot pētījumu un runājot ar pamatskolas aritmētikas skolotājiem, man ir aizdomas (un mēģināšu norādīt, kāpēc man tas ir aizdomas), ka bērniem ir grūti mācīties vietējo vērtību, jo lielākajai daļai pamatskolas skolotāju (tāpat kā lielākajai daļai pieaugušo, ieskaitot tos, kuri pēta studentu izpratni par vietas vērtību) to nesaprot konceptuāli un neuzrāda tā, lai bērni to saprastu. (2) (3) Pamatskolas skolotāji parasti var pietiekami daudz saprast par vietas vērtību, lai iemācītu lielākajai daļai bērnu pietiekami, lai varētu ar to strādāt, taču bieži vien vietējo vērtību nesaprot konceptuāli un loģiski, lai palīdzētu bērniem to saprast konceptuāli un loģiski ļoti labi. Viņi pat var kavēt mācīšanos, sajaucot bērnus tādā veidā, kā viņiem nevajadzētu būt, piemēram, cenšoties panākt, lai patvaļīgas konvencijas šķiet loģiskas lietas, tāpēc bērni izšķiež daudz intelektuālā kapitāla, cenšoties saprast, ko nav ko saprast.

    Vēl viena mācīšanas problēma ir tā, ka, tā kā skolotāji, piemēram, iepriekš minētie algebras skolotāji, mēdz neaizskart bērnus no tā, ko bērni īpaši nesaprot, skolotāji, pat ja viņi saprot, ko viņi māca, don ' vienmēr nesaprotu, ko studenti mācās - un nemācās. Labai pasniegšanai ir vismaz divi aspekti: (1) mācību priekšmeta pietiekama pārzināšana un (2) iespēja uzzināt, ko studenti domā, mēģinot apgūt priekšmetu, lai tie būtu visnoderīgākie mācīšanās. Ir grūti zināt, kā palīdzēt, ja nezina, kas, ja kas, ir nepareizi. Šķiet, ka zemāk citētie fragmenti norāda vai nu uz pētnieku nespēju zināt, ko skolotāji zina par skolēniem, vai par pasniedzēju nespēju zināt, ko studenti zina par vietas vērtību. Ja tas ir pēdējais, tad varētu šķist, ka mācība notiek bez mācīšanās, oksimorons, kas, manuprāt, nozīmē, ka nenotiek "mācīšana", bet gan tikai prezentācijas, kas studentiem tiek veiktas bez pietiekamas veiksmīgas pūles, lai uzzinātu, kā studenti saņem, interpretē vai saprot šo prezentāciju, un bieži vien bez pietiekamiem veiksmīgiem centieniem atklāt to, kas patiesībā ir jāuzrāda konkrētiem studentiem. (4) Daļa no labas mācīšanas ir likt dažiem studentiem saprast un mācīties to, ko mēģina iemācīt. Tas ne vienmēr ir viegli izdarāms, bet vismaz ir jācenšas to darīt. Skolotāji vajadzētu kādu laiku zināt, ko pētnieki acīmredzot ir salīdzinoši nesen atklājuši par bērnu izpratni par vietējo vērtību: "Literatūra ir pārpilna ar pētījumiem, kas identificē bērnu grūtības apgūt vietējās vērtības jēdzienus. (Jones and Thornton, 12. lpp.)" "Mieko Kamija (1980, 1982) celmlauža pētījumi šajā jomā atklāja acīmredzamus pārpratumus, kas bija pārsteidzoši izplatīti. Viņa [sic Her] izmeklēšana parādīja, ka, neskatoties uz vairāku gadu ilgas vietējās vērtības mācīšanos, bērni nespēja interpretēt elementārus vietas vērtības jēdzienus. (Jones, 12. lpp. (5) "

    Tā kā es esmu mācījis saviem bērniem vietējo vērtību pēc tam, kad esmu redzējis, kā skolotāji to nav iemācījuši (6), un tā kā es esmu mācījis bērnu klasēm dažas lietas par vietējo vērtību, ko viņi varēja saprast, bet nekad iepriekš nebija domājuši vai bijuši tai pakļauti, Es uzskatu, ka vietējās vērtības jēdzienu neiemācīšanās nav saistīta ar bērnu izpratnes potenciāla trūkumu, bet gan ar to, kā vietējā vērtība tiek saprasts skolotājiem, un ar to, kā tā parasti tiek mācīta. Nevajadzētu pārsteigt, ka kaut kas tāds, kas vispār netiek mācīts pārāk labi, parasti netiek iemācīts pārāk labi. Pētījuma literatūra par vietas vērtību parāda arī izpratnes par vietējās vērtības apguves principiālo konceptuālo un praktisko aspektu un testu izpratni par to. Pētnieki, šķiet, vērtē konceptuāli kļūdainu mācību un pārbaudes metožu rezultātus attiecībā uz vietas vērtību. Un, atrodot kultūras vai kopienas atšķirības vietējās vērtības apguvē, viņi, šķiet, koncentrējas uz faktoriem, kas no konceptuālā viedokļa šķiet mazāk cēloņsakarīgi nekā citi faktori. Es uzskatu, ka ir labāks veids, kā mācīt vietējo vērtību, nekā parasti māca, un ka tad bērni to labāk izprastu agrāk. Turklāt es uzskatu, ka šis labāks veids izriet no pašvērtējuma loģikas izpratnes, kā arī no izpratnes par to, ko cilvēkiem (bērniem vai pieaugušajiem) ir vieglāk iemācīties. (7)

    Un es uzskatu, ka mācīšana ietver ne tikai ļaušanu studentiem (atkārtoti) izdomāt lietas sev. Skolotājam vismaz ir jāvada vai jāvada kaut kādā formā. Tas, kā tiek mācīta matemātika vai kaut kas cits, parasti ir izšķirošs faktors, cik labi un cik efektīvi tā tiek apgūta. Civilizācijai ir nepieciešami tūkstošiem gadu, daudz atjautīga radošuma un ne mazums nejauša ieskata, lai attīstītu daudzus tajā esošos jēdzienus un daudz zināšanu, un nevar sagaidīt, ka bērni atklās vai paši sev izgudros daudzus no šiem jēdzieniem vai lielu daļu no tiem. šīs zināšanas bez pieaugušajiem, mācot tos pareizi, personīgi vai grāmatās vai citos plašsaziņas līdzekļos. Intelektuālie un zinātniskie atklājumi netiek pārraidīti ģenētiski, un ir nereāli sagaidīt, ka 25 gadus pēc indivīda bioloģiskās attīstības tiks apkopoti 25 gadsimtu kopīgi intelektuāli sasniegumi bez būtiskas palīdzības. Lai gan daudzi cilvēki paši var atklāt daudzas lietas, praktiski nav iespējams katram pašam izdomāt pietiekami daudz nozīmīgu pagātnes ideju, lai būtu kompetents noteiktā jomā, matemātika nav izņēmums. Potenciālo mācīšanos parasti nopietni kavē bez mācīšanas. Un, iespējams, to vēl vairāk kavē slikta mācīšana, jo slikta mācīšana mēdz mazināt zinātkāri un motivāciju, un tā kā nepareizu informāciju, tāpat kā sliktos ieradumus, var būt grūtāk veidot, nekā nebūtu informācijas un vispār nebūtu ieradumu. Šajā rakstā es apspriedīšu elementus, par kuriem es apgalvošu, ka tiem ir izšķiroša nozīme jēdzienā un vietas vērtības mācīšanā.

    Vietas vērtības izpratne: praktiskie un konceptuālie aspekti

    Lai saprastu vietējo vērtību, ir vismaz pieci aspekti, no kuriem tikai divus vai trīs bieži māca vai uzsver. Pārējie divi vai trīs aspekti tiek ignorēti, un tomēr viens no tiem ir izšķirošs, lai bērni (vai kāds cits) saprastu vietējo vērtību, un viens ir svarīgs pilnīgai izpratnei, kaut arī ne tikai noderīgai izpratnei. Es vispirms tikai nosaucu un īsi aprakstīšu visus šos aspektus, un pēc tam turpināšu pilnīgāk apspriest katru atsevišķi.

    1) Numuru vārdu (un to secības secība) iemācīšanās un skaitļu izmantošana, lai skaitītu daudzumus, attīstītu pārzināšanu un iespēju izmantot skaitļus, praktizētu ar skaitļiem - tostarp, ja nepieciešams, skaitļus ne tikai sakot, bet arī rakstot un lasot (8), nevis izteiksmē noteikumu, kas saistīti ar vietas vērtību utt., bet attiecībā uz to, kā vienkārši tiek parādīts, kā rakstīt un lasīt atsevišķus skaitļus (attiecīgā gadījumā ar komentāriem, kas norāda uz tādām lietām kā "desmit, vienpadsmit, divpadsmit un visiem pusaudžiem ir" 1 'priekšā viņiem visiem divdesmit skaitļiem ir "2" priekšā "utt." Bez iemesliem, kāpēc tas ir (9),

    2) "vienkārša" saskaitīšana un atņemšana,

    3) iepazīšanās attīstīšana, praktizējot grupēšanu, un skaitot fiziskos daudzumus pa grupām (nesakot tikai grupu “reizinātājus” - piemēram, skaitot lietas pēc pieciniekiem, ne tikai spējot deklamēt “pieci, desmit, piecpadsmit”), un, ja nepieciešams, spēja lasīt un rakstīt grupas numurus - nevis pēc vietas vērtības jēdzieniem, bet vienkārši iepriekš iemācoties rakstīt skaitļus. Praksē ar grupēšanu un skaitīšanu pēc grupām, protams, jāietver grupēšana pa desmit

    4) pārstāvība (grupējumi)

    5) reprezentācijas specifika kolonnu izteiksmē.

    (1), (2) un (3) aspekti prasa demonstrāciju un "treniņu" vai atkārtotu praksi. (4) un (5) aspekti ietver sapratni un saprātu ar pietiekamu demonstrējumu un praksi, lai to asimilētu un spētu atcerēties vispārējo tā loģiku ar nelielu pārdomas, nevis īpašiem loģiskiem soļiem. (10)

    1) Skaitļu mehānisms, prakse

    Jo pazīstamāks ir skaitlis un tas, ko tie pārstāv, jo vieglāk ir redzēt attiecības, kas saistītas ar skaitļiem. Tāpēc ir svarīgi, lai bērni iemācītos skaitīt un spētu identificēt lietu skaitu grupā vai nu skaitot, vai pēc paraugiem utt. Viens no veidiem, kā to redzēt, ir izņemt kādu 10 burtu šķēli no vidus. alfabētu, sakiet "k, l, m, n, o, p, q, r, s, t" un ļaujiet tiem lineārajā secībā attēlot 0-9. Lai gan lielākā daļa pieaugušo var pateikt šos burtus secībā, tāpat kā viņi un bērni var secīgi pateikt skaitļu nosaukumus, ir ļoti grūti spēt sagrupēt lietas "n" kopās vai reiziniet "mrk" reizes "pm" vai lai redzētu, ka visi "p" reizinājumi beidzas ar "p" vai "k". Tomēr, redzot attiecības starp sērijveidā sakārtotajiem priekšmetiem, kurus var nosaukt secīgā secībā, ir daudz par to, kas ir aritmētika. (Iespējams, ka patiešām izciliem matemātikas brīnumbērniem un ģēnijiem nav jābūt skaitļu nosaukumiem, lai redzētu skaitļu sakarības, es nezinu, bet, ja mēs nevarētu rēķināties, lielākā daļa no mums pazustu jebkāda veida augstākā līmeņa aritmētikā. skaitļu nosaukumi, atpazīt lietu skaitu (pēc nosaukuma) vai skaitļus (pēc nosaukuma) izmantot salīdzinoši vienkāršos veidos.) Tāpēc bērniem parasti ir jāiemācās skaitīt objekti un saprast, cik "skaits" vārdi pārstāv. Vecāki un skolotāji mēdz iemācīt studentiem skaitīšanu un dod viņiem vismaz zināmu praksi skaitīšanā. Tas ir svarīgi.

    2) vienkārša saskaitīšana un atņemšana

    Ar "vienkāršu saskaitīšanu un atņemšanu" es domāju saskaitīšanu un atņemšanu attiecībā uz lielumiem, kurus bērni var iemācīties saskaitīt un atņemt, tikai sākumā skaitot kopā, un pēc tam ar praksi diezgan ātri iemācīties atpazīt pēc atmiņas. Piemēram, bērni var iemācīties spēlēt ar domino vai ar diviem kauliņiem un saskaitīt daudzumus, vispirms skaitot visus punktus, bet pēc kāda laika tikai atceroties kombinācijas. Bērni var spēlēt kaut ko līdzīgu nūjamam ar kartēm un attīstīt iespēju, pievienojot skaitļus sejas kartēs. Vai arī viņi var spēlēt "komandas karu", kur indivīdu pāri katrs pagriež kārti, tāpat kā pretinieku komandas indivīdi, un kurai komandai ir visaugstākā summa, visas četras kārtis saņem par savu kaudzi. Šādā veidā saskaitot un atņemot (vai dažos gadījumos pat reizinot vai dalot) var būt iesaistīti lielumi, kas tiktu pārgrupēti, ja tos aprēķinātu ar algoritmu uz papīra, taču tiem nav nekāda sakara ar pārgrupēšanu, kad tas tiek darīts šajā "tiešajā" vai " vienkāršs "veids. Piemēram, bērni, kuri spēlē dažādas kāršu spēles ar pilnu parasto spēļu kāršu klāju, mēdz iemācīties pusi no 52 un 26, un ka četrām personām vienādi sadalīts klājs katram dod 13 kārtis.

    Īpaši svarīgi, lai bērni iegūtu pietiekamu praksi, lai viņi būtu ērti, pievienojot vienciparu skaitļu pārus, kuru summa ir ne tikai 10, bet arī 18. Un īpaši svarīgi, lai viņi iegūtu pietiekami daudz prakses, lai būtu ērti atņemot vienciparu skaitļus, kas sniedz vienciparu atbildes, ne tikai no minūteņiem līdz pat 10, bet no no minūniem starp 10 un 18. Iemesls tam ir tāds, ka vienmēr, kad pārgrupējat atņemšanu, ja pārgrupējat "pirmo" (11), jūs vienmēr PABEIGAT ar atņemšanu, kas prasa skaitlim no 10 līdz 18 atņemt vienu ciparu skaitli, kas ir lielāks par "tiem" "minendas cipars (ti, skaitlis no 10 līdz 18). Piemēram, 15–7, 18–9, 11–4 utt. Iemesls, kāpēc vispirms nācās „pārgrupēties” vai „aizņemties”, bija tas, ka zemāk esošais cipars attiecīgajā kolonnā bija lielāks nekā minūšu cipars tajā. kolonnā un, pārgrupējot minuendu, šie cipari nemainās, bet minuenda cipars vienkārši iegūst "desmit" un kļūst par skaitli no 10 līdz 18. (Sākotnējais minuend cipars - laikā, kad mēģināt no tā atņemt (12) - bija jābūt starp 0 un 8 ieskaitot, lai jūs nevarētu atņemt, nepārgrupējot. Ja tas būtu deviņi, jūs būtu varējis no tā atņemt jebkuru iespējamo viencipara skaitli bez nepieciešamības Pārgrupēt.) Vēl viens veids, kā to pateikt, ir tas, ka ikreiz, kad pārgrupējaties, jums tiek atņemta forma:

    kur cipars aiz 1 būs no 0 līdz 8 (ieskaitot) un būs mazāks par ciparu, ko apzīmē ar "x" (13).

    Bērni bieži nesaņem pietiekamu praksi šāda veida atņemšanā, lai padarītu to viņiem ērtu un automātisku. Daudzas "izglītojošas" matemātikas spēles, kas saistītas ar vienkāršu saskaitīšanu un atņemšanu, parasti dod praksi līdz summām vai minūšu vērtībām 10 vai 12, bet ne vairāk kā 18. Es uzskatu, ka šādas prakses trūkums un "komforta" trūkums ar pārgrupētām atņemšanām parasti veicina bērnu nevēlēšanās pienācīgi pārgrupēties atņemšanai, jo, nonākot līdz daļai, kurā viņiem jāatņem iepriekš minētās formas kombinācija, viņi domā, ka kaut kam jābūt nepareizam, jo ​​tā viņiem joprojām nav "automātiski" atpazīstama kombinācija. Tādējādi viņi iet uz kaut ko citu, ko viņi var atņemt tā vietā (piem., mainot apakškontroles un minendes ciparus šajā kolonnā, tāpēc tas "iznāks", ļaujot atņemt mazāku ciparu no lielāka), kaut arī tas beidzas nepareizi. Savā ziņā darīšana, kas viņiem šķiet pazīstama, viņiem ir "jēga" (14).

    Atmiņa var darboties ļoti labi pēc nelielas prakses ar "vienkāršiem" saskaitījumiem un atņemumiem (summām vai minūšu vērtībām līdz 18), jo atmiņa kopumā var darboties ļoti labi attiecībā uz lielumiem. Viena no manām meitām piecu vai sešu gadu vecumā iemācījās iegūt ārkārtīgi augstus rezultātus datorspēlē, kas prasīja ātri un pareizi identificēt galvenos skaitļus. Viņa bija iemācījusies numurus ar izmēģinājumu un kļūdu palīdzību, spēlējot spēli atkal un atkal, viņai nebija ne jausmas, kas ir galvenais skaitlis, viņa vienkārši zināja, kuri skaitļi (kas bija spēlē) ir pirmie. Līdzīgi, ja bērni spēlē, pievienojot daudzas vienas un tās pašas skaitļu kombinācijas, pat lielus skaitļus, viņi iemācās atcerēties, ko šīs kombinācijas pēc īsa brīža pievieno vai atņem. Šī spēja var būt noderīga, ja vēlāk pievienojat grupas, kas nav līdzīgas (piemēram, septiņas un astoņas, pretstatā visu desmit grupu pievienošanai). Pēc Fusona teiktā, daudziem Āzijas bērniem tiek dota šāda veida prakse ar daudzumu pāriem, kas ir līdz desmit. Bet var izdarīt arī citus daudzumus, un vienciparu skaitļi, summējot līdz 18, ieskaitot, un bērniem ir svarīgi praktizēt viencipara skaitļu atņemumus no minūšu līdz 18 skaitam, ieskaitot vienciparu atbildes. (Viens no veidiem, kā praktizēt bērnus, šķiet, viņiem patīk, būtu, ja viņi spēlētu blekdžeka vai “21” versiju, kas nav saistīta ar azartspēlēm, ar kāršu paku, kurā ir noņemtas visas attēlu kartes. Attēlu karšu noņemšanas iemesls ir dot vairāk iespēju praktizēt tādu kombināciju pievienošanu, kas neietver desmit, kas ir diezgan viegli.)

    Pētījums par vietējās vērtības pētījumu, šķiet, padara pilnīgi skaidru, ka bērni nepareizi veic algoritmiskas darbības tādā veidā, ka viņi paši skaidri atzītu par kļūdām, ja būtu vairāk iepazinušies ar to, ko nozīmē lielumi, un ar "vienkāršu" saskaitīšanu un atņemšanu. Fusons tabulā (376. lpp.) Parāda četrpadsmit dažāda veida kļūdas, kuras pētnieki ir atklājuši bērniem, veicot saskaitīšanas un atņemšanas algoritmus, kuriem nepieciešama "pārgrupēšana" vai "tirdzniecība". Bet manuprāt, visnozīmīgākās kļūdas ir tādas, kurās bērni saņem nežēlīgu atbildi, jo viņiem, šķiet, nav ne jausmas, par ko algoritms patiesībā ir algoritms. Divi piemēri: bērni var rakstīt summu par katru kolonnu, tāpēc viņi pievieno 375 līdz 466 un saņem 71311. Vai arī viņi "pazūd viens" (ti, vienkārši ignorē un aizmirst), lai viņi pievienotu 777 līdz 888 un iegūtu 555 Skaidrs, ka, ja bērni pirmajā gadījumā sapratīs, ka viņi saskaita divus skaitļus ap 400, katrs zinātu, ka viņiem vajadzētu atbildēt kaut kur ap 800, un ka 71 000 ir pārāk tālu. Un otrajā gadījumā viņi saprastu, ka jūs nevarat saskaitīt divus (pozitīvos) daudzumus kopā un iegūt mazāku daudzumu nekā viens vai otrs. (15) Nav tik slikti, ka bērni laiku pa laikam izdara vienkāršas aprēķina kļūdas, kuras ikvienam var būt saprotamas, un tomēr kļūdās. Un tas nav tik slikti, ja bērni pieļauj algoritmiskas kļūdas, jo viņi nav pietiekami iemācījušies vai praktizējuši algoritmu, lai atcerētos vai spētu pietiekami labi ievērot algoritmiskos noteikumus, lai pareizi strādātu ar problēmu, kas prasa tikai vairāk prakses. Bet tam vajadzētu būt ļoti nozīmīgai, ka daudzi bērni nevar atzīt, ka procedūra, kā viņi to dara, dod tik sliktu atbildi, ka viņiem ir jādara kaut kas nepareizi! Atbildes Fusones informācija par algoritmisko aprēķinu kļūdu tabulu ir mazāk satraucoša par bērnu algoritmu lietošanu nekā par bērnu izpratni par skaitļa un daudzuma attiecībām un izpratni par to, ko viņi pat mēģina paveikt, izmantojot algoritmus (šajā gadījumā saskaitīšanai un atņemšanai).

    Tā kā liela skaita lietu skaitīšana pa vienam kļūst apnicīga, skaitīšana pa grupām pa diviem, trim, pieciem, desmit utt. Ir noderīga prasme, lai atvieglotu. Studenti ir jāmāca un jācenšas skaitīt šādā veidā, un parasti viņiem jāsaka, ka tas ir ātrāks un vienkāršāks veids, kā saskaitīt lielus daudzumus. (16) Tas kalpo arī kā priekšnoteikums reizināšanai, jo skaitīšana pa grupām (teiksim, trijām) vienu zemapziņā iepazīstina ar šo grupu reizinājumiem (t.i., šajā gadījumā - no trim reizinājumiem). Un, protams, grupēšana pēc 10 ir ievads, lai saprastu tos aritmētikas aspektus, kuru pamatā ir 10. Daudzi skolotāji māca studentus skaitīt pēc grupām un atpazīt daudzumus pēc modeļiem, kurus grupa var izveidot (piemēram, uz skaitliskām spēļu kārtīm). Tas ir svarīgi.

    2. un 3. elementa aspektus var vienlaikus "iemācīt" vai iemācīties. Lai gan tie ir "loģiski" atšķirīgi, tie nav jāmāca vai jāmācās pēc kārtas vai īpaši tādā secībā, kādā es tos šeit pieminu. Daudzas konceptuāli atšķirīgas idejas praksē notiek dabiski.

    4) Grupu pārstāvniecības

    Tas ir tas, ko lielākā daļa pamatskolas skolotāju, tā kā viņi parasti nav matemātikas specialisti, nesaprot un var mācīt tikai attiecībā uz kolonnu “vietas vērtība”. Bet kolonnu vietas vērtība (1) nav vienīgais veids, kā pārstāvēt grupas, un (2) bērniem ir ārkārtīgi sarežģīts veids, kā saprast grupu attēlojumu. Bērniem ir pieejamāki veidi, kā strādāt ar grupu pārstāvjiem. Un es domāju, ka viņiem ir vieglāk iemācīties kolonnu vietas vērtību, ja viņus sāk ar psiholoģiski pieejamākām grupu pārstāvniecībām.

    Kad bērni ir ieguvuši iespēju skaitīt un skaitīt pa grupām, it īpaši 10 un varbūt 100 un 1000 grupām (ti, zinot, ka, grupējot lietas pa 100 un 1000, sērijas iet "100, 200, 300, 900. , 1000 un 1000, 2000, 3000 utt.), Es uzskatu, ka labāk ir sākt viņus mācīties par reprezentatīvās grupas vērtībām, ar kurām, šķiet, bērniem nav problēmu - piemēram, krāsas, piemēram, pokera žetonos (vai krāsu flīzes, ja jums šķiet, ka "pokera" žetoni nav piemēroti skolēniem, pokera žetoni ir vienkārši lēti, pieejami, viegli manipulējami un tos var sakraut) (17). Tikai par vienu nevajag un nevajadzētu runāt. " pārstāvība ", bet tikai izveidoja dažus principus, piemēram," Mums ir šie trīs dažādu krāsu pokera žetoni, baltie, zilie un sarkanie. Ikreiz, kad jums ir desmit balti, jūs varat tos nomainīt pret vienu zilu vai jebkurā laikā, kad vēlaties nomainīt zilu pret desmit baltiem, varat to izdarīt. Jebkurā laikā, kad jums ir desmit ZILIE, jūs varat tos nomainīt pret vienu sarkanu vai pretēji. "Tad jūs varat viņiem parādīt, kā saskaitīt desmit zilos (kas apzīmē desmit), sakot" 10, 20, 30. 90, 100 ", lai viņi varētu redzēt, ja vēl nav, ka sarkanais ir 100 vērts. Tad jūs veicat dažas demonstrācijas, piemēram, noliekat vienpadsmit baltas un sakāt kaut ko līdzīgu: "Ja mēs nomainīsim 10 no šiem baltajiem pret zilu, kas mums būs?" Un bērni parasti teiks kaut ko līdzīgu "viens zils un vienu balto ". Un jūs varat apstiprināt, ka viņi joprojām ražo (ti, pārstāv) tādu pašu daudzumu" Un tas tad vēl ir vienpadsmit, vai ne? [Norādot uz zilo] Desmit [pēc tam norādot uz balto] un viens ir vienpadsmit. "Dariet to, līdz viņi pieķeras un var viegli un viegli attēlot skaitļus pokera žetonos, izmantojot sarkano, zilo un balto ciparu maisījumus. Tādā veidā viņi saprot grupas attēlojumu, izmantojot krāsainas pokera žetonus, lai gan jūs neizmantojat vārdu reprezentācija, jo maz ticams, ka viņi to sapratīs.

    Ļaujiet studentiem pierast izgatavot (t.i., attēlot) numurus ar savām pokera žetonām, un jūs varat iet apkārt un ātri pārbaudīt, lai uzzinātu, kam nepieciešama palīdzība un kam nav, kā jums iet. Palūdziet viņiem, piemēram, parādīt, kā izveidot dažādus skaitļus (pēc iespējas mazāk) pokera žetonos - teiksim, 30, 60 utt., Pēc tam pārejiet uz 12, 15, 31, 34, 39,. 103., 135. utt. To darot, nepārtraukti pārbaudiet katra bērna ērtības un komforta līmeni.

    Tad, kad viņi to var viegli izdarīt, iekļūstiet vienkāršā pokera žetonu saskaitīšanā vai atņemšanā, sākot ar summām un atšķirībām, kurām nav nepieciešama pārgrupēšana, piemēram, 2 + 3, 9-6, 4 + 5 utt. , kad viņi ir gatavi, iekļūstiet viegli pokera čips pārgrupēšanās. "Ja jums ir septiņi balti un pievienojat tiem piecus baltus, cik jums ir?" "Tagad pieņemsim apmaiņa desmit no tiem par zilu, un ko jūs saņemat? (18) "Pievienojiet lielākus un lielākus skaitļus, kā arī parādiet viņiem dažus vieglus atņemšanas gadījumus - piemēram, ar skaitli 12, ko viņi tikko ieguva iepriekš, ar zilo un diviem baltajiem:" Ja mēs gribētu atņemt 3 no šī 12, kā mēs to varētu izdarīt? "[Kāds parasti teiks, vai skolotājs varētu pateikt pirmo vai divas reizes]" Mums jāmaina zilā krāsa uz 10 baltām, tad no 12 baltajām varētu atņemt 3 baltas. mums ir. "ETC. Turpiniet praktizēt un mainīt skaitļus, lai viņiem dažreiz būtu jāpārgrupējas un dažreiz tas nav jādara, bet tāpēc viņi to dara arvien labāk. (Tagad viņi izmanto krāsas gan reprezentatīvi, gan kvantitatīvi - tirgo daudzumus ar mikroshēmām. kas tos pārstāv, un pretēji.) Pēc tam ievadiet divciparu saskaitījumus un atņemumus, kuriem nav nepieciešama pokera žetonu pārgrupēšana, piemēram, 23 + 46, 32 + 43, 42 - 21, 56 - 35 utt. (Pirmais no tiem, piemēram, ir 4 pievienošana blūza un 6 baltas līdz 2 zilas un 3 baltas, lai iegūtu 6 zilas un 9 baltas, 69 pēdējās ņem 3 un 5 baltas no 5 zilām un 6 baltām, lai atstātu 2 zilās un 1 baltās, 21.) Kad viņi ir ērti, ievadiet divciparu saskaitīšanu un atņemšanu, kas prasa pokera žetonu pārgrupēšanu, piemēram, 25 + 25, 25 + 28, 23 - 5, 33 - 15, 82 - 57 utt.

    Veicot visas šīs darbības, ir svarīgi staigāt pa istabu, vērojot, ko studenti dara, un lūdzot tos, kuriem, šķiet, ir problēmas, paskaidrot, ko viņi dara un kāpēc. Dažos veidos, redzot, kā viņi manipulē ar mikroshēmām, jūs iegūstat nelielu ieskatu viņu izpratnē vai tās trūkumā. Parasti, kad viņi izskaidro savas kļūdainās manipulācijas, jūs varat redzēt, kādas problēmas, parasti konceptuālas, viņiem ir. Un jūs varat viņiem pateikt vai parādīt kaut ko, kas viņiem jāzina, vai uzdot viņiem galvenos jautājumus, lai viņi labotos. Dažreiz viņi vienkārši pieļaus skaitīšanas kļūdas, tomēr, piemēram, saskaitīs 8 baltās mikroshēmas, nevis 9. Šāda veida kļūda mācību nolūkos šajā brīdī nav tik svarīga kā konceptuālas kļūdas. Kad viņi redz, ka viņiem ir nepareizas atbildes, viņi mēdz pieļaut mazāk neuzmanīgas tikai skaitīšanas kļūdas.

    Pēc tam, kad esat viņus pamazām pārņēmis ar lielākām un lielākām grūtībām, jūs kādā brīdī varēsiet viņiem iedot kaut ko līdzīgu tikai vienai sarkanai pokera mikroshēmai (100) un palūgt viņiem atņemt 37, un viņi varēs to saprast. veiciet to un dariet to, kā arī sniedziet atbildi - nevis tāpēc, ka tie ir parādīti (jo netiks rādīti), bet tāpēc, ka viņi saprot.

    Pēc tam, kad viņiem tas ir ērti un labi to izdarīt, jūs varat norādīt, ka, skaitļus rakstot skaitliski, kolonnas ir kā dažādu krāsu pokera žetoni. Pirmā kolonna ir kā balti pokera žetoni, norādot, cik daudz jums ir "vienību", un otrā kolonna ir kā zilas pokera žetoni, norādot, cik daudz jums ir 10 (vai desmit vērtu žetonu). utt. Tas būtu piemērots brīdis, lai viņiem pateiktu, ka patiesībā kolonnas tiek nosauktas pat kā pokera žetoni - viena kolonna, desmit kolonna, simts kolonna utt. un pēc prakses viņiem tas būtu interesanti rakstīts numuriem ir šīs daļas - t.i., cipari un kolonnas - kas "sakrīt" ar to, cik skaitļu nosauktajā skaitā ir viens, desmit utt.) (19)

    Tad parādiet viņiem, ka dažu divciparu skaitļu pievienošana un atņemšana (neprasa pārgrupēšanu) ir tāda pati kā darīšana ar dažādu krāsu (t.i. grupas vērtības) pokera mikroshēmām. Ļaujiet viņiem izmēģināt dažus. Ļaujiet viņiem veikt saskaitīšanu un atņemšanu uz papīra, pārbaudot savas atbildes un manipulācijas ar dažādu krāsu (grupas vērtības) pokera žetoniem. Piemēram, ļaujiet viņiem atņemt 43 no 67 un redzēt, ka 4 desmitnieku ņemšana no 6 desmitiem un 3 no 7 desmitiem ir tāda pati kā uz zila un balta pokera žetonu - ņemot 4 zilos no 6 zilajiem vienus un 3 baltos no 7 baltajiem.

    Tad parādiet, kā skaitļu saskaitīšana un atņemšana (kas prasa pārgrupēšanu) ir līdzīga skaitļu saskaitīšanai un atņemšanai, kurus viņu pokera žetoni pārstāv un kuriem nepieciešama apmaiņa. Šis ir piemērots laiks, lai nedaudz nejauši ieviestu algoritmu ciparu saskaitīšanai un atņemšanai "uz papīra", izmantojot "tirdzniecības" vai "aizņemšanās / nēsāšanas" tehniku. Jūs varat ielīmēt reprezentatīvas pokera žetonus virs kolonnām uz krīta dēļa vai likt viņiem izmantot krītiņus, lai pokera žetonu krāsas liktu virs papīra viņu kolonnām (izmantojot, teiksim, dzeltenu baltajam, ja viņiem ir balts papīrs). Parādiet viņiem, kā viņi var "apmainīties" ar cipariem dažādās kolonnās, izsvītrojot un aizstājot tos, no kuriem viņi aizņemas, nēsā, papildina vai pārgrupē. (Sākumā viņiem tas dažreiz ir nedaudz grūti, jo sākumā viņiem ir grūti noturēt aizstājējus taisni un rakstīt tos vietā, kur viņi tos var pamanīt un izlasīt, kā arī atcerēties, ko viņi domā. Viņi mēdz sākt saņemt nokasītus numurus un "jaunus" "numuri juceklī, ar kuru ir grūti tikt galā. Bet, kad viņi redz nepieciešamību būt kārtīgākam, un, kad jūs viņiem parādīsit dažus veidus, kā viņi var būt kārtīgāki, viņi mēdz spēt darīt visu labi.) Ļaujiet viņiem darīt problēmas uz papīra un pārbaudiet savas atbildes ar pokera žetoniem. Dodiet viņiem daudz prakses, un, laikam ejot, pārliecinieties, ka viņi visi algoritmisko aprēķinu var veikt diezgan formāli un ka viņi var arī saprast, ko dara, ja apstājas un padomā.

    Atkal visu laiku jūs varat staigāt apkārt un pa istabu, redzot, kam varētu būt vajadzīga papildu palīdzība vai kas jums varētu būt jādara visiem. Šādi rīkojoties, jūs varat gandrīz redzēt, ko viņi domā individuāli, un tas ļauj jums zināt, kam un kur varētu būt problēmas, un kas jums varētu būt jādara, lai šīs problēmas mazinātu. Jums var rasties vispārējas grūtības vai arī katram bērnam ir savas īpatnējās grūtības, ja tādas ir. Kādu laiku maniem bērniem bija tendence aizmirst tos "savējos", kas viņiem jau bija, pārgrupējoties, viņi aizmirsa sajaukt "jauno" ar "veco". Tātad, ja viņiem būtu 34, lai sāktu ar un aizņemtos 10 no trīsdesmit, viņi aizmirstu par 4 jau esošajiem un atņemtu no 10, nevis no 14. Bērniem skolās, kas izmanto mazas galda vietas, dažreiz tiek dažādas pokera kaudzes. mikroshēmas sajauktas, jo tās var nenovietot savus "atņemtos" mikroshēmas pietiekami tālu vai arī tās nevar "pārgrupētās" mikroshēmas novietot pietiekami tālu no "darba" mikroshēmu kaudzes. Var būt diezgan unikālas vai neparastas grūtības, kas pārbaudīs jūsu izpratni par jēdzienu un iespējamo pārpratumu bērnam par to, lai jūs varētu strukturēt palīdzību, kas atbilst viņa domāšanai.

    Kolonnas (virs vienas) un krāsas ("virs" baltas) ir katra skaitļu grupu attēlojums, bet kolonnas ir relāciju īpašību attēlojums, turpretī krāsas nav. Krāsas ir vienkāršs vai raksturīgs vai uzreiz acīmredzams īpašums. Kolonnas ir relācijas, sarežģītākas un mazāk acīmredzamas. Kad krāsu vai kolonnu vērtības ir noteiktas, trīs zilās mikroshēmas vienmēr ir trīsdesmit, bet rakstītais skaitlis trīs nav trīsdesmit, ja vien tas nav kolonnā, kuras labajā pusē ir tikai viena (bez decimāldaļas) kolonna. Grupu kolonnu attēlojumus ir grūtāk uztvert nekā krāsu attēlojumus, un man ir aizdomas, ka tas ir (1), jo tie ir atkarīgi no atrašanās vietas salīdzinājumā ar citiem cipariem, kuri ir (jāatceras) jāmeklē un pēc tam jāpārbauda, ​​nevis tikai no viena. raksturīgais īpašums, piemēram, krāsa (vai forma) un (2), jo bērni var fiziski apmainīt "augstākas vērtības" krāsu mikroshēmas pret līdzvērtīgu skaitu zemākas vērtības krāsu, turpretī kolonnu izmantošana nav tik vienkārša vai acīmredzama. Attiecībā uz (1), tā kā ikviens zina, kurš kādreiz ir salicis lietas no komplekta, jebkurā laikā, kad objekti ir skaidri krāsoti un norādīti virzienos ar šīm krāsām, tos ir vieglāk atšķirt nekā tad, kad tie ir jāidentificē izmērs vai citas relatīvās īpašības, kas prasa atrast citus līdzīgus objektus un tos visus kopā pārbaudīt, lai veiktu salīdzinājumus. Attiecībā uz (2) ir viegli fiziski nomainīt, teiksim, zilo mikroshēmu, pret desmit baltajiem, un pēc tam ir, teiksim, četrpadsmit baltie, no kuriem atņemt (ja jums jau bija četri). Bet kolonnās ir grūti attēlot šo darījumu ar rakstiskiem cipariem, jo ​​jums ir jāsaskrāpē sīkumi un pēc tam jāievieto jaunais daudzums nedaudz citā vietā un tāpēc, ka jūs iegūstat jaunas kolonnas (piemēram, ievietojot skaitli "14") visi vienā kolonnā, aizņemoties 10 no, teiksim 30 skaitlī "34", lai atņemtu 8). (3) Man ir aizdomas, ka bērnam ir kaut kas "reālāks" vai vienkārši jēgpilnāks, lai teiktu "zilā mikroshēma ir 10 balto vērts", nekā teikt, ka "šis" 1 "ir vērts 10 no šī" 1 "jo tā ir šeit, nevis šeit" vērtība, kas balstīta uz vietu, šķiet dīvaināka nekā vērtība, kas balstīta uz krāsu, vai šķiet kaut kā patvaļīgāka. Bet neatkarīgi no tā, KĀPĒC bērni var vieglāk saistīt krāsas ar skaitliskām grupām nekā ar relatīvām kolonnu pozīcijām, viņi to dara.

    Esmu izveidojis stāstītu Power Point slaidrādi par pokera žetonu izmantošanu, lai iemācītu iepriekš aprakstīto. Tas tiek lejupielādēts, noklikšķinot uz saites, un tiks atskaņots automātiski, atverot lejupielādi.

    5) Kolonnu attēlojumu specifika

    Papildus komentāriem, kas izteikti pēdējā sadaļā par kolonnu attēlojumu, es vēlētos pievienot sekojošo, kas studentiem nav svarīgi saprast, kamēr viņi mācās kolonnu attēlojumu (parasti pazīstami kā "vietas vērtības"), bet var būt noderīgi skolotājiem saprast. Un studentiem tas var būt interesanti vēlāk, kad viņi to var absorbēt. (Es to esmu iemācījis trešo klašu skolēniem, taču prezentācija ir ļoti atšķirīga no tā, kā es to šeit rakstīšu, un šī prezentācija ir izšķiroša, lai viņi sekotu idejām un saprastu tās. Šī prezentācija ir detalizēti aprakstīta rakstā par efektīvas mācīšanas metodi. konceptuāls / loģisks materiāls "Sokrātiskā metode - mācīšana, jautājot, nevis stāstot.")

    Kolonnu kolonnu attēlojums ir vienkārši viens no grupu apzīmēšanas veidiem. Bet ir svarīgi saprast, kāpēc grupas vispār ir jāieceļ, un kas patiesībā notiek, piešķirot to, kas ir pazīstams kā "vietas vērtības" apzīmējums. Grupas atvieglo lielu daudzumu uzskaiti, bet, izņemot skaitīšanu, tas ir tikai iekšā rakstīšana numurus, kuru nozīme grupas apzīmējumos. Izrunātie numuri ir vienādi neatkarīgi no tā, kā tos var uzrakstīt vai apzīmēt. Tos var pat apzīmēt rakstītā vārda formā, piemēram, "četri tūkstoši trīs simti sešdesmit pieci" - tāpat kā tad, kad, rakstot čeku, jūs vārdos izsakāt dolāru summas. Un ievērojiet, ka runātajā formā nav pieminētas nevienas vietas vērtības, lai arī tās varētu šķist. Tas ir, mēs sakām "pieci tūkstoši piecdesmit četri", nevis "pieci tūkstoši nav simts piecdesmit četri". "Divi miljoni seši" nav "divi miljoni, ne simts tūkstoši, ne desmit tūkstoši, ne tūkstoši, ne simti, ne desmiti un seši". Lai gan mēs izmantojam tādus vārdus kā "simts", "tūkstotis", "miljons" utt., Kas ir vienādi ar to kolonnu nosaukumiem, kas ir augstāki par desmit kolonnu, mēs īsti nepārstāvam grupējumus, mēs tikai dodam skaitļa nosaukumu , kad mēs to izrunājam, tāpat kā tad, kad mēs sakām "desmit" vai "vienpadsmit". "Vienpadsmit" ir tikai vārds, kas nosauc noteiktu daudzumu. Sākot ar "nulle", tas ir divpadsmitais unikālā numura nosaukums. Līdzīgi "četri tūkstoši trīs simti divdesmit deviņi" ir tikai unikāls nosaukums konkrētam daudzumam. Tam varēja piešķirt a pilnīgi unikāls nosaukums (teiksim "gumph") tāpat kā "vienpadsmit", bet būtu grūti atcerēties pilnīgi unikālus nosaukumus visiem numuriem. Tas tikai atvieglo visu vārdu atcerēšanos, padarot tos piemērotus noteiktiem modeļiem, un mēs sākam šos modeļus angļu valodā ar skaitli "trīspadsmit" (vai daži to varētu uzskatīt par "divdesmit vienu", jo "tīņi" ir atšķirīgi) no gadu desmitiem). Mēs izmantojam tikai jēdzienu pārstāvēts grupas, kad mēs rakstīt numurus, izmantojot ciparus.

    Rakstot ciparus skaitliski, notiek tas, ka, ja mēs izmantosim desmit ciparus, kā mēs to darām ikdienas ikdienas desmit "parastajā" aritmētikā, un, ja mēs sāksim ar 0 kā mazāko vienu ciparu, tad, kad mēs saņemsim līdz skaitlim "desmit" mums ir jādara kaut kas cits, jo mēs esam iztērējuši visus izvēlētos attēlojošos simbolus (ti, ciparus) - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tagad mēs esam iestrēguši, kad jāraksta nākamais skaitlis, kas ir "desmit". Lai uzrakstītu desmit, mums jādara kaut kas cits, piemēram, jāizveido cita izmēra cipars vai citas krāsas cipars vai cits leņķa cipars vai kaut kas cits. Abacus jūs pārvietojat visas krelles vienā rindā atpakaļ un virzieties uz priekšu lodītes desmit rindā. Kas tiek izvēlēts rakstīts numuri ir sākt jaunu kolonnu. Tā kā pirmais skaitlis, kuram vajadzīga šī sleja, lai to varētu rakstīt skaitliski, ir skaitlis desmit, mēs vienkārši sakām: "Mēs izmantosim šo sleju, lai apzīmētu desmit" - un lai jūs vieglāk atpazītu, ka tā ir cita kolonna, mēs ietvers kaut ko, lai parādītu, kur atrodas vecā kolonna, kurā ir visi skaitļi no nulles līdz deviņiem, mēs sākotnējā kolonnā ievietosim nulli. Lai būtu ekonomiski, tā vietā, lai izmantotu citas dažādas kolonnas dažādiem skaitļiem desmitos, mēs vienkārši varam izmantot šo vienu kolonnu un dažādus ciparus tajā, lai apzīmētu, par cik desmitiem mēs runājam, rakstot jebkuru skaitli. Tad izrādās, ka, mainot ciparus sākotnējā slejā un skaitļus slejā "desmit", mēs varam izveidot mūsu desmit skaitļu kombinācijas, kas apzīmē katru no 0 līdz 99 skaitļiem. Tagad mēs atkal esam iestrēguši veids, kā uzrakstīt simtu. Mēs pievienojam vēl vienu kolonnu. (20) Un mēs varam iztikt ar šo kolonnu, līdz tiekam garām deviņiem simtiem deviņdesmit deviņiem. Utt

    Pārstāvības, konvencijas, algoritmiskās manipulācijas un loģika

    Atcerieties, ka to visu varēja izdarīt citādi. Abacus to dara savādāk. Mūsu pokera žetoni to darīja savādāk. Romiešu cipari to dara citādi. Savā ziņā datori un kalkulatori to dara savādāk, jo tie izmanto tikai divus attēlojumus (slēdžus, kas ir vai nu "ieslēgti", vai "izslēgti"), un viņiem vispār nav vajadzīgas neko slejas (ja vien tām nav jāuzrāda rakstīts numurs cilvēkam, kurš ir pieradis pie skaitļiem, kas rakstīti noteiktā veidā - kolonnās, izmantojot 10 ciparus). Lai gan mēs varam aprēķināt ar zīmuli un papīru, izmantojot šo attēlojuma metodi, mēs varam aprēķināt arī ar pokera žetoniem vai abacus, un mēs varam veikt reizināšanu, dalīšanu un citas lietas, daudz ātrāk, izmantojot slaidu likumu, kurā kolonnas netiek izmantotas. norādīt numurus vai nu ar kalkulatoru, vai datoru.

    The rakstīts mūsu izmantotā numerācijas sistēma ir tikai konvencionāla un pilnīgi patvaļīga, un, kaut arī tā savā ziņā ir loģiski strukturēta, tā varētu būt ļoti atšķirīga un tomēr loģiski strukturēta. Lai gan daudziem cilvēkiem tas ir noderīgi skaitļu attēlošanai un aprēķināšanai ar skaitļiem, tas nav nepieciešams nevienam no tiem. Mēs varētu atšķirīgi attēlot skaitļus un diezgan atšķirīgi veikt aprēķinus. Jo, kaut arī sakarības starp lielumiem ir "fiksētas" vai "noteiktas" pēc loģikas, un, lai arī to, kā mēs manipulējam ar dažādiem apzīmējumiem, lai ātri un precīzi aprēķinātu, nosaka loģika, veids, kā mēs vispirms apzīmējam šos lielumus, nav "fiksēts" pēc loģikas vai tikai ar pamatojumu, bet tas ir tikai izgudrots simbolisms, kas veidots pēc iespējas lietderīgāk. Ir algoritmi, lai abacus reizinātu un dalītu, un jūs varat izstrādāt algoritmu romiešu ciparu reizināšanai un dalīšanai. Bet algoritmu ievērošana nav ne to principu izpratne, uz kuriem balstās algoritmi, nedz arī pazīme, lai saprastu, ko cilvēks dara matemātiski. Algoritmu izstrādei ir nepieciešama izpratne, izmantojot tos.

    Bet to, kas ir nedaudz noderīgs, kad to iemācījies, ne vienmēr ir viegli iemācīties. Pieaugušajam nav viegli iemācīties jaunu valodu, lai gan lielākā daļa bērnu savu valodu jau diezgan maigi apgūst diezgan labi, un viņi to diezgan viegli var lietot kā pieaugušie. Kolonnu attēlojuma izmantošana grupām (ti, "vietas" vērtības apzīmējumi) bērniem nav viegli saprotams jēdziens, kaut arī bērniem ir viegli iemācīties pareizi lasīt un rakstīt skaitļus, un, kaut arī bērniem ir diezgan viegli iemācīties grupu krāsu attēlojumus, praktizējoties.

    Turklāt nav viegli iemācīties manipulēt ar rakstītajiem skaitļiem daudzpakāpju veidos, jo bieži vien mums mācītās manipulācijas vai algoritmi, kaut arī tiem ir sarežģīts vai "dziļš" loģisks pamatojums, tiem nav viegli redzama pamata, un tas ir vairāk jo grūtāk ir atcerēties nesaistītas sekvences. Lielākajai daļai pieaugušo, kuri var pavairot, izmantojot papīru un zīmuli, nav ne jausmas, kāpēc jūs darāt tā, kā jūs darāt, vai kāpēc tas darbojas. (21) Tas ietver lielāko daļu pamatskolas aritmētikas skolotāju.

    Tagad aritmētiskie skolotāji (un vecāki) mēdz jaukt matemātikas loģisko, parasto vai reprezentatīvo un algoritmisko manipulatīvo skaitļošanas aspektu mācīšanu (un mācīšanos). Dažreiz viņi nolaidīgi māca vienu aspektu, jo domā, ka ir mācījuši to, kad māca citus aspektus. Tas ne vienmēr ir taisnība. "Jaunas matemātikas" instrukcija gadījumos, kad tā neizdevās, bija mēģinājums matemātiku mācīt loģiski (daudzos gadījumos cilvēki, kuri nesaprata tās loģiku), vienlaikus nemācot un nepietiekami praktizējot daudzos reprezentācijas vai algoritmiskos skaitļošanas matemātikas aspekti. Tradicionālā pieeja mēdz atstāt novārtā loģiku vai pieņemt, ka algoritmisko aprēķinu mācīšana ir matemātikas loģika. Ir dažas jaunas metodes, kas izmanto noteiktus manipulācijas veidus (22), lai mācītu grupējumus, taču šie manipulatori parasti (tikai) nav reprezentatīvi. Tā vietā viņi vienkārši uzrāda, teiksim, 10 grupas, proporcionāli garākos segmentos nekā lietas, kas uzrāda vienu vai piecus, vai tāpat kā santīmu ruļļi, viņi faktiski satur 100 lietas (vai desmit lietas vai divas lietas, vai kādas citas).

    Studentiem jāapgūst trīs dažādi matemātikas aspekti, un tas, kas efektīvi māca vienu aspektu, var nemācīt pārējos aspektus. Trīs aspekti ir (1) matemātiskās konvencijas, (2) matemātisko ideju loģika (-as) un (3) matemātiskās (algoritmiskās) manipulācijas aprēķināšanai. Nav a priori rīkojuma mācīt šos dažādos aspektus neatkarīgi no tā, kāda kārtība konkrētajam studentam ir visefektīvākā, vai studentu grupa ir vislabākā kārtība. Studentiem jāmāca "parastie", ikdienas parastie aritmētikas attēli, un viņiem jāmāca, kā ar rakstītiem skaitļiem manipulēt un aprēķināt ar dažādiem līdzekļiem - ar kalkulatoriem, ar datoru, ar abaku un sabiedrības "parastās" algoritmiskās manipulācijas (23), kas rietumu valstīs ir metodes "pārgrupēšanai" saskaitīšanai un atņemšanai, daudzciparu skaitļu precīzu solu pavairošanai un garai dalīšanai utt. Mācīšanās izmantot šīs lietas prasa daudz atkārtot un praktizēt, izmantojot spēles vai jebko citu, lai tas būtu pēc iespējas interesantāks. Bet šīs lietas parasti ir vienkārši bērnu mācības vai prakse. Bet skolotājiem nevajadzētu piespiest studentus mēģināt saprast šīs lietas, domājot, ka šīs lietas ir acīmredzamas vai vienkāršas loģikas lietas. Tie nav acīmredzamas vai vienkāršas loģikas jautājumi, kā es esmu mēģinājis pierādīt šajā dokumentā. Bērni peldēs augšup pa straumi, ja viņi meklēs loģiku, kad tikai mācās konvencijas vai mācās algoritmus (kuru loģika ir daudz sarežģītāka nekā spēja atcerēties algoritmu darbības, kas pats par sevi ir bērniem pietiekami sarežģīts). Jebkurš skolotājs, kurš liek bērniem izskatīties pēc konvencijām un algoritmiskām manipulācijām, ir loģikas jautājumi, kas viņiem jāsaprot, dara viņiem smagu ļaunu.

    No otras puses, bērniem ir jāstrādā ar matemātikas loģiskajiem aspektiem, no kuriem daži izriet no dotajām konvencijām vai attēlojumiem, un dažiem no tiem nav nekāda sakara ar konkrētām konvencijām, bet ir tikai ar to, kā daudzumi attiecas uz katru cits. Bet, lai attīstītu bērnu matemātisko ieskatu un intuīciju, ir nepieciešams kaut kas cits, nevis atkārtošana, mācības vai prakse.

    Daudzas no šīm lietām var veikt vienlaikus, lai arī tās, iespējams, nav savstarpēji saistītas. Studentiem var palīdzēt iegūt loģiskas atziņas, kas viņus nostādīs labā stāvoklī, kad viņi galu galā nonāks pie algebras un aprēķina (24), kaut arī citā dienas vai nedēļas laikā viņi tikai mācās, kā "aizņemties" un "nēsāt" "(pašlaik to sauc par" pārgrupēšanu ") divu kolonnu numuri. Viņi var iemācīties ģeometriskas atziņas dažādos veidos, dažos gadījumos spēlējot miniatūru golfu uz visādām dīvainām virsmām origami, veicot periskopus vai kaleidoskopus, veicot dažus apsekojumus, pētot dažādu formu objektu peldspēju vai tomēr. Vai arī viņiem var iemācīt dažādas lietas, kas varētu būt savstarpēji saistītas, piemēram, pokera žetonu krāsas un kolonnu grupas. Svarīgi ir tas, ka skolotāji var saprast, kuri elementi ir tradicionāli vai tradicionāli reprezentatīvi, kuri elementi ir loģiski un kuri ir (sarežģīti) algoritmiski, lai viņi mācītu šos dažādos elementus, katrs savā piemērotā veidā, sniedzot praksi tajos lietas, kuras gūst labumu no prakses, un izpratnes virzīšana tajās lietās, kurām nepieciešama izpratne. Un skolotājiem ir jāsaprot, kuri matemātikas elementi ir konvencionāli vai konvencionāli reprezentatīvi, kuri elementi ir loģiski un kuri ir (sarežģīti) algoritmiski, lai viņi paši varētu iemācīt šīs atšķirības, kad studenti ir gatavi spēt tos saprast un asimilēt.

    Šis darbs ir pieejams šeit bez maksas, lai tie, kas to nevar atļauties, joprojām varētu tam piekļūt un lai nevienam nebūtu jāmaksā, pirms viņš izlasa kaut ko tādu, kas, iespējams, nav tas, ko viņš patiesībā meklē. Bet, ja jums tas šķiet jēgpilns un noderīgs un vēlaties ieguldīt visu pieejamo summu, kas jums šķiet pieņemama, es to novērtēšu. Labajā pusē esošā poga novirzīs jūs uz PayPal, kur jūs varat veikt jebkura lieluma ziedojumus (25 centi vai vairāk), izmantojot jūsu PayPal kontu vai kredītkarti bez PayPal konta.

    Barodijs, A. Dž.(1990). Kā un kad jāmāca vietas vērtības jēdzieni un prasmes? Matemātikas izglītības pētījumu žurnāls, 21(4), 281-286.

    Kobs, Pols. (1992) Personīgā sarakste. 9. oktobris.

    Fusons, K.C. (1990). Konceptuālās struktūras vairāku vienību skaitļiem: ietekme uz daudzdigitu saskaitīšanas, atņemšanas un vietas vērtības mācīšanos un mācīšanu. Izziņa un instrukcijas, 7(4), 343-403.

    Džonss, G.A. un Torntons, C.A. (1993). Bērnu izpratne par vietas vērtību: pamatprogramma mācību satura izstrādei un novērtēšanai. Mazi bērni, 48 gadi(5), 12-18.

    Kamii, C. (1989). Mazi bērni turpina izgudrot aritmētiku: 2. klase. Ņujorka: Teachers College Press.

    1. zemsvītras piezīme. Vienkārša atkārtošana par konceptuālām lietām var darboties gadījumos, kad iejaukšanās pieredze vai informācija ir novedusi skolēnu uz jaunu izpratnes līmeni tā, ka tam, kas viņam tiek atkārtots, viņam būs "jauna nozīme" vai tāda nozīme, kāda nebija iepriekš. Atkārtojums par konceptuāliem punktiem bez jauna līmeņa izpratnes parasti nebūs noderīgs. Var būt noderīga vienkārša atkārtošana par konceptuālām lietām, piemēram, ar neatgriezenisku atgādinājumu jaunam beisbola spēlētājam saglabāt savu šūpoles līmeni, jaunam bokserim, lai sargs un kāju kustība, vai bērnam, kurš mācās braukt ar velosipēdu, lai "saglabātu". tirdzniecība turpina tirgot PEDDLE! " (Atgriezties pie teksta.)

    2. zemsvītras piezīme. Ja jūs domājat, ka saprotat vietas vērtību, atbildiet, kāpēc kolonnās ir nosaukumi, ko viņi dara. Tas ir, kāpēc desmitu kolonna ir desmitu kolonna vai simtu kolonna ir simtu kolonna? Vai varēja būt kāda cita metode, nevis slejas, kas būtu darījušas tās pašas lietas, ko kolonnas dara tikpat efektīvi? Ja jā, tad kas, kā un kāpēc? Ja nē, kāpēc ne? Citiem vārdiem sakot, kāpēc mēs rakstām skaitļus, izmantojot kolonnas, un kāpēc konkrētās kolonnas, kuras mēs izmantojam? Neoficiālās nopratināšanas laikā es neesmu saticis nevienu sākumskolas skolotāju, kas varētu atbildēt uz šiem jautājumiem vai kurš kādreiz par tiem būtu pat domājis. (Atgriezties pie teksta.)

    3. zemsvītras piezīme. Tas, kā kaut kas tiek mācīts vai kā mācība vai materiāls tiek strukturēts konkrētam indivīdam (un dažreiz līdzīgām indivīdu grupām), ir ārkārtīgi svarīgi, lai efektīvi vai efektīvi kāds (vai visi) to varētu iemācīties. Dažreiz struktūrai ir izšķiroša nozīme, lai to vispār iemācītos. Vispirms vienkāršs piemērs: (1) tālruņa numura, piemēram, 323-2555, teikšana amerikānim kā “trīs, divi, trīs (pauze), divi, pieci, pieci, pieci”, ļauj viņam to saprast daudz vieglāk nekā pateikt ”. dubultā trīsdesmit divi, trīskārši pieci ". Amerikānim pat ir grūti uztvert tālruņa numuru, ja pauzi aizceturat pēc ceturtā cipara, nevis trešā ("trīs, divi, trīs, divi (pauze), pieci, pieci, pieci").

    (2) Mākslas vēsturi varēju iemācīties no grāmatas, kas to strukturēja, ilgstoši lasot lasītājam cauri viena veida mākslai viena veida reģionā un pēc tam darot to pašu citam reģionam. Man bija grūti mācīties no grāmatas, kas vienlaikus veica daudzus reģionus dažādos laika šķērsgriezumos. Es varētu veikt savus šķērsgriezuma salīdzinājumus pēc katra reģiona izpētes kopumā, bet Es nevarēju uzbūvēt veselu reģionu no tā, kas, manuprāt, bija šķērsgriezuma daļu juceklis.

    (3) Es redzēju bērnu, kurš mēģināja iemācīties braukt ar velosipēdu, kamēr tēvs bija noņēmis vienu mācību riteni, bet otru atstājis pilnībā izstiestu uz zemes. Vienīgais veids, kā pasargāt velosipēdu no apgāšanās, bija tālu noliekties pār atlikušo treniņriteņu. Bērns pamatoti brauca 30 grādu leņķī pret velosipēdu. Kad es novilku otru mācību riteni, lai iemācītu viņai braukt, bija nepieciešamas apmēram desmit minūtes, lai tikai atgrieztu viņu normālā iesācēja sākotnējā vertikālā braukšanas stāvoklī. Es neticu, ka viņa kādreiz būtu varējusi iemācīties braukt pēc tēva metodes.

    (4) Fotogrāfijas elementus trīs stundu laikā izskaidroju studentiem jēgpilnā veidā, kaut arī tā laika beigās studentiem tā pilnībā "negrimst". ("Iegremdēšanai" vai gatavai iekārtai ir nepieciešama prakse kopā ar sapratni.) Daudzi cilvēki, kurus esmu mācījis, ir izgājuši veselus fotogrāfijas kursus, kas nebija īpaši strukturēti, un mana perspektīva apgaismo viņu izpratni tādā veidā, kādu viņi, iespējams, nav sasnieguši šajā virzienā. viņi devās.

    (5) Es pirmo reizi studēju Eiropas vēsturi, kad mācījos koledžā. Mans pasniedzējs nestrukturēja mums paredzēto materiālu, un man visa tā bija nebeidzama, neatšķirama pāvestu, karaļu un karu kolekcija. Es centos to visu iegaumēt, un tas bija praktiski neiespējami. Kursa beigās es uzzināju, ka otrs profesors, kurš pasniedza kursu (visiem maniem draugiem), katru savu lekciju pavadīja, vienkārši strukturējot ietvaru, lai dotu studentiem iespēju ievietot lasītās detaļas. Viņi to iemācījās.

    (6) Gadā, kad es paņēmu organisko ķīmiju, viens profesors izmēģināja jaunu mācību grāmatu, kas materiālu strukturēja jaunā veidā, un viņš lasīja lekcijas tādā pašā struktūrā kā grāmata. Viņš gada beigās atzina, ka tā bija liela kļūda, studenti nemācījās tik labi, izmantojot šo struktūru. Es nekļuvu labs organiskajā ķīmijā.

    (7) Otrā semestra aprēķinā bija trīs nodaļas, kas bija pilnas ar formulām, kuras visas varēja atvasināt no nodaļas pirmās formulas, taču ne grāmata, ne kāds no pasniedzējiem nenorādīja, ka visas, izņemot pirmo, ir atvasinātas. Šķita, ka ir nepieciešams daudz iegaumēt, lai iemācītos katru no šīm atsevišķajām formulām. Es nejauši pamanīju attiecības naktī pirms starpposma eksāmena, pateicoties veiksmei un nejaušai spriešanai par kaut ko citu. Es izdomāju, ka esmu pēdējais, kurš to redzēja no kursa 1500 studentiem, un ka, kā parasti, es biju ļoti naivs attiecībā uz materiālu. Izrādījās, ka es vienīgais to redzēju. Man veicās ārkārtīgi labi, bet visiem pārējiem testā veicās nožēlojami, jo atmiņa eksāmena apstākļos nebija pamatota. Ja skolotāji vai grāmata būtu vienkārši teikusi, ka pirmā formula ir vispārējs princips, no kura jūs varētu atvasināt visus pārējos, lielākā daļa pārējo studentu arī būtu labi izturējušies testā.

    Varētu būt miljoniem piemēru. Lielākajai daļai cilvēku ir zināmi skolotāji, kuri vienkārši nespēj izskaidrot lietas ļoti labi vai kuri kaut ko var precīzi izskaidrot vienā veidā, tā ka, ja students neievēro šo konkrēto paskaidrojumu, viņam nav iespēju uzzināt šo lietu no šī skolotāja. Mācībām ir svarīga prezentācijas struktūra konkrētam studentam. (Atgriezties pie teksta.)

    4. zemsvītras piezīme. Mazpilsētā, kas nav tik tālu no Birmingemas, atrodas nesen atvērts McDonald's, kas piedāvā šokolādes kokteiļus, kas ir gandrīz baltā krāsā un pēc garšas ir ne pārāk labi vaniļas kokteiļi. Tie nav tādi kā citi McDonald's šokolādes kokteiļi. Kad es pastāstīju vadītājai, kā garšo kokteiļi, viņa atbildēja, ka kratīšanas mašīna bija pavisam jauna, to uzstādīja eksperti un iepriekšējā nedēļā viņi bija sertificējuši - kratīšanas mašīna atbilda McDonald's stingrajiem standartiem, tāpēc kratīšanas bija kā viņiem vajadzēja būt, viņiem nebija nekā nepareiza. Viņas nebija pārliecinošas. Pēc tam, kad viņa atgriezās birojā, es sapratu un pieminēju tirdzniecības darbiniekiem, ka man vajadzēja lūgt viņu veikt garšas pārbaudi, lai mēģinātu atšķirt šokolādes kokteiļus no vaniļas. Tas viņai parādītu, ka nav atšķirības. Personāls man teica, ka tas nedarbosies, jo ir skaidra atšķirība: "Mūsu vaniļas kokteiļi garšo pēc krīta." Viņi sapratu, ka ir problēma.

    Diemžēl pārāk daudz skolotāju māca tā, kā to pārvalda vadītājs. Viņi domā, ka, ja viņi labi dara to, ko viņiem saka rokasgrāmatas, koledžas kursi un mācību programmas, tad viņi ir labi mācījuši un paveikuši savu darbu. Tas, ko bērni no tā iegūst, nav svarīgi, cik viņi ir labi skolotāji. Viņus uztrauc nevis prezentācija, bet gan reakcija. Viņiem "mācīšana" ir prezentācija (vai klases ierīkošana atklāšanai vai darbam). Ja viņi labi "māca" to, ko bērni jau zina, viņi ir labi skolotāji. Ja viņi ar lielu entuziasmu vada dinamiskas, labi sagatavotas prezentācijas vai piešķir atsevišķus projektus, viņi ir labi skolotāji, pat ja neviens bērns nesaprot materiālu, neko neatklāj vai par to rūpējas. Ja viņi māca savus skolēnus spēt veikt, piemēram, testa daļas, viņi ir paveikuši labu darbu, mācot aritmētiku, neatkarīgi no tā, vai šie bērni saprot frakcijas ārpus testa situācijas, vai nē. Un, ja viņi ar jebkādiem nepieciešamiem līdzekļiem māca bērnus labi veikt šīs frakcijas, nav nozīmes, ja viņi uz visiem laikiem saindē bērna interesi par matemātiku. Mācīšana šādiem skolotājiem ir tikai pareizas tehnikas, nevis rezultātu jautājums.

    Nu, tā nav taisnība nekā tas, ka šie kokteiļi atbilst Makdonalda standartiem tikai tāpēc, ka to izgatavošanas tehnika ir "sertificēta". Es nesaku, ka klases skolotājiem vajadzētu būt iespējai mācīt tā, lai katrs bērns mācītos. Ir mainīgie, kurus pat labākie skolotāji nevar kontrolēt. Bet skolotājiem vajadzētu būt iespējai pateikt, ko viņu saprātīgi spējīgie skolēni jau zina, tāpēc viņi netērē savu laiku un viņu neapnīk. Skolotājiem vajadzētu būt iespējai pateikt, vai saprātīgi spējīgi skolēni saprot jaunu materiālu, vai arī tas atkal jāiesniedz citādā veidā vai citā laikā. Skolotājiem vajadzētu būt iespējai pateikt, vai viņi stimulē šo studentu domas par materiālu vai arī viņi saindē jebkuru bērna interesi.

    Visi paņēmieni visās mācību rokasgrāmatās un mācību ceļvežos visā pasaulē ir vērsti tikai uz šiem mērķiem. Paņēmieni nav pašmērķi, tie ir tikai līdzekļi mērķu sasniegšanai. Tie skolotāji, kuri pilnveido savas mācību metodes, vienkārši pulējot savas prezentācijas, pārkārtojot klases vidi vai apzinīgi izstrādājot jaunus projektus, bez jebkādas izpratnes vai neņemot vērā to, ko viņi patiesībā dara ar bērniem, var būt arī McDonald's kopīgi pārvaldītāji. (Atgriezties pie teksta.)

    5. zemsvītras piezīme. Daži no šiem pētījumiem, kas interpretēti, lai parādītu, ka bērni nesaprot vietējo vērtību, manuprāt, kļūdās. Džonss un Torntons paskaidro šādu "vietas vērtības uzdevumu": Bērniem tiek lūgts saskaitīt 26 konfektes un pēc tam tās ievietot 6 glāzēs pa 4 konfektēm katrā, paliekot divām konfektēm. Kad "2" no "26" tika apvilkts un bērniem tika lūgts to parādīt ar konfektēm, bērni parasti norādīja uz abām konfektēm. Kad "6" vietā "26" tika apvilkts un lūgts uz to norādīt ar konfektēm, bērni parasti norādīja uz 6 konfekšu tasītēm. Tas tiek darīts, lai parādītu, ka bērni nesaprot vietas vērtību. Es uzskatu, ka tas demonstrē šāda veida trikus, kas līdzīgi šādām problēmām, kas neliecina par izpratnes trūkumu, bet parāda, ka var maldināt ignorēt vai aizmirst savu izpratni.

    (1) Ostā ir kuģis ar ļoti garām virvju kāpnēm, kas karājas aiz borta un kuru pakāpieni ir 8 collu attālumā viens no otra. Plūdmaiņas ienākšanās sākumā trīs pakāpieni atrodas zem ūdens. Ja paisums nāk uz četrām stundām ar ātrumu 1 pēda stundā, šī perioda beigās, cik pakāpieni tiks iegremdēti?

    Atbilde nav deviņi, bet "joprojām tikai trīs, jo kuģis celsies līdz ar plūdmaiņu". Tas neliecina, ka respondenti nesaprot peldspēju, tikai to var maldināt, aizmirstot vai ignorējot.

    (2) Trīs vīrieši 1927. gadā iegāja viesnīcā un ieguva numuru numurus par kopējo summu 30 USD, ko viņi iepriekš samaksāja skaidrā naudā, katram vīrietim iemaksājot 10 USD. Pēc tam, kad viņi uzkāpa istabā, rakstvedis saprata, ka viņš ir kļūdījies un ka "suite" numurs ir tikai 25 USD. Viņš iedeva apcirkņiem 5 dolārus, lai tos atdotu vīriešiem. Atnestājs nezināja, kā naudu vienmērīgi sadalīt starp vīriešiem, tāpēc viņš tikai atdeva katram vienu dolāru un divus paturēja sev. Tas nozīmēja, ka vīrieši maksāja katrs 9 USD par kopējo summu 27 USD. Uznirstošais glabāja 2 USD, tātad 29 USD. Bet sākumā bija 30 ASV dolāri, un kas notika ar otru dolāru?

    Tā mēdz būt ārkārtīgi sarežģīta problēma - psiholoģiski - lai gan tai ir ārkārtīgi vienkārša atbilde. Izmaksātajai naudai vienkārši jābūt vienādai ar uzņemto naudu. 27 USD tika izmaksāti (galu galā) 2 USD no tā nonāca veikalā un 25 USD nonāca pie galda. Tev vajag atņemt $ 2, ko glabāja veikals, nevis pievienot to atpakaļ uz summu, ko vīrieši izmaksāja. Nav iemesla pievienot USD 2 USD 27, izņemot skaitļa iegūšanu pietiekami tuvu sākotnējam USD 30, lai sajauktu klausītāju domās, ka kaut kas nav kārtībā un ka USD 1 nav ieskaitīts. Cilvēkiem, kuri nespēj atrisināt šo problēmu, parasti nav problēmu ar naudas uzskaiti, tomēr viņi to dara tikai strādājot pie šīs problēmas.

    (3) Šī problēma ir sarežģītāka, jo vairāk jūs zināt. Ja jūs nezināt, ka nav aprēķina, problēma nav īpaši grūta. Tā ir iecienīta problēma, ar kuru mānīt nenojaušošos matemātikas profesorus.

    Divi vilcieni sākas vienlaicīgi, 750 jūdžu attālumā viens un tas pats sliežu ceļš virzās viens uz otru. Vilciens rietumos brauc 70 jūdzes stundā, bet vilciens austrumos - 55 jūdzes stundā. Laikā, kad sākas vilcieni, bite, kas lido 300 jūdzes stundā, sākas pie viena vilciena un lido, līdz sasniedz otru, un tajā laikā tā mainās atpakaļgaitā (nezaudējot ātrumu) un nekavējoties lido atpakaļ uz pirmo vilcienu, kas, protams, tagad ir tuvāk. Bite turpina virzīties uz priekšu un atpakaļ starp abiem arvien tuvākiem vilcieniem, līdz, saduroties savā starpā, tā tiek saspiesta. Kāds ir kopējais attālums, ko bite lido?

    Skaitļošanas ziņā ārkārtīgi grūts, bet psiholoģiski loģiski acīmredzams risinājums ir "apkopot bezgalīgu sēriju". Matemātiķi mēdz ieslēgties šajā metodē. Vienkāršais risinājums ir tāds, ka vilcieni tuvojas viens otram ar kopējo ātrumu 125 jūdzes stundā, tāpēc tie 750 jūdzes pievarēs un avarēs 6 stundu laikā. Bite nepārtraukti lido 300 jūdzes stundā, tāpēc 6 stundu laikā viņš lidos 1800 jūdzes. (Domājams, ka viens matemātiķis ir sniedzis atbildi nekavējoties, pārsteidzot jautātāju, kurš atbildēja, cik neticami tas bija "kopš lielākā daļa matemātiķu mēģina apkopot bezgalīgu sēriju." Matemātiķis atbildēja ar savu izbrīnu ", bet to es arī izdarīju. ")

    Nav tā, ka matemātiķi nezina, kā šo problēmu atrisināt tik vienkārši, kā tas ir konstruēts tā, lai liktu nedomāt par vieglo ceļu.

    Es uzskatu, ka problēma, ko Džonss un Torntons apraksta, darbojas līdzīgi arī bērnu prātos. Lai gan es uzskatu, ka ir pietiekami daudz pierādījumu, ka bērni un pieaugušie īsti nesaprot vietējo vērtību, es nedomāju, ka šāda veida problēmas pierāda, ka vairāk nekā tikai tādas problēmas kā šeit norādītās, liecina par izpratnes trūkumu par iesaistītajiem principiem.

    Bērniem ir viegli redzēt, ka viņi nesaprot vietējo vērtību, ja viņi nevar pareizi pievienot vai atņemt rakstītos skaitļus, izmantojot arvien grūtākas problēmas, nekā viņiem ir parādīts un izurbts vai būtiski atkārtots, kā to darīt (ar īpašām darbībām, ti, ar algoritmu). . Ar arvien grūtāk es domāju, piemēram, pāreju no salīdzinoši mazāku daudzumu atņemšanas vai summēšanas uz salīdzinoši lielākiem (ar arvien vairāk un vairāk cipariem), problēmu risināšanu, kas prasa (sauciet to, kā vēlaties) pārgrupēšanu, nēsāšanu, aizņemšanos vai tirdzniecību. iet uz atņemšanas problēmām ar nulles skaitli, no kura jūs atņemat, pēc kārtas skaitļu skaitam, no kura jūs atņemat un atņemat tādas problēmas, kuras rakstiski ir īpaši psiholoģiski sarežģītas, piemēram, "10,101 - 9,999". Aicinot studentus (parādīt, kā viņi) risina (viņiem) problēmas, kuras viņiem ir "iemācītas" un mēģinātas, pārbauda tikai viņu uzmanību un atmiņu, bet lūdzot studentus atrisināt (parādīt, kā viņi) jauns dažāda veida problēmas (kurās tiek izmantoti jūsu demonstrētie jēdzieni un metodes, bet no tām "iet mazliet tālāk") palīdz parādīt, vai viņiem ir izveidojusies izpratne. Tomēr šīs beigu piezīmes sākumā sastopamie problēmu veidi to nedara, jo tie ir īpaši izdomāti psiholoģiski maldināšanai vai arī tie ir nejauši konstruēti tā, lai faktiski maldinātu. Viņi pārsniedz to, kas studentiem ir speciāli iemācīts, taču to dara viltīgi, nevis tikai "loģiski dabiski". Es nevaru kategorizēt, kādos veidos "pārvarēšana viltīgā veidā" atšķiras no "pārsniegšanas" dabiski loģiskā veidā ", lai pārbaudītu izpratni, taču piemēros vajadzētu skaidri norādīt, ko es domāju.

    Turklāt bieži ir grūti uzzināt, ko jautā vai saka kāds cits, kad tas tiek darīts tā, ka tas atšķiras no visa, par ko jūs tajā laikā domājat. Ja jūs jautājat par kāda veida telpisko dizainu un kāds uzzīmē grieztu skatu no leņķa, kas viņam ir jēga, jums var nebūt jēgas, kamēr jūs nevarat "pārorientēt" savu domāšanu vai perspektīvu. Vai arī, ja kāds demonstrē pierādījumu vai pamatojumu, viņš var turpināt soli, kuru jūs vispār neievērojat, un, iespējams, viņam būs jālūdz viņam paskaidrot šo soli. Tas, kas viņam bija acīmredzams, jums pašlaik nebija skaidrs.

    Fakts, ka bērns vai kāds subjekts norāda uz divām konfektēm, kad aplis "2" iedaļā "26" un lūdzat viņu parādīt, ko tas nozīmē, var būt vienkārši tāpēc, ka viņš nedomā par to, ko jūs prasāt tā, kā jūs to jautājat vai domājat pats. Nav iesaistīta maldināšana, jūs abi vienkārši domājat par dažādām lietām, bet izmantojat tos pašus vārdus (vai simbolus), lai aprakstītu to, par ko domājat. Tas ir līdzīgi tam, kā kāds citē cenu "deviņpadsmit deviņdesmit pieci", kad kļūdaini domājat, ka skatāties uz bižutēriju, un jūs domājat, ka viņš nozīmē 19,95 ASV dolārus, savukārt viņš domā 1995. gadu. Vai arī palūdziet kādam paskatīties uz cilvēka seju apmēram desmit pēdu attālumā no sevis un aprakstīt to, ko viņi redz. Viņi aprakstīs šīs personas seju, bet patiesībā redzēs daudz vairāk nekā šīs personas seju. Tātad, viņu atbilde ir nepareiza, kaut arī saprotami. Tagad tas savā ziņā ir niecīgs un triks pārpratums, bet fotogrāfijā amatieri visu laiku savā skatītājā "redz" tikai seju, lai gan patiesībā viņi ir pārāk tālu, lai šī seja fotogrāfijā parādītos ļoti labi . Viņi tiešām nezina visu, ko redz caur skatītāju, un visu, ko kamera "redz" paņemt. Atšķirība ir tāda, ka, ja kāds pieļauj šo kļūdu ar kameru, tā patiešām ir kļūda, ja kļūdās mutiski, atbildot uz manis uzdoto jautājumu, tā var nebūt reāla kļūda, bet tikai neskaidra jautājuma uzdošana tādā veidā, kā tas bija mānīgi nav paredzēts. Vaicājot bērnam, ko nozīmē aplis "2", neatkarīgi no tā, no kurienes tas var rasties, bērnam var nebūt iemesla domāt, ka jūs jautājat par "26" divdesmit daļu - it īpaši, ja ir divi priekšmeti, kurus esat apzināti uzņēmis lika viņam likt sev priekšā un nevienu viegli redzamu divdesmit priekšmetu komplektu. Viņš, iespējams, lieliski saprot vietas vērtību, bet neredz to, par ko jūs jautājat - it īpaši apstākļos, kurus esat uzbūvējis un kuros uzdodat jautājumu. (Atgriezties pie teksta.)

    6. zemsvītras piezīme.Ja jūs saprotat vietas vērtības jēdzienu, ja saprotat, kā bērni (vai kāds cits) mēdz domāt par jebkāda veida jaunu informāciju (un cik viegli ir pārprast, it īpaši par konceptuāliem jautājumiem), un ja skatāties, kā lielākā daļa skolotāju māca par lietas, kas saistītas ar vietas vērtību vai citiem matemātikas loģiski konceptuāliem aspektiem, nav pārsteidzoši, ka bērni ļoti labi nesaprot vietas vērtību vai citus matemātiskos jēdzienus un ka viņi parasti nemāk matemātiski. Vietas vērtību, tāpat kā daudzus jēdzienus, bieži māca tā, it kā tās būtu kaut kādas dabas parādības - it kā atrašanās desmito kolonnā būtu vienkārša, dabiski sastopama, novērojama īpašība, piemēram, gara vai skaļa vai apaļa - nevis loģiski un psiholoģiski sarežģīts jēdziens. Pārsteidzoši var būt tas, ka lielākā daļa pieaugušo matemātiku var apgūt tikpat labi, kā viņi to dara vispār, tik maz padziļināti saprotot, cik viņiem ir. Pētījumi par to, ko bērni saprot par vietas vērtību, ir jāatzīst par to, ko bērni saprot par vietas vērtību ņemot vērā, kā tas viņiem ir iemācīts, nevis kā viņu iespējamās izpratnes par vietas vērtību robežas. (Atgriezties pie teksta.)

    7. zemsvītras piezīme. Barodijs (1990) kategorizē to, ko viņš dēvē par "arvien abstraktākiem daudzdigitu skaitļu modeļiem, izmantojot objektus vai attēlus", kā arī piemin modeli, kas, manuprāt, ir vispiemērotākais - dažādu krāsu pokera žetoni - kurš, pēc viņa domām, ir konceptuāli līdzīgs Ēģiptes hieroglifi - kuros desmitnieku atveidošanai tiek izmantots atšķirīgs "marķieris". Un viņš saka: "Dažāda izskata desmit marķiera izmantošana var palīdzēt dažiem bērniem, īpaši tiem, kuriem ir zema spēja, pārvarēt plaisu starp ļoti konkrētu izmēru iemiesojumiem un [nākamo / pēdējo] salīdzinoši abstrakto modeli [kas ietver marķieru relatīvo stāvokli]. . "

    Es neticu, ka viņa kategorijas ir arvien abstraktāku daudzdigitu skaitļu modeļu kategorijas. Viņam ir četras kategorijas, es uzskatu, ka pirmās divas ir tikai konkrētas objektu grupēšanas (bloķējošie bloki un sakritības zīmes pirmajā kategorijā, kā arī Dienes bloki un Dienes bloku zīmējumi otrajā kategorijā). Un otrie divi - atšķirīgais marķiera tips un atšķirīgā relatīvā stāvokļa vērtība - abi ir vienādi abstrakti grupas attēlojumi, atšķirība starp to, ka relatīvā-pozicionālā vērtība sākumā ir grūtāk asimilējama nekā atšķirīgs marķieris tips. Tas nav abstraktāk, tas ir tikai abstrakti tādā veidā, kuru ir grūtāk atpazīt un tikt galā.

    Turklāt Barodijs visas savas kategorijas apzīmē kā "tirdzniecības" veidus, taču, šķiet, viņš neatzīst, ka dažreiz ir atšķirība starp "tirdzniecību" un "pārstāvēšanu", un ka tirdzniecība nebūt nav abstrakta tādā veidā, kādā tā ir pārstāvēšana. Es varu jums izmainīt savu Mickey Mantle karti pret jūsu Ted Kluzewski karti vai manu tunzivju sviestmaizi pret jūsu bezalkoholisko dzērienu, taču tas nenozīmē, ka Mickey Mantle kartes ir Klu kartes vai ka sviestmaizes ir bezalkoholiskie dzērieni. Bērni, ne tikai bērni ar zemām spējām, var saprast tirdzniecību, neizprotot pārstāvēšanu. Un viņi var turpināt no turienes, lai saprastu, kāda veida pārstāvība patiešām ir līdzīga tirdzniecībai, kas pārstāv to vietējo vērtību. Bet attiecībā uz tirdzniecību, nevis pārstāvēšanu, vispirms ir vieglāk uztvert vai novērtēt (vai atcerēties, vai izlikties), ka starp objektiem, kas fiziski atšķiras, neatkarīgi no tā, kur tie atrodas, ir atšķirība starp vērtībām, nekā to vajadzētu uztvert vai novērtējiet atšķirību starp diviem vienāda izskata objektiem, kas atrodas vienkārši dažādās vietās. Ir jēga teikt, ka kaut kam var būt lielāka vai mazāka vērtība, ja tas tiek fiziski mainīts, nevis tikai fiziski pārvietots. Automašīnas krāsošana, iespiedumu izspiešana vai karburatora pārbūve padara to zināmā mērā vērtīgāku, jo tā novietošana augšpusē pie ceļa nav. Bērnam ir jēga teikt, ka divas zilās pokera mikroshēmas ir 20 baltu vērtībā, tāpēc ir mazāk acīmredzami teikt, ka šeit "2" ir desmit "2" vērtas. Krāsainie pokera žetoni iemāca svarīgās kolonnu abstraktās attēlojošās daļas tādā veidā, lai bērni to varētu saprast daudz vieglāk. Tad kāpēc gan neizmantot tos un atvieglot visu bērnu mācīšanos? Un pokera žetoni ir salīdzinoši lēti klases materiāli. Domājot izmantot dažādus marķieru tipus (lai attēlotu dažādas grupas vērtības) galvenokārt kā palīglīdzekli skolēniem ar zemām spējām, Barodijs palaiž garām savu potenciālu palīdzēt visiem bērniem, arī diezgan "gaišajiem" bērniem, agrāk, vieglāk apgūt vietas vērtību. un efektīvāk. (Atgriezties pie teksta.)

    8. zemsvītras piezīme. Atcerieties, ka ciparu rakstītās versijas nav tas pats, kas runas. Rakstiskās versijas ir jāapgūst, kā arī runas versijas, zinot izrunātos skaitļus, nemāca rakstītos skaitļus. Piemēram, skaitļi, kas rakstīti ar romiešu cipariem, tiek izrunāti tāpat kā skaitļi arābu ciparos. Un skaitļi, kas rakstīti binārā formā, tiek izrunāti tāpat kā skaitļi, kurus tie pārstāv, tie ir rakstīti atšķirīgi, un izskatās kā dažādi skaitļi. Binārā matemātikā "110" ir "seši", nevis "simts desmit". Kad bērni iemācās lasīt skaitļus, viņi dažreiz pieļauj dažas kļūdas, piemēram, sauc “11” par “viens-viens” utt. Pat pieaugušajiem, saskaroties ar lielu vairāku kolonnu numuru, bieži ir grūti nosaukt numuru, lai arī viņiem varētu nebūt problēmas ar ciparu manipulāciju veikšanu skaitļu nosaukumiem, kas pārsniedz viencipara skaitļus, ne vienmēr palīdz domāt par cipariem vai ar tiem manipulēt.

    Karena C. Fusone paskaidro, kā skaitļu nosaukumos no 10 līdz 99 ķīniešu valodā iekļauj būtībā kolonnu nosaukumus (tāpat kā mūsu visu skaitļu 100 reizinājumus), un viņa domā, ka tas padara ķīniešu valodā runājošos studentus spējīgus mācīties vietu - vieglāk novērtēt jēdzienus. Bet es uzskatu, ka tas nenotiek, jo, lai arī skaitļu nosaukumi tiek izrunāti, to skaitliskais apzīmējums joprojām ir pilnīgi atšķirīgs no rakstītā vārda apzīmējuma, piemēram, "1000" pret "viens tūkstotis". Ķīniešu valodā runājošam bērnam vajadzētu būt tikpat grūti iemācīties identificēt skaitli "11" kā angliski runājošam bērnam, jo ​​abi, uzzinājuši skaitli "1" kā "viens", redzēs skaitli "11" kā vienkārši divi "vieni" kopā. Ķīniešu bērnam nevajadzētu būt vieglāk iemācīties lasīt vai izrunāt "11" kā (viens tulkojums ķīniešu valodā) kā "viens-desmit, viens", nekā angliski runājošiem bērniem to redzēt kā "vienpadsmit". Un Fusons atzīmē trīs ķīniešu bērnu problēmu atklāšanu: (1) iemācīšanās rakstīt "0", ja skaitļa teikumā nav pieminēta konkrēta "kolonna" (piemēram, zinot, ka "trīs tūkstoši seši") ir "3006", nevis tikai "36") (2), zinot, ka noteiktos gadījumos, kad iegūstat vairāk nekā deviņus no norādītās vietējās vērtības, jums ir jāpārvērš "ekstra" augstākā vietējā vērtībā, lai to uzrakstītu (piemēram, jūs varat teikt "pieci simts un divpadsmit desmit", bet jums tas jāraksta kā "620", jo jūs [kaut kā] nevarat to rakstīt kā "5120". [Es saku: "sava veida", jo mēs mācām bērni, rakstot saīsinātas kolonnas - kolonnas, kurās ir daudzciparu skaitļi, - kad mēs iemācām viņiem atņemšanas aizņemšanās algoritmu, desmit slejā mēs ierakstām "12", kad mums bija divi desmit un aizņēmāmies vēl 10.] ( 3) Skaitļu rakstīšana parasti, tos “nesavienojot” (piemēram, iemācoties rakstīt “pieci simti divpadsmit” kā “512”, nevis “50012”, kur bērns pieraksta “500” un liek “ 12 "tā beigās).

    Bet ir vai vajadzētu vairāk iesaistīties. Pat pēc tam, kad bērni, kas runā ķīniešu valodā, ir iemācījušies lasīt skaitliskus skaitļus, piemēram, "215" kā "ķīniešu valodā tulkoto" "2-simts, viens-desmit, pieci", tas vien viņiem nepalīdzēs atņemt "56 "no tā kaut kā vieglāk, nekā to var izdarīt angliski runājošs bērns, jo (1) tirdzniecības jēdzieni joprojām ir jāpārvērš kolonnu skaitliskos apzīmējumos, kas nav īpaši viegli, un tāpēc, ka (2) joprojām ir jāsaprot kā vieni, desmiti, simti utt. ir savstarpēji saistīti, lai varētu tirgoties starp augstāku un zemāku sleju nosaukumu apzīmējumiem, piemēram, starp tūkstošiem un simtiem vai starp miljoniem un simtiem tūkstošiem utt. Un, kaut arī var šķist viegli atņemt "pieci desmit" (50) no "seši desmit" (60), lai iegūtu "viens desmit" (10), cilvēkiem, kuri ir iemācījušies skaitīt pa desmitiem, parasti nav grūti atņemt "piecdesmit" no "sešdesmit" "lai iegūtu" desmit ". Tas nav grūti arī angliski runājošiem studentiem, kuriem ir praktizē daudz ar daudzumiem un skaitļu nosaukumiem, lai no "piecdesmit sešiem" atņemtu "četrdesmit divus", lai iegūtu "četrpadsmit". Ķīniešu valodā runājošam bērnam, protams, nav vieglāk iegūt “viens desmit četrus”, no “pieci desmit seši” atņemot “četrus desmit divus”. Algebras studentiem bieži ir grūti pievienot un atņemt jauktus mainīgos [piemēram, "(10x + 3y) - (4x + y)"] vai ķīniešu valodā runājošajiem bērniem būs vieglāk izdarīt kaut ko praktiski identisku? Man ir aizdomas, ka, ja ķīniešu valodā runājošie bērni labāk saprot vietas vērtību nekā angliski runājošie bērni, tam ir vairāk iemeslu nekā viņu skaitļu nosaukumam. Un Fusons norāda uz vairākām lietām, kuras Āzijas bērni iemācās darīt, un amerikāņu bērni parasti netiek mācīti, sākot no dažādām pirkstu skaitīšanas metodēm līdz praktizēšanai ar skaitļu pāriem, kas papildina desmit vai līdz veselo skaitļu desmitkārtīgajiem.

    No tāda veida konceptuālā viedokļa, kādu es aprakstu šajā rakstā, šķiet, ka šāda veida prakse ir daudz svarīgāka, lai uzzinātu par attiecībām starp skaitļiem un starp lielumiem, nevis par to, kā tiek nosaukti izrunātie skaitļi. Ir daudz veidu, kā praktizēt skaitļu un daudzumu lietošanu, ja tiek izmantoti maz vai neviens no tiem, bērni, visticamāk, ne pārāk labi apgūs matemātiku, neatkarīgi no tā, kā tiek veidoti vai izrunāti skaitļu vārdi vai kā rakstīti skaitļi. (Atgriezties pie teksta.)

    9. zemsvītras piezīme. Tā kā bērni var iemācīties lasīt skaitļus, vienkārši atkārtojot un praktizējot, es uzskatu, ka skaitļu lasīšanai un rakstīšanai nav nekāda sakara ar vietas vērtības izpratni. Es uzskatu, ka "vietas vērtība" ir aptuveni un kāpēc kolonnas atspoguļo to, ko viņi dara, un kā viņi savstarpēji saistīti, ne tikai zinot kas viņi ir nosaukti. Daži skolotāji un pētnieki (un, iespējams, arī Fusons ir viens no viņiem), šķiet, lieto terminu “vietas vērtība”, lai iekļautu rakstisko skaitļu nosaukšanu vai nosaukto skaitļu rakstīšanu vai runātu par tiem. Šajā gadījumā Fusonam būtu taisnība, ka - kad bērni uzzina, ka rakstītajiem numuriem ir kolonnu nosaukumi un kāda ir šo sleju nosaukumu secība - ķīniešu valodā runājošiem bērniem būtu priekšrocība lasīt un rakstīt numurus (tostarp visus desmit un viens), kuru nav angliski runājošiem bērniem. Bet, kā es jau iepriekš norādīju, es nedomāju, ka priekšrocība tiek pārnesta uz skaitliski uzrakstītu vai skaitliski attēlotu aritmētisku manipulāciju veikšanu, kur rodas izpratne par vietas vērtību.

    Un es nedomāju, ka tā vispār ir kaut kāda reāla priekšrocība, jo es uzskatu, ka bērni var diezgan viegli iemācīties lasīt un rakstīt skaitļus no 1 līdz 100 ar pierakstu, un viņi to var izdarīt vieglāk šādā veidā nekā viņi to var izdarīt, iemācoties kolonnu nosaukumus un numurus un to, kā salikt dažādus ciparus pa kolonnām, lai izveidotu skaitli.

    Kad mani bērni mācījās skaļi "skaitīt" (t.i., tikai secīgi skaitīt skaitļu vārdus), viņiem bija grūti divas lietas, no kurām viena, manuprāt, būtu grūti arī ķīniešu valodā runājošiem bērniem. Viņi aizmirstu doties uz nākamo desmit grupu pēc nokļūšanas līdz deviņām iepriekšējā grupā (un es pieņemu, ka, ja ķīniešu bērni iemācīsies skaitīt līdz desmit, pirms viņi pāriet uz "viens-desmit viens", viņi, iespējams, dažreiz netīši skaitīs no, teiksim, "seši desmit deviņi līdz seši desmit desmit"). Un, iespējams, atšķirībā no ķīniešu bērniem, Fusona norādīto iemeslu dēļ maniem bērniem bija grūtības atcerēties nākamo desmitu vai "desmitgades" kopu nosaukumus. Kad viņi patiešām atcerējās, ka pēc kaut kā deviņiem bija jāmaina desmitgades nosaukums, viņi aizmirsa, kas sekoja tālāk. Bet to nebija tik grūti izlabot, īsos mēģinājumu periodos pasakot gadu desmitus (braucot automašīnā, darījumu laikā vai braucot parasti) un pēc tam vingrinot atsevišķi iet no divdesmit deviņiem līdz trīsdesmit, trīsdesmit deviņiem līdz četrdesmit utt. .

    Patiesībā dažreiz notiek arī trešā lieta, un teorētiski, man šķiet, tas, iespējams, notiks biežāk bērniem, kuri mācās skaitīt ķīniešu valodā. Skaitot līdz 100, mani bērni laiku pa laikam izlaida numuru, nemanot, vai arī viņi zaudēja koncentrēšanos un aizmirsa, kur viņi atrodas, un varbūt pārietu no sešdesmit sešiem līdz septiņdesmit septiņiem vai kādam citam. Es domāju, ka, ja jūs iemācītos skaitīt ar ķīniešu vārdu sistēmu, būtu diezgan viegli pāriet no kaut kā seši desmit trīs līdz četri desmit septiņi, ja jums vispār būtu kāda koncentrēšanās kļūme. Būtu viegli sajaukt, kuru "desmit" un "kuru" jūs tikko teicāt. Ja mēģināt vienā reizē saskaitīt vienkāršu divu dažādu veidu objektu maisījumus - galvā -, jūs viegli sajauksit, kurš skaitlis kuram objektam ir nākamais. Ievietojiet dažādus nelielus zilās un sarkanās krāsas pokera žetonus desmit vai piecpadsmit kaudzēs un pēc tam, vienu reizi pārejot no vienas kaudzes uz nākamo, mēģiniet vienlaicīgi saskaitīt visas zilās un visas sarkanās (paturot abas summas) izceļ). Ir ārkārtīgi grūti to izdarīt, neapjūkot, kura summa jums tikko bija pēdējā par zilajām un kura tikko bija pēdējā par sarkanajām. Īsāk sakot, jūs zaudējat informāciju par to, kurš numurs iet ar kuru vārdu. Es pieņemu, ka ķīniešu bērniem būtu šīs pašas grūtības iemācīties pateikt skaitļus secībā. (Atgriezties pie teksta.)

    10. zemsvītras piezīme. Ir atšķirība starp lietām, kuru "apgūšanai" ir nepieciešama atkārtota prakse, un lietām, kurām nepieciešama izpratne. Prakses mērķis ir kļūt labākam, lai izvairītos no kļūdām, nevis labāk tos atpazīt vai saprast katru reizi, kad tos pieļaujat. Atkārtotas prakses jēga ir vienkārši iegūt lielāku prasmi kaut ko darīt pareizi. Tas ne vienmēr ir saistīts ar labāku izpratni. Tas ir par iespēju kaut ko paveikt ātrāk, vienmērīgāk, automātiski, dabiskāk, prasmīgāk, perfektāk, labāk vai perfekti biežāk utt. Dažiem komandas sporta pamatiem var būt acīmredzami pamatojumi, un komandas atkārtoti praktizē un apgūst šos pamatus. tad nevis tāpēc, lai viņus labāk saprastu, bet lai varētu tos izdarīt labāk.

    Matemātikā un dabaszinātnēs (un daudzās citās jomās) izpratne un praktiskā pielietošana dažkārt ir atsevišķas lietas tādā nozīmē, ka var saprast reizināšanu, bet tas atšķiras no spēja gludi un ātri vairoties. Daudzi cilvēki var pavairot, ļoti labi nesaprotot reizināšanu, jo viņiem ir iemācīts reizināšanas algoritms, kuru viņi ir praktizējuši atkārtoti. Citi ir iemācījušies izprast reizināšanu konceptuāli, bet nav praktizējuši tik daudz, lai reizinātu faktiskos skaitļus, lai varētu efektīvi reizināt bez kalkulatora. Gan izpratne, gan prakse ir svarīga daudzos matemātikas aspektos, taču prakse un izpratne ir divas dažādas lietas, un bieži vien tās ir "jāmāca" vai jāstrādā atsevišķi.

    Līdzīgi, fiziķi vai matemātiķi var strādāt ar formulām, kuras viņi no galvas zina no prakses un lietošanas, taču viņiem, iespējams, nāksies mazliet padomāt un rekonstruēt šo formulu pierādījumus vai pamatojumu. Saprotamība vai izpratne bieži vien atšķiras no tā, ka var uzreiz pateikt atmiņā pierādījumu vai pamatojumu. Dažos gadījumos kādam var būt svarīgi ne tikai saprast priekšmetu, bet iegaumēt šīs izpratnes soļus vai arī praktizēt vai atkārtot "pierādījumu", pamatojumu vai atvasinājumu, lai viņš varētu atcerēties pilnīgu, specifisku pamatojumu būs. Bet ne visi gadījumi ir tādi. (Atgriezties pie teksta.)

    11. zemsvītras piezīme. Apspriežot šo punktu AERA-C sarakstā, Tads Vatanabe pareizi norādīja, ka nav nepieciešams vispirms pārgrupēties, lai veiktu atņemšanu, kas prasa "aizņemties" vai apmainīt desmit skaitļus savā. Varētu atņemt zemapziņas ciparu no “aizņemtajiem” desmit skaitļiem un starpību pievienot sākotnējam manaend ciparam. Piemēram, atņemot 26 no 53, var mainīt 53 uz ne tikai 40 plus 18, bet arī 40 plus desmit un 3, atņemt 6 no desmit un pēc tam atkal pievienot diferenci, 4, pie 3 jums "jau bija", lai iegūtu 7. Pēc tam, protams, atņemiet divus desmit no četriem desmit un galu galā iegūstiet 27. Tas neļauj vienam veikt atņemumus, kas saistīti ar minūšu posmiem no 11 līdz 18.

    Tas savukārt man atgādināja par diviem citiem veidiem, kā veikt šādu atņemšanu, izvairoties no atņemšanas no 11. līdz 18.: (1) līdzīgi tam, kā jūs to darītu ar abaku, jūs atņemat pēc iespējas vairāk no sevis. " esošais "minuend" un pēc tam jūs atņemat pārējo, kas jums jāatņem, pēc tam, kad pārvēršat desmit uz 10. (53.-26. Gadījumā jūs atņemat visus trīs no 53, kas atstāj vēl trīs, kas jums jāatskaita, kad desmit skaitļus no piecdesmit esat pārvērtuši par desmit. Tad, protams, atņemat 20. )

    (2) Jūs varat nonākt negatīvos skaitļos, tāpēc tajā pašā problēmā, atņemot 6 no 3, iegūstat -3 un pēc desmit konvertēšanas apvienojat to -3 ar 10 un pēc tam atņemiet 20 no 47, ti, četri desmit un 7.

    Ja jūs nemācāt bērniem (vai nepalīdzat viņiem izdomāt, kā) atdalīti veikt atņemšanas ar minendēm no 11 līdz 18, jūs viņus būtībā piespiedīsit opcijās (1) vai (2) iepriekš vai kaut kas līdzīgs. Ja jūs mācāt atņemšanu no 11 līdz 18, jūs viņiem dodat iespēju izmantot jebkuru vai visas trīs metodes. Turklāt, ja jūs vēlaties, lai bērni varētu redzēt 53 kā kādu citu grupu kombināciju papildus 5 desmit un 3 grupām, kaut arī kalpos 4 desmit plus 1 desmit plus 3, 4 desmit un 13 šķiet spontāni vai psiholoģiski gatavas sekas, un nevajadzīgi ierobežotu bērnus, lai viņiem nebūtu viegli uzskatīt šo kombināciju par noderīgu atņemšanā. (Atgriezties pie teksta.)

    12. zemsvītras piezīme. Es saku laikā, kad jūs mēģināt no tā atņemt, jo, iespējams, jūs jau esat pārgrupējis šo numuru un aizņēmies no tā. Tādējādi sākotnēji tas varēja būt atšķirīgs skaitlis. Ja jūs atņemat 99 no 1001, 0 minūte ir 9, kad jūs "nokļūstat pie tiem" parastajā atņemšanas algoritmā, kas ietver pāreju no labās (savas kolonnas) pa kreisi, pārgrupēšanu, aizņemšanos un atņemšanu pēc kolonnām kā jūs turpināt. (Atgriezties pie teksta.)

    13. zemsvītras piezīme.Kad es paskaidroju par nepieciešamību praktizēt šāda veida atņemumus vienam skolotājam, kurš māca elementāru apdāvinātu izglītību, kuram patīk matemātika un matemātiskas / loģiskas mīklas un problēmas, un kura pati ir ļoti zinoša un spilgta, viņa teica: "Ak, tu domā, ka viņiem vajag praktizējiet pārgrupēšanu, lai atņemtu šīs summas. " Tā bija dabiska konceptuāla kļūda no viņas puses, jo jūs NAV pārgrupējies, lai veiktu šīs atņemšanas. Šīs atņemšanas ir tās, ar kurām jūs vienmēr nonākat PĒC pārgrupēšanās, lai atņemtu. Ja jūs mēģināt pārgrupēt, lai tos atņemtu, jūs nonākat pie tā paša, jo, nomainot "desmit" uz 10, jūs joprojām saņemat 1_ kā manaend. Piemēram, atņemot 9 no 18, ja pārgrupējat 18 bez desmitiem un 18, jums joprojām ir jāatņem 9 no šiem 18. Nekas nav iegūts. (Atgriezties pie teksta.)

    14. zemsvītras piezīme. Trešās klases klasē, kur es demonstrēju dažus saskaitīšanas un atņemšanas aspektus skolēniem, ja jūs klasē jautājat, cik, teiksim, ir 13 - 5 (vai jebkura šāda atņemšana ar lielāku pakārtoto ciparu nekā manaend cipars) , jūs saņēmāt virkni atbilžu, līdz viņi beidzot izmantoja divas vai trīs iespējas. Skolotāji man saka, ka tas nav nekas neparasts studentiem, kuriem nav bijusi daudz prakses ar šāda veida atņemšanu. (Atgriezties pie teksta.)

    15. zemsvītras piezīme. Algoritmu mācīšanā nav nekā nepareiza, pat sarežģītu, grūti apgūstamu. Bet viņiem ir jāmāca piemērotā laikā, ja viņiem būs daudz noderīgas. Tos nevar mācīt kā virkni soļu, kuru iznākumam nav citas nozīmes kā tikai tas, ka tas ir soļu rezultāts. Šādi mācīti un izmantoti algoritmi ir līdzīgi jebkurai citai tikai formālai sistēmai - rezultāts ir formāls rezultāts, kuram nav reālas nozīmes ārpus formas. Vienīgais, kas atbildi padara nepareizu, ir tas, ka nepareizi tika ievērota procedūra, nevis tas, ka atbilde varētu būt nepiedienīga vai nepamatota. Savā ziņā līdzekļi kļūst par mērķiem.

    Aritmētiskie algoritmi nav vienīgās dzīves jomas, kurās beidzas līdzekļi, tāpēc aritmētisko kļūdu veidi, ko bērni šajā sakarā pieļauj, nav raksturīgi tikai matemātikas izglītībai. (Oficiāla tieslietu sistēma, kas balstīta uz formāliem "pierādījumu noteikumiem", dažreiz pieņem nepieņemamus lēmumus nepilnību vai "tehnisku apstākļu" dēļ, dažu zinātnisku "metožu" dēļ pierādījumi tiek palaisti garām, ignorēti vai tiek uzskatīti tikai par novirzēm. Uzņēmējdarbības politika bieži noved pie biznesa neveiksmēm cītīgi ievērotas, un daudzas tradīcijas, kas sākās kā veidi, kā uzlabot cilvēku un sabiedrisko dzīvi, kļūst par pārakmeņojošiem apgrūtinošiem rituāliem, jo ​​izzūd to nopelna apstākļi.)

    Diemžēl, ja formālās sistēmas tiek apgūtas nepareizi vai kļūdas tiek pieļautas netīšām, nav pamata aizdomām par kļūdām, tikai aplūkojot noteikumu ievērošanas rezultātu. Jebkurš rezultāts, tikai no tā izskata, ir tikpat labs kā jebkurš cits rezultāts.

    Tad aritmētiskos algoritmus nevajadzētu mācīt kā tikai formālas sistēmas. Viņiem ir jāmāca kā īsu roku metodes, lai iegūtu jēgpilnus rezultātus, un ka pēc pārdomām par rezultātiem bieži var pateikt, ka kaut kas noteikti ir nogājis greizi. Bērniem ir jādomā par rezultātiem, taču viņi to var izdarīt tikai tad, ja viņiem ir bijusi ievērojama prakse strādāt un spēlēt ar skaitļiem un daudzumiem dažādos veidos un formās, pirms viņi tiek iepazīstināti ar algoritmiem, kuriem vienkārši vajadzētu atvieglot viņu aprēķināšanu, nevis tikai formāli. Bērniem ne vienmēr ir jāsaprot algoritma darbību pamatojums, jo tas viņiem dažreiz ir pārāk sarežģīti, taču viņiem jāsaprot algoritma mērķis un jēga, ja viņi to spēs (iemācīsies) pamatoti pielietot . Algoritma apguve ir iegaumēšanas un prakses jautājums, bet algoritma mērķa vai pamatojuma iemācīšanās nav iegaumēšanas vai prakses jautājums, bet gan izpratnes jautājums. Algoritma soļu mācīšana efektīvi ietver tikai efektīvas demonstrēšanas un prakses līdzekļu izdomāšanu. Bet algoritma punkta vai pamatojuma mācīšana faktiski ietver grūtāku uzdevumu - audzēt studentu izpratni un pamatojumu. Izpratnes izkopšana ir tikpat māksla kā zinātne, jo tā ietver gan skaidrību, gan spēju saprast, kad, kāpēc un kā jums nav bijis skaidrs konkrētam studentam vai studentu grupai. Tā kā pārpratumi var notikt visdažādākos neparedzētos un neparedzamos veidos, mācīšana izpratnei prasa ieskatu un elastību, kuru sagatavotiem tekstiem vai ierobežotām datorprogrammām vien ir grūti vai neiespējami paveikt.

    Visbeidzot, daudzi (matemātikas) algoritmi ir diezgan sarežģīti, ar daudziem dažādiem "noteikumiem", tāpēc tos ir grūti apgūt tāpat kā formālas sistēmas, pat ar praksi. Saskaitīšanas un atņemšanas algoritmi (kā rindot kolonnas, kad un kā aizņemties vai nēsāt, kā atzīmēt, ka esat to izdarījis, kā izturēties pret nulli utt. Utt.) Ir diezgan sarežģīti un grūti apgūstami tikai pēc piezīmēm vienatnē. Es domāju, ka pētījums skaidri parāda, ka bērni šos algoritmus nemācās ļoti labi, kad viņus māca kā formālas sistēmas un kad bērniem nav pietiekama fona, lai saprastu viņu viedokli. Un ir viegli saprast, ka gadījumos, kas saistīti ar "vienkāršu saskaitīšanu un atņemšanu", algoritms ir daudz sarežģītāks nekā tikai atbildes "izdomāšana" jebkādā loģiskā veidā, kāds vien varētu būt, un ka bērniem ir vieglāk izdomāt veidu, kā saņemt atbildi, nekā viņiem ir jāmācās algoritms. Uz noteikumiem balstītie atvasinājumi ir noderīgi gadījumos, kad to ir pārāk sarežģīti izdarīt tikai ar atmiņu, loģiku vai iztēli, taču tie ir šķērslis gadījumos, kad to mācīties vai izmantot ir grūtāk nekā izmantot atmiņu, loģiku vai iztēli tieši problēmai vai uzdevumam. roka. (Tas neatšķiras no tā, ka iemācīties lasīt un rakstīt skaitļus - vismaz līdz 100 - ir vieglāk izdarāms pēc izrunāšanas un prakses, nekā tas jādara, ja tiek stāstīts par sleju nosaukumiem un to izmantošanas noteikumiem. .) Vienkārši nav pamata ieviest algoritmus, pirms studenti saprot to mērķi un pirms studenti nonāk pie tādu (parasti augstāku) skaitļu problēmu veida, kuru atrisināšanai algoritmi ir noderīgi vai nepieciešami. Tas var notikt jau jaunā vecumā, ja bērniem tiek doti noderīgi daudzu veidu un daudzuma pieredzes veidi. Vecums vien nav faktors. (Atgriezties pie teksta.)

    16. zemsvītras piezīme. Domāšana vai atcerēšanās skaitīt lielus daudzumus pa grupām, nevis garlaicīgi pa vienam, parasti ir iemācīta prasme, kaut arī ātri iemācīta ja vienam par to stāsta. Līdzīgi, manipulējot ar grupām aritmētiskām darbībām, piemēram, saskaitīšanai, atņemšanai, reizināšanai un dalīšanai, nevis ar atsevišķiem objektiem. Fakts, ka angliski runājošie bērni bieži vien pat lielus daudzumus skaita pēc atsevišķiem priekšmetiem, nevis pa grupām (Kamii), vai ka viņiem ir grūti saskaitīt un atņemt pa vairāku vienību grupām (Fuson), drīzāk var būt tas, ka vienkārši par viņiem nav teicis tā efektivitāte un dotā prakse, nekā “izpratnes” vai spriešanas spēju trūkums. Es nedomāju, ka tas atspoguļo bērnu izpratni vai viņu spēju saprast.

    Ir daudzas priekšmetu jomas, kurās vienkāršas atziņas nav pamanāmas, kamēr tām nav pateikts, un tām ir dota neliela prakse idejas "iesiešanai" atmiņā vai refleksā. Dažreiz vienam cilvēkam vajag pateikt tikai vienu reizi, tas to uzreiz redz un jūtas dumjš, jo pats to nav sapratis. Daudzi cilvēki, kas fotografē ar taisnstūra formāta kameru, nekad nedomā patstāvīgi pagriezt kameru vertikāli, lai labāk kadrētu un spētu daudz tuvoties vertikālam objektam. Lielākā daļa bērnu cenšas sabalansēt velosipēdu, mainot plecus, kaut arī lielākā daļa svara (un līdzsvara) ir gūžās, un gurni mēdz iet pretēji plecu virzienam tā, ka koriģējot lieso plecu, kas ir pretējs virziens parasti paātrina kritienu. Ideja par kontūru aršanu, lai novērstu eroziju, kad tā ir norādīta, šķiet acīmredzama, tomēr tā nekad nebija acīmredzama cilvēkiem, kuri to nedarīja. "Pārmaiņu" skaitīšana atpakaļ, skaitot uz priekšu no iekasētās summas līdz dotajai summai, ir vienkāršs, efektīvs veids, kā aprēķināt izmaiņas, taču tas ir veids, kā lielākajai daļai studentu nemāca "atņemt", tāpēc veikalu vadītājiem ir jāmāca to studentu darbiniekiem. Tas notiek nevis tāpēc, ka studenti nezina, kā atņemt, vai nespēj saprast atņemšanu, bet gan tāpēc, ka, iespējams, viņiem nav parādīta šī vienkāršā ierīce vai viņi par to nav domājuši. Es uzskatu, ka skaitīšana vai aprēķināšana pa grupām, nevis pēc vienības vai vienībām ir viena no šīm vienkāršajām lietām, par kurām parasti ir jāpasaka, kad viņš ir jauns (un, ņemot vērā praksi, lai padarītu to automātisku), vai arī viņš to nedarīs padomā par to.

    Es neuzskatu, ka mums ir jāpasaka šīs vienkāršās lietas, un tas noteikti parāda, ka nav izpratnes par tiem saistītajiem principiem. Tāpat kā iepriekš sniegtajās triku problēmās, reizēm mūsu "izpratne" vienkārši iegūst sava veida neredzamo zonu vai fokusu citā virzienā, kas bloķē noteiktu zināšanu daļu. Tā kā sapratne ir tik tūlītēja, kad vienkārši tiek pateikts ieskats, šķiet, ka tā ir cita veida lieta, nekā mācīt kādam pilnīgi jaunu ideju, kuru viņš iepriekš nesaprata, nebija gatavs saprast vai nespēja saprast. Man ir aizdomas, ka bieži pat tad, kad bērniem māca atpazīt grupas pēc modeļiem vai māca skaitīt secīgus skaitļus pa grupām (ti, deklamēt grupu kopas - piemēram, 5, 10, 15, 20.), viņiem netiek teikts, ka tas ir ātrāks veids, kā saskaitīt lielu daudzumu lietu - ti, vispirms sagrupēt lietas un pēc tam saskaitīt grupas. Un viņiem netiek dota prakse skaitīt objektus tādā veidā. Tāpēc viņi neizveido savienojumu un, kad viņiem tiek lūgts saskaitīt lielus daudzumus, dariet to pa vienam. (Atgriezties pie teksta.)

    17. zemsvītras piezīme. Tikai dažādu krāsu pokera žetoni, kā atzīmē Fusons (384. lpp.), Neradīs izpratni par daudzumiem vai par vietas vērtību. Bērnus var sajaukt par pokera žetonu krāsu reprezentatīvajiem aspektiem, ja viņi ar viņiem netiek pareizi iepazīstināti. Un, ja tie netiek gudri vadīti, lai tos efektīvi izmantotu, bērni var iemācīties “nominālvērtību (virspusēju grupēšanu)” ar pokera žetoniem, kas neatšķiras no nominālvērtības, virspusējas spējas skaitļus lasīt un rakstīt ciparus. Tomēr jēga nav ļaut viņiem vienkārši izmantot pokera žetonus, lai attēlotu tikai "sejas vērtības", bet gan pamudināt viņus tos izmantot gan (nominālvērtības) attēlojumam, gan kā grupētus fiziskos lielumus. Tas, ko es šeit rakstīju par pokera žetonu izmantošanu, lai mācītu vietējo vērtību, ietver to ieviešanu konkrētā (bet elastīgā) veidā noteiktā laikā, konkrēta iemesla dēļ. Es sniedzu piemērus, kā tie jāizmanto, lai tekstā mācītu vietējo vērtību. Laiks, kas viņiem jāievieš šādā veidā, ir pēc tam, kad bērni saprot, kā grupēt daudzumus un skaitīt daudzumus pa grupām. Šajā rakstā es precīzi paskaidroju, kāpēc dažādu krāsu pokera žetoni, pareizi lietojot, var labāk iemācīt bērniem par vietas vērtību, nekā tikai desmit bloki atsevišķi. Pareizi izmantoti un demonstrēti pokera žetoni var kalpot kā efektīvs praktisks un konceptuāls tilts starp fiziskām grupām un kolonnu attēlojumu, jo tie ir gan fiziski, gan reprezentatīvi tādā veidā, kas bērniem ir jēga - ar minimālu demonstrāciju un ar uzraudzītu, vadītu, praksi . Tā kā pokera žetoni tiek sakrauti diezgan ērti, tos var izmantot jau iepriekšējos posmos, lai bērni varētu skaitīt atsevišķi un grupās, kā arī grupās manipulēt. (Pokera žetonu slejas var arī efektīvi izmantot, lai iemācītu izpratni par daudziem sarežģītākiem frakciju konceptuālajiem un reprezentatīvajiem aspektiem, kas ir cits jautājums par mācīšanu, kuru es šeit pieminēju tikai, lai norādītu uz lielo pokera žetonu piedāvājuma lietderību. klasēs dažādiem matemātikas izglītības mērķiem.) (Atgriezties pie teksta.)

    18. zemsvītras piezīme. Pastāv atšķirība starp pokera žetonu pārgrupēšanu no 10 līdz 18 un uzrakstīto skaitļu pārgrupēšanu no 10 līdz 18, jo, pārgrupējot ar pokera žetoniem, jūs desmit baltos nomaināt uz ziliem (vai pretēji), bet, pārgrupējot 18 rakstiskā formā, jūs vienkārši iegūstat skaitli, kas izskatās kā tas, ar ko sākāt. "Viens desmit un 8 viens" skaitliski uzrakstītā formā izskatās tieši tāpat kā "18 viens". (Kad jūs pārgrupējat un aizņematies, lai atņemtu, teiksim, uzdevumā 35 - 9, jūs 35 pārgrupējat uz "20 un 15" vai, kā es studentiem skaidri saku, "divdesmit piecpadsmit". Tad jūs rakstāt "15" viena sleja, kur bija cipars "5", un slejā "3" bija "2", tāpēc tas pat izskatās kā "divdesmit piecpadsmit". Tomēr skaitliskā rakstiskā formā, kad sākat ar skaitli no 10 līdz 18, ja jūs "izskrāpējat" "1" un pēc tam pievienojat desmit skaitļa "8" kolonnā, jūsu slejā galu galā ir "18", kas pēc izskata pēc būtības ir tāds pats kā jūs sākāt ar. Ir uztveres punkts, nomainot 35 uz 2 [15], nav uztveres, nomainot 18 uz [18]. Ar pokera žetoniem ir uztveres atšķirība starp "vienu (zilu) desmit un astoņu (baltu) ) tie "un" 18 (baltie) ". Tas ir daļa no tā, kā pokera žetoni palīdz bērniem konceptuāli izprast reprezentācijas pārgrupēšanu. (Atgriezties pie teksta.)

    19. zemsvītras piezīme. Tā vietā, lai mācītu viņiem konstruēt skaitļus pēc cipariem un kolonnām, jūs iepriekš esat iemācījis viņiem vienkārši rakstīt skaitļus. Izmantojot pokera žetonus, jūs esat palīdzējis viņiem grupēt daudzumus reprezentatīvi desmito un vienību izteiksmē, kur desmit ir atšķirīgi no tiem pēc dažām īpašībām. Tad jūs viņiem parādāt, ka rakstītie skaitļi faktiski arī grupē daudzumus tādā veidā, ka uzrakstītie skaitļi nav tikai nedalāmi monādi simboli, bet tiem ir loģiska struktūra un pamatojums. Tas viņiem dod atklājuma sajūtu, un viņiem ir daudz jēgas nekā mēģinājums sākt mācīt rakstīt skaitļus ciparu un kolonnu izteiksmē, kas viņiem neko nenozīmēs vai šķiet, ka tiem nav īpašas nozīmes. (Atgriezties pie teksta.)

    20. zemsvītras piezīme. Jebkurā pamata matemātikā jūs vienkārši pievienojat citu kolonnu ikreiz, kad "iestrēgstat", jo jums ir beigušies skaitliskie simboli un to kombinācijas. Un jūs izsaucat šo kolonnu ar pirmā numura nosaukumu, kuram ir nepieciešama jauna kolonna, lai uzrakstītu numuru. Tādējādi binārā aritmētikā jums ir “savs”, “divi”, “četri”, “astoņi”, “sešpadsmit”, “trīsdesmit divi” kolonnas utt., Jo pēc tam, kad esat uzrakstījis “0” un “1”, jums ir nepieciešama jauna sleja, lai ierakstītu “divi”, jo jums vairs nav ciparu. Tad jūs varat rakstīt "10" par "diviem" un "11" par "trim", un jums atkal pietrūkst ciparu un kombināciju. Lai rakstītu "četri", jums ir nepieciešama jauna sleja (tātad tā ir sleja "četru"), un pēc tam varat izveidot četras dažādas kombinācijas ("100" - "četri", "101" [viens četri, bez diviem un viens ") viens] par "pieci", "110" [viens četri, viens divi un neviens] par "seši" un "111" [četrinieks, divi un viens] par "septiņi"). (Atgriezties pie teksta.)

    21. zemsvītras piezīme, piemēram, 35 reizes 43 ir šāda, ja atceraties no algebras (30 + 5) (40 +3), kas galu galā ir [(30) (40) + (30) (3) + (5) (40) + (5) (3)]. Tas ir tas, kā mēs faktiski veicam aprēķinu (kaut arī citā secībā), reizinot, jo jūs reizināt piecas reizes trīs un pēc tam piecas četrdesmit un pēc tam saskaitāt kopā (ar tādu pašu skaitli) un pievienojat to trīsdesmit summai. reizes trīs un trīsdesmit reizes četrdesmit. Bet, protams, mēs par to nedomājam šādā veidā, un daudzi cilvēki, kas var lieliski pavairot, paši par to nespētu domāt.

    Turklāt, lai saprastu, kāpēc "a (b + c)" ir tas pats, kas "(ab + ac)", rakstīto skaitļu ziņā nav viegli, lai gan ir viegli saprast, vai pokera žetonus izkārtojat rindās un kolonnās. Var redzēt, ka, piemēram, piecas septiņu rindas ir tas pats, kas piecas četru rindas plus piecas trīs rindas, jo abi piecu rindu komplekti atrodas tieši blakus. Darot to pokera žetonos ar dažiem skaitļu kopumiem, iztēlei ir diezgan viegli saprast, ka "a" rindas (b + c) "ir tas pats, kas" a "rindas" b "plus" a "c" rindas un otrādi.

    Un saprast, kāpēc "(a + b) (c + d)" ir (ac + ad + bc + bd), ir iespējams arī (kaut arī nedaudz grūtāk), ievietojot pokera žetonus rindās un kolonnās, piemēram, 12 x 23 [( 10 + 2) pēc (20 + 3)] un atzīmējot tos daļās, kas atbilst ac, ad, bc un bd, un redzot, ka šie visi ir savstarpēji izslēdzoši segmenti, kas apvieno kopējo žetonu skaitu. (Skatīt attēlu.)

    Jebkurā gadījumā manipulācijām, kuras mēs iemācāmies, izmantojot zīmuli un papīru, ir pamatojums, taču pamatojums nav tas, ko mēs parasti mācāmies, un tas nav kaut kas, kas savā ziņā ir tikpat vienkāršs kā manipulācijas.

    Turklāt lielam skaitam konceptualizēšana un fiziska atveidošana ir sarežģīta vai neiespējama. Tātad, kad cilvēks ir iemācījies pamatojumu vai spēj to saprast vai redzēt, tas ne vienmēr izmanto tā konceptualizāciju katram lietojumam. (Atgriezties pie teksta.)

    22. zemsvītras piezīme. Es uzskatu, ka pastāv zināma ironija, nosaucot faktiskos lietu daudzumus par manipulatīviem, vienlaikus uzskatot, ka “tīrie” skaitļi nav manipulatīvi. Savā ziņā man šķiet, ka tas ir tikai pretējs patiesībai. "Pure" numuri ļauj mums attēlot daudzumus neatkarīgi no tā, kādi tie ir daudzumi (tā ka, ja mēs zinām, ka pieci piecu komplekti ir 25, mums nav atsevišķi jāaprēķina, kādi pieci piecu riepu komplekti un pieci piecu konfekšu komplekti un pieci niķeļa komplekti ir), bet tīrie skaitļi biežāk ir vienkārši tas, ar ko mēs varam manipulēt "matemātiski", nevis objektu kopas. Daudz vieglāk ir uzrādīt lietu daudzumu uz papīra (vai kalkulatorā), nekā apkopot nepieciešamo lietu skaitu, par kurām mēs runājam, lai tās saskaitītu, atņemtu, reizinātu vai sadalītu, it īpaši, ja mēs runājam par lielām lietām. lietu skaits. Un tas ir taisnība neatkarīgi no tā, vai mēs runājam par miljardiem dolāru naudas vai tūkstošiem galonu benzīna. Šķidros mērījumos mēs bieži aprēķinām apjomus, reizinot izmērus, nevis atsevišķi izmežot un pārvietojot vienības tilpumus. Visos šajos gadījumos mēs manipulējam ar skaitļiem, nevis ar lietām.

    Diemžēl reālajā dzīvē lielumi neatbilst vienkāršai aritmētikai, un tāpēc zinātne ir empīriska, nevis a priori. Ātrumi nekombinējas viens ar otru, vienkārši saskaitot (lai arī šķiet, ka pie salīdzinoši maziem ātrumiem) spēki neapvienojas, vienkārši nesasniedzot spēkus, kas trīs reizes lielāki par vienu trešdaļu, spēks, kas darbojas divreiz ātrāk, var arī nedarboties jūs paveicāt pusi laika (jo, ja strādājat vairāk, nekā jūs spējat, jūs varat nolietoties pirms pabeigšanas), un 10 000 vienā reizē iegādāto T-kreklu, iespējams, nemaksāsit 10 000 reizes vairāk nekā viena T-krekla cena. Ja sajaucat vienādu daudzumu lietu, kas izšķīst viens otrā, jūs nesaņemsiet divkāršu apjomu nekā viens no tiem. Izprotiet veidu, kādā dažādi lietas savstarpēja saistība ir daļa no zinātnes domām, un ne vienmēr tas ir ļoti viegls darbs, kas atbilst skaitļu aritmētiskai manipulācijai.

    Citiem vārdiem sakot, reāli objekti ne vienmēr manipulē tāpat kā skaitļi, un manipulēšana ar objektiem nav tas pats, kas manipulēt ar skaitļiem. Un, man šķiet, bērns, kurš manipulē ar objektiem rindās un kolonnās, lai demonstrētu vai saprastu pavairošanu, dara kaut ko pavisam citu, nekā tas, kurš manipulē ar cipariem uz papīra vai galvā. Veicot manipulāciju ar objektiem rindās un kolonnās, ir viegli uzskatīt, ka reizināšana ir komutatīva (ti, seši astoņu komplekti būs vienādi ar astoņiem sešiem komplektiem) (jo, ja maināt skatu punktu par 90 grādiem, jūsu rindas un kolonnas vienkārši mainās, bet kopējie daudzumi tiek mainīti) paliek nemainīgs), tā kā tas nav tik acīmredzami, ja jūs to darāt tikai ar galvu vai tikai ar tīriem skaitļiem, kāpēc, vai ka seši maisiņi, kuros katrā ir astoņas konfektes, būs tikpat konfekšu kā astoņi maisiņi, kuros katrā ir sešas konfektes. (Atgriezties pie teksta.)

    23. zemsvītras piezīme. Pāvils Kobs, sarakstoties ar mani no Peabody, ir teicis, ka viņš "apgalvo, ka matemātikā pamatskolas līmenī nevajadzētu ietvert mehāniskās prasmes, kaut arī to bieži māca šādā veidā. Ideāls būtu tas, ka konceptuāli pamatota problēmu risināšana būtu iekļauti visās bērnu matemātiskajās aktivitātēs skolā. " ES nepiekrītu.

    Kaut arī bērniem nevajadzētu mācīt aritmētiku tikai mehāniski ir dažas mehāniskās prasmes, kuras bērni var samērā viegli apgūt, un kas ir svarīgas vai nepieciešamas, lai redzētu vairāk "interesantu" skaitļu attiecību. Piemēram, reizināšanas tabulu iegaumēšana nav (un to nevajadzētu ne redzēt, ne izmantot kā tikai) tikai vingrinājums, kas ļauj reizināt kā ļoti lēnu kalkulatoru. Tas dod iespēju ar reizinājumiem, kas var palīdzēt vieglāk izprast dalīšanas jēdzienu un vieglāk saprast frakcijas un attiecības starp daļām - piemēram, meklējot kopsaucējus vai pārveidojot starp "jauktiem" skaitļiem un daļām. Tas dod paaugstinātu spēju saprast un izmantot faktoringu algebrā vai aprēķinā.

    Es nesaku, ka visas lietas, ko bērni apgūst mehāniski matemātikas matemātikā, ir nepieciešamas, lai mācītos, vai arī vislabāk tās apgūst mehāniski. Bet daži ir. Un es apsvērtu iespēju iemācīties skaitīt skaitļu nosaukumus secībā un skaitļu nosaukumus pa grupām ("skaitīšana" un "skaitīšana pēc grupām") un iemācīties darīt to, ko esmu minējis kā vienkāršu saskaitīšanu un atņemšanu kā izšķiroši svarīgu mehānisko prasmju piemērus. Dažas mehāniski apgūtas prasmes vienkārši ļauj jums veikt intelektuālus lēcienus, kurus jūs, iespējams, nemaz nevarējāt izdarīt, ja jūs nespējāt ātri un nedaudz automātiski uztvert attiecības, kuras iepriekš nebijāt ļoti pārzinājušas vai kuras iepriekš neesat “pieraduši”, iegaumējot, atkārtojot , urbt un praktizēt. (Atgriezties pie teksta.)

    24. zemsvītras piezīme. Es kopā ar bērniem spēlēju iztēles "somas spēli", kas viņiem jautāja, piemēram, "man ir soma, un jums ir soma, manai somai ir par trim mazāk nekā jūsu somai, un jūsu somā ir piecas lietas. Cik daudz lietas, kas man ir savējās? " Kad viņi to darīja labāk, es problēmas padarīju grūtākas. "Man ir soma, un jums ir soma, un mums kopā ir astoņas lietas, bet jums ir vēl četras lietas, nekā man. Cik mums katram ir?" Tagad mēs pieņemam: "Man ir soma, un jums ir soma. Jums ir par pieciem vairāk nekā man jūsu somā, bet, ja mēs trīskāršosim to, kas man ir, man būs par pieciem vairāk nekā jums. Cik mums katram ir? " Bērni šīs lietas var izdomāt, domājot. Viņiem nav jāveic īpaši soļi, kuros viņi ir apmācīti. Mēs arī veicam skaitļu progresēšanu, kur viņiem jāpamato, kāds būtu nākamais skaitlis. Jūs varat to izdarīt patiešām dīvainās, viltīgās, bet patiesībā vienkāršās progresijās, un viņi to bieži mīl, piemēram, 2, 10, 4, 20, 8, 30, 16, ?. [Viena pareiza atbilde būtu "40", jo tās ir divas dažādas progresijas, kuras ir savstarpēji sakrustotas: 2, 4, 8, 16,. un 10, 20, 30 ,. Lielāko daļu šo matemātikas spēļu mēs veicām automašīnā, braucot pa vietām. Profesora Ričarda Feinmana tēvs mēdza ar viņu taisīt krāsu flīžu rakstus, kad Ričards vēl bija augstā krēslā. Ar ļoti maziem bērniem var darīt visu veidu matemātiskas lietas, kuras viņi var veiksmīgi izdomāt un no kurām mācīties, un kuras viņi var Izbaudi.

    Matemātikas mācībām nav jānotiek tikai noteiktā aritmētiskā secībā, noteiktā vecumā. Ir dažādi matemātikas veidi, ko bērni var darīt dažādos vecumos. Matemātikā ir kas vairāk nekā tikai algoritmiskā aritmētika, un bērni var paveikt "vairāk" pat dažos gadījumos, kad viņi vēl nevar veikt algoritmisko aritmētiku. Bērni var pamatot, ka viņiem dažreiz nepieciešama kāda palīdzība, prakse vai atgriezeniskā saite, vai arī dažreiz viņiem ir vajadzīgs saprātīgs vai saprātīgi virzīts izaicinājums, lai pilnveidotu savas spriešanas prasmes. (Atgriezties pie teksta.)


    Matemātiskais platonisms: par un pret

    Filozofi ir izdomājuši daudzus argumentus par un pret platonismu, taču viens no argumentiem par platonismu izceļas pāri pārējiem, un viens no argumentiem pret platonismu arī izceļas kā labākais. Šie argumenti sakņojas Platona rakstos, taču pro-platonistu argumentu vispirms skaidri formulēja Frēge, un anti-platonistu argumenta locus classicus ir amerikāņu filozofa Pola Benacerrafa 1973. gada raksts.


    Skatīties video: (Oktobris 2021).