Raksti

13.8.8: Racionālie eksponenti


Mācību mērķi

Šīs sadaļas beigās jūs varēsiet:

  • Vienkāršojiet izteicienus, izmantojot (a ^ { frac {1} {n}} )
  • Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot (a ^ { frac {m} {n}} )
  • Izmantojiet Eksponentu likumus, lai vienkārši izteiktu ar racionāliem eksponentiem

Pirms sākat, veiciet šo gatavības viktorīnu.

  1. Pievienojiet: ( frac {7} {15} + frac {5} {12} ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet [saite].
  2. Vienkāršojiet: ((4x ^ {2} y ^ {5}) ^ 3 ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet [saite].
  3. Vienkāršojiet: (5 ^ {- 3} ).
    Ja jums pietrūka šīs problēmas, pārskatiet [saite].

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot (a ^ { frac {1} {n}} )

Racionālie eksponenti ir vēl viens veids, kā rakstīt izteicienus ar radikāļiem. Kad mēs izmantojam racionāli eksponenti, mēs varam pielietot eksponentu īpašības, lai vienkāršotu izteiksmes.

Eksponentu jaudas īpašums saka, ka ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} ) kad m un n ir veseli skaitļi. Pieņemsim, ka tagad mēs neaprobežojamies tikai ar veseliem skaitļiem.

Pieņemsim, ka mēs vēlamies atrast numuru lpp tāds, ka ((8 ^ p) ^ 3 = 8 ). Mēs izmantosim eksponentu jaudas īpašību, lai atrastu vērtību lpp.

[ begin {array} {cc} {} & {(8 ^ p) ^ 3 = 8} { text {Reiziniet kreisajā pusē esošos eksponentus.}} un {8 ^ {3p} = 8} { text {Labajā pusē uzrakstiet eksponentu 1.}} un {8 ^ {3p} = 8 ^ 1} { text {Eksponentiem jābūt vienādiem.}} un {3p = 1} { text {Atrisiniet p.}} un {p = frac {1} {3}} nonumber end {array} ]

Bet mēs zinām arī (( sqrt [3] {8}) ^ 3 = 8 ). Tad tam jābūt (8 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {8} )

Šo pašu loģiku var izmantot jebkuram pozitīva veselā skaitļa eksponentam n lai parādītu, ka (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

Definīcija: RATIONAL EXPONENT (a ^ { frac {1} {n}} )

Ja ( sqrt [n] {a} ) ir reāls skaitlis un (n ge 2 ), (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ).

Būs reizes, kad darbs ar izteiksmēm būs vieglāks, ja izmantosit racionāli eksponenti un reizes, kad būs vieglāk, ja izmantosiet radikāļus. Pirmajos piemēros jūs praktizēsiet izteicienu konvertēšanu starp šiem diviem apzīmējumiem.

Piemērs ( PageIndex {1} )

Rakstiet kā radikālu izteicienu:

  1. (x ^ { frac {1} {2}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} )
  3. (z ^ { frac {1} {4}} ).
Atbilde

Katru izteiksmi mēs vēlamies uzrakstīt formā ( sqrt [n] {a} ).

1. (x ^ { frac {1} {2}} )
Eksponenta saucējs ir 2, tātad radikāļa indekss ir 2. Mēs nerādām indeksu, kad tas ir 2. ( sqrt {x} )
2. (y ^ { frac {1} {3}} )
Eksponenta saucējs ir 3, tātad indekss ir 3. ( sqrt [3] {y} )
3. (z ^ frac {1} {4}} )
Eksponenta saucējs ir 4, pārējais indekss ir 4. ( sqrt [4] {z} )

Piemērs ( PageIndex {2} )

Rakstiet kā radikālu izteicienu:

  1. (t ^ { frac {1} {2}} )
  2. (m ^ { frac {1} {3}} )
  3. (r ^ { frac {1} {4}} ).
Atbilde
  1. ( sqrt {t} )
  2. ( sqrt [3] {m} )
  3. ( sqrt [4] {r} )

Piemērs ( PageIndex {3} )

Rakstiet kā radikālu izteicienu:

  1. (b ^ { frac {1} {2}} )
  2. (z ^ { frac {1} {3}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} ).
Atbilde
  1. ( sqrt {b} )
  2. ( sqrt [3] {z} )
  3. ( sqrt [4] {p} )

Piemērs ( PageIndex {4} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {x} )
  2. ( sqrt [3] {y} )
  3. ( sqrt [4] {z} ).
Atbilde

Mēs vēlamies katru radikālu uzrakstīt formā (a ^ { frac {1} {n}} ).

1. ( sqrt {x} )
Indekss netiek parādīts, tāpēc tas ir 2. Eksponenta saucējs būs 2. (x ^ { frac {1} {2}} )
2. ( sqrt [3] {y} )
Indekss ir 3, tātad eksponenta saucējs ir 3. (y ^ { frac {1} {3}} )
3. ( sqrt [4] {z} )
Indekss ir 4, tātad eksponenta saucējs ir 4. (z ^ { frac {1} {4}} )

Piemērs ( PageIndex {5} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {s} )
  2. ( sqrt [3] {x} )
  3. ( sqrt [4] {b} ).
Atbilde
  1. (s ^ { frac {1} {2}} )
  2. (x ^ { frac {1} {3}} )
  3. (b ^ { frac {1} {4}}

Piemērs ( PageIndex {6} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {v} )
  2. ( sqrt [3] {p} )
  3. ( sqrt [4] {p} ).
Atbilde
  1. (v ^ { frac {1} {2}} )
  2. (p ^ { frac {1} {3}} )
  3. (p ^ { frac {1} {4}} )

Piemērs ( PageIndex {7} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {5y} )
  2. ( sqrt [3] {4x} )
  3. (3 sqrt [4] {5z} ).
Atbilde
1. ( sqrt {5y} )
Indekss netiek parādīts, tāpēc tas ir 2. Eksponenta saucējs būs 2. ((5g) ^ { frac {1} {2}} )
2. ( sqrt [3] {4x} )
Indekss ir 3, tātad eksponenta saucējs ir 3. ((4x) ^ { frac {1} {3}} )
3. (3 sqrt [4] {5z} )
Indekss ir 4, tātad eksponenta saucējs ir 4. (3 (5z) ^ { frac {1} {4}} )

Piemērs ( PageIndex {8} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {10m} )
  2. ( sqrt [5] {3n} )
  3. (3 sqrt [4] {6y} ).
Atbilde
  1. ((10 ^ m) ^ { frac {1} {2}} )
  2. ((3n) ^ { frac {1} {5}} )
  3. ((486g) ^ { frac {1} {4}} )

Piemērs ( PageIndex {9} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt [7] {3k} )
  2. ( sqrt [4] {5j} )
  3. ( sqrt [3] {82a} ).
Atbilde
  1. ((3k) ^ { frac {1} {7}} )
  2. ((5j) ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((1024a) ^ { frac {1} {3}} )

Nākamajā piemērā, iespējams, jums būs vieglāk vienkāršot izteicienus, ja vispirms tos pārrakstīsit kā radikāļus.

Piemērs ( PageIndex {10} )

Vienkāršojiet:

  1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (256 ^ { frac {1} {4}} ).
Atbilde
1. (25 ^ { frac {1} {2}} )
Pārrakstiet kā kvadrātsakni. ( sqrt {25} )
Vienkāršojiet.5
2. (64 ^ { frac {1} {3}} )
Pārrakstiet kā kuba sakni. ( sqrt [3] {64} )
Atzīt 64 ir ideāls kubs. ( sqrt [3] {4 ^ 3} )
Vienkāršojiet.4
3. (256 ^ { frac {1} {4}} )
Pārrakstiet kā ceturto sakni. ( sqrt [4] {256} )
Atzīt 256 ir ideāls ceturtais spēks. ( sqrt [4] {4 ^ 4} )
Vienkāršojiet.4

Piemērs ( PageIndex {11} )

Vienkāršojiet:

  1. (36 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (8 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (16 ^ { frac {1} {4}} ).
Atbilde
  1. 6
  2. 2
  3. 2

Piemērs ( PageIndex {12} )

Vienkāršojiet:

  1. (100 ^ { frac {1} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {1} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {1} {4}} ).
Atbilde
  1. 10
  2. 3
  3. 3

Uzmanieties no negatīvo zīmju izvietojuma nākamajā piemērā. Mums vienā gadījumā būs jāizmanto rekvizīts (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

Piemērs ( PageIndex {13} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- 64) ^ { frac {1} {3}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {3}} ).
Atbilde
1. ((- 64) ^ { frac {1} {3}} )
Pārrakstiet kā kuba sakni. ( sqrt [3] {- 64} )
Pārrakstiet − 64 kā perfektu kubu. ( sqrt [3] {(- 4) ^ 3} )
Vienkāršojiet.−4
2. (- 64 ^ { frac {1} {3}} )
Eksponents attiecas tikai uz 64. (- (64 ^ { frac {1} {3}}) )
Pārrakstiet kā kuba sakni. (- sqrt [3] {64} )
Pārrakstiet 64 kā (4 ^ 3 ). (- sqrt [3] {4 ^ 3} )
Vienkāršojiet.−4
3. ((64) ^ {- frac {1} {3}} )

Pārrakstiet kā daļu ar pozitīvu eksponentu, izmantojot rekvizītu (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

Rakstiet kā kuba sakni.

( frac {1} { sqrt [3] {64}} )
Pārrakstiet 64 kā (4 ^ 3 ). ( frac {1} { sqrt [3] {4 ^ 3}} )
Vienkāršojiet. ( frac {1} {4} )

Piemērs ( PageIndex {14} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- - 125) ^ { frac {1} {3}} )
  2. (- 125 ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((125) ^ {- frac {1} {3}} ).
Atbilde
  1. −5
  2. −5
  3. ( frac {1} {5} )

Piemērs ( PageIndex {15} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- 32) ^ { frac {1} {5}} )
  2. (- 32 ^ { frac {1} {5}} )
  3. ((32) ^ {- frac {1} {5}} ).
Atbilde
  1. −2
  2. −2
  3. ( frac {1} {2} )

Piemērs ( PageIndex {16} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} ).
Atbilde
1. ((- 16) ^ { frac {1} {4}} )
Pārrakstiet kā ceturto sakni. ( sqrt [4] {- 16} )
Nav reāla skaitļa, kura ceturtā jauda būtu −16.
2. (- 16 ^ { frac {1} {4}} )
Eksponents attiecas tikai uz 16. (- (16 ^ { frac {1} {4}}) )
Pārrakstiet kā ceturto sakni. (- sqrt [4] {16} )
Pārrakstīt 16 kā (2 ^ 4 ) (- sqrt [4] {2 ^ 4} )
Vienkāršojiet.−2
3. ((16) ^ {- frac {1} {4}} )

Pārrakstiet kā daļu ar pozitīvu eksponentu, izmantojot rekvizītu (a ^ {- n} = frac {1} {a ^ n} ).

( frac {1} {(16) ^ { frac {1} {4}}} )
Pārrakstiet kā ceturto sakni. ( frac {1} { sqrt [4] {16}} )
Pārrakstiet 16 kā (2 ^ 4 ). ( frac {1} { sqrt [4] {2 ^ 4}} )
Vienkāršojiet. ( frac {1} {2} )

Piemērs ( PageIndex {17} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- 64) ^ { frac {1} {2}} )
  2. (- 64 ^ { frac {1} {2}} )
  3. ((64) ^ {- frac {1} {2}} ).
Atbilde
  1. −8
  2. −8
  3. ( frac {1} {8} )

Piemērs ( PageIndex {18} )

Vienkāršojiet:

  1. ((- - 256) ^ { frac {1} {4}} )
  2. (- 256 ^ { frac {1} {4}} )
  3. ((256) ^ {- frac {1} {4}} ).
Atbilde
  1. −4
  2. −4
  3. ( frac {1} {4} )

Vienkāršojiet izteiksmes, izmantojot (a ^ { frac {m} {n}} )

Strādāsim vēl ar Power Property for Exponents.

Pieņemsim, ka mēs paaugstinām (a ^ { frac {1} {n}} ) līdz spēkam m.

[ begin {masīvs} {ll} {} un {(a ^ { frac {1} {n}}) ^ m} { text {Reiziniet eksponentus.}} un {a ^ { frac {1} {n} · m}} { text {Vienkāršot.}} Un {a ^ { frac {m} {n}}} { text {So} a ^ { frac {m } {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m text {arī.}} un {} nonumber end {array} ]

Tagad pieņemsim, ka mēs (a ^ m ) izmantosim ( frac {1} {n} ).

[ begin {masīvs} {ll} {} un {(a ^ m) ^ { frac {1} {n}}} { text {Reiziniet eksponentus.}} un {a ^ {m · frac {1} {n}}} { text {Vienkāršot.}} un {a ^ { frac {m} {n}}} { text {So} a ^ { frac {m } {n}} = sqrt [n] {a ^ m} text {arī.}} un {} nonumber end {array} ]

Kuru formu mēs izmantojam, lai vienkāršotu izteicienu? Parasti mēs vispirms iesakņojamies - tādā veidā skaitļi radikālajā zonā tiek turēti mazāki.

Definīcija: Racionālais eksperts (a ^ { frac {m} {n}} )

Jebkuriem pozitīviem skaitļiem m un n,

(a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m )

(a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} )

Piemērs ( PageIndex {19} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {y ^ 3} )
  2. ( sqrt [3] {x ^ 2} )
  3. ( sqrt [4] {z ^ 3} )
Atbilde

Mēs vēlamies izmantot (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n] {a ^ m} ), lai ierakstītu katru radikālu formā (a ^ { frac {m} {n }} ).

Piemērs ( PageIndex {20} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt {x ^ 5} )
  2. ( sqrt [4] {z ^ 3} )
  3. ( sqrt [5] {y ^ 2} ).
Atbilde
  1. (x ^ { frac {5} {2}} )
  2. (z ^ { frac {3} {4}} )
  3. (y ^ { frac {2} {5}} )

Piemērs ( PageIndex {21} )

Rakstiet ar racionālu eksponentu:

  1. ( sqrt [5] {a ^ 2} )
  2. ( sqrt [3] {b ^ 7} )
  3. ( sqrt [4] {m ^ 5} ).
Atbilde
  1. (a ^ { frac {2} {5}} )
  2. (b ^ { frac {7} {3}} )
  3. (m ^ { frac {5} {4}} )

Piemērs ( PageIndex {22} )

Vienkāršojiet:

  1. (9 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (125 ^ { frac {2} {3}} )
  3. (81 ^ { frac {3} {4}} ).
Atbilde

Katru izteicienu vispirms pārrakstīsim kā radikālu, izmantojot rekvizītu (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m ). Šī forma ļauj mums vispirms iesakņoties saknei, un tāpēc skaitļi radikālā zonā tiek saglabāti mazāki nekā tad, ja mēs izmantotu otru formu.

1. (9 ^ { frac {3} {2}} )
Radikāla spēks ir eksponenta skaitītājs, 3. Tā kā eksponenta saucējs ir 2, tā ir kvadrātsakne. (( sqrt {9}) ^ 3 )
Vienkāršojiet.(3^3)
27
2. (125 ^ { frac {2} {3}} )
Radikāla spēks ir eksponenta skaitītājs 2. Tā kā eksponenta saucējs ir 3, tā ir kvadrātsakne. (( sqrt [3] {125}) ^ 2 )
Vienkāršojiet.(5^2)
25
3. (81 ^ { frac {3} {4}} )
Radikāla spēks ir eksponenta skaitītājs 2. Tā kā eksponenta saucējs ir 3, tā ir kvadrātsakne. (( sqrt [4] {81}) ^ 3 )
Vienkāršojiet.(3^3)
27

Piemērs ( PageIndex {23} )

Vienkāršojiet:

  1. (4 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ { frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ { frac {3} {4}} ).
Atbilde
  1. 8
  2. 9
  3. 125

Piemērs ( PageIndex {24} )

Vienkāršojiet:

  1. (8 ^ { frac {5} {3}} )
  2. (81 ^ { frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ { frac {3} {4}} ).
Atbilde
  1. 32
  2. 729
  3. 8

Atcerieties, ka (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). Negatīvā zīme eksponentā nemaina izteiksmes zīmi.

Piemērs ( PageIndex {25} )

Vienkāršojiet:

  1. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
  2. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
  3. (4 ^ {- frac {5} {2}} )
Atbilde

Katru izteicienu mēs vispirms pārrakstīsim, izmantojot (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ) un pēc tam mainīsimies uz radikālu formu.

1. (16 ^ {- frac {3} {2}} )
Pārrakstiet, izmantojot (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {16 ^ { frac {3} {2}}} )
Pāreja uz radikālu formu. Radikāla spēks ir eksponenta skaitītājs, 3. Indekss ir eksponenta 2 saucējs. ( frac {1} {( sqrt {16}) ^ 3} )
Vienkāršojiet. ( frac {1} {4 ^ 3} )
( frac {1} {64} )
2. (32 ^ {- frac {2} {5}} )
Pārrakstiet, izmantojot (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {32 ^ { frac {2} {5}}} )
Pāreja uz radikālu formu. ( frac {1} {( sqrt [5] {32}) ^ 2} )
Pārrakstiet radicand kā spēku. ( frac {1} {( sqrt [5] {2 ^ 5}) ^ 2} )
Vienkāršojiet. ( frac {1} {2 ^ 2} )
( frac {1} {4} )
3. (4 ^ {- frac {5} {2}} )
Pārrakstiet, izmantojot (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). ( frac {1} {4 ^ { frac {5} {2}}} )
Pāreja uz radikālu formu. ( frac {1} {( sqrt {4}) ^ 5} )
Vienkāršojiet. ( frac {1} {2 ^ 5} )
( frac {1} {32} )

Piemērs ( PageIndex {26} )

Vienkāršojiet:

  1. (8 ^ {- frac {5} {3}} ) 8
  2. (81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. (16 ^ {- frac {3} {4}} ).
Atbilde
  1. ( frac {1} {32} )
  2. ( frac {1} {729} )
  3. ( frac {1} {8} )

Piemērs ( PageIndex {27} )

Vienkāršojiet:

  1. (4 ^ {- frac {3} {2}} )
  2. (27 ^ {- frac {2} {3}} )
  3. (625 ^ {- frac {3} {4}} ).
Atbilde
  1. ( frac {1} {8} )
  2. ( frac {1} {9} )
  3. ( frac {1} {125} )

Piemērs ( PageIndex {28} )

Vienkāršojiet:

  1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} ).
Atbilde
1. (- 25 ^ { frac {3} {2}} )
Pārrakstiet radikālā formā. (- ( sqrt {25}) ^ 3 )
Vienkāršojiet radikālo(−5^3)
Vienkāršojiet.−125
2. (- 25 ^ {- frac {3} {2}} )
Pārrakstiet, izmantojot (b ^ {- p} = frac {1} {b ^ p} ). (- ( frac {1} {25 ^ { frac {3} {2}}}))
Pārrakstiet radikālā formā. (- ( frac {1} {( sqrt {25}) ^ 3}) )
Vienkāršojiet radikālo. (- ( frac {1} {5 ^ 3}) )
Vienkāršojiet. (- frac {1} {125} )
3. ((- 25) ^ { frac {3} {2}} ).
Pārrakstiet radikālā formā. (( sqrt {−25}) ^ 3 )
Nav reāla skaitļa, kura kvadrātsakne ir − 25.Nav reāls skaitlis.

Piemērs ( PageIndex {29} )

Vienkāršojiet:

  1. (- 16 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 16 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 16) ^ {- frac {3} {2}} ).
Atbilde
  1. −64
  2. (- frac {1} {64} )
  3. nav reāls skaitlis

Piemērs ( PageIndex {30} )

Vienkāršojiet:

  1. (- 81 ^ { frac {3} {2}} )
  2. (- 81 ^ {- frac {3} {2}} )
  3. ((- 81) ^ {- frac {3} {2}} ).
Atbilde
  1. −729
  2. (- frac {1} {729} )
  3. nav reāls skaitlis

Izmantojiet eksponentu likumus, lai vienkāršotu izteiksmes ar racionāliem eksponentiem

Tie paši eksponentu likumi, kurus mēs jau izmantojām, attiecas arī uz racionālajiem eksponentiem. Šeit mēs uzskaitīsim eksponenta rekvizītus, lai tos vienkāršotu, vienkāršojot izteiksmes.

EKSPONENTU ĪPAŠĪBU KOPSAVILKUMS

Ja a, b ir reāli skaitļi un m, n ir racionāli skaitļi, tad

[ begin {masīvs} {ll} { textbf {Product Property}} un {a ^ m · a ^ n = a ^ {m + n}} { textbf {Power Property}} & {(a ^ m) ^ n = a ^ {m · n}} { textbf {Produkts spēkam}} un {(ab) ^ m = a ^ {m} b ^ {m}} { textbf {Quotient Property}} un { frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n}, a ne 0, m> n} {} un { frac {a ^ m} {a ^ n} = frac {1} {a ^ {n − m}}, a ne 0, n> m} { textbf {Zero Exponent Definition}} un {a ^ 0 = 1, a ne 0} { textbf {Quotient to a Power Property}} & {( frac {a} {b}) ^ m = frac {a ^ m} {b ^ m}, b ne 0} nonumber end {masīvs} ]

Reizinot to pašu bāzi, mēs pievienojam eksponentus.

Piemērs ( PageIndex {31} )

Vienkāršojiet:

  1. (2 ^ { frac {1} {2}} · 2 ^ { frac {5} {2}} )
  2. (x ^ { frac {2} {3}} · x ^ { frac {4} {3}} )
  3. (z ^ { frac {3} {4}} · z ^ { frac {5} {4}} ).
Atbilde
1. (2 ^ { frac {1} {2}} · 2 ^ { frac {5} {2}} )
Bāzes ir vienādas, tāpēc mēs pievienojam eksponentus. (2 ^ { frac {1} {2} + frac {5} {2}} )
Pievienojiet frakcijas. (2 ^ { frac {6} {2}} )
Vienkāršojiet eksponentu.(2^3)
Vienkāršojiet.8
2. (x ^ { frac {2} {3}} · x ^ { frac {4} {3}} )
Bāzes ir vienādas, tāpēc mēs pievienojam eksponentus. (x ^ { frac {2} {3} + frac {4} {3}} )
Pievienojiet frakcijas. (x ^ { frac {6} {3}} )
Vienkāršojiet. (x ^ 2 )
3. (z ^ { frac {3} {4}} · z ^ { frac {5} {4}} )
Bāzes ir vienādas, tāpēc mēs pievienojam eksponentus. (z ^ { frac {3} {4} + frac {5} {4}} )
Pievienojiet frakcijas. (z ^ { frac {8} {4}} )
Vienkāršojiet. (z ^ 2 )

Piemērs ( PageIndex {32} )

Vienkāršojiet:

  1. (3 ^ { frac {2} {3}} · 3 ^ { frac {4} {3}} )
  2. (y ^ { frac {1} {3}} · y ^ { frac {8} {3}} )
  3. (m ^ { frac {1} {4}} · m ^ { frac {3} {4}} ).
Atbilde
  1. 9
  2. (y ^ 3 )
  3. m

Piemērs ( PageIndex {33} )

Vienkāršojiet:

  1. (5 ^ { frac {3} {5}} · 5 ^ { frac {7} {5}} )
  2. (z ^ { frac {1} {8}} · z ^ { frac {7} {8}} )
  3. (n ^ { frac {2} {7}} · n ^ { frac {5} {7}} ).
Atbilde
  1. 25
  2. z
  3. n

Mēs izmantosim Power Property nākamajā piemērā.

Piemērs ( PageIndex {34} )

Vienkāršojiet:

  1. ((x ^ 4) ^ { frac {1} {2}} )
  2. ((y ^ 6) ^ { frac {1} {3}} )
  3. ((z ^ 9) ^ { frac {2} {3}} ).
Atbilde
1. ((x ^ 4) ^ { frac {1} {2}} )
Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus. (x ^ {4 · frac {1} {2}} )
Vienkāršojiet. (x ^ 2 )
2. ((y ^ 6) ^ { frac {1} {3}} )
Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus. (y ^ {6 · frac {1} {3}} )
Vienkāršojiet. (y ^ 2 )
3. ((z ^ 9) ^ { frac {2} {3}} )
Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus. (z ^ {9 · frac {2} {3}} )
Vienkāršojiet. (z ^ 6 )

Piemērs ( PageIndex {35} )

Vienkāršojiet:

  1. ((p ^ {10}) ^ { frac {1} {5}} )
  2. ((q ^ 8) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ((x ^ 6) ^ { frac {4} {3}} )
Atbilde
  1. (p ^ )
  2. (q ^ 6 )
  3. (x ^ 8 )

Piemērs ( PageIndex {36} )

Vienkāršojiet:

  1. ((r ^ 6) ^ { frac {5} {3}} )
  2. ((s ^ {12}) ^ { frac {3} {4}} )
  3. ((m ^ 9) ^ { frac {2} {9}} )
Atbilde
  1. (r ^ {10} )
  2. (s ^ 9 )
  3. (m ^ 2 )

Quotient Property stāsta, ka, dalot ar vienu un to pašu bāzi, mēs atņemam eksponentus.

Piemērs ( PageIndex {37} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {x ^ { frac {4} {3}}} {x ^ { frac {1} {3}}} )
  2. ( frac {y ^ { frac {3} {4}}} {y ^ { frac {1} {4}}} )
  3. ( frac {z ^ { frac {2} {3}}} {z ^ { frac {5} {3}}} ).
Atbilde
1. ( frac {x ^ { frac {4} {3}}} {x ^ { frac {1} {3}}} )
Lai dalītu ar to pašu bāzi, mēs atņemam eksponentus. (x ^ { frac {4} {3} - frac {1} {3}} )
Vienkāršojiet.x
2. ( frac {y ^ { frac {3} {4}}} {y ^ { frac {1} {4}}} )
Lai dalītu ar to pašu bāzi, mēs atņemam eksponentus. (y ^ { frac {3} {4} - frac {1} {4}} )
Vienkāršojiet. (y ^ { frac {1} {2}} )
3. ( frac {z ^ { frac {2} {3}}} {z ^ { frac {5} {3}}} )
Lai sadalītu ar to pašu bāzi, mēs atņemam eksponentus. (z ^ { frac {2} {3} - frac {5} {3}} )
Pārrakstiet bez negatīva eksponenta. ( frac {1} {z} )

Piemērs ( PageIndex {38} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {u ^ { frac {5} {4}}} {u ^ { frac {1} {4}}} )
  2. ( frac {v ^ { frac {3} {5}}} {v ^ { frac {2} {5}}} )
  3. ( frac {x ^ { frac {2} {3}}} {x ^ { frac {5} {3}}} ).
Atbilde
  1. u
  2. (v ^ { frac {1} {5}} )
  3. ( frac {1} {x} )

Piemērs ( PageIndex {39} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {c ^ { frac {12} {5}}} {c ^ { frac {2} {5}}} )
  2. ( frac {m ^ { frac {5} {4}}} {m ^ { frac {9} {4}}} )
  3. ( frac {d ^ { frac {1} {5}}} {d ^ { frac {6} {5}}} ).
Atbilde
  1. (c ^ 2 )
  2. ( frac {1} {m} )
  3. ( frac {1} {d} )

Dažreiz mums ir jāizmanto vairāk nekā viens īpašums. Nākamajos divos piemēros mēs izmantosim gan produktu enerģijas īpašumam, gan pēc tam enerģijas īpašumu.

Piemērs ( PageIndex {40} )

Vienkāršojiet:

  1. ((27u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
  2. ((8v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ).
Atbilde
1. ((27u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
Vispirms mēs izmantojam produktu enerģijas īpašumam. ((27) ^ { frac {2} {3}} (u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
Pārrakstiet 27 kā vērtību 3. ((3 ^ 3) ^ { frac {2} {3}} (u ^ { frac {1} {2}}) ^ { frac {2} {3}} )
Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus. ((3 ^ 2) (u ^ { frac {1} {3}}) )
Vienkāršojiet. (9u ^ { frac {1} {3}} )
2. ((8v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} ).
Vispirms mēs izmantojam produktu enerģijas īpašumam. ((8) ^ { frac {2} {3}} (v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} )
Pārrakstiet 8. punktu kā 2. ((2 ^ 3) ^ { frac {2} {3}} (v ^ { frac {1} {4}}) ^ { frac {2} {3}} )
Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus. ((2 ^ 2) (v ^ { frac {1} {6}}) )
Vienkāršojiet. (4v ^ { frac {1} {6}} )

Piemērs ( PageIndex {41} )

Vienkāršojiet:

  1. (32x ^ { frac {1} {3}}) ^ { frac {3} {5}} )
  2. ((64g ^ { frac {2} {3}}) ^ { frac {1} {3}} ).
Atbilde
  1. (8x ^ { frac {1} {5}} )
  2. (4g ^ { frac {2} {9}} )

Piemērs ( PageIndex {42} )

Vienkāršojiet:

  1. ((16m ^ { frac {1} {3}}) ^ { frac {3} {2}} )
  2. ((81n ^ { frac {2} {5}}) ^ { frac {3} {2}} ).
Atbilde
  1. (64m ^ { frac {1} {2}} )
  2. (729n ^ { frac {3} {5}} )

Piemērs ( PageIndex {43} )

Vienkāršojiet:

  1. ((m ^ {3} n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
  2. ((p ^ {4} q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} ).
Atbilde
1. ((m ^ {3} n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
Vispirms mēs izmantojam produktu enerģijas īpašumam. ((m ^ {3}) ^ { frac {1} {3}} (n ^ {9}) ^ { frac {1} {3}} )
Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus. (mn ^ 3 )
2. ((p ^ {4} q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} )
Vispirms mēs izmantojam produktu enerģijas īpašumam. ((p ^ {4}) ^ { frac {1} {4}} (q ^ {8}) ^ { frac {1} {4}} )
Lai palielinātu spēku spēkam, mēs reizinām eksponentus. (pq ^ 2 )

Nākamajā piemērā mēs izmantosim gan produkta, gan kvantitatīvās īpašības.

Vingrinājums ( PageIndex {44} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} · x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
  2. ( frac {y ^ { frac {4} {3}} · y} {y ^ {- frac {2} {3}}} ).
Atbilde
1. ( frac {x ^ { frac {3} {4}} · x ^ {- frac {1} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
Izmantojiet produkta rekvizītu skaitītājā, pievienojiet eksponentus. ( frac {x ^ { frac {2} {4}}} {x ^ {- frac {6} {4}}} )
Izmantojiet rekvizītu Quotient, atņemiet eksponentus. (x ^ { frac {8} {4}} )
Vienkāršojiet. (x ^ 2 )
2. ( frac {y ^ { frac {4} {3}} · y} {y ^ {- frac {2} {3}}} )
Izmantojiet produkta rekvizītu skaitītājā, pievienojiet eksponentus. ( frac {y ^ { frac {7} {3}}} {y ^ {- frac {2} {3}}} )
Izmantojiet rekvizītu Quotient, atņemiet eksponentus. (y ^ { frac {9} {3}} )
Vienkāršojiet. (y ^ 3 )

Piemērs ( PageIndex {45} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {m ^ { frac {2} {3}} · m ^ {- frac {1} {3}}} {m ^ {- frac {5} {3}}} )
  2. ( frac {n ^ { frac {1} {6}} · n} {n ^ {- frac {11} {6}}} ).
Atbilde
  1. (m ^ 2 )
  2. (n ^ 3 )

Piemērs ( PageIndex {46} )

Vienkāršojiet:

  1. ( frac {u ^ { frac {4} {5}} · u ^ {- frac {2} {5}}} {u ^ {- frac {13} {5}}} )
  2. ( frac {v ^ { frac {1} {2}} · v} {v ^ {- frac {7} {2}}} ).
Atbilde
  1. (u ^ 3 )
  2. (v ^ 5 )

Galvenie jēdzieni

  • Eksponentu īpašību kopsavilkums
  • Ja a, b ir reāli skaitļi un m, n ir racionāli skaitļi, tad
    • Produkta īpašums (a ^ m · a ^ n = a ^ {m + n} )
    • Jaudas īpašums ((a ^ m) ^ n = a ^ {m · n} )
    • Produkts spēkam ((ab) ^ m = a ^ {m} b ^ {m} )
    • Quotient Property:

      ( frac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n}, a ne 0, m> n )

      ( frac {a ^ m} {a ^ n} = frac {1} {a ^ {n − m}}, a ne 0, n> m )

    • Nulles eksponenta definīcija (a ^ 0 = 1, a ne 0 )
    • Pāreja uz enerģijas īpašumu (( frac {a} {b}) ^ m = frac {a ^ m} {b ^ m}, b ne 0 )

Vārdnīca

racionāli eksponenti
  • Ja ( sqrt [n] {a} ) ir reāls skaitlis un (n ge 2 ), (a ^ { frac {1} {n}} = sqrt [n] {a} )
  • Jebkuriem pozitīviem skaitļiem m un n, (a ^ { frac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m ) un (a ^ { frac {m} {n}} = sqrt [n ] {a ^ m} )

13.8.8: Racionālie eksponenti

Zemāk ir saraksts ar laukumiem 19-edo versijā ar burtu nomināliem, kā atsauci izmantojot “C” (kā iepriekš aprakstītajā mūzikas pierakstā), parādot 19-edo ekvivalences ekvivalences:

Agrs un ļoti vienkāršs priekšlikums par vidusmēra skaņošanu bija 1/3 komats meanone un tā tuvais radinieks 19 edo. Agrākā atsauce uz noregulējumu, kas var būt 19 edo, ir Berkeley manuskripta 5. traktātā - lai arī nav precīzi zināms, kā šeit aprakstītā skaņošana darbojās, tomēr tiek norādīts, ka tonis ir sadalīts 3 daļās, kuras ir acīmredzot vienāds. Agrākais iespējamais šīs skaņošanas izmantojums ir Gilljē Kostelijs 1558. gadā ar savu šanonu Seigneur Dieu ta piti & eacute. Vispazīstamākā agrīnā atsauce uz abiem skaņojumiem bija Salinasa 1577. gadā.

1/4-komats meanone ir vienīgais nozīmētā saimes skaņojums, kas nodrošina "signālu", kas ir precīzs vidējais rādītājs starp diviem 5-ierobežojošo taisnās intonācijas "toņu" izmēriem - 1 / 3- "tonis" Tāpēc komats meanone un 19-edo ir mazāks par patieso meanone un pēc izmēra ir tuvāks 10: 9, mazākais no abiem tieši intonācijas toņiem.

Vēsturiski nozīmīgi ģimenes skaņojumi vēsturiski ir ļoti svarīgi rietumu mūzikas attīstībai, jo paradigmas, ko "vispārpieņemtās prakses" mūzikas teorija postulē, lielā mērā ir atkarīgas no sintoniskā komata izslēgšanas vai atlaidināšanas, kas, iespējams, ir visvairāk visu vidusceļu ievērojama iezīme.

Ievērojiet, ka, lai gan pazīstamajā 12 edo skaņojumā (kas arī ir domātās saimes dalībnieks) ir pilns enharmonisko ekvivalentu komplekts, tā ka visas 7 piezīmes, kurām ir "dzīvokļi", var arī "uzrakstīt" kā 7 dažādas piezīmes kuriem ir "asumi" kopā ar nominālo vienu soli zemāk, visos pārējos vidējos toņos "plakanie" ir augstāki nekā it kā enharmoniski ekvivalenti "asumi". Tas ir pretējs gadījumam daudz vecākajā pitagora skaņojumā, kā arī pretstatā gadījumam "izteiksmīgajā intonācijā", kas kopš Bēthovena laikiem (ap 1800. gadu) ir plaši mācīta eirocentriskajās spēles skolās.

Nozīmīgās ģimenes skaņdarbi bija vistuvāk "standarta" skaņojumam lielākajā daļā Eiropas no aptuveni 1500 līdz 1700, un līdz aptuveni 1850. gadam tie joprojām bija sastopami uz tastatūrām (īpaši ērģelēm). Būtu godīgi teikt, ka lielākā daļa instrumentālās mūzikas no renesanses un baroka perioda bija paredzēts spēlēt kaut kādā nozīmē un pat pēc tam, kad pēc 1700. gada klaviatūrām bija raksturīga laba temperamenta popularitāte, kāda veida viduslaiku forma (parasti vairāk kā 1/6 komats vai 55 edo) ) parasti joprojām bija paredzēta orķestra mūzikai.

Mocarta dzīves laikā (1700. gadu beigās) orķestra spēlētāji sāka izmantot "izteiksmīgu intonāciju", kas atgriezās Pythagorean virzienā, un Bēthovena muzikālā valoda noteikti veicināja 12-edo izplatību, taču zināmā mērā meanone orķestra spēlē pastāvēja aptuveni līdz apmēram Vāgners (1800. gadu vidus un beigas). Pēc gandrīz universāla 12-edo pieņemšanas Mahlers 1900. gadu sākumā žēloja par Meanone zaudēšanu. (skat. Monzo, Jaunas mūzikas gadsimts Vīnē.)

1/3 komats nozīmēja "5." - ģeneratoru - (3/2) / ((81/80) (1/3)). Izmantojot vektoru pievienošanu, tas ir: Tas samazina sintonisko komatu tā, lai tas pazustu, tādējādi padarot 4 "5." mīnus 2 "8ves" diezgan tuvu tikai "galvenajam 3.": Atšķirība starp tikai intonāciju 1/3 komats nozīmēja vienu "lielo-trešo": Šī summa ir tieši 1/3 no sintoniskā komata.

Pieņemot "oktāvu" ekvivalenci (ti, 2 eksponentiem nav nozīmes skalas uzbūvei, tāpēc šeit vektoram esmu pievienojis 2 -2, lai piezīmi ievietotu atsauces "oktāvā"), nākamā piezīme cikls aiz "5.", +2 ģeneratoru, ir "pilnais tonis" 2 (2/3) 3 - (2/3) 5 (2/3) =

189,5724753 centi. Ja mēs to salīdzinām ar diviem taisnās intonācijas "pilnajiem toņiem", no lielākā pitagora 9/8 atņemot nozīmēto un no nozīmētā atņemot mazāko 5 robežu 10/9, mēs atrodam, kur nozīmētais atrodas starp abiem -intonācija "pilno toņu":

Septiņu toņu diatoniskā skala 1/3 komatu nozīmē satur tikai divus “pakāpienu” izmērus:

189,5724753 centu iepriekš aprakstītais "pilnais tonis" starp C: D, D: E, F: G, G: A un A: B un

126,0688117 centu "diatoniskais pustoņi" starp E: F un B: C:

7 toņu 1/3 komats nozīmēja vienu diatonisko skalu

Ieviešot skalā “Bb”, parādās jauns starpgrādu intervāls:

63,50366367-centu "hromatiskais pustoņi" starp Bb: B:

1/3 komats nozīmēja vienu diatonisko skalu ar Bb

Turpinot pievienot piķi abos ķēdes galos, mēs galu galā nonākam pie "tipiskās" 12 toņu hromatiskās skalas, kas Eiropā tika izmantota viduslaiku laikmetā, sākot no Eb līdz G #. Šajā skalā starp grādu intervāliem ir tikai divi pustoņu izmēri, hromatiskie un diatoniskie:

Pievienojot vēl vienu piezīmi abiem galiem, tiek iegūts jauns jauns starpgrādu intervāls

62,565148 centi, kā starp G #: Ab manā piemērā šeit:

Gan no skaitļiem, gan no diagrammas var redzēt, ka šis intervāls ir gandrīz tāds pats kā pēdējais atvasinātais, tādējādi 1/3 komatā nav nozīmes atšķirības starp hromatisko semitonu un enharmonisko dīzu - un 19-edo tie faktiski ir tieši tāda paša izmēra:

Šādā veidā var turpināt pievienot vēl 6 piezīmes, nesaskaroties ar pakāpienu lielumu, kas ir kardināli atšķirīgs, tāpēc 1/3 komata nozīmētā hromatiskā pustoņa un enharmoniskās dīzeļa līdzības dēļ "8ve" dalījums mēdz būt kļūt izlīdzinātam:

19 toņu 1/3 komats nozīmēja vienu hromatisko skalu

No tieši augšējā grafika redzams, ka tas sadala "8ve" 19 gandrīz identiskos soļos, un tāpēc var viegli secināt, ka citas jaunās piezīmes būs diezgan līdzīgas jau ražotajām piezīmēm un ka tādējādi sistēma atrodas efekts slēgts pie 19 piezīmēm.

Ja tiek pievienota 20. piezīme, piemēram, -7 (Cb), rodas jauns, mazs starpgrādu intervāls, kas faktiski ir tas pats iepriekš aprēķinātais "mazais dīze":

15 /16) centu, kas notiek starp Cb un B #:

Visiem nolūkiem šo atšķirību var neņemt vērā, tāpēc 19 edo var uzskatīt par identisku 19 toņu ķēdei 1/3 komatu.

0,049395561 cents: šī nelielā summa ir starpība starp 1/3 komatu, kas nozīmē “5”, un 19 edo “5”.

20 toņu 1/3 komats nozīmēja vienu skalu

Zemāk ir grafiks, kas parāda šīs 20 toņu ķēdes piķa augstumu ar 1/3 komatu. Sarkanā līnija savieno abus blakus esošos laukumus.

20 toņu 1/3 komats nozīmēja vienu ķēdi

19-edo ir dzirdami neatšķirams no 1/3 domātā komata. 2 (11/19) = 696,7741935 centi. Vēlreiz izmantojot vektoru pievienošanu, lai salīdzinātu 1/3 komatu, kas nozīmē “5.”, ar 19. edo “5.”, mēs iegūstam atšķirību starp abiem:

Tādējādi 2 (19/3) * 3 - (19/3) * 5 (19/3) darbojas kā vienotais vektors, kas ir rūdīts ar 1/3 komatu meanone, un tas darbojas kā vienotais vektors, kas ir rūdīts 19-edo. Tā kā šis intervāls ir tik mazs, patiesībā nav nekādas atšķirības, vai tas ir "oficiāli" norūdīts vai nē: tas abos gadījumos izklausīsies kā vienots.

Salinaks 1577. gadā (De Musica, 3. grāmatas 16. nodaļa) pirmo reizi aprakstīja 1/3 komatu ar matemātisko precizitāti. Vispirms viņš uzbūvēja 24 toņu taisnās intonācijas sistēmu, kurā dažu piķu pāri dublikāti bija viens no otra ar sintētisko komatu, no kuriem augstākais tika apzīmēts kā “superius” un zemākais “inferius”. Tad viņš paskaidroja atlaidināšanas apjomu katram nozīmētajam laukumam. Atvieglojot pilnu komatu, kas pastāv starp 5 "superius / inferius" laukumu pāriem, viņš samazināja piķu skaitu no 24 līdz 19.

Zemāk ir režģis, kas Salinas 1/3 komatu ievieto galvenajā telpā un parāda tā saistību ar viņa taisnās intonācijas sistēmu, kā viņš to apraksta, slīpās bultiņas attēlo sintonisko komatu:

Var redzēt, ka visi nozīmētā laukuma augstumi ir vai nu tieši Salinas taisnās intonācijas sistēmas laukumi, vai arī ir 1/3, 2/3, vai arī pilns komats ir augstāks vai zemāks nekā viņa taisnās intonācijas sistēmā.

Viņš turpina paskaidrot, kā 24 piezīmju taisnās intonācijas sistēmu rūdīt 19 piezīmēs ar 2/7 komatu meanone un pēc tam arī 19 piezīmēs 1/4 komatu meanone, no kurām pēdējās viņš paziņo par labākais no trim temperamentiem.

Salinas savā 1/3 komata meanone nepārprotami nepieminēja 8ve dalījuma vienādu raksturu, taču viņš pats par to būtu zinājis, un to var secināt no viņa aprakstītajiem mērījumiem. 2/7 komata un 1/4 komata 19 toņu sistēmas ir mazāk vienādi izvietotas, drīzāk tuvāk attiecīgi 50 edo un 31 edo apakškopām.

Zemāk ir 5-robežu taisnstūrveida intonācijas attiecību trīsstūrveida režģa diagramma, parādot 19 toņu periodiskuma bloka piemēru, kuru definē un ierobežo 2 vienveidīgi vektori, sintoniskais komats un burvju komats, kas var veidot pamats, lai rūdītu 19-edo. Dati, kas norādīti par katru režģa punktu, ir piezīmes proporcijas attēlojums, 19 edo grāds un burtu nosaukums (ja nepieciešams, nejauši).

Faktiski šī struktūra lieliski raksturo Salinas taisnās intonācijas struktūru, kā aprakstīts iepriekš.

Zemāk ir divi apļveida diagrammas ar 19-edo tipiskajā nozīmes lietojumā (ņemiet vērā, ka 19-edo pieder arī citām temperamentu ģimenēm!). Viens grafiks sakārto laukumus skalārā secībā pēc 1/3 toņu skalas grādu ģeneratoriem ap apli, bet otrs sakārto laukumus diatonisko-5. Ģeneratoru secībā, un abi parāda 19-edo ekvivalences ekvivalences.

19 edo grādu aplis

19. edo 5. aprindu aplis


Prakses problēmas

Atrodiet tālāk norādītās piramīdas virsmas laukumu.

Piramīdas virsmas laukums ir

= & # xa0Visu 5 seju laukumu summa

Iepriekšminētajā piramīdā pamatne ir kvadrāts ar sānu garumu 5 cm un katra siena ir trīsstūris ar pamatu 5 cm un augstumu 8 cm.

Atradīsim katras sejas laukumu atsevišķi. & # Xa0

Pamatnes laukums & # xa0 = & # xa05 x 5 & # xa0 = & # xa025 kv.cm

Katras sānu sienas laukums & # xa0 = & # xa0 (1/2) x 5 x 8 & # xa0 = & # xa020 kv.cm & # xa0

Visu 4 sānu sienu laukums & # xa0 = & # xa04 x 20 & # xa0 = & # xa080 kv.cm & # xa0

Iepriekš minētās piramīdas virsmas laukums ir

Atrodiet tālāk norādītās piramīdas virsmas laukumu.

Piramīdas virsmas laukums ir

= & # xa0Visu 4 seju laukumu summa

Iepriekš minētajā piramīdā pamats ir vienādmalu trijstūris, kura sānu garums ir 4 cm, un katra siena ir trīsstūris ar pamatni 4 cm un augstumu 6 cm.

Atradīsim katras sejas laukumu atsevišķi. & # Xa0

Pamatnes laukums & # xa0 = & # xa0 (√3 / 4) x 4 2 & # xa0 = & # xa04 √3 kv.cm

Katras sānu sienas laukums & # xa0 = & # xa0 (1/2) x 4 x 6 & # xa0 = & # xa012 kv.cm & # xa0

Visu 3 sānu sienu laukums & # xa0 = & # xa03 x 12 & # xa0 = & # xa036 kv.cm & # xa0

Iepriekšminētās piramīdas virsmas laukums ir & # xa0

Papildus iepriekš sniegtajam materiālam, ja jums ir nepieciešami citi matemātikas materiāli, lūdzu, izmantojiet mūsu google pielāgoto meklēšanu šeit.

Ja jums ir atsauksmes par mūsu matemātikas saturu, lūdzu, nosūtiet mums mums pa e-pastu: & # xa0

Mēs vienmēr novērtējam jūsu atsauksmes. & # Xa0

Varat arī apmeklēt šādas tīmekļa lapas ar dažādiem matemātikas jautājumiem. & # Xa0


Skatīties video: Lineāra funkcija un tās īpašības (Oktobris 2021).