Raksti

9.6: Modelēšana ar trigonometriskiem vienādojumiem - matemātika


Pieņemsim, ka viena gada laikā mēs parādījām Ņujorkas vidējās dienas temperatūras. Mēs sagaidām, ka zemākā temperatūra būs janvārī un februārī, bet augstākā - jūlijā un augustā. Šis pazīstamais cikls atkārtojas gadu no gada, un, ja mēs paplašinātu diagrammu vairākos gados, tas atgādinātu periodisku funkciju.

Arī daudzas citas dabas parādības ir periodiskas. Tātad, kā mēs varam modelēt vienādojumu, lai atspoguļotu periodisku uzvedību? Pirmkārt, mums ir jāapkopo un jāreģistrē dati. Pēc tam mēs atrodam funkciju, kas atgādina novēroto modeli. Visbeidzot, mēs veicam nepieciešamās izmaiņas funkcijā, lai iegūtu drošu modeli. Šajā sadaļā mēs dziļāk aplūkosim noteiktus periodiskas uzvedības veidus un modeļu vienādojumus, lai tie atbilstu datiem.

Sinusoidālās funkcijas amplitūdas un perioda noteikšana

Tiek izskatīta jebkura kustība, kas atkārtojas noteiktā laika periodā periodiska kustība un to var modelēt a sinusoidālā funkcija. Sinusoidālās funkcijas amplitūda ir attālums no viduslīnijas līdz maksimālajai vērtībai vai no viduslīnijas līdz minimālajai vērtībai. Vidējā līnija ir vidējā vērtība. Sinusoidālās funkcijas svārstās virs un zem viduslīnijas, ir periodiskas un atkārto vērtības noteiktos ciklos. Atgādiniet no sinusa un kosinusa funkciju grafikiem, ka periodā sinusa funkcijas un kosinusa funkcijas vērtība ir (2π ). Citiem vārdiem sakot, jebkurai (x ) vērtībai

[ sin (x ± 2πk) = sin x ; teksts {un} ; cos (x ± 2πk) = cos x ]

kur (k ) ir vesels skaitlis.

SINUSOIDĀLO VIENĀDOJUMU STANDARTA FORMA

Sinusoidālā vienādojuma vispārīgās formas ir norādītas kā

[y = A sin (Bt-C) + D ]

vai

[y = A cos (Bt-C) + D ]

kur ( text {amplitude} = | A |, B ) ir saistīts ar periodu tā, ka ( text {period} = frac {2π} {B}, C ) ir fāzes nobīde, kas ( frac {C} {B} ) apzīmē horizontālo nobīdi, un (D ) apzīmē vertikālo nobīdi no diagrammas vecākā grafika.

Ņemiet vērā, ka modeļi dažreiz tiek rakstīti kā

[y = a sin (ω t ± C) + D ]

vai

[y = a cos (ω t ± C) + D, ]

ar punktu, kas norādīts kā ( frac {2π} {ω} ).

Atšķirība starp sinusa un kosinusa grafikiem ir tā, ka sinusa diagramma sākas ar vidējo funkcijas vērtību, un kosinusa diagramma sākas ar funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību.

Piemērs ( PageIndex {1} ): parādot, kā trigonometriskās funkcijas īpašības var pārveidot diagrammu

Parādiet (y = sin x ) grafika pārveidojumu (y = 2 sin (4x− frac {π} {2}) + 2 ) grafikā.

Risinājums

Apsveriet grafiku sēriju attēlā ( PageIndex {1} ) un veidu, kā katras izmaiņas vienādojumā maina attēlu.

  1. (Y = sin x ) pamata grafiks
  2. Mainot amplitūdu no 1 uz 2, tiek ģenerēts (y = 2 sin x ) grafiks.
  3. Sinusa funkcijas periods mainās ar (B, ) vērtību tā, ka ( text {period} = frac {2π} {B}. ) Šeit mums ir (B = 4, ), kas tulko kā periodu ( frac {π} {2} ). Grafiks pabeidz vienu pilnu ciklu ( frac {π} {2} ) vienībās.
  4. Diagrammā tiek parādīta horizontāla nobīde, kas vienāda ar ( frac {C} {B} ) vai ( frac { frac {π} {2}} {4} = frac {π} {8} ) .
  5. Visbeidzot, diagramma tiek pārvietota vertikāli par (D ) vērtību. Šajā gadījumā diagramma tiek pārvietota uz augšu par 2 vienībām.

Piemērs ( PageIndex {2} ): Funkcijas amplitūdas un perioda atrašana

Atrodiet šo funkciju amplitūdu un periodu un uzzīmējiet vienu ciklu.

  1. (y = 2 sin ( frac {1} {4} x) )
  2. (y = −3 sin (2x + frac {π} {2}) )
  3. (y = cos x + 3 )

Risinājums

Mēs atrisināsim šīs problēmas pēc modeļiem.

  1. (y = 2 sin ( frac {1} {4} x) ) ietver sinusu, tāpēc mēs izmantojam formu [y = A sin (Bt + C) + D nonumber ] Mēs zinām, ka (| A | ) ir amplitūda, tāpēc amplitūda ir 2. Periods ir ( frac {2π} {B} ), tātad periods ir [ begin {align *} dfrac {2π} {B} & = dfrac {2π} { frac {1} {4}} & = 8π end {align *} ] Skatiet diagrammu attēlā ( PageIndex {3} ).
  1. (y = −3 sin (2x + frac {π} {2}) ) ietver sinusu, tāpēc mēs izmantojam formu [y = A sin (Bt-C) + D nonumber ] Amplitude is (| A | ), tāpēc amplitūda ir (| −3 | = 3. ) Tā kā (A ) ir negatīva, grafiks tiek atspoguļots virs x- ass. Periods ir ( frac {2π} {B} ), tāpēc periods ir [ dfrac {2π} {B} = dfrac {2π} {2} = π nonumber ] Grafiks ir pārvietots uz atstāj ( frac {C} {B} = frac { frac {π} {2}} {2} = frac {π} {4} ) vienības. Skatīt attēlu ( PageIndex {4} ).
  1. (y = cos x + 3 ) ietver kosinusu, tāpēc mēs izmantojam formu
  2. [y = A cos (Bt ± C) + D nonumber ] Amplitūda ir (| A | ), tātad amplitūda ir 1 un periods ir (2π ) (Attēls ( PageIndex {5 } ). Šī ir kosinusa standarta funkcija, kas pārvietota uz augšu par trim vienībām.

Vingrinājums ( PageIndex {1} ):

Kāda ir funkcijas (y = 3 cos (3πx) ) amplitūda un periods?

Atbilde

Amplitūda ir (3, ) un periods ir ( frac {2} {3} ).

Vienādojumu atrašana un sinusoidālo funkciju grafika veidošana

Viena sinusoidālo funkciju diagrammas veidošanas metode ir piecu galveno punktu atrašana. Šie punkti atbilst vienāda garuma intervāliem, kas apzīmē perioda ( frac {1} {4} ). Galvenie punkti norāda maksimālo un minimālo vērtību atrašanās vietu. Ja nav vertikālas nobīdes, tie arī norādīs x-jēdzieni. Piemēram, pieņemsim, ka mēs vēlamies uzzīmēt funkciju (y = cos θ. ). Mēs zinām, ka periods ir (2π ), tāpēc intervālu starp galvenajiem punktiem atrodam šādi.

[ frac {2π} {4} = frac {π} {2} nonumber ]

Sākot ar (θ = 0, ), mēs aprēķinām pirmo y-vērtību, pievienojiet intervāla ( frac {π} {2} ) garumu (0 ) un aprēķiniet otro y-vērtība. Pēc tam mēs atkārtoti pievienojam ( frac {π} {2} ), līdz tiek noteikti pieci galvenie punkti. Pēdējai vērtībai jābūt vienādai ar pirmo vērtību, jo aprēķini attiecas uz vienu pilnu periodu. Izveidojot tabulu, kas ir līdzīga tabulai ( PageIndex {1} ), šos galvenos punktus skaidri redzam diagrammā, kas parādīta attēlā ( PageIndex {6} ).

Tabula ( PageIndex {1} )
(θ )(0) ( frac {π} {2} ) (π ) ( frac {3π} {2} ) (2π )
(y = cos θ )(1)(0)−1−1(0)(1)

Piemērs ( PageIndex {3} ): Sinusoidālu funkciju grafika, izmantojot galvenos punktus

Attēlojiet funkciju (y = −4 cos (πx) ), izmantojot amplitūdu, periodu un galvenos punktus.

Risinājums

Amplitūda ir (| −4 | = 4. ) Periods ir ( frac {2π} {ω} = frac {2π} {π} = 2. ) (Atgādinām, ka mēs dažreiz atsaucamies uz ( B ) kā (ω. )) Intervālā ([0,2] ) var uzzīmēt vienu grafika ciklu. Lai atrastu galvenos punktus, punktu dalām ar 4. Izveidojiet tabulu, kas līdzīga attēlam ( PageIndex {1} ) :, sākot ar (x = 0 ) un pēc tam pievienojot ( frac {1} { 2} ) pēc kārtas līdz (x ) un aprēķina (y. ) Skatiet diagrammu attēlā ( PageIndex {7} ).

Tabula ( PageIndex {1} )
(x )(0) ( frac {1} {2} )(1) ( frac {3} {2} )(2)
(y = −4 cos (πx) )(−4)(0)(4)(0)(−4)

Vingrinājums ( PageIndex {2} ):

Attēlojiet funkciju (y = 3 sin (3x) ), izmantojot amplitūdu, periodu un piecus galvenos punktus.

(x )0 ( frac {π} {6} ) ( frac {π} {3} ) ( frac {π} {2} ) ( frac {2π} {3} )
(3 sin (3x) )030-30
Atbilde

Periodiskas uzvedības modelēšana

Tagad mēs izmantosim šīs idejas problēmām, kas saistītas ar periodisku uzvedību.

Piemērs ( PageIndex {4} ): Vienādojuma modelēšana un Sinusoidāla grafika ieskicēšana atbilstoši kritērijiem

Vidējā mēneša temperatūra nelielai Oregonas pilsētai ir norādīta tabulā ( PageIndex {1} ). Atrodiet sinusoidālo formas (y = A sin (Bt-C) + D ) funkciju, kas atbilst datiem (noapaļo līdz tuvākajai desmitajai daļai) un ieskicējiet diagrammu.

Tabula ( PageIndex {2} )
MēnesisTemperatūra, (^ oF )
Janvāris42.5
Februāris44.5
Martā48.5
Aprīlis52.5
Maijs58
jūnijs63
Jūlijs68.5
augusts69
Septembris64.5
Oktobris55.5
Novembrī46.5
Decembris43.5

Risinājums

Atgādinām, ka amplitūda tiek atrasta, izmantojot formulu

[A = dfrac { text {lielākā vērtība - mazākā vērtība}} {2} ]

Tādējādi amplitūda ir

[ sākt {izlīdzināt *} | A | & = dfrac {69−42.5} {2} & = 13.25 end {izlīdzināt *} ]

Dati aptver 12 mēnešu periodu, tātad ( frac {2π} {B} = 12 ), kas dod (B = frac {2π} {12} = frac {π} {6} ).

Vertikālā nobīde tiek atrasta, izmantojot šādu vienādojumu.

[D = dfrac { text {augstākā vērtība + zemākā vērtība}} {2} ]

Tādējādi vertikālā nobīde ir

[ sākt {izlīdzināt *} D & = dfrac {69 + 42,5} {2} un = 55,8 beigas {izlīdzināt *} ]

Līdz šim mums ir vienādojums (y = 13,3 sin ( frac {π} {6} x − C) +55,8 ).

Lai atrastu horizontālo nobīdi, mēs ievadām (x ) un (y ) vērtības pirmajam mēnesim un atrisinām (C ).

[ begin {izlīdzināt *} 42.5 & = 13.3 sin ( frac {π} {6} (1) -C) +55.8 −13.3 & = 13.3 sin ( frac {π} {6} - C) −1 & = sin ( frac {π} {6} −C) ; ; ; ; ; ; ; ; sin θ = −1 → θ = - frac {π} {2} frac {π} {6} −C = - frac {π} {2} frac {π} {6} + frac {π} {2} & = C & = frac {2π} {3} end {izlīdzināt *} ]

Mums ir vienādojums (y = 13,3 sin ( frac {π} {6} x− frac {2π} {3}) + 55,8 ). Skatiet diagrammu attēlā ( PageIndex {9} ).

Piemērs ( PageIndex {5} ): Periodiskas kustības apraksts

Union Station lielā sienas pulksteņa stundas rādītājs ir 24 collas garš. Pusdienlaikā stundas rādītāja gals atrodas 30 collas no griestiem. 15:00 gals atrodas 54 collas no griestiem un 18:00 - 78 collas. Pulksten 21:00 atkal ir 54 collas no griestiem, un pusnaktī stundas rādītāja gals atgriežas sākotnējā stāvoklī 30 collas no griestiem. Ļaujiet (y ) vienādot attālumu no stundas rādītāja gala līdz griestiem (x ) stundas pēc pusdienlaika. Atrodiet vienādojumu, kas modelē pulksteņa kustību, un ieskicējiet grafiku.

Risinājums

Vispirms izveidojiet vērtību tabulu, kā parādīts tabulā ( PageIndex {3} ).

Tabula ( PageIndex {3} )
(x ) (y )Norāda, lai uzzīmētu
Pusdienlaikā30 collas((0,30))
15:0054 collas((3,54))
18:0078 collas((6,78))
21:0054 collas((9,54))
Pusnakts30 collas((12,30))

Lai modelētu vienādojumu, mums vispirms jāatrod amplitūda.

[ sākt {izlīdzināt *} | A | & = | dfrac {78−30} {2} | & = 24 beigas {izlīdzināt *} ]

Pulksteņa cikls atkārtojas ik pēc 12 stundām. Tādējādi

[ begin {align *} B & = dfrac {2π} {12} & = dfrac {π} {6} end {align *} ]

Vertikālā nobīde ir

[ sākt {izlīdzināt *} D & = dfrac {78 + 30} {2} & = 54 beigas {izlīdzināt *} ]

Nav horizontālas nobīdes, tāpēc (C = 0. ) Tā kā funkcija sākas ar minimālo vērtību (y ), kad (x = 0 ) (pretstatā maksimālajai vērtībai), mēs izmantosim kosinusa funkcija ar (A ) negatīvo vērtību. Formā (y = A cos (Bx ± C) + D, ) vienādojums ir

[y = −24 cos ( dfrac {π} {6} x) +54 ]

Skatīt attēlu ( PageIndex {10} ).

Piemērs ( PageIndex {6} ): plūdmaiņu modeļa noteikšana

Plūdmaiņas augstumu nelielā pludmales pilsētā mēra gar jūru. Ūdens līmenis svārstās starp 7 pēdām bēguma laikā un 15 pēdām plūdmaiņas laikā. Konkrētā dienā bēgums iestājās plkst. 6.00 un plūdmaiņas - pusdienlaikā. Apmēram ik pēc 12 stundām cikls atkārtojas. Atrodiet vienādojumu, lai modelētu ūdens līmeni.

Risinājums

Tā kā ūdens līmenis svārstās no 7 pēdām līdz 15 pēdām, mēs varam aprēķināt amplitūdu kā

[ sākt {izlīdzināt *} | A | & = | frac {(15−7)} {2} | & = 4 beigas {izlīdzināt *} ]

Cikls atkārtojas ik pēc 12 stundām; tāpēc (B ) ir

[ begin {align *} dfrac {2π} {12} = dfrac {π} {6} end {align *} ]

Ir vertikāls tulkojums ( frac {(15 + 8)} {2} = 11,5 ). Tā kā funkcijas vērtība ir maksimālā pie (t = 0 ), mēs izmantosim kosinusa funkciju ar pozitīvu vērtību (A ).

[y = 4 cos ( dfrac {π} {6}) t + 11 skaitlis ]

Skatīt attēlu ( PageIndex {11} ).

Vingrinājums ( PageIndex {3} ):

Dienas temperatūra marta mēnesī noteiktā pilsētā svārstās no zemākās (24 ° F ) līdz augstākās (40 ° F.). Atrodiet sinusoidālu funkciju, lai modelētu dienas temperatūru un ieskicētu diagrammu. Aptuvenais laiks, kad temperatūra sasniedz sasalšanas punktu (32 ° F. ) Ļaujiet (t = 0 ) atbilst pusdienlaikam.

Atbilde

[y = 8 sin ( frac {π} {12} t) +32 nonumber ]

Pusdienlaikā un pusnaktī temperatūra sasalst.

Exercise ( PageIndex {4} ): Periodiskās uzvedības vienādojuma interpretācija

Vidējā cilvēka asinsspiedienu modelē funkcija (f (t) = 20 sin (160πt) +100 ), kur (f (t) ) apzīmē asinsspiedienu laikā (t ), mērot dažu minūšu laikā. Interpretējiet funkciju perioda un biežuma izteiksmē. Ieskicējiet diagrammu un atrodiet asinsspiediena rādījumu.

Analīze

Asinsspiediens ( frac {120} {80} ) tiek uzskatīts par normālu. Augšējais skaitlis ir maksimālais jeb sistoliskais rādījums, kas mēra spiedienu artērijās, kad sirds saraujas. Apakšējais skaitlis ir minimālais vai diastoliskais rādījums, kas mēra spiedienu artērijās, kad sirds atslābina starp sitieniem, piepildot asinis. Tādējādi normālu asinsspiedienu var modelēt ar periodisku funkciju ar maksimumu 120 un vismaz 80.

Piemērs ( PageIndex {7} ): Periodiskās uzvedības vienādojuma interpretācija

Vidējā cilvēka asinsspiedienu modelē funkcija (f (t) = 20 sin (160πt) +100 ), kur (f (t) ) apzīmē asinsspiedienu laikā (t ), mērot dažu minūšu laikā. Ieskicējiet diagrammu un atrodiet asinsspiediena rādījumu.

Risinājums

Periodu dod

[ begin {align *} dfrac {2π} {ω} & = dfrac {2π} {160π} & = dfrac {1} {80} end {align *} ]

Asinsspiediena funkcijā frekvence norāda sirds sitienu skaitu minūtē. Biežums ir perioda abpusējs, un to izsaka

[ begin {izlīdzināt *} dfrac {ω} {2π} & = dfrac {160π} {2π} & = 80 beigas {izlīdzināt *} ]

Analīze

Asinsspiediens ( frac {120} {80} ) tiek uzskatīts par normālu. Tādējādi normālu asinsspiedienu var modelēt ar periodisku funkciju ar maksimumu 120 un vismaz 80.

Harmonisko kustību funkciju modelēšana

Harmoniskā kustība ir periodiskas kustības forma, taču ir jāņem vērā faktori, kas atšķir abus veidus. Kaut arī vispār periodiska kustība lietojumprogrammas pārvietojas pa periodiem bez ārējas iejaukšanās, harmoniska kustība prasa atjaunojošu spēku. Harmoniskās kustības piemēri ir atsperes, gravitācijas spēks un magnētiskais spēks.

Vienkārša harmoniskā kustība

Kustības veids, kas aprakstīts kā vienkārša harmoniska kustība ietver spēka atjaunošanu, bet pieņem, ka kustība turpināsies mūžīgi. Iedomājieties svērtu priekšmetu, kas karājas uz avota. Kad šis objekts netiek traucēts, mēs sakām, ka objekts ir miera stāvoklī vai ir līdzsvara stāvoklī. Ja objektu velk uz leju un pēc tam atbrīvo, atsperes spēks velk objektu atpakaļ līdzsvara virzienā un sākas harmoniskā kustība. Atjaunojošais spēks ir tieši proporcionāls objekta pārvietošanai no tā līdzsvara punkta. Kad (t = 0, d = 0. )

VIENKĀRŠA HARMONISKĀ KUSTĪBA

Mēs to redzam vienkārša harmoniska kustība doti vienādojumi pārvietojuma izteiksmē:

[d = a cos (ωt) ; teksts {vai} ; d = a grēks (ωt) ]

kur (| a | ) ir amplitūda, ( frac {2π} {ω} ) ir periods, un ( frac {ω} {2π} ) ir frekvence vai ciklu skaits laika vienībā.

Exercise ( PageIndex {5} ): pārvietojuma, perioda un biežuma atrašana un funkcijas grafika veidošana

Katrai dotajai funkcijai:

  1. (y = 5 grēks (3t) )
  2. (y = 6 cos (πt) )
  3. (y = 5 cos ( frac {π} {2}) t )

uzdot šādus jautājumus:

  1. Atrodiet objekta maksimālo pārvietojumu.
  2. Atrodiet periodu vai laiku, kas nepieciešams vienai vibrācijai.
  3. Atrodiet biežumu.
  4. Ieskicējiet diagrammu.
Atbilde a
  1. Maksimālais pārvietojums ir vienāds ar amplitūdu (| | a | ), kas ir 5.
  2. Periods ir ( frac {2π} {ω} = frac {2π} {3} ).
  3. Biežums ir norādīts kā ( frac {ω} {2π} = frac {3} {2π} ).
  4. Skatīt attēlu ( PageIndex {13} ). Grafikā ir norādīti pieci galvenie punkti.
Atbilde b
  1. Maksimālais pārvietojums ir (6 ).
  2. Periods ir ( frac {2π} {ω} = frac {2π} {π} = 2. )
  3. Biežums ir ( frac {ω} {2π} = frac {π} {2π} = frac {1} {2}. )
  4. Skatīt attēlu ( PageIndex {14} ).
Atbilde c
  1. Maksimālais pārvietojums ir (5 ).
  2. Periods ir ( frac {2π} {ω} = frac {2π} { frac {π} {2}} = 4 ).
  3. Biežums ir ( frac {1} {4}. )
  4. Skatīt attēlu ( PageIndex {15} ).

Slāpēta harmoniskā kustība

Patiesībā svārsts nemūžina uz priekšu un atpakaļ uz visiem laikiem, kā arī priekšmets, kas atrodas uz atsperes, mūžīgi neatlec uz augšu un leju. Galu galā svārsts pārstāj šūpoties, un priekšmets pārtrauc atlēcienu un abi atgriežas līdzsvara stāvoklī. Periodiska kustība, kurā darbojas enerģiju izkliedējošs spēks vai amortizācijas faktors, ir pazīstama kā slāpēta harmoniska kustība. Berze parasti ir amortizācijas faktors.

Fizikā dažādas formulas tiek izmantotas, lai ņemtu vērā kustīgā objekta amortizācijas koeficientu. Dažas no tām ir formulas, kuru pamatā ir aprēķins, kas ietver atvasinājumus. Saviem mērķiem mēs izmantosim formulas slāpētu harmonisku kustību pamata modeļiem.

Definīcija: Bojāta HARMONISKĀ KUSTĪBA

In slāpēta harmoniska kustība, svārstīgā objekta nobīde no tā atpūtas stāvokļa laikā (t ) tiek dota kā

[f (t) = ae ^ {- ct} grēks (ωt) ; teksts {vai} ; f (t) = ae ^ {- ct} cos (ωt) ]

kur (c ) ir amortizācijas faktors, (| a | ) ir sākotnējais pārvietojums un ( frac {2π} {ω} ) ir periods.

Piemērs ( PageIndex {8} ): Vājinātas harmoniskās kustības modelēšana

Modelējiet vienādojumus, kas atbilst abiem scenārijiem, un izmantojiet grafikas lietderību, lai iezīmētu funkcijas: Divām masas-atsperes sistēmām ir slāpēta harmoniska kustība ar frekvenci 0,5 cikli sekundē. Abiem sākotnējais pārvietojums ir 10 cm. Pirmajam amortizācijas koeficients ir 0,5, bet otrajam - 0,1.

Risinājums

Laikā (t = 0 ) pārvietojums ir maksimums 10 cm, kas prasa kosinusa funkciju. Kosinusa funkcija tiks piemērota abiem modeļiem.

Mums tiek dota 0,5 ciklu sekundē frekvence (f = frac {ω} {2π} ). Tādējādi

[ sākt {izlīdzināt *} dfrac {ω} {2π} & = 0,5 ω & = (0,5) 2π & = π beigas {izlīdzināt *} ]

Pirmās atsperes sistēmas amortizācijas koeficients ir (c = 0,5 ). Ievērojot slāpētās harmoniskās kustības vispārējo modeli, mums ir

[f (t) = 10e ^ {- 0,5t} cos (πt) nonumber ]

Attēls ( PageIndex {16} ) modelē pirmās atsperes sistēmas kustību.

Otrās atsperes sistēmas amortizācijas koeficients ir (c = 0,1 ), un to var modelēt kā

[f (t) = 10e ^ {- 0,1t} cos (πt) ]

Attēls ( PageIndex {17} ) modelē otrās atsperes sistēmas kustību.

Analīze

Ievērojiet amortizācijas konstantes atšķirīgo ietekmi. Funkcijas lokālās maksimālās un minimālās vērtības ar amortizācijas koeficientu (c = 0,5 ) samazinās daudz ātrāk nekā funkcijai ar (c = 0,1 ).

Vingrinājums ( PageIndex {6} ): Kosinusa funkcijas atrašana, kas modificē harmonisku kustību

Atrodiet un uzzīmējiet formas (y = ae ^ {- ct} cos (ωt) ) funkciju, kas modelē sniegto informāciju.

  1. (a = 20, c = 0,05, p = 4 )
  2. (a = 2, c = 1,5, f = 3 )

Risinājums

Aizstājiet modelī norādītās vērtības. Atgādinām, ka periods ir ( frac {2π} {ω} ) un biežums ir ( frac {ω} {2π} ).

  1. (y = 20e ^ {- 0.05t} cos ( frac {π} {2} t). ) Skatīt attēlu ( PageIndex {18} ).
  2. (y = 2e ^ {- 1,5t} cos (6πt). ) Skatīt attēlu ( PageIndex {19} ).

Vingrinājums ( PageIndex {7} )

Šis vienādojums attēlo slāpētu harmonisko kustību modeli: (f (t) = 5e ^ {- 6t} cos (4t) ) Atrodiet sākotnējo pārvietojumu, amortizācijas konstanti un frekvenci.

Atbilde

sākotnējais pārvietojums = 6, amortizācijas konstante = -6, frekvence = ( frac {2} {π} )

Piemērs ( PageIndex {9} ): Sinusfunkcijas atrašana, kas modelē slāpētu harmonisko kustību

Atrodiet un uzzīmējiet formas (y = ae ^ {- ct} sin (ωt) ) funkciju, kas modelē sniegto informāciju.

  1. (a = 7, c = 10, p = frac {π} {6} )
  2. (a = 0,3, c = 0,2, f = 20 )

Risinājums

Aprēķiniet (ω ) vērtību un aizstājiet zināmās vērtības modelī.

  1. Tā kā periods ir ( frac {2π} {ω} ), mums tas ir

    [ sākt {izlīdzināt *} dfrac {π} {6} & = dfrac {2π} {ω} ωπ & = 6 (2π) ω & = 12 beigas {izlīdzināt *} ]

    Amortizācijas koeficients ir 10 un amplitūda ir 7. Tādējādi modelis ir (y = 7e ^ {- 10t} sin (12t) ). Skatīt attēlu ( PageIndex {20} ).

  2. Tā kā frekvence ir ( frac {ω} {2π} ), mums ir

    [ begin {izlīdzināt *} 20 & = dfrac {ω} {2π} 40π & = ω beigas {izlīdzināt *} ]

    Amortizācijas koeficients ir norādīts kā (0,2 ), un amplitūda ir (0,3. ). Modelis ir (y = 0,3e ^ {- 0,2t} sin (40πt). ) Skatīt attēlu ( PageIndex {21} ).

Analīze

Pēdējo divu piemēru salīdzinājums parāda, kā mēs izvēlamies sinusa vai kosinusa funkcijas, lai modelētu sinusoidālos kritērijus. Mēs redzam, ka kosinusa funkcija ir pie maksimālā pārvietojuma, kad (t = 0 ), un sinusa funkcija ir līdzsvara punktā, kad (t = 0. ) Piemēram, ņemiet vērā vienādojumu (y = 20e ^ {−0.05t} cos ( frac {π} {2} t) ) no piemēra. No diagrammas mēs varam redzēt, ka tad, kad (t = 0, y = 20, ), kas ir sākotnējā amplitūda. Pārbaudiet to, kosinusa vienādojumā iestatot (t = 0 ):

[ sākt {izlīdzināt *} y & = 20e ^ {- 0,05 (0)} cos ( frac {π} {2}) (0) & = 20 (1) (1) & = 20 beigas {izlīdzināt *} ]

Izmantojot sinusa funkciju, iegūst

[ begin {izlīdzināt *} y & = 20e ^ {- 0.05 (0)} sin ( frac {π} {2}) (0) & = 20 (1) (0) & = 0 beigas {izlīdzināt *} ]

Tādējādi kosinuss ir pareizā funkcija.

Vingrinājums ( PageIndex {8} ):

Uzrakstiet deaktīvās harmoniskās kustības vienādojumu (a = 10, c = 0,5 ) un (p = 2. )

Atbilde

(y = 10e ^ {- 0,5t} cos (πt) )

Piemērs ( PageIndex {10} ): Pavasara svārstību modelēšana

Atsperi, kuras dabiskais garums ir 10 collas, saspiež par 5 collām un atbrīvo. Tas svārstās reizi 3 sekundēs, un tā amplitūda katru sekundi samazinās par 30%. Atrodiet vienādojumu, kas modelē atsperes stāvokli (t ) sekundes pēc atbrīvošanas.

Risinājums

Amplitūda sākas no 5 collām un katru sekundi samazinās par 30%. Tā kā pavasaris sākotnēji ir saspiests, mēs rakstīsim A kā negatīvu vērtību. Funkcijas amplitūdas daļu mēs varam uzrakstīt kā

[A (t) = 5 (1−0,30) ^ t skaitlis ]

Mēs ievietojam ((1−0.30) ^ t ) formā (e ^ {ct} ) šādi:

[ sākt {izlīdzināt *} 0,7 & = e ^ c c & = ln .7 c & = −0,357 beigas {izlīdzināt *} ]

Tagad pievērsīsimies periodam. Pavasaris ik pēc 3 sekundēm cikliski pārvietojas pa savām pozīcijām, tas ir periods, un mēs varam izmantot formulu, lai atrastu omega.

[ begin {align *} 3 & = dfrac {2π} {ω} ω & = dfrac {2π} {3} end {align *} ]

Dabiskais 10 collu garums ir viduslīnija. Mēs izmantosim kosinusa funkciju, jo pavasaris sākas ar maksimālo pārvietojumu. Šī vienādojuma daļa ir attēlota kā

[y = cos ( dfrac {2π} {3} t) +10 skaitlis ]

Visbeidzot, mēs saliekam abas funkcijas kopā. Mūsu atsperes stāvokļa modelis (t ) sekundēs tiek dots kā

[y = −5e ^ {- 0,357t} cos ( dfrac {2π} {3} t) +10 skaitlis ]

Skatiet diagrammu attēlā ( PageIndex {22} ).

Vingrinājums ( PageIndex {9} )

No atsperes piekārta masa tiek pacelta 5 cm attālumā virs tās atpūtas stāvokļa. Masu atbrīvo laikā (t = 0 ) un ļauj svārstīties. Pēc sekundes ( frac {1} {3} ) tiek novērots, ka masa atgriežas augstākajā stāvoklī. Atrodiet funkciju šīs kustības modelēšanai attiecībā pret sākotnējo atpūtas stāvokli.

Atbilde

(y = 5 cos (6πt) )

Saskaņā ar dotajiem kritērijiem

Ģitāras stīga ir noplūkta un vibrē slāpētā harmoniskā kustībā. Aukla tiek izvilkta un nobīdīta 2 cm no atpūtas stāvokļa. Pēc 3 sekundēm virknes nobīde ir 1 cm. Atrodiet amortizācijas konstanti.

Risinājums

Pārvietojuma koeficients attēlo amplitūdu, un to nosaka koeficients (ae ^ {- ct} ), kas paredzēts slāpētās harmoniskās kustības modelī. Amortizācijas konstante ir iekļauta terminā (e ^ {- ct} ). Ir zināms, ka pēc 3 sekundēm vietējais maksimums mēra pusi no sākotnējās vērtības. Tāpēc mums ir vienādojums

[ae ^ {- c (t + 3)} = dfrac {1} {2} ae ^ {- ct} ]

Izmantojiet algebru un eksponentu likumus, lai atrisinātu (c ).

[ begin {masīvs} {cl} ae ^ {- c (t + 3)} = frac {1} {2} ae ^ {- ct} e ^ {- ct} ⋅e ^ {- 3c } = frac {1} {2} e ^ {- ct} & text {Sadalīt} a. e ^ {- 3c} = frac {1} {2} & text {Sadalīt} e ^ {- ct}. e ^ {3c} = 2 & text {Take reciprocals.} end {array} ]

Pēc tam izmantojiet logaritmu likumus.

[ begin {align *} e ^ {3c} & = 2 3c & = ln 2 c & = frac { ln 2} {3} end {align *} ]

Amortizācijas konstante ir ( frac { ln 2} {3} ).

Ierobežojošās līknes harmoniskā kustībā

Harmonisko kustību grafikus var aptvert ierobežojošas līknes. Kad funkcijai ir atšķirīgas amplitūda, tā, ka amplitūda perioda laikā palielinās un samazinās vairākas reizes, mēs varam noteikt saistošās līknes no funkcijas daļas.

Piemērs ( PageIndex {12} ): svārstīgas kosinusa līknes grafiks

Uzzīmējiet funkciju (f (x) = cos (2πx) cos (16πx) ).

Risinājums

Šīs funkcijas izveidotais grafiks tiks parādīts divās daļās. Pirmais grafiks būs precīza funkcija (f (x) ) (skat. Attēlu ( PageIndex {23; top} );), bet otrais grafiks ir precīza funkcija (f (x) ) plus ierobežojošā funkcija (skat. attēlu ( PageIndex {23; apakšā} ). Grafiki izskatās diezgan atšķirīgi.

Attēls ( PageIndex {23} )

Analīze

Līknes (y = cos (2πx) ) un (y = - cos (2πx) ) ir saistošas ​​līknes: tās saista funkciju no augšas un apakšas, izsekojot augstākos un zemākos punktus. Harmonisko kustību grafiks atrodas norobežojošo līkņu iekšpusē. Šis ir piemērs funkcijai, kuras amplitūda laika gaitā ne tikai samazinās, bet faktiski vairākas reizes palielinās un samazinās.

Galvenie vienādojumi

Sinusoidālā vienādojuma standarta forma (y = A sin (Bt-C) + D text {vai} y = A cos (Bt-C) + D )
Vienkārša harmoniska kustība (d = a cos (ωt) teksts {vai} d = a sin (ωt) )
Slāpēta harmoniska kustība

(f (t) = ae ^ {- ct} sin (ωt) text {vai} f (t) = ae ^ {- ct} cos (ωt) )

Galvenie jēdzieni

  • Sinusoidālās funkcijas attēlo sinusa un kosinusa grafiki. Standarta formā mēs varam atrast amplitūdu, periodu un horizontālās un vertikālās nobīdes. Skatīt piemēru un piemēru.
  • Izmantojiet galvenos punktus, lai uzzīmētu sinusoidālo funkciju. Pieci galvenie punkti ietver minimālās un maksimālās vērtības un vidējās līnijas vērtības. Skatīt piemēru.
  • Periodiskās funkcijas var modelēt notikumus, kas atkārtojas noteiktos ciklos, piemēram, Mēness fāzes, pulksteņa rādītāji un gadalaiki gadā. Skatīt piemēru, piemēru, piemēru un piemēru.
  • Harmonisko kustību funkcijas tiek modelētas no dotajiem datiem. Līdzīgi kā periodiskas kustības, arī harmoniskai kustībai nepieciešams atjaunojošs spēks. Piemēri ietver gravitācijas spēku un atsperes kustību, kas aktivizēta pēc svara. Skatīt piemēru.
  • Slāpēta harmoniskā kustība ir periodiskas uzvedības forma, ko ietekmē amortizācijas faktors. Enerģiju izkliedējošie faktori, piemēram, berze, izraisa objekta pārvietošanās samazināšanos. Skatiet piemēru, piemēru, piemēru, piemēru un piemēru.
  • Ierobežojošās līknes nosaka harmoniskās kustības grafiku ar mainīgām maksimālajām un minimālajām vērtībām. Skatīt piemēru.

Norādījumi: izmantojot skaitļus no -9 līdz 9, katru reizi ievadiet ne vairāk kā vienu reizi

3 komentāri

Es neesmu pārliecināts, vai šeit ir piemērota vieta pareizām atbildēm, taču šeit ir dažas citas manas studentu atrastās kombinācijas, sākot no tukšās vietas kreisajā pusē un strādājot līdz tukšajai labajā pusē:

9, 4, 6, 3, 2 ,7
5, 4, 6, 7, 2, 3
5, 1, 2, 9, 8, 4
5, 3, 4, 9, 7, 2
5, 3, 4, 8, 6, 2
6, 1, 2, 4, 3, 5
6, 1, 2, 8, 7, 5
6, 1, 2, 9, 8, 5
4, 3, 2, 9, 8, 1

3, 1, 2, 8, 9, 4
9, 4, 2, 8, 7, 5
5, 4, 6, 2, 1, 3
9, 1, 2, 4, 3, 8
4, 2, 6, 8, 7, 3
3, 1, 6, 8, 5, 2
9, 4, 2, 7, 6, 5
7, 1, 2, 9, 8, 6
7, 3, 2, 9, 8, 4
9, 6, 2, 5, 4, 3
5, 4, 6, 7, 2, 3

3, 4, 6, 9, 8, 1
4, 3, 6, 9, 8, 3
9, 8, 6, 7, 2, 5
8, 2, 4, 5, 3, 6
8, 2, 6, 5, 4, 7
3, 2, 6, 7, 4, 1
4, 2, 6, 3, 8, 5


Vai jums patīk kurss?

Dalieties savā pieredzē, lai palīdzētu citiem, kas interesējas par Algebra 2 + trigonometriju.

KĀPĒC. Mēs esam mazs, neatkarīgs izdevējs, kuru dibinājuši matemātikas skolotājs un viņa sieva. Mēs ticam vērtībai, ko dodam skolotājiem un skolām, un vēlamies to darīt arī turpmāk. Mēs saglabājam zemas cenas, lai visi skolotāji un skolas varētu izmantot mūsu produktus un pakalpojumus. Mēs lūdzam jūs palīdzēt mums mūsu misijā, ievērojot šos noteikumus un nosacījumus.

LŪDZU, DALĪŠANOS. Mēs zinām, ka ir patīkami kopīgot, taču, lūdzu, nedalieties ar savu dalības saturu vai pieteikuminformāciju vai validācijas informāciju. Jūsu dalība ir viena lietotāja licence, kas nozīmē, ka tā dod vienai personai - jums - piekļuvi dalības saturam (atbilžu atslēgas, rediģējami nodarbību faili, pdf faili utt.), Taču tā nav paredzēta koplietošanai.

  • Lūdzu, nekopējiet un kopīgojiet atbildes atslēgas vai citu dalības saturu.
  • Lūdzu, nelieciet atbildes atslēgas vai citu dalības saturu vietnē, lai citi tos varētu apskatīt. Tas ietver skolu vietnes un skolotāju lapas skolu vietnēs.
  • Jūs varat izveidot atbilžu atslēgu kopijas, ko izsniegt savai klasei, taču, lūdzu, tās savāciet, kad skolēni būs beiguši ar tām.
  • Ja esat skola, lūdzu, iegādājieties licenci katram skolotājam / lietotājam.

LŪDZU CIEŅOT MŪSU AUTORTIESĪBU UN TIRDZNIECĪBAS NOSLĒPUMUS. Mums pieder visu mūsu radīto materiālu autortiesības, un mēs licencējam noteiktas autortiesības programmatūrā, kuru izmantojam, lai palaistu mūsu vietni, pārvaldītu akreditācijas datus un izveidotu savus materiālus. Dažas no šīm ar autortiesībām aizsargātajām programmatūrām var būt iegultas jūsu lejupielādētajos materiālos. Kad jūs abonējat, mēs dodam jums atļauju (“Viena lietotāja licence”) izmantot mūsu autortiesības un komercnoslēpumus, kā arī tos, kurus mēs licencējam no citiem, saskaņā ar mūsu Noteikumiem un nosacījumiem. Tāpēc papildus piekrišanai nekopēt vai kopīgot mēs lūdzam jūs:

  • Lūdzu, nepārveidojiet programmatūru un, lūdzu, nemainiet un neizdzēsiet nevienu autorību, versiju, īpašumu vai citus metadatus.
  • Lūdzu, nemēģiniet uzlauzt mūsu apstiprināšanas sistēmu vai lūdziet kādam citam mēģināt to apiet.
  • Lūdzu, nelieciet programmatūru, pieteikšanās informāciju vai kādu no mūsu materiāliem tīklā, kurā tam var piekļūt citi cilvēki, nevis jūs
  • Lūdzu, nekopējiet un nemodificējiet programmatūru vai dalības saturu, ja vien neesat iegādājies rediģējamus failus
  • Ja izveidojat modificētu uzdevumu, izmantojot iegādāto rediģējamo failu, lūdzu, ieskaitiet mums visas uzdevuma un atbildes uz galvenajām lapām šādi:

“Šis uzdevums ir skolotāja modificēta [eMath Title] versija. Autortiesības © 201x eMATHinstruction, LLC, ko izmanto atļauja”

Pieprasīta atgriezeniskā saite. Mēs augstu vērtējam jūsu atsauksmes par mūsu produktiem un pakalpojumiem. Mēs domājam, ka arī citi to novērtēs. Tāpēc mēs varam rīkoties šādi (un mēs lūdzam, lai jūs tam piekrītat):

  • Izmantojiet savas atsauksmes, lai uzlabotu mūsu produktus un pakalpojumus un pat laistu klajā jaunus produktus un pakalpojumus, saprotot, ka jums netiks samaksāts vai jums nepiederēs neviena jauno vai uzlaboto produktu un pakalpojumu daļa (ja vien mēs rakstiski pirms laika nevienojamies citādi ).
  • Dalieties ar atsauksmēm, tostarp atsauksmēm, mūsu vietnē vai citos reklāmas un reklāmas materiālos, saprotot, ka jums netiks samaksāts vai jums nepiederēs nekāda reklāmas vai reklāmas materiālu daļa (ja vien mēs iepriekš rakstiski nevienojamies citādi).

GARANTĒTA APmierinātība. Ja jūs neesat 100% apmierināts, mēs atmaksāsim jums samaksāto pirkuma cenu 30 dienu laikā. Lai saņemtu atmaksu:

  • 30 dienu laikā pēc pirkuma veikšanas
  • Izdzēsiet programmatūru un visu dalības saturu no visiem datoriem, iznīciniet visas mūsu materiālu kopijas vai izdrukas un nosūtiet visas materiālās kopijas (diskus, darbgrāmatas utt.) Un citus materiālus, ko esat saņēmis no mums:

eMATHinstruction Returns departaments
10 Augļu Bud Lane
Sarkanais āķis, NY 12571

TEHNISKĀ PALĪDZĪBA: Ja jums ir problēmas ar pieteikšanos vai piekļuvi saviem materiāliem vai ja jūsu lejupielādētie materiāli netiks atvērti vai nav salasāmi, lūdzu, nekavējoties informējiet mūs pa e-pastu pa e-pastu [email & # 160protected], lai mēs to varētu novērst.

BEZ GARANTIJAS. Mēs ticam savu produktu un pakalpojumu kvalitātei un vērtībai, un cītīgi strādājam, lai pārliecinātos, ka tie darbojas labi un tajos nav kļūdu. Bet tas nozīmē, ka mēs piedāvājam savus produktus un pakalpojumus “tādi paši kā ir”, kas nozīmē, ka mēs neesam atbildīgi, ja ar jums vai jūsu datorsistēmu notiek kaut kas slikts mūsu produktu un pakalpojumu izmantošanas rezultātā. Lai iegūtu pilnu garantiju atrunu, lūdzu, skatiet šo Noteikumu un nosacījumu juridisko versiju šeit.

STRĪDI. Ja mums ir strīds, kuru mēs nevaram atrisināt paši, mēs izmantosim saistošo arbitrāžu, nevis iesniegsim prasību parastajā tiesā (izņemot to, ka jūs varat izmantot mazo prasību tiesu). Saistošā šķīrējtiesa nozīmē, ka mūsu lietu izlems viens vai vairāki šķīrējtiesneši, kurus izvēlas un apmaksā visas strīda puses. Šķīrējtiesa ir ātrāks un mazāk formāls strīdu risināšanas veids, un tāpēc tā mēdz maksāt mazāk.

  • Lai sāktu šķīrējtiesas procesu, lūdzu, nosūtiet vēstuli, kurā pieprasa šķīrējtiesu un kurā aprakstīta jūsu prasība:

Emath Instruction Inc.
10 Augļu Bud Lane
Sarkanais āķis, NY 12571

ATBILDĪBAS IEROBEŽOJUMS. Ja jūs uzvarat lietā pret mums, visvairāk no mums var atgūt summu, kuru esat mums samaksājis.

Lai skatītu mūsu Noteikumu un nosacījumu Legalese versiju, lūdzu, noklikšķiniet ŠEIT. Mēs jums esam snieguši iepriekš minētos svarīgākos vienkāršā angļu valodā, taču ieteicams apskatīt arī Legalese, jo, atzīmējot zemāk esošo izvēles rūtiņu un turpinot pirkumu, jūs piekrītat gan angļu, gan Legalese valodām.

Paldies, ka izmantojat eMATHinstruction materiālus. Lai turpinātu nodrošināt augstas kvalitātes matemātikas resursus jums un jūsu studentiem, mēs ar cieņu to pieprasām ne ievietojiet šo vai kādu no mūsu failiem jebkurā vietnē. Šāda rīcība ir autortiesību pārkāpums.

Saturs, kuram mēģināt piekļūt nepieciešama dalība. Ja jums jau ir plāns, lūdzu, piesakieties. Ja jums ir jāiegādājas dalība, mēs katru gadu piedāvājam dalību pasniedzējiem un skolotājiem, kā arī īpašas atlaides skolām.

Diemžēl saturs, kuram mēģināt piekļūt nepieciešama pārbaude ka esat matemātikas skolotājs. Please click the link below to submit your verification request.


9.6: Modeling with Trigonometric Equations - Mathematics

Lori Pearman, Cathy Perkins, Stephanie Morris, and Kyungsoon Jeon

Activity Dealing with Trigonometry Functions

The following activity is a one day activity dealing with trigonometric functions. Before beginning this activity, students should have been introduced to sine and cosine.

Suppose a Ferris wheel with a radius of 20 feet makes a complete revolution in 10 seconds. In this activity, we want students to develop a mathematical model that describes the relationship between the height h of a rider above the bottom of a Ferris wheel (4 feet above the ground) and time t.

First, students should develop a table of t- and h- values. Assuming that the rider is at the bottom of the Ferris wheel when t = 0, students can develop values of h for t = 0 through t = 10. Values of h can be estimated from a scale drawing of the Ferris wheel (as shown below).

Students should plot their data and note the periodicity of the function. (See the below graph.) Each time the person goes around the Ferris wheel, the graph will "repeat itself". Hopefully, students will conjecture that the graph has a sinusoidal shape.

The below graph shows two revolutions around the Ferris wheel.

Students can now use right-triangle trigonometry and simple proportions (see below picture) to derive the parametric representation of a point (x(t),y(t)) on the rotating Ferris wheel as a function of time, thereby establishing that the height is a sinusoidal function of t.

Let's look at the right triangle with vertices W, Z, and P=(x(t),y(t)). Call angle (ZWP) . Students should have a good understanding of . If is between 0 and 2[[pi]], then is the measure of the angle swept out by point P. If is greater then 2[[pi]], we can think of the

angle being swept out by a point P that has moved counter-clockwise more than once around the circle. And if is negative, we think of the angle as being swept out by a point P moving in the opposite direction (with the Ferris wheel going backwards).

Sin = x(t)/20. This implies that x(t) = 20sin. Similarly, cos = (measurement of segment WZ)/20. WZ = 20 - y(t), so cos = (20-y(t))/20 implies that y(t) = -20cos + 20. Since one complete revolution has an angle of 2[[pi]], and a revolution takes 10 seconds, we can use the following ratio to find .

2[[pi]]/10 = /t implies that = ([[pi]]/5)t.

Plugging this in for , we get x(t) = 20sin[([[pi]]/5)t] and y(t) = -20cos[([[pi]]/5)t] + 20.

Since h(t) is the height above the bottom of the Ferris wheel, h(t) = y(t).

Students should be able to graph the equation h(t) = -20cos[([[pi]]/5)t] + 20 and then analyze their graphs.

This equation is graphed below. ( Algebra Xpresser was used here.)

After graphing the equation, students should be able to find h-values for given t-values (and vice-versa). They should also be able to find the amount of time t required for a given number of revolutions.

Students should also explore the changes in the graph for a Ferris wheel that has a different radius of rate of revolution. For example, if the radius was 25 ft. and it took the Ferris wheel 12 seconds to complete a revolution, then the equations would be

h(t) = -25cos([[pi]]/6)t + 25. Students should compare this graph with there first graph and make conjectures about the relationships between Ferris wheels and their corresponding equations.

There are many other activities that could be looked at which deal with trigonometric functions. However, I think the Ferris wheel problem is a good demonstration of how sine and cosine can be used.

National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: author.


Ievads

Bézier curves are the powerful mechanism for modeling in computer-aided geometric design (CAGD) and computer graphics (CG). Bézier curves have a lot of applications in the areas of science, engineering, and technology such as: railway route or highway modeling, networks, animation, computer-aided design system, robotics, environment design, communications, and many other fields due to their computational simplicity and stability. However, the classical Bézier curves have still some noiseless limitations due to their fixed shape and position relative to their control polygon [1–3]. In geometric modeling and engineering, practical applications of Bézier curves are restricted due to their shortcomings, and to overcome these shortcomings, a lot of work has been carried out [4–10]. The control over the shape and position of curves is enhanced by introducing the shape control parameters into Bézier approach. Another limitation in the classical Bézier curves is their representation in a polynomial form. Thus many scholars try to search for the solution of this issue in a non-polynomial function space.

Over the past few years, a significant work has been carried out, with the help of trigonometric functions, polynomials, or their combination, for the description of curves and surfaces. These trigonometric polynomials play a significant role in many fields like medicine, electronics [11], and computer-aided geometric design [12]. In recent years, geometric modeling by using trigonometric polynomials has achieved much consideration. Yan and Liang [13] constructed Bézier-like curve and rectangular Bézier-like surface based on a new type of polynomial basis functions with single shape parameter which they achieved by the recursive technique. Hu un citi. [14] constructed geometric continuity conditions for the construction of free-form generalized Bézier curves with n shape parameters. These free-form complex shape-adjustable generalized Bézier curves can be modeled by using shape-adjustable generalized Bernstein basis functions. These newly proposed approaches not only take over the benefits of classical Bézier curve and surface schemes, but also resolve the issue of shape adjustability of Bézier curves and surfaces with the help of multiple shape parameters. In 2019, BiBi un citi. [15] proposed a new approach using the generalized hybrid trigonometric Bézier curve (shortly, GHT-Bézier) with shape parameters to solve the problem in construction of some symmetric curves and surfaces. These curves are easily modified by changing the values of shape parameters. Using GHT-Bézier curves, they constructed some free-form complex curves with restriction of parametric continuity. To show the efficiency of modeling, the authors also constructed different types of symmetric curves and surfaces with their continuity conditions and symmetric formulas. Maqsood un citi. [16] constructed the generalized trigonometric Bézier (GT-Bézier) curves via GT-basis functions with shape parameters. They modeled some complex curves and surfaces using (C^<3>) and (G^<2>) continuity conditions. The proposed basis functions provide an alternative approach to generate the complex curves using (C^<3>) and (G^<2>) continuity conditions with simple and straightforward calculation for proposed algorithm because they are blended with linear polynomials rather than trigonometric functions.

In 2004, the cubic trigonometric polynomial curves were constructed by Han [17] with a shape parameter and (C^<2>) and (G^<3>) continuity conditions having nonuniform knot vector. It has been observed that the trigonometric polynomial curves can better approximate to the classical cubic B-spline curves or to the given control polygon than the classical cubic B-spline curves. The cubic trigonometric Bézier basis functions with two shape parameters were developed by Han un citi. [18]. They also constructed cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters similar to the classical Bézier curve that was based on these basis functions. They observed that due to the presence of shape parameters the shape of trigonometric Bézier curve better approximates to the given control polygon than the classical cubic Bézier curves. Han and Zhu [19] constructed five trigonometric blending functions using two exponential shape parameters that have geometric properties similar to the classical Bézier curves. The quadratic trigonometric basis functions were constructed by Bashir un citi. [20] using two shape parameters. Moreover, they modeled a rational quadratic trigonometric Bézier curve using these trigonometric basis functions as well as two curve segments connected by using (C^<2>) and (G^<2>) continuity conditions. Yan expressed an algebraic-trigonometric mixed piecewise curve with two shape parameters and cubic trigonometric nonuniform B-spline curves with local shape parameters in [21] and [22], respectively. Hu un citi. [23] constructed geometric continuity constraints for H-Bézier curve of degree n. Recently, many researchers have developed the positivity-preserving rational quartic spline interpolation [24], cubic triangular patches scattered data interpolation [25], rational bi-cubic Ball image interpolation [26], quasi-quintic trigonometric Bézier curve with shape parameters [27], curve modeling by new cubic trigonometric Bézier with shape parameters [28], continuity conditions for (G^<1>) joint of S-λ curves and surfaces [29], generalized Bernstein basis functions for approximation of multi-degree reduction of Bézier curve [30], surface modeling in medical imaging by Ball basis functions [31], and geometric conditions for the generalized H-Bézier model [32] which have many applications in medicine, science, and engineering. Khalid and Lobiyal [33] presented the extension of Lupaş Bézier curves/surfaces and rational Lupaş Bernstein functions with shape parameters having all positive ((p, q)) -integers values. They presented two techniques named de-Casteljau’s algorithm and Korovkin’s type approximation based on ((p, q)) -integers by using two parameter family of Lupaş ((p, q)) -Bernstein functions. Lupaş [34] studied the q-analogue of the Bernstein operator. Mursaleen un citi. [35] presented the analogue of ((p, q)) -Bernstein operators, which is a generalization of q-Bernstein operators, and studied its approximation properties based on Korovkin’s type approximation theorem of ((p, q)) -Bernstein operators.

In this research work, GBT-Bézier curves with two shape parameters are constructed based on GBT-Bernstein basis functions of degree m. Furthermore, the adjacent GBT-Bézier curve segments are connected using parametric and geometric continuity conditions which can be utilized to model free-form complex shapes. As a continuation of traditional Bézier curves, these GBT-Bézier curves will also offer a new application range in the field of manufacturing industry, computer vision, computer graphics, computer animation, and multimedia technology.

In this work, we make the following technical contributions:

(C^<3>) continuity of the 2D GBT-Bézier curves

(G^) ( (k leq 3) ) geometric continuity of the 2D GBT-Bézier curves.

The outline of this paper is structured in the following manner. Some basic definitions and characteristics of GBT-Bézier curves are given in Sect. 2. Continuity constraints for joining the two GBT-Bézier curve segments are discussed in Sect. 3. Some modeling examples are given in Sect. 4. Concluding remarks on this research are given in Sect. 5.


Manufacturing Industry

Trigonometry plays a major role in industry, where it allows manufacturers to create everything from automobiles to zigzag scissors. Engineers rely on trigonometric relationships to determine the sizes and angles of mechanical parts used in machinery, tools and equipment. This math plays a major role in automotive engineering, allowing car companies to size each part correctly and ensure they work safely together. Trigonometry is also used by seamstresses where determining the angle of darts or length of fabric needed to craft a certain shape of skirt or shirt is accomplished using basic trigonometric relationships.


Save time with ready-to-use assignments built by subject matter experts specifically for this textbook. You can customize and schedule any of the assignments you want to use.

Additional instructional and learning resources are available with the textbook, and might include testbanks, slide presentations, online simulations, videos, and documents.

Course Pack Preview

Save time with ready-to-use assignments built by subject matter experts specifically for this textbook. You can customize and schedule any of the assignments you want to use.

Course Pack Preview

Save time with ready-to-use assignments built by subject matter experts specifically for this textbook. You can customize and schedule any of the assignments you want to use.

Access is contingent on use of this textbook in the instructor's classroom.

  • Chapter 1: Equations and Graphs
    • 1.1: The Coordinate Plane (61)
    • 1.2: Graphs of Equations in Two Variables Circles (118)
    • 1.3: Lines (102)
    • 1.4: Solving Quadratic Equations (113)
    • 1.5: Complex Numbers (89)
    • 1.6: Solving Other Types of Equations (107)
    • 1.7: Solving Inequalities (111)
    • 1.8: Solving Absolute Value Equations and Inequalities (67)
    • 1.9: Solving Equations and Inequalities Graphically (50)
    • 1.10: Modeling Variations (59)
    • 1: Chapter Review
    • 1: Chapter Test (17)
    • 1: Focus on Modeling (12)
    • 1: Test Bank (133)
    • 2.1: Functions (98)
    • 2.2: Graphs of Functions (91)
    • 2.3: Getting Information from the Graph of a Function (73)
    • 2.4: Average Rate of Change of a Function (43)
    • 2.5: Linear Functions and Models (54)
    • 2.6: Transformations of Functions (116)
    • 2.7: Combining Functions (92)
    • 2.8: One-to-One Functions and Their Inverses (112)
    • 2: Chapter Review
    • 2: Chapter Test (22)
    • 2: Focus on Modeling (35)
    • 2: Test Bank (52)
    • 3.1: Quadratic Functions and Models (72)
    • 3.2: Polynomial Functions and Their Graphs (99)
    • 3.3: Dividing Polynomials (78)
    • 3.4: Real Zeros of Polynomials (113)
    • 3.5: Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra (77)
    • 3.6: Rational Functions (99)
    • 3.7: Polynomial and Rational Inequalities (58)
    • 3: Chapter Review
    • 3: Chapter Test (14)
    • 3: Focus on Modeling (5)
    • 3: Test Bank (74)
    • 4.1: Exponential Functions (74)
    • 4.2: The Natural Exponential Function (43)
    • 4.3: Logarithmic Functions (110)
    • 4.4: Laws of Logarithms (81)
    • 4.5: Exponential and Logarithmic Equations (108)
    • 4.6: Modeling with Exponential Functions (32)
    • 4.7: Logarithmic Scales (23)
    • 4: Chapter Review
    • 4: Chapter Test (13)
    • 4: Focus on Modeling (10)
    • 4: Test Bank (53)
    • 5.1: Angle Measure (109)
    • 5.2: Trigonometry of Right Triangles (84)
    • 5.3: Trigonometric Functions of Angles (86)
    • 5.4: Inverse Trigonometric Functions and Triangles (51)
    • 5.5: The Law of Sines (53)
    • 5.6: The Law of Cosines (67)
    • 5: Chapter Review
    • 5: Chapter Test (21)
    • 5: Focus on Modeling (8)
    • 5: Test Bank (30)
    • 6.1: The Unit Circle (65)
    • 6.2: Trigonometric Functions of Real Numbers (92)
    • 6.3: Trigonometric Graphs (97)
    • 6.4: More Trigonometric Graphs (73)
    • 6.5: Inverse Trigonometric Functions and Their Graphs (56)
    • 6.6: Modeling Harmonic Motion (69)
    • 6: Chapter Review
    • 6: Chapter Test (15)
    • 6: Focus on Modeling (8)
    • 6: Test Bank (38)
    • 7.1: Trigonometric Identities (126)
    • 7.2: Addition and Subtraction Formulas (89)
    • 7.3: Double-Angle, Half-Angle, and Sum-Product Formulas (129)
    • 7.4: Basic Trigonometric Equations (69)
    • 7.5: More Trigonometric Equations (78)
    • 7: Chapter Review
    • 7: Chapter Test (22)
    • 7: Focus on Modeling (8)
    • 7: Test Bank (33)
    • 8.1: Polar Coordinates (85)
    • 8.2: Graphs of Polar Equations (72)
    • 8.3: Polar Form of Complex Numbers De Moivre's Theorem (112)
    • 8.4: Plane Curves and Parametric Equations (75)
    • 8: Chapter Review
    • 8: Chapter Test (9)
    • 8: Focus on Modeling (8)
    • 8: Test Bank (29)
    • 9.1: Vectors in Two Dimensions (84)
    • 9.2: The Dot Product (60)
    • 9.3: Three-Dimensional Coordinate Geometry (29)
    • 9.4: Vectors in Three Dimensions (56)
    • 9.5: The Cross Product (42)
    • 9.6: Equations of Lines and Planes (38)
    • 9: Chapter Review
    • 9: Chapter Test (11)
    • 9: Focus on Modeling (19)
    • 9: Test Bank (30)
    • 10.1: Systems of Linear Equations in Two Variables (83)
    • 10.2: Systems of Linear Equations in Several Variables (51)
    • 10.3: Partial Fractions (51)
    • 10.4: Systems of Nonlinear Equations (54)
    • 10.5: Systems of Inequalities (80)
    • 10: Chapter Review
    • 10: Chapter Test (16)
    • 10: Focus on Modeling (16)
    • 10: Test Bank (59)
    • 11.1: Matrices and Systems of Linear Equations (77)
    • 11.2: The Algebra of Matrices (67)
    • 11.3: Inverses of Matrices and Matrix Equations (65)
    • 11.4: Determinants and Cramer's Rule (80)
    • 11: Chapter Review
    • 11: Chapter Test (20)
    • 11: Focus on Modeling (6)
    • 11: Test Bank (53)
    • 12.1: Parabolas (69)
    • 12.2: Ellipses (76)
    • 12.3: Hyperbolas (63)
    • 12.4: Shifted Conics (71)
    • 12.5: Rotation of Axes (47)
    • 12.6: Polar Equations of Conics (58)
    • 12: Chapter Review
    • 12: Chapter Test (17)
    • 12: Focus on Modeling (5)
    • 12: Test Bank (68)
    • 13.1: Sequences and Summation Notation (93)
    • 13.2: Arithmetic Sequences (81)
    • 13.3: Geometric Sequences (107)
    • 13.4: Mathematics of Finance (33)
    • 13.5: Mathematical Induction (39)
    • 13.6: The Binomial Theorem (63)
    • 13: Chapter Review
    • 13: Chapter Test (13)
    • 13: Focus on Modeling (6)
    • 13: Test Bank (72)
    • 14.1: Counting (100)
    • 14.2: Probability (72)
    • 14.3: Binomial Probability (45)
    • 14.4: Expected Value (32)
    • 14: Chapter Review
    • 14: Chapter Test (15)
    • 14: Focus on Modeling (7)
    • 14: Test Bank (58)
    • 0.1: Modeling the Real-World with Algebra (28)
    • 0.2: The Real Numbers (99)
    • 0.3: Integer Exponents and Scientific Notation (76)
    • 0.4: Rational Exponents and Radicals (120)
    • 0.5: Algebraic Expressions (106)
    • 0.6: Factoring (134)
    • 0.7: Rational Expressions (106)
    • 0.8: Solving Basic Equations (122)
    • 0.9: Modeling with Equations (71)
    • 0: Chapter Review
    • 0: Chapter Test (15)
    • 0: Focus on Modeling (9)
    • 0: Test Bank (98)

    Algebra and Trigonometry, 4 th edition explains concepts simply and clearly, without glossing over difficult points. This text is comprehensive and evenly paced, and provides complete coverage of the function concept, and integrates a significant amount of graphing calculator material to help students develop insight into mathematical ideas. The WebAssign enhancement to this textbook engages students with immediate feedback, rich tutorial content, and an interactive, fully customizable eBook.

    • Read It links under each question quickly jump to the corresponding section of a complete, interactive e-grāmata that lets students highlight and take notes as they read.
    • Watch It links provide step-by-step instruction with short, engaging videos that are ideal for visual learners.
    • Lecture videos are available as a textbook resource.
    • Master It Tutorials (MI) show how to solve a similar problem in multiple steps by providing direction along with derivation so students understand the concepts and reasoning behind the problem solving.
    • Video Examples (VE) ask students to watch a section level video segment and then answer a question related to that video. Consider assigning the video example as review prior to class or as a lesson review prior to a quiz or test.
    • Explore It (EI) modules help students visualize the course's complex topics through hands-on exploration and interactive simulation.
    • Select questions contain detailed risinājumus to the problem, available to students at your discretion.
    • Focus on Modeling (FoM) questions illustrate modeling techniques to teach students how to create their own mathematical models, rather than using prefabricated formulas.

    A Brief Biography

    Kathy Yoshiwara was born in Derby in the UK and grew up in Richmond, Virginia. She attended Michigan State University, where she studied Greek and mathematics. She did graduate work at UCLA and earned an MA in mathematics in 1977. She left UCLA in 1979 to join the faculty at Pierce College, where she taught for 33 years, retiring in 2013. In the 1998-1999 academic year she taught at Barnsley College in Yorkshire, England on a Fulbright teaching exchange. In 1996 she received the Award for Distinguished College or University Teaching of Mathematics from the Southern California Section of the MAA. In November 2003, she won the Teaching Excellence Award for the Western Region from the American Mathematical Association of Two-Year Colleges (AMATYC). She is married to Bruce Yoshiwara and benefits from his expertise in all things mathematical.

    Bruce Yoshiwara earned his PhD in mathematics at UCLA in 1988. He received the 2008 Award for Distinguished College or University Teaching of Mathematics from the Southern California-Nevada Section of the MAA, a 2009 Teaching Excellence Award from AMATYC, and a 2011 Hayward Award for Excellence in Education from the Board of Governors of the California Community Colleges. He is co-author (his wife Katherine is principal author) of several math textbooks.


    Teacher Background

    Objectives:

    To model a given situation, using trigonometry (including radian measure) to find and interpret measures in context, and evaluate findings. [M7.1]
    To find solutions, including the general solution, for trigonometric equations. [A8.15]

    NCEA: C3.3 Use Trigonometry to solve problems

    In place of the Wellington data, local climate data can easily be substituted to make the activity more meaningful to students.
    Data can be obtained from:
    www.niwa.co.nz/edu/resources/climate/ (for New Zealand)
    www.worldclimate.com/climate/index.htm (for the world)

    Long-term averages: (top graph, below)

    The model for the long-term averages is y = 4.2cos ((x - 1)π/6) + 13.7
    Replace January to December with 1 to 12.
    Alternative form: y = 4.2sin((x + 1)π/6) + 13.7

    A = amplitude = (ymax - ymin)/2
    B = 2π/12
    C = units translated to the right
    D = ymin + amplitude = units translated up


    Laipni lūdzam!

    Šis ir viens no vairāk nekā 2400 OCW kursiem. Izpētiet šī kursa materiālus lapās, kas saistītas ar kreiso pusi.

    MIT OpenCourseWare ir bezmaksas un atvērta publikācija tūkstošiem MIT kursu materiāliem, kas aptver visu MIT mācību programmu.

    Nav reģistrācijas vai reģistrācijas. Brīvi pārlūkojiet un izmantojiet OCW materiālus savā tempā. Nav reģistrēšanās un sākuma vai beigu datumu.

    Zināšanas ir jūsu atlīdzība. Izmantojiet OCW, lai vadītu savu mūžizglītību vai mācītu citus. Mēs nepiedāvājam kredītus vai sertifikātus par OCW izmantošanu.

    Radīts koplietošanai. Lejupielādējiet failus vēlāk. Nosūtīt draugiem un kolēģiem. Modificēt, pārveidot un atkārtoti izmantot (vienkārši atcerieties norādīt OCW kā avotu.)


    Skatīties video: Gatavošanās CE matemātikā. Trigonometriskie vienādojumi (Oktobris 2021).