Raksti

4.2: Termini un izteicieni ar eksponentiem - matemātika


Mācību mērķi

  • Nosakiet veselā skaitļa eksponentus saturoša termina komponentus
  • Novērtējiet izteiksmes, kas satur veselu skaitļu eksponentus

Lingua franca ir izplatīta valoda, ko izmanto, lai nodrošinātu saziņu starp cilvēkiem, kuri runā dažādās valodās. Matemātika kā vispārēja ideja dažreiz tiek uzskatīta par kopīgas valodas piemēru, jo formulas un vienādojumi nepaļaujas uz konkrētas valodas tekošumu.

Bet pat matemātikā ir nepieciešama kopīga valoda, lai skaidri un efektīvi paziņotu matemātiskās idejas. Eksponenciāls apzīmējums (atcerieties, ka to var saukt arī par zinātnisko pierakstu) tika izstrādāta, lai efektīvāk rakstītu atkārtotu reizināšanu. Piemēram, augšana notiek dzīvos organismos, sadaloties šūnām. Viena veida šūnas stundas laikā dalās 2 reizes. Tātad 12 stundu laikā šūna sadalīs (2 ^ {12} ). Šāda izteikšana ir daudz efektīvāks un skaidrāks veids, kā izteikt šūnu dalīšanās veidus.

Šajā sadaļā mēs uzzināsim, kā vienkāršot un veikt matemātiskas darbības, piemēram, reizināšanu un dalīšanu ar izteicieniem. Mēs arī iemācīsimies izmantot zinātnisko apzīmējumu, lai attēlotu ļoti lielus vai ļoti mazus skaitļus, un ar tiem veikt matemātiskas darbības.

Eksponenciālu terminu anatomija

Mēs izmantojam eksponenciālu apzīmējumu, lai rakstītu atkārtotu reizināšanu. Piemēram, (10 ​​^ {3} ). 10 in (10 ​​^ {3} ) sauc par eksponents. Izteiksmi (10 ​​^ {3} ) sauc par eksponenciālo izteiksmi. Zinot eksponenciālās izteiksmes vai termina daļu nosaukumus, varēsit uzzināt, kā ar tām veikt matemātiskas darbības.

( text {base} rightarrow10 ^ {3 leftarrow text {eksponents}} )

(10 ​​ cdot10 cdot10 ) vai 1000.

(8 cdot8 ) vai 64.

(5 cdot5 cdot5 cdot5 ) vai 625.

({b} cdot {b} cdot {b} cdot {b} cdot {b} ). Tās vērtība būs atkarīga no b.

Eksponents attiecas tikai uz skaitli, kuram tas ir blakus. Tāpēc izteiksmē (xy ^ {4} ) nozīmē ({x} cdot {y} cdot {y} cdot {y} cdot {y} ). The x šajā termiņā ir a koeficients gada y.

Ja eksponenciālā izteiksme ir negatīva, piemēram, (- left (3 cdot3 cdot3 cdot3 right) ) vai (- 81 ).

Ja ( pa kreisi (−3 pa labi) ^ {4} ), kas nozīmē (- 3 cdot − 3 cdot − 3 cdot − 3 ) vai 81.

Tāpat (- x ^ {4} = - pa kreisi (x cdot x cdot x cdot x right) ).

Var redzēt, ka pastāv diezgan liela atšķirība, tāpēc jums jābūt ļoti uzmanīgam! Šie piemēri parāda, kā identificēt pamatu un eksponentu, kā arī to, kā identificēt izvērsto un eksponenciālo atkārtotas reizināšanas rakstīšanas formātu.

Piemērs

Identificējiet eksponentu un bāzi šādos vārdos, pēc tam vienkāršojiet:

  1. (7^{2})
  2. ({ pa kreisi ( frac {1} {2} pa labi)} ^ {3} )
  3. (2x ^ {3} )
  4. ( pa kreisi (-5 pa labi) ^ {2} )

[atklāt atbildi q = ”211363 ″] Rādīt risinājumu [/ atklāt atbildi]

[slēptās atbildes a = ”211363 ″]

1) (7^{2})

Šī termina eksponents ir 2, un bāze ir 7. Lai vienkāršotu, paplašiniet terminu: (7 ^ {2} = 7 cdot {7} = 49 )

2) ({ pa kreisi ( frac {1} {2} pa labi)} ^ {3} )

Šī termina eksponents ir 3, un bāze ir ({ left ( frac {1} {2} right)} ^ {3} = frac {1} {2} cdot { frac {1 } {2}} cdot { frac {1} {2}} = frac {1} {16} )

3) (2x ^ {3} )

Šī termina eksponents ir 3, un bāze ir x, 2 nesaņem eksponentu, jo nav iekavu, kas mums to pasaka. Šis termins ir visvienkāršākajā formā.

4) ( pa kreisi (-5 pa labi) ^ {2} )

Šajos noteikumos eksponents ir 2, un bāze ir ( left (-5 right) ^ {2} = - 5 cdot {-5} = 25 )

[/ slēptā atbilde]

Šajā videoklipā ir sniegti vairāk eksponentu piemērošanas piemēri dažādām bāzēm.

YouTube teksts šajā teksta versijā ir izslēgts. To tiešsaistē varat apskatīt šeit: pb.libretexts.org/ba/?p=90

Novērtējiet izteicienus

Eksponentus saturošu izteiksmju novērtēšana ir tāda pati kā kursa agrāko lineāro izteiksmju novērtēšana. Jūs aizstājat mainīgā vērtību izteiksmē un vienkāršojat.

Lai novērtētu izteicienus, kas satur eksponentus, varat izmantot darbību secību. Vispirms novērtējiet kaut ko iekavās vai simbolu grupēšanu. Pēc tam meklējiet eksponentus, kam seko Reizināšana un dalīšana (lasīšana no kreisās uz labo pusi) un visbeidzot - saskaitīšana un atņemšana (atkal lasīšana no kreisās uz labo).

Tātad, novērtējot izteicienu (x = 4 ), vispirms mainīgajam aizstājiet vērtību 4 x. Pēc tam novērtējiet, izmantojot darbību secību.

Piemērs

Novērtējiet (x = 4 ).

[atklāt-atbildēt q = ”411363 ″] Rādīt risinājumu [/ atklāt-atbildēt]
[slēptās atbildes a = ”411363 ″]

Mainīgajam aizstāj 4 x.

(5 cdot4 ^ {3} )

Novērtējiet (4 ^ {3} ). Pavairot.

(5 pa kreisi (4 cdot4 cdot4 pa labi) = 5 cdot64 = 320 )

Atbilde

(x = 4 )

[/ slēptā atbilde]

Zemāk esošajā piemērā ievērojiet, kā iekavu pievienošana var mainīt rezultātu, kad vienkāršojat terminus ar eksponentiem.

Piemērs

Novērtējiet (x = 4 ).

[atklāt-atbildēt q = ”362021 ″] Rādīt risinājumu [/ atklāt-atbildēt]
[hidden-answer a = ”362021 ″] Mainīgajam aizstāj 4. punktu x.

(kreisais (5 cdot4 labais) 3 )

Reiziniet iekavās un pēc tam lietojiet eksponentu - ievērojot PEMDAS noteikumus.

(20^{3})

Novērtējiet (20 ^ {3} ).

(20 cdot20 cdot20 = 8 000 )

Atbilde

(x = 4 )

[/ slēptā atbilde]

Iekavu pievienošana būtiski mainīja! Iekavas ļauj lietot eksponentu mainīgajiem vai skaitļiem, kas tiek reizināti, dalīti, saskaitīti vai atņemti viens otram.

Piemērs

Novērtējiet (x = −4 ).

[atklāt atbildi q = ”86290 ″] Rādīt risinājumu [/ atklāt atbildi]
[hidden-answer a = ”86290 ″] Mainītāja aizstājējs (- 4 ) x.

( pa kreisi (−4 pa labi) ^ {3} )

Novērtējiet. Ievērojiet, kā iekavu izvietošana ap (- 4 ) nozīmē, ka negatīvā zīme arī tiek reizināta.

(- 4 cdot − 4 cdot − 4 )

Pavairot.

(- 4 cdot − 4 cdot − 4 = −64 )

Atbilde

(x = −4 )

[/ slēptā atbilde]

Uzmanību! Tas, vai iekļaut negatīvu zīmi kā daļu no bāzes, vai ne, bieži rada neskaidrības. Šeit ir piemērs, lai noskaidrotu, vai pirms vai pēc eksponenta tiek lietota negatīva zīme.

Kāda ir atšķirība, kā jūs vērtējat šos divus terminus?

  1. (-{3}^{2})
  2. ({ pa kreisi (-3 pa labi)} ^ {2} )

Lai novērtētu 1), vispirms vispirms jāpieliek eksponents trim, pēc tam pēdējais - negatīvā zīme:

( begin {masīvs} {c} - left ({3} ^ {2} right) = - left (9 right) = -9 end {array} )

Lai novērtētu 2), eksponentu jāpielieto 3 un negatīvā zīme:

( begin {masīvs} {c} { left (-3 right)} ^ {2} = left (-3 right) cdot left (-3 right) = {9 } beigu {masīvs} )

Galvenais, lai to atcerētos, ir sekot darbību kārtībai. Pirmajā izteiksmē nav iekavas, tāpēc vispirms vispirms jāpieliek eksponents skaitlim 3, pēc tam jāpielieto negatīvā zīme. Otrajā izteiksmē ir iekavas, tāpēc cerams, ka atcerēsieties, ka arī negatīvā zīme tiek kvadrātā.

Nākamajās sadaļās uzzināsiet, kā vienkāršot izteicienus, kas satur eksponentus. Atgriezieties šajā lapā, ja esat aizmirsis, kā operāciju kārtību piemērot terminam ar eksponentiem, vai aizmirstat, kura ir pamats un kura ir eksponente!

Šajā video jums ir sniegti eksponenciālu izteicienu novērtēšanas piemēri konkrētam skaitlim.

YouTube teksts šajā teksta versijā ir izslēgts. To tiešsaistē varat apskatīt šeit: pb.libretexts.org/ba/?p=90

CC licencēts saturs, oriģināls

  • Vienkāršojiet pamata eksponenciālās izteiksmes. Autors: Džeimss Sousa (Mathispower4u.com) par Lumen Learning. Atrodas: https://youtu.be/ocedY91LHKU. Licence: CC BY: attiecinājums
  • Pārskatīšana un pielāgošana.

    10.2 Izmantojiet eksponentu reizināšanas īpašības

    Atcerieties, ka eksponents norāda atkārtotu tā paša daudzuma reizināšanu. Piemēram, 2 4 2 4 nozīmē reizināt četrus koeficientus 2, 2, tātad 2 4 2 4 nozīmē 2, 2, 2, 2. 2 · 2 · 2 · 2. Šis formāts ir pazīstams kā eksponenciāls apzīmējums.

    Eksponenciāls apzīmējums

    Pirms sākam strādāt ar mainīgajām izteiksmēm, kas satur eksponentus, vienkāršosim dažus izteicienus, kas ietver tikai skaitļus.

    10.11. Piemērs

    Risinājums

    10.12. Piemērs

    Risinājums

    10.13. Piemērs

    Risinājums

    Ievērojiet līdzības un atšķirības daļās ⓐ un ⓑ. Kāpēc atbildes atšķiras? Daļēji ⓐ iekavas liek mums pacelt (−3) līdz 4. spēkam. Daļā ⓑ mēs paaugstinām tikai 3. līdz 4. pakāpei un pēc tam atrodam pretējo.

    Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot eksponentu produkta īpašību

    Jūs esat redzējis, ka, apvienojot līdzīgus terminus, saskaitot un atņemot, jums jābūt vienādai bāzei ar vienu un to pašu eksponentu. Bet, reizinot un dalot, eksponenti var būt atšķirīgi, un dažreiz arī pamats var būt atšķirīgs. Iegūsim eksponentu īpašības, vairākos piemēros meklējot modeļus. Visas eksponenta īpašības atbilst jebkuram reālam skaitlim, taču šobrīd mēs izmantosim tikai veselu skaitļu eksponentus.

    Pirmkārt, mēs aplūkosim piemēru, kas ved uz produkta īpašumu.

    Ko tas nozīmē?

    Cik faktoru kopā?
    Tātad, mums ir
    Ievērojiet, ka 5 ir eksponentu summa 2 un 3.
    Mēs rakstām: x 2 ⋅ x 3 x 2 ⋅ x 3
    x 2 + 3 x 2 + 3
    x 5 x 5

    Bāze palika nemainīga, un mēs pievienojām eksponentus. Tas noved pie produkta īpašnieka eksponentiem.

    Eksponentu produkta īpašība

    Lai reizinātu ar līdzīgām bāzēm, pievienojiet eksponentus.

    Piemērs ar skaitļiem palīdz pārbaudīt šo īpašumu.

    10.14. Piemērs

    Risinājums

    10.15. Piemērs

    Risinājums

    10.16. Piemērs

    Risinājums

    10.17. Piemērs

    Risinājums

    Mēs varam paplašināt eksponentu produkta īpašības līdz vairāk nekā diviem faktoriem.

    10.18. Piemērs

    Risinājums

    Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot eksponentu jaudas īpašību

    Tagad aplūkosim eksponenciālu izteicienu, kas satur spēku, kas paaugstināts līdz spēkam. Skatiet, vai varat atklāt vispārēju īpašumu.

    Ko tas nozīmē?

    Cik faktoru kopā?
    Tātad, mums ir
    Ievērojiet, ka 6 ir eksponentu 2 un 3 reizinājums.
    Mēs rakstām: (x 2) 3 (x 2) 3
    x 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ 3
    x 6 x 6

    Mēs reizinājām eksponentus. Tas noved pie jaudas īpašuma eksponentiem.

    Eksponentu jaudas īpašums

    Lai palielinātu spēku spēkam, reiziniet eksponentus.

    Piemērs ar skaitļiem palīdz pārbaudīt šo īpašumu.

    10.19. Piemērs

    Risinājums

    Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot produktu enerģijas īpašumam

    Tagad mēs aplūkosim izteicienu, kurā ir produkts, kas tiek paaugstināts līdz spēkam. Meklējiet modeli.

    Eksponents attiecas uz katru no faktoriem. Tas noved pie tā, ka produkts ir eksponentu enerģijas īpašums.

    Produkts eksponentu jaudas īpašumam

    Lai paaugstinātu produktu līdz jaudai, paaugstiniet katru faktoru līdz šai jaudai.

    Piemērs ar numuriem palīdz pārbaudīt šo īpašumu:

    10.20. Piemērs

    Risinājums

    10.21. Piemērs

    Risinājums

    Vienkāršojiet izteiksmes, lietojot vairākas īpašības

    Mums tagad ir trīs īpašības izteicienu reizināšanai ar eksponentiem. Apkoposim tos, un tad mēs veiksim dažus piemērus, kas izmanto vairāk nekā vienu no īpašībām.

    Eksponentu īpašības

    10.22. Piemērs

    Risinājums

    10.23. Piemērs

    Risinājums

    10.24. Piemērs

    Risinājums

    Ievērojiet, ka pirmajā monomālē eksponents atradās ārpus iekavām un tas attiecās uz abiem iekšējiem faktoriem. Otrajā monomālā eksponents atradās iekavās un tāpēc tas attiecās tikai uz n.

    10.25. Piemērs

    Vienkāršojiet: (3 p 2 q) 4 (2 p q 2) 3. (3 p 2 q) 4 (2 p q 2) 3.

    Risinājums

    Vienkāršojiet: (u 3 v 2) 5 (4 u v 4) 3. (u 3 v 2) 5 (4 u v 4) 3.

    Vienkāršojiet: (5 x 2 y 3) 2 (3 x y 4) 3. (5 x 2 y 3) 2 (3 x y 4) 3.

    Reizināt Monomials

    Tā kā monomāls ir algebriska izteiksme, mēs varam izmantot īpašības, lai vienkāršotu izteiksmes ar eksponentiem, lai reizinātu monomālus.

    10.26. Piemērs

    Risinājums

    Reizināt: (- 9 g 4) (- 6 g 5). (- 9 g 4) (- 6 g 5).

    10.27. Piemērs

    Reizināt: (3 4 c 3 d) (12 c d 2). (3 4 c 3 d) (12 c d 2).

    Risinājums

    Reizināt: (4 5 m 4 n 3) (15 m n 3). (4 5 m 4 n 3) (15 m n 3).

    Reizināt: (2 3 p 5 q) (18 p 6 q 7). (2 3 p 5 q) (18 p 6 q 7).

    Mediji

    PIEEJAMI PAPILDU TIEŠSAISTES RESURSI

    10.2. Sadaļa Vingrinājumi

    Prakse padara perfektu

    Vienkāršojiet izteiksmes ar eksponentiem

    Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet katru izteicienu ar eksponentiem.

    Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot eksponentu produkta īpašību

    Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet katru izteicienu, izmantojot eksponentu produkta īpašību.

    Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot eksponentu jaudas īpašību

    Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet katru izteiksmi, izmantojot eksponentu jaudas īpašību.

    Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot produktu enerģijas īpašumam

    Turpmāk sniegtajos vingrinājumos vienkāršojiet katru izteicienu, izmantojot produktu līdz jaudas īpašumam.

    Vienkāršojiet izteiksmes, lietojot vairākas īpašības

    Turpmākajos vingrinājumos vienkāršojiet katru izteicienu.

    (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2 (1 2 x 2 y 3) 4 (4 x 5 y 3) 2

    (1 3 m 3 n 2) 4 (9 m 8 n 3) 2 (1 3 m 3 n 2) 4 (9 m 8 n 3) 2

    Reizināt Monomials

    Turpmākajos vingrinājumos reiziniet šādus monomālus.

    (3 5 m 3 n 2) (5 9 m 2 n 3) (3 5 m 3 n 2) (5 9 m 2 n 3)

    Ikdienas matemātika

    E-pasts Dženeta nosūta pa jokam sešiem saviem draugiem un liek viņiem to pārsūtīt sešiem saviem draugiem, kuri to pārsūta sešiem saviem draugiem utt. Cilvēku skaits, kuri saņem e-pastu otrajā kārtā, ir 6 2, 6 2, trešajā kārtā ir 6 3, 6 3, kā parādīts tabulā. Cik cilvēku saņems e-pastu astotajā kārtā? Vienkāršojiet izteicienu, lai parādītu to cilvēku skaitu, kuri saņem e-pastu.

    Rakstīšanas vingrinājumi

    Izmantojiet produkta īpašību eksponentiem, lai izskaidrotu, kāpēc x · x = x 2. x · x = x 2.

    Pašpārbaude

    Ⓐ Pēc vingrinājumu izpildīšanas izmantojiet šo kontrolsarakstu, lai novērtētu savas iemaņas šīs sadaļas mērķos.

    Ⓑ Ko jūs darīsit, pārbaudot šo kontrolsarakstu, lai pārliecinātos par visiem mērķiem?

    Kā Amazon Associate mēs nopelnām no kvalificētiem pirkumiem.

    Vai vēlaties citēt, kopīgot vai pārveidot šo grāmatu? Šī grāmata ir Creative Commons attiecinājuma licence 4.0, un jums jāpiešķir OpenStax.

      Ja jūs visu grāmatu vai tās daļu pārdalāt drukas formātā, tad katrā fiziskajā lapā jāiekļauj šāds attiecinājums:

    • Izmantojiet zemāk esošo informāciju, lai ģenerētu citātu. Mēs iesakām izmantot citēšanas rīku, piemēram, šo.
      • Autori: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
      • Izdevējs / vietne: OpenStax
      • Grāmatas nosaukums: Prealgebra 2e
      • Publicēšanas datums: 2020. gada 11. marts
      • Atrašanās vieta: Hjūstona, Teksasa
      • Grāmatas URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
      • Sadaļas URL: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/10-2-use-multiplication-properties-of-exponents

      © 2021. gada 21. janvāris OpenStax. Mācību grāmatu saturs, ko ražo OpenStax, tiek licencēts saskaņā ar Creative Commons Attribution License 4.0 licenci. Uz OpenStax vārdu, OpenStax logotipu, OpenStax grāmatu vākiem, OpenStax CNX nosaukumu un OpenStax CNX logotipu neattiecas Creative Commons licence, un tos nevar reproducēt bez Rīsu universitātes iepriekšējas un skaidras rakstiskas piekrišanas.


      4.2: Termini un izteicieni ar eksponentiem - matemātika

      Eksponents ir matemātisks apzīmējums, kas nozīmē, cik reižu skaitlis reizināms ar sevi.

      Vairāk par Exponent

      Eksponentiem ir daži algebras likumi un formulas, un tie ir noderīgi noteiktu izteicienu novērtēšanai.
      Eksponenti var būt pozitīvi, negatīvi vai nulle.

      Video piemēri: eksponenti

      Eksponenta piemērs

      Izteiksmē a 7 eksponents ir 7. & # 39a & # 39 ir pamats.
      2 4, 4 ir eksponents. Tas norāda, ka 2 ir jāreizina ar sevi 4 reizes.
      2 4 = 2 & reizes 2 & reizes 2 & reizes 2 = 16

      Atrisināts piemērs eksponentam

      Rindas: Auduma gabals ir kvadrāta formā, kura garums ir 8 jardi. Atrodiet auduma laukumu eksponenciālā formā.

      Izvēle:

      A. 8 3 kvadrātpēdas
      B. 8 2 kvadrātveida pagalmi
      C. 8 1 Kvadrātveida pagalmi
      D. 2 8 kvadrātpēdas
      Pareiza atbilde: B

      Risinājums:

      1. solis: Kvadrāta laukums = s x s, kur s ir sānu garums.
      2. darbība: = 8 reizes un 8 reizes [aizstājējs s = 8.]
      3. solis: = 8 2 kvadrātmetri
      4. solis: Tātad auduma gabala laukums eksponenciālā formā ir 8 2 kvadrātmetri


      KĀ RAKSTĪT IZTEIKUMUS, izmantojot EKSPONENTUS

      Skaitļa & # xa0exponent & # xa0 norāda, cik reizes skaitlis tiek reizināts ar sevi.

      Mēs varam rakstīt izteicienus visvienkāršākajā formā, izmantojot eksponentus. & # Xa0

      Pārrakstīt (m & # xa0 ⋅ & # xa0m & # xa0 ⋅ & # xa0m & # xa0 ⋅ & # xa0m) visvienkāršākajā formā, izmantojot eksponentu. & # Xa0 & # xa0

      m četras reizes reizina ar sevi. & # xa0

      Pārrakstīt (5 & # xa0 ⋅ 5 & # xa0 ⋅ 5) un # xa0vienkāršākajā formā, izmantojot eksponentu. & # Xa0 & # xa0

      5 trīs reizes tiek reizināts ar sevi. & # Xa0

      Pārrakstīt (7 & # xa0 ⋅ & # xa07 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ 5) vienkāršākajā formā, izmantojot eksponentus.

      7 divas reizes reizina pats ar sevi un 5 reizes pats trīs reizes. & # Xa0

      Pārrakstīt (13 & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ & # xa0b & # xa0 ⋅ b) vienkāršākajā formā, izmantojot eksponentus. & # Xa0

      13 nāk vienreiz, un b četras reizes tiek reizināts ar sevi. & # Xa0

      Pārrakstīt (17 & # xa0 ⋅ & # xa017 & # xa0 ⋅ & # xa0w & # xa0 ⋅ & # xa0w & # xa0 ⋅ w) vienkāršākajā formā, izmantojot eksponentus. & # Xa0 & # xa0

      17 divas reizes reizina pats ar sevi un w trīs reizes reizina pats ar sevi. & # Xa0

      Pārrakstīt (5 & # xa0 ⋅ & # xa05 & # xa0 ⋅ & # xa0p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ p & # xa0 ⋅ lpp ) visvienkāršākajā formā, izmantojot eksponentus.

      5 divas reizes reizina pats ar sevi un p piecreiz reizina pats ar sevi. & # Xa0

      Pārrakstīt (n & # xa0 ⋅ & # xa0n & # xa0 ⋅ & # xa0n & # xa0 ⋅ b & # xa0 ⋅ b) vienkāršākajā formā, izmantojot eksponentus.

      n trīs reizes reizina pats ar sevi un b divas reizes reizina pats ar sevi. & # xa0

      Pārrakstīt (9 & # xa0 ⋅ & # xa09 & # xa0 ⋅ & # xa09 & # xa0 ⋅ c) visvienkāršākajā formā, izmantojot eksponentu.

      9 trīs reizes reizina pats ar sevi un c nāk vienreiz. & # Xa0

      Pārrakstīt (4 & # xa0 ⋅ & # xa04 & # xa0 ⋅ & # xa04 & # xa0 ⋅ k & # xa0 ⋅ k ) visvienkāršākajā formā, izmantojot eksponentus.

      4 trīs reizes reizina pats ar sevi un k divas reizes reizina pats ar sevi. & # Xa0

      Pārrakstīt (2 & # xa0 ⋅ & # xa02 & # xa0 ⋅ & # xa0r & # xa0 ⋅ r & # xa0 ⋅ r ) visvienkāršākajā formā, izmantojot eksponentus.

      2 divas reizes reizina pats ar sevi un r trīs reizes reizina pats ar sevi. & # Xa0

      Papildus iepriekš norādītajām lietām, ja jums ir nepieciešamas citas lietas matemātikā, lūdzu, izmantojiet mūsu google pielāgoto meklēšanu šeit.

      Ja jums ir atsauksmes par mūsu matemātikas saturu, lūdzu, nosūtiet mums e-pastu: & # xa0

      Mēs vienmēr novērtējam jūsu atsauksmes. & # Xa0

      Varat arī apmeklēt šādas tīmekļa lapas ar dažādiem matemātikas jautājumiem. & # Xa0


      Veseli skaitļi

      (5 ^ 4 ) nozīmē (5 reizes 5 reizes 5 reizes 5 reizes). Eksponents 4 norāda atkārtotā faktora parādīšanās skaitu.

      Ko var nozīmēt negatīvs eksponents, piemēram, ko var nozīmēt (5 ^ <-4> )?

      Matemātiķi ir nolēmuši izmantot negatīvos eksponentus, lai norādītu bāzes multiplikatīvās inversijas atkārtošanos, piemēram, (5 ^ <-4> ) tiek izmantots, lai norādītu ( frac <1> <5> reizes frac <1 > <5> reizes frac <1> <5> reizes frac <1> <5> ) vai (( frac <1> <5>) ^ 4 ) un (x ^ < -3> ) tiek izmantots, lai norādītu (( frac <1>) ^ 3 ), kas ir ( frac <1> reizes frac <1> reizes frac <1> )

      Šis lēmums netika pieņemts akli - matemātiķi labi apzinājās, ka šajā nozīmē ir lietderīgi izmantot negatīvos eksponentus. Viena no galvenajām priekšrocībām ir tā, ka negatīvajiem eksponentiem, lietojot šo nozīmi, ir tādas pašas īpašības kā pozitīvajiem eksponentiem, piemēram:

      (2 ^ <-3> reizes 2 ^ <-4> = 2 ^ <(- 3) + (- 4)> = 2 ^ <-7> ), jo (2 ^ <-3> reizes 2 ^ <-4> ) nozīmē (( frac <1> <2> reizes frac <1> <2> reizes frac <1> <2>) reizes ( frac <1> < 2> reizes frac <1> <2> reizes frac <1> <2> reizes frac <1> <2>) ), kas ir (( frac <1> <2>) ^ 7 ).

      (2 ^ <-3> reizes 2 ^ 4 = 2 ^ <(- 3) +4> = 2 ^ 1 ), jo (2 ^ <-3> reizes 2 ^ 4 ) nozīmē (( frac <1> <2> reizes frac <1> <2> reizes frac <1> <2>) reizes (2 reizes 2 reizes 2 reizes 2 reizes) 2).

      Negatīvie eksponenti

      Katru no šiem izteiciet eksponenciālā apzīmējumā divos veidos: ar pozitīvajiem un ar negatīvajiem.

      ( frac <1> <5> reizes frac <1> <5> reizes frac <1> <5> reizes frac <1> <5> reizes frac <1> <5> reizes frac <1> <5> )

      Katrā gadījumā pārbaudiet, vai apgalvojums ir patiess vai nepatiess. Ja tā ir nepatiesa, uzrakstiet pareizu paziņojumu. Ja tā ir taisnība, norādiet iemeslus, kāpēc jūs tā sakāt.

      (25 ^ 2 reizes 10 ^ <-6> reizes 2 ^ 6 = 5 )

      Aprēķiniet katru no šiem rādītājiem, neizmantojot kalkulatoru:

      Izmantojiet zinātnisko kalkulatoru, lai noteiktu doto vērtību decimāldaļas.

      Piemērs: Lai kalkulatorā atrastu (3 ^ <-1> ), izmantojiet taustiņu secību: (3 y ^ x 1 ± = )

      Paskaidrojiet (10 ​​^ <-3> ) nozīmi.

      Katrā no šīm vērtībām nosakiet divos veidos:

      A. Izmantojot pilnvaru definīciju (Piemēram, (5 ^ 2 reizes 5 ^ 0 = 25 reizes 1 = 25 ).)

      B. Izmantojot eksponentu īpašības (piemēram, (5 ^ 2 reizes 5 ^ 0 = 5 ^ <2 + 0> = 5 ^ 2 = 25 ).)

      Aprēķiniet katra no šiem parametriem vērtību. Izsakiet savas atbildes kā parastās daļas.


      Jautājumi par algebru: eksponenti un darbības ar eksponentiem, uz kuriem atbild reāli pasniedzēji!

      Pasniedzēji atbild uz jūsu jautājumiem par eksponentiem (BEZMAKSAS)

      Jūs varat ievietot šo risinājumu savā vietnē!

      ja pakāpes polinomam ir nulles un tam ir arī nulle (sarežģītas nulles vienmēr nāk pa pāriem)
      pēc tam
      . paplašināties

      INSTRUKCIJA par to, kā spert savu pirmo soli

      Vienkāršojiet savu uzdevumu un veiciet pirmo soli pats, aprēķinot f (2) ar formulu.

      Tam formulā aizstāj n = 2 un f (1) izmanto vērtību 20.

      Šajā amatā, kā parādīts, šis ieraksts ir neķītrs, bet nav matemātikas problēma.

      Šajā problēmā jūs varat pārvietoties jebkurā no šiem diviem veidiem.

      Abi veidi noved jūs pie tā paša rezultāta.


      Vai jūs visu saprotat manos paskaidrojumos?

      Ja jums joprojām ir jautājumi, nevilcinieties tos uzdot.

      Parādītais vienādojums ir 3 ^ 2 (x + 1) - 8 * 3 ^ x + 1 = 9 =

      Es pieņemu, ka tas nav vienādojums, kuru vēlaties.

      Ja strādājat ar šādām problēmām, matemātikas zināšanām vajadzētu būt pietiekamām, lai zinātu, ka ir svarīgi pareizi izmantot iekavas.

      Es pieņemšu, lai vienādojums (un līdz ar to arī problēma) būtu saprātīgs, ka šis ir vienādojums, kuru vēlaties:

      Divi potenciālie risinājumi ir u = 9 un u = -1.


      Šī u vērtība nenodrošina reālus risinājumus.

      ATBILDE: ir viens risinājums, x = 1.

      Jūs varat ievietot šo risinājumu savā vietnē!

      tas, šķiet, ir eksponenciāls
      lai atrastu formas vienādojumu, izmantojiet dotos punktus
      (,),(,), iespraust

      izveidojiet divu vienādojumu sistēmu un pēc tam atrisiniet sistēmu un
      . izmantot (,)


      . ekvivalents 2
      no eq.1 un eq.2 mums ir
      . atcelt vienu

      Tas, kas rakstīts jūsu ziņojumā, NAV vienādojums.

      Tā ir funkcijas definīcija.


      TĀDĒĻ jūsu jautājums ir NESENSĪNS.


      Arī @Penguin, kurš mēģina atbildēt uz bezjēdzīgu ziņu, ziņa pati par sevi ir NESAVĪGA.

      Diskriminants = b ^ 2 - 4ac = 4 - 4 (1/3) (- 3) = 8

      Diskriminants ir lielāks par 0, tāpēc šim vienādojumam ir 2 reālas saknes.

      2g ^ 2 - 8 = 2g + 1
      2g ^ 2 - 2g - 9 = 0

      Izmantojiet kvadrātisko formulu: y = 1/2 + sqrt (19) / 2 vai 1/2 - sqrt (19) / 2.

      y jābūt pozitīvam, tātad: x ^ 3 = 1/2 + sqrt (19) / 2

      Jūs varat ievietot šo risinājumu savā vietnē!
      Leņķa x atskaites leņķis III kvadrantā ir x - 180.

      (teta) - 180 = 26
      (teta) = 206 grādi

      4 (3x + 2g + x - 4)
      = 4 (4x + 2g - 4)
      =

      Vēl viena skolotāja @CubeyThePenguin atbilde, kas studentam nav noderīga, jo tā studentam neko nemāca.

      Funkcija ir pieaugoša eksponenciālā funkcija.

      Domēns: eksponenciālu funkciju var novērtēt jebkurai ievades vērtībai, tāpēc visi domēni ir reālie skaitļi.

      Diapazons: pieaugošai eksponenciālai funkcijai ir minimālā vērtība, bet nav maksimālās vērtības.

      2 ^ (2x) nav minimālās vērtības, un tā kļūst tikpat tuvu kā mēs vēlamies 0 lielām negatīvām x vērtībām. Tātad.

      2 ^ (2x) diapazons ir (0, bezgalība), y krustpunkts ir 1

      +3 paaugstina grafiku par 2 vienībām, diapazons 2 ^ (2x) +3 ir (3, bezgalība), y krustpunkts ir 1 + 3 = 4

      Reizinot ar 4, grafiks vertikāli izstiepts ar koeficientu 4, diapazons 4 (2 ^ (2x) +3) ir (12, bezgalība), y krustpunkts ir 4 (4) = 16

      "-7" pārvieto diagrammu uz leju par 7, diapazons 4 (2 ^ (2x) +3) -7 ir (5, bezgalība), y krustpunkts ir 16-7 = 9

      Funkcijas diapazons ir (5, bezgalība)

      Jūs varat ievietot šo risinājumu savā vietnē!
      Domēns: visi reālie skaitļi
      Diapazons: (5, bezgalība)

      Eksponenti un mainīgie izteiksmēs

      Studenti rakstīs un novērtēs algebriskās izteiksmes, kas atspoguļo reālās situācijas.

      Ātrās saites uz nodarbību materiāliem:

      Māciet šo mācību

      Mērķi

      • Novērtējiet skaitliskās izteiksmes, kas saistītas ar veselo skaitļu eksponentiem.
      • Uzrakstiet algebriskas izteiksmes, lai attēlotu attiecības starp terminiem.
      • Uzrakstiet izteicienus, kas ietver veselu skaitļu eksponentus, lai attēlotu problēmu situācijas.
      • Uzrakstiet algebriskas izteiksmes, lai atspoguļotu problēmu situācijas.
      • Novērtējiet algebriskās izteiksmes, kas atspoguļo problēmu situācijas pie mainīgajiem lielumiem.

      Materiāli

      • Slēpošanas laiks: eksponenti algebriskās izteiksmēs ir izdrukājami
      • Atbilde Piedzīvojumu atslēga izteiksmēs un vienādojumos

      Nodarbību virzieni

      IEVADS JAUNĀ MATERIĀLĀ

      1. darbība: Kā ievads eksponentiem lūdziet studentus kā atkārtotas pievienošanas izteiksmi uzrakstīt šādu reizināšanas izteicienu: 4 x 7. (7 + 7 + 7 + 7)

      • Kāpēc kāds atkārtojuma izteiksmes vietā izmantotu reizināšanas izteiksmi?

      Efektīvāk ir rakstīt.

      Pastāstiet studentiem, ka eksponentu izmantošana ir veids, kā efektīvāk uzrakstīt atkārtotu reizināšanas izteiksmi. The bāze ir skaitlis, kas tiek reizināts atkal un atkal. The eksponents ir to reižu skaits, kad bāze tiek reizināta kopā. Piemēram, izteiksmē 6 5, 6 ir pamats, un 5 ir eksponents. 6 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776.

      2. darbība: Palūdziet studentiem parādīt, ka reizināšana ir komutatīva, izmantojot izteicienu 4 x 7 un atkārtotu saskaitīšanu (4 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 7 x 4) . Palūdziet studentiem izmantot izteicienu 6 5, lai izlemtu, vai eksponentā izteiksmē bāze un eksponents ir komutatīvi (Nr: 6 5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776 5 6 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15 625).

      3. solis: Ja jūsu studentiem būtu izdevīgi praktizēt eksponenciālu izteicienu novērtēšanu, pirms ķeraties pie problēmu situāciju apspriešanas, sniedziet viņiem dažas prakses izteiksmes, kuras novērtēt (piemēri: 3 8, 8 3, 11 2, 9 4, 4 8).

      4. solis: Lieciet studentiem iedomāties, kā slēpotājs kāpj slēpošanas trasē uz pacēlāja. Slēpotājs nomet cimdu. Jautāt:

      Pastāstiet studentiem, ka cimda ātrums ir vienāds ar gravitācijas paātrinājuma reizinājumu g un laiks t sekundēs, kad cimds krīt. Tas nozīmē, ka jo ilgāk tas krīt, jo ātrāk tas pārvietojas. Jautāt:

      • Gravitācijas paātrinājums uz Zemes ir 9,8 m / s 2. Kāds izteiciens raksturo cimda ātrumu, jo tas krīt Zemes atmosfērā?

      5. darbība: Pastāstiet studentiem, ka objekta nokrišanas attālums ir puse no gravitācijas paātrinājuma reizinājuma g un tā laika laukums t sekundēs, kad objekts nokrīt. Jautāt:

      0.5g x t 2 vai 0,5 x 9,8 x t 2 uz Zemes


      6. solis: Slēpotāja sasniedz krēslu pacēlāja augšdaļu, lai sāktu nolaišanos lejup pa nogāzi. Slēpotājam paiet 165 sekundes, lai nobrauktu no kalna ar ātrumu 20 metri sekundē. Jautāt:

      7. solis: 2., 3. un 4. slēpotājs brauc pa to pašu kursu. Uzrakstiet vienādojumu, kas parāda, cik ātri slēpotājs brauc, ņemot vērā laiku, kas slēpotājam nepieciešams, lai nokāptu tajā pašā kursā (ātrums = 3 300 ÷ laiks). Modelis studentiem, kā atrast atlikušo trīs slēpotāju ātrumu, ja slēpotājam # 2 nepieciešamas trīs minūtes un 7 sekundes, slēpotājam # 3 - trīs minūtes un 12 sekundes un slēpotājam # 4 - divas minūtes un 40 sekundes, lai sacenstos kalnā (17.647 metri sekundē, 17,1875 metri sekundē, 20,625 metri sekundē).

      8. solis:
      Pastāstiet studentiem, ka pulksten 8 no rīta nogāzēs ir četri vientuļi slēpotāji. Katru stundu slēpotāju skaits nogāzēs četrkāršojas. Jautāt:

      Lieciet studentiem individuāli strādāt, lai rakstītu izteicienus slēpotāju skaitam pusdienlaikā, pulksten 13 un 14. Lieciet viņiem noteikt slēpotāju skaitu nogāzēs dažādos laikos. Tad pajautājiet:

      • Kādu izteicienu jūs varētu uzrakstīt, lai raksturotu slēpotāju skaitu nogāzēs x stundas pēc to atvēršanas plkst. 8:00?

      PAMATOJAMĀ PRAKSE

      9. solis: Sadaliet savu klasi partneros un izlieciet šādus jautājumus. Katram jautājumam partneriem vajadzētu:

      • Uzrakstiet izteicienu, lai attēlotu vārdu problēmu.
      • Novērtējiet izteiksmi, ja tā ir algebriska izteiksme, izvēlieties mainīgā vērtību.

      A. Jūs dodaties autobusā, kas brauc uz Tampu, Floridā, lai treniņbraucienā kopā ar savu tenisa komandu. Jūsu vidējais ātrums ir 65 jūdzes stundā. Cik tālu jūs esat ceļojis pēc noteikta stundu skaita?

      65h izvēlētā mainīgā vērtība: 65h kad h = 7 būtu 455 jūdzes

      B. Jūs mīcāt mīklu maizes pagatavošanai. Katru reizi, kad mīcāt, mīkla dubultojas. Ja jūs mīcāt mīklu 3 reizes, cik reizes lielāka ir mīkla, kad esat pabeidzis, salīdzinot ar sākumu?

      C. Jūsu treneris ir 13,5 gadus vecāks nekā jūs. Kad tu esi y gadus vecs, cik vecs ir tavs treneris?

      13.5 + y izvēlētā mainīgā vērtība: 13,5 + y kad y = 14 būtu 27,5 jūdzes

      D. Jūs ceļojumam cepāt 4 desmitus cepumu. Ja ir n spēlētāji jūsu komandā, cik daudz cepumu saņem katrs cilvēks?

      Cik cepumi ir palikuši pāri?

      48 – 48/n izvēlētā mainīgā vērtība: 48 /n kad n = 11 būtu 4,3636 ..., tātad 4 sīkfaili vienai personai un pēc tam paliek pāri 4, jo 48 - 44 = 4

      10. solis: Ja partneri pabeidz agri, pasniedziet viņiem divus ciparus. Viņi var ritināt vienu skaitļa kubu, lai ģenerētu pamatu, un vienu skaitļa kubu, lai ģenerētu eksponentu. Lieciet viņiem katram novērtēt savu izteicienu vērtību. Kurš no partneriem ir lielāks, uzvar šajā kārtā.

      11. solis: Pārbauda sapratni: Pārskatiet atbildes kā klases un atbildiet uz visiem jautājumiem.

      NEATKARĪGA PRAKSE

      12. darbība: Piešķiriet slēpošanas laiku: Algebraic izteicienu eksponenti, kurus var izdrukāt klases vai mājas darbiem.

      13. solis: Pārbauda sapratni: Pārskatiet atbildes uz izdrukājamajām klasēm, pārliecinoties, ka studenti izskaidro matemātisko domāšanu. Novērsiet iespējamos nepareizos uzskatus.


      IM komentārs

      Šī uzdevuma mērķis ir iepazīstināt ar eksponenciālās izaugsmes ideju un pēc tam saistīt šo izaugsmi ar izteicieniem, kuros iesaistīti eksponenti. Tas labi parāda, cik ātri eksponenciālās izteiksmes aug. Skolēniem, kuri tikko mācās par eksponentiem, var būt vajadzīga lielāka struktūra nekā turpmākajos jautājumos, lai sniegtu izteicienus.

      Vēl daži labi papildjautājumi būtu: "Kurā dienā burvju monētu summa kļūst lielāka par 50 000? Kurā dienā burvju monētu summa kļūst lielāka par 1 000 000?"

      Matemātiskās prakses standarti koncentrējas uz mācīšanās pieredzes raksturu, ievērojot domāšanas procesus un prāta paradumus, kas studentiem jāattīsta, lai gūtu dziļu un elastīgu matemātikas izpratni. Daži uzdevumi ir piemēroti tam, lai studenti demonstrētu konkrētu praksi. Prakse, kas ir novērojama uzdevuma izpētes laikā, ir atkarīga no tā, kā instrukcijas norit klasē. Lai gan ir iespējams, ka uzdevumi var būt saistīti ar vairākām praksēm, padziļināti tiks apspriests tikai viens prakses savienojums. Var apspriest iespējamos sekundārās prakses savienojumus, bet ne tik detalizēti.

      Šis uzdevums savieno atkārtotus aprēķinus ar izteicienu, kurā iesaistīti eksponenti, lai izveidotu stenogrammu, ko var izmantot, lai atbildētu uz uzdotajiem jautājumiem (MP.8). Skolotājs varētu uzdot šo uzdevumu mazām vai lielām grupām un vadīt tos, izveidojot tabulu, lai parādītu atkārtotos aprēķinus, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai. Kad modelis ir apspriests, skolotājs var likt studentiem sākt apspriest eksponenciālo pieaugumu, ko parāda tabula, risinājumus uzdevumā uzdotajiem jautājumiem un pamācīt studentus atkārtotu aprēķinu izmantošanā, lai uzrakstītu izteicienu, kuru varētu efektīvi izmantot. atrisināt jebkuru jautājumu, ko varētu uzdot par eksponenciālo izaugsmi.


      Lai reizinātu monomālu ar monomālu, reiziniet skaitliskos koeficientus un katru mainīgo. (Lai pārskatītu eksponentu likumus, skatiet iepriekšējā nodaļas sadaļu Eksponenti.)

      Piemērs

      Risinājums

      Polinomu izteiksmju reizināšanas pamatā ir izplatīšanas īpašība. Lai reizinātu polinomu ar monomālu, reiziniet katru polinoma terminu ar monomālu.

      Piemērs

      Risinājums

      Risinājums

      Lai reizinātu divus polinomus, reiziniet katru pirmās izteiksmes terminu ar katru otrā izteiksmes terminu. Tad apvienojiet līdzīgus terminus.

      Piemērs

      Risinājums

      = 3x 3 + 5x 2 – 10x + 6 & # 8230Savienojiet līdzīgus terminus.

      Atrodot laukumu un apjomu, bieži izmanto polinomu reizināšanu.

      Piemērs

      Kastes izmēri ir
      (y + 2) pēdas garas, (y + 7) pēdas platas un (2y - 4) pēdas augsts. Kāds ir kastes dibena laukums? Kāds ir kastes tilpums?

      Risinājums

      Lai atrastu konteinera dibena laukumu, reiziniet garumu ar platumu, kas ir pirmie divi binomi.

      Lai atrastu tilpumu, reiziniet dibena laukumu ar augstumu.


      4 Atbildes 4

      If you pay for two bananas and then three bananas you have paid for five bananas ($2x^2 + 3x^2 equiv 5x^2$). But if you pay for one banana and one peach, what have you paid for except one banana and one peach?! ($x^2+x^3 equiv x^2+x^3$).

      Even in primary school (elementary school in the US), children are taught the rule of BODMAS (or BIDMAS). We evaluate Brackets first, then Orders (or Indices). Then we do Division, Multiplication, Addition and finally Subtraction.

      How can we hope to combine terms of the form $x^2$ and $x^3$? An expression of the form $(x imes x) + (x imes x imes x)$ has only one meaning, even if we take the brackets away, we still have to multiply first.

      Think about what additions and multiplication mean:

      egin 2x^2 + 3x^2 &equiv& 2(x imes x) + 3(x imes x) &equiv& [(x imes x) + (x imes x)] + [(x imes x) + (x imes x) + (x imes x)] &equiv& (x imes x) + (x imes x) + (x imes x) + (x imes x) + (x imes x) &equiv& 5(x imes x) &equiv& 5x^2 end

      We can even verify this by experimentation: $2 imes 4^2 + 3 imes 4^2 = 32 + 48 = 80$ while $5 imes 4^2 = 80$. However, let's try to do this with terms of a different order, say $x^2$ and $x^3$:

      egin x^2 + x^3 &equiv& (x imes x) + (x imes x imes x) &equiv& ldotsldots? end


      Skatīties video: Es uzlikšu tāāāādu nodokli! (Oktobris 2021).